y f x x x 1 0;1 y 1 (l equazione deve essere invariante per trasformazioni x x, f x ax x 1 0;1 f x x x 1 0;1 S x dx x % f x ax bx cx d x 0;1

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1 Esame di Stato 8 Problema ; y f x x x L equazioe della curva che descrive il profilo sull itera mattoella si ottiee simmetrizzado tale fuzioe rispetto agli assi e all origie (ovviamete o è l equazioe di ua fuzioe): x y (l equazioe deve essere ivariate per trasformazioi x x, y y Ua fuzioe di grado che rispetti le codizioi richieste ha come grafico u arco di parabola co vertice i (;), ovvero ; f x ax x impoedo il passaggio per (;) si ha ifie ; f x x x L area della parte da colorare i grigio risulta: l x 67% S x dx x per cui tale fuzioe o può soddisfare le codizioi richieste. Procededo co ua fuzioe poliomiale di grado: ; f x ax bx cx d x f ' x ax bx c x ; da cui, impoedo le codizioi di passaggio e di derivabilità richieste: d d a b c d b a f x ax a x c c ( ) aggiugedo ifie la codizioe sull area si ottiee: da cui: 4 l x x a 8 55 S ax a x dx a a x 4 M. Vicoli Esame di Stato 8

2 7 a e 5 7 f x x x 5 5 ( ) f '( x) x x Essedo: 8 f '( x) per x x 7 la fuzioe è decrescete ell itervallo [; ], el quale soddisfa pertato la codizioe f ( x) per x Si ha poi: f "( x) x f "( x) per x x è u puto di flesso per la fuzioe, il cui grafico è riportato ella figura a siistra: 7 che, co le simmetrie richieste, forisce il disego per l itera mattoella riportato a destra; l equazioe di tale curva si ottiee come al puto : 7 y x x 5 5,, ' ' ; a a a x x a x per x,, ' ' ; b b b x x b x per x l ultima coclusioe è ovviamete valida per ; le fuzioi per cui soo soddisfatte le tre codizioi imposte dal testo. a x e b x soo decresceti i ]; [, M. Vicoli Esame di Stato 8

3 Per, superiore l x A x dx x lim A l x B x dx lim B a x tede alla fuzioe costate per x ; b, che approssima il lato orizzotale a x e il lato destro del quadrato di lato uitario: la mattoella tede ad essere completamete colorata; lato siistro dello stesso quadrato biaca. x tede ivece alla fuzioe che approssima il lato orizzotale iferiore e il b x, per cui la mattoella tede ad essere completamete A titolo di esempio, si riportao rispettivamete elle figure a siistra e a destra, alcue fuzioi b x co = 5,, a x e 4 Cosideriamo le fuzioi e b x x a x x che itersecao la diagoale del primo quadrate rispettivamete ei puti y x 5 5 P P ; y x e x y 5 5 Q Q ; y x La probabilità che la goccia cada sulla parte o colorata è data dal rapporto tra la lughezza del segmeto PD e la lughezza della diagoale, rapporto uguale, per il Teorema di Talete, al rapporto tra le rispettive proiezioi sull asse x (aalogamete per il puto Q, o riportato i figura). Il umero di mattoelle daeggiate può pertato essere stimato dalla seguete relazioe: M. Vicoli Esame di Stato 8

4 N D 5 5 5, 5, 5 5 5, M. Vicoli Esame di Stato 8 4

5 Problema f x x x 9 f ' x x f ', f ' Da cui le due retta tageti hao rispettivamete equazioi: r : y x 9 che si itersecao i s : y 8 x y x M y x 9 x y x y 9 la cui ascissa o dipede dal parametro. ym 9 quidi = è il massimo itero che soddisfa la codizioe richiesta. Cosideriamo la fuzioe (cubica) lim x x 9 x f x x x 9 f ' x x f ' x per x Preseta miimo e massimo relativi rispettivamete i A ;9 e B ;9 f '' x 6 x f '' x per x F ;9 è u puto di flesso co tagete iflessioale di pedeza f compresivo delle rette tageti richieste al puto, è riportato ella pagia successiva. ' ; il grafico risultate, Le rette richieste hao equazioe: r : y x 9 s : y x r coicide co la tagete iflessioale; le due rette si itersecao i M 9 ; M. Vicoli Esame di Stato 8 5

6 e itersecao l asse x rispettivamete ei puti di coordiate C 9; e ha area S T D ;, per cui il triagolo T Co metodi ordiari o è possibile determiare esattamete l itersezioe E della curva co l asse x (a meo di utilizzare la formula risolutiva dell equazioe di terzo grado), per cui tale puto deve essere ricavato co u metodo umerico ; osservado che ell itervallo [;] f(x) è cotiua, assume valori di sego opposto agli estremi, f (x) < e f (x) <, si può applicare il metodo delle tageti per otteere rapidamete ua soluzioe approssimata; si ha: f ( x ) x x 9 x 9 f '( x ) x x x x x otteedo la successioe di soluzioi approssimate: ;,4;,5;,4 ulteriori ricorsioi determiao correzioi oltre la secoda cifra decimale. L area della parte di piao itera al triagolo e giacete al di sopra del grafico è pertato data da:, S x x x dx x dx x x dx 4 4,4 x x x dx x x 9x, Naturalmete la soluzioe può essere trovata immediatamete utilizzado la calcolatrice grafica, ammessa dal Miur all Esame di Stato M. Vicoli Esame di Stato 8 6

7 La probabilità richiesta è ifie data da: S, P,9 S 84 T 4 Idicata co la geerica fuzioe poliomiale di grado, si ha y ' P ' x Q x y P x derivata è ua fuzioe poliomiale di grado -. L equazioe della ormale alla curva i u puto di ascissa x ha equazioe: y P x x x x x P ' x Q x impoedo il passaggio per l origie, si ha: P x x Q x P x x Q x, ovvero la otteedo u equazioe poliomiale di grado - ella variabile x, che ammette al massimo - soluzioi. M. Vicoli Esame di Stato 8 7

8 QUESTIONARIO Dato u geerico coo di raggio di base R e altezza H, il suo volume è Vcoo R H ; idichiamo co x e h raggio e altezza del cilidro i esso iscritto, e determiiamoe il volume massimo (ella figura a destra è riportata la sezioe del solido). Per la similitudie si ha: x H h h H x R H R il cilidro ha volume x x x Vcil x h x H H x V ' cil Hx R R R H h x R che risulta massimo per x x 4 4 R, da cui Vcil, MAX H x R H R H V R 7 9 coo Si ha: p 4 P; p P; p 4 P; p 8P p p p p4 5P P 5 da cui: 4 8 p4 ; p ; p ; p La probabilità che escao due umeri uguali è data da: puguali Cerchiamo prevetivamete i puti i cui la curva ha tagete di pedeza m=-4. y ' x 8x 4 x x I tali puti retta e curva devoo avere la stessa ordiata, pertato: M. Vicoli Esame di Stato 8 8

9 per x : per x : Essedo: se x e e e e cos x si ha: se x x e lim x 5 x e cos x che diverge a+ ifatti, per x> e x, quidi se x x e x e x 5 e cos x 5 se x x e lim x x 5 e cos x ifatti: se x x x e x e e x x x 5 e 5 e cos x 5 e Primo e terzo membro covergoo a per cui, per il teorema del cofroto, coverge a zero ache il termie cetrale. 5 Siao x e y rispettivamete il lato orizzotale e verticale del rettagolo. Si ha: y x x y x S xy x x x S ' x L area massima si ottiee per 4 x, y La ormale al piao el puto T ha equazioe: x 4 y u z che, messa a sistema co la retta r, cosete di determiare il cetro C della sfera: M. Vicoli Esame di Stato 8 9

10 4 u t t u t C u u t la cui distaza dal piao, pari al raggio della sfera, risulta: 4 R 4 4 La sfera ha pertato equazioe: 7 x y z 4 x y z x y z a al a x a a x dx x a a a a 4 a da cui segue a a a a 8 I risultati possibili soo -, - e - (simmetricamete per i due giocatori); idichiamo co A e B i due giocatori e suppoiamo che vica A; dal mometo che la probabilità di vittoria di ciascuo dei due è pa pb, il primo risultato può otteersi co probabilità p Perché la partita termii -, il giocatore A deve vicere l udicesima partita e perdere ua qualuque delle prime, ovvero soo possibili sequeze del tipo ABAAAAAAAAA, la cui probabilità è: p Aalogamete, perché la partita termii -, A deve vicere la dodicesima partita e perdere qualuque tra le prime, pertato si ha: 55 p La probabilità totale, teedo coto ache della possibilità di vittoria di B co le stesse modalità, risulta pertato: P, 9 M. Vicoli Esame di Stato 8

11 9 È immediato verificare, per sostituzioe diretta, che i puti appartegoo al piao. I lati del triagolo misurao: Aalogamete AB x x y y z z AC BC B A B A B A per cui il triagolo è equilatero; il suo cetro (baricetro del triagolo) ha coordiate xa xb xc ya yb yc za zb zc 7 4 O ; ; ; ; il quarto vertice del tetraedro giace pertato sulla retta passate per O, ormale al piao, la cui equazioe parametrica è: 7 x t y t 4 z t impoedo la distaza dal puto A: si ottiee Si ha: per cui: 7 4 AO t t t 4 t, per cui i due possibili vertici del tetraedro regolare soo: 5 8 V ; ; e V ; ; y ' e x y '' e x x e 4 6 M. Vicoli Esame di Stato 8