LA SECONDA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DEL LICEO SCIENTIFICO 2018

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1 LA SECONDA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DEL LICEO SCIENTIFICO 08 Lorezo Meeghii, Silvaa Biachii, Fracesco Daddi

2 INTRODUZIONE Nell ao scolastico 04/05 è adato a regime il quito ao della Riforma avviata el 00 dal miistro Gelmii. Co l abolizioe delle vecchie sperimetazioi, le tracce della secoda prova scritta corrispodoo sostazialmete a u testo uico, co alcue variati egli idirizzi opzioali. Fio all Ao Scolastico 07/8, la struttura della prova di matematica è sempre stata articolata i due problemi e dieci quesiti ed è rimasta ivariata ache l opzioe di scelta, u problema su due e cique quesiti su dieci proposti. Per l ao scolastico i corso, ivece, la secoda prova d esame del Liceo Scietifico prevede u ulteriore elemeto di ovità, divetado multidiscipliare (Matematica e Fisica) e propoedo lo svolgimeto di u problema su due e di quattro quesiti su otto proposti. Le simulazioi fiora proposte dal MIUR hao mostrato comuque importati aalogie co le tracce sommiistrate el passato, almeo per quato riguarda le richieste più tradizioali. Per questi motivi, per il terzo ao di seguito ci propoiamo di forire ua raccolta i cui si possao trovare risolti tutti i temi d'esame assegati ell Ao Scolastico Lo svolgimeto di ciascu tema, commetato e corredato da richiami teorici, o è solo ua proposta risolutiva fializzata alla verifica dei risultati, ma è per lo studete u occasioe di riflessioe sui coteuti proposti, sulle difficoltà delle richieste e sulla corrispodeza co il proprio percorso didattico, ache ai fii di ua scelta ragioata del problema e dei quesiti da svolgere i sede d esame. Le osservazioi di atura critica, ache su evetuali ambiguità delle formulazioi, guidao ad ua corretta lettura del testo e alla cosapevolezza delle sue possibili iterpretazioi. Nella covizioe della valeza educativa all aalisi delle situazioi problematiche e dell orgaizzazioe delle coosceze, gli Autori augurao agli studeti buoa lettura e buo lavoro. Gli autori rigraziao Giacomo Poletto (classe 5 ASA del Liceo F. Corradii di Thiee VI Ao 06/7) per la realizzazioe della copertia dell e-book.

3 INDICE LICEO SCIENTIFICO E SCIENTIFICO OPZ. SCIENZE APPLICATE SESSIONE ORDINARIA 08 Testo... pag. Problema... pag. 5 Problema... pag. Questioario... pag. 6 LICEO SCIENTIFICO DELLA COMUNICAZIONE OPZ. SPORTIVA SESSIONE ORDINARIA 08 Testo... pag. 6 Problema... pag. 7 Questioario (. 9 e 0)... pag. 6 LICEO SCIENTIFICO E SCIENTIFICO OPZ. SCIENZE APPLICATE SESSIONE SUPPLETIVA 08 Testo... pag. 9 Problema... pag. 4 Problema... pag. 46 Questioario... pag. 5 LICEO SCIENTIFICO DELLA COMUNICAZIONE OPZ. SPORTIVA SESSIONE SUPPLETIVA 08 Testo... pag. 6 Problema... pag. 6 LICEO SCIENTIFICO E SCIENTIFICO OPZ. SCIENZE APPLICATE SESSIONE STRAORDINARIA 08 Testo... pag. 65 Problema... pag. 68 Problema... pag. 7 Questioario... pag. 77 LICEO SCIENTIFICO DELLA COMUNICAZIONE OPZ. SPORTIVA SESSIONE STRAORDINARIA 08 Testo... pag. 84 Problema... pag. 85

4 PROBLEMA Devi programmare il fuzioameto di ua macchia che viee adoperata ella produzioe idustriale di mattoelle per pavimeti. Le mattoelle soo di forma quadrata di lato (i u opportua uità di misura) e le fasi di lavoro soo le segueti: o si sceglie ua fuzioe y f 0,, che soddisfi le codizioi: a) f 0 ; b) f 0 ; c) f 0 per 0. o La macchia traccia il grafico della fuzioe defiita e cotiua ell itervallo y f e i grafici simmetrici di rispetto all asse y,,0, all asse e all origie O, otteedo i questo modo ua curva chiusa, passate per i puti 0,,,0, 0, di vertici,,,,,,,, simmetrica rispetto agli assi cartesiai e all origie, coteuta el quadrato Q. o La macchia costruisce la mattoella colorado di grigio l itero della curva chiusa e lasciado biaca la parte restate del quadrato Q; vegoo quidi mostrate sul display alcue mattoelle affiacate, per dare u idea dell aspetto del pavimeto. Il mauale d uso riporta u esempio del processo realizzativo di ua mattoella semplice: La pavimetazioe risultate è riportata di seguito:

5 . Co riferimeto all esempio, determia l espressioe della fuzioe y f e l equazioe della curva, così da poter effettuare ua prova e verificare il fuzioameto della macchia. Ti viee richiesto di costruire ua mattoella co u disego più elaborato che, oltre a rispettare le codizioi a), b) e c) descritte i precedeza, abbia f ' 0 0 e l area della parte colorata pari al 55% dell area dell itera mattoella. A tale scopo, predi i cosiderazioe fuzioi poliomiali di secodo grado e di terzo grado.. Dopo aver verificato che o è possibile realizzare quato richiesto adoperado ua fuzioe poliomiale di secodo grado, determia i coefficieti a, b, c, d della fuzioe f poliomiale di terzo grado che soddisfa le codizioi poste. Rappreseta ifie i u piao cartesiao la mattoella risultate. Vegoo proposti a u cliete due tipi diversi di disego, derivati rispettivamete dalle fuzioi e b, cosiderate per 0, a, co itero positivo.. Verifica che al variare di tutte queste fuzioi rispettao le codizioi a), b) e c). Dette A e B le aree delle parti colorate delle mattoelle otteute a partire da tali fuzioi a e b, calcola lim A e lim B ed iterpreta i risultati i termii geometrici. Il cliete decide di ordiare 5000 mattoelle co il disego derivato da b a e 5000 co quello derivato da. La vericiatura viee effettuata da u braccio meccaico che, dopo aver depositato il colore, tora alla posizioe iiziale sorvolado la mattoella lugo la diagoale. A causa di u malfuzioameto, durate la produzioe delle mattoelle si verifica co ua probabilità del 0% che il braccio meccaico lasci cadere ua goccia di colore i u puto a caso lugo la diagoale, macchiado così la mattoella appea prodotta. 4. Forisci ua stima motivata del umero di mattoelle che, avedo ua macchia ella parte o colorata, risulterao daeggiate al termie del ciclo di produzioe. PROBLEMA Cosideriamo la fuzioe fk : così defiita: f k 9 co k. k

6 . Detto k il grafico della fuzioe, verifica che per qualsiasi valore del parametro k la retta r k, tagete a k el puto di ascissa 0 e la retta s k, tagete a k el puto di ascissa, si icotrao i u puto M di ascissa.. Dopo aver verificato che k è il massimo itero positivo per cui l ordiata del puto M è miore di f, determiadoe i puti stazioari e di flesso e 0, studia l adameto della fuzioe tracciadoe il grafico.. Detto T il triagolo delimitato dalle rette r, s e dall asse delle ascisse, determia la probabilità che, preso a caso u puto P, y all itero di T, questo si trovi al di sopra di (cioè che si abbia P y f per tale puto P). P P 4. Nella figura è evideziato u puto N e u tratto del grafico. La retta ormale a i N (vale a dire la perpedicolare alla retta tagete a i quel puto) passa per l origie degli assi O. Il grafico possiede tre puti co questa proprietà. Dimostra, più i geerale, che il grafico di u qualsiasi poliomio di grado 0 o può possedere più di puti ei quali la retta ormale al grafico passa per l origie. Questioario ) Dimostrare che il volume di u cilidro iscritto i u coo è miore della metà del volume del coo. ) Si dispoe di due dadi uguali o bilaciati a forma di tetraedro regolare co le facce umerate da a 4. Laciado ciascuo dei due dadi, la probabilità che esca è il doppio della probabilità che esca, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca 4. Se si laciao i due dadi cotemporaeamete, qual è la probabilità che escao due umeri uguali tra loro? ) Determiare i valori di k tali che la retta di equazioe y 4 k sia tagete alla curva di equazioe y 4 5 se e 5 e cos, giustificado adeguatamete le risposte forite. 4) Cosiderata la fuzioe f, determiare, se esistoo, i valori di lim f lim f 5) Co ua staccioata luga metri si vuole recitare ua superficie avete la forma di u rettagolo sormotato da ua semicircofereza, come i figura: e

7 Determiare le dimesioi dei lati del rettagolo che cosetoo di recitare la superficie di area massima. t 6) Determiare l equazioe della superficie sferica S, co cetro sulla retta r : y t t tagete al z t piao : y z 4 0 T 4,0,. el puto a 7) Determiare a i modo che d sia uguale a 0. a 8) I u gioco a due giocatori, ogi partita vita frutta puto e vice chi per primo raggiuge 0 puti. Due giocatori che i ciascua partita hao la stessa probabilità di vicere si sfidao. Qual è la probabilità che uo dei due giocatori vica i u umero di partite miore o uguale a?,,0,, C,,. Dopo aver verificato 9) Soo dati, ello spazio tridimesioale, i puti A, B e che ABC è u triagolo equilatero e che è coteuto el piao di equazioe y z 4 0, stabilire quali soo i puti P tali che ABCP sia u tetraedro regolare. y e k è soluzioe 0) Determiare quali soo i valori del parametro k per cui la fuzioe dell equazioe differeziale y" y ' y 0. 4

8 PROBLEMA PUNTO Co riferimeto all esempio, determia l espressioe della fuzioe y f e l equazioe della curva, così da poter effettuare ua prova e verificare il fuzioameto della macchia. Com è evidete dalla figura, la fuzioe f è lieare (il suo grafico è u segmeto). Dal mometo che deve passare per i puti 0, e,0, l equazioe della retta che cotiee il segmeto è y. Pertato possiamo dire che: f 0, per ogi Osserviamo che il segmeto simmetrico di quello disegato rispetto all asse y appartiee alla retta di equazioe y,0., per Se vogliamo rappresetare etrambi i segmeti co ua fuzioe possiamo cosiderare: g, per ogi L equazioe della curva è y cioè: y PUNTO Dopo aver verificato che o è possibile realizzare quato richiesto adoperado ua fuzioe poliomiale di secodo grado, determia i coefficieti a, b, c, d della fuzioe f poliomiale di terzo grado che soddisfa le codizioi poste. Rappreseta ifie i u piao cartesiao la mattoella risultate. Cosideriamo ua fuzioe poliomiale di grado: f a b c e cotrolliamo se è possibile che rispetti le tutte le richieste descritte dal testo. o f 0 c f a b o f a b 0 b a o f ' a a. Pertato: f ' 0a 0 I base a queste cosiderazioi risulta: f f a a a Determiiamo ora l area colorata i figura per cotrollare che la percetuale richiesta sia rispettata. Come si può otare, l area colorata è metà di quella di u segmeto parabolico di base u ed altezza u. Per il Teorema di Archimede, allora, l area del segmeto parabolico è 4 Asp u e quella colorata i figura è quadrato (e quidi della mattoella) e o al 55% come richiesto. u, corrispodete al 66.67% di quella del 5

9 Cocludedo: No è possibile costruire ua mattoella che soddisfi tutte le codizioi richieste adoperado ua fuzioe di secodo grado. Cosideriamo ora la fuzioe poliomiale f a b c d ed impoiamo le codizioi preseti el testo: o f 0 d f a b c o 0 f a b c 0 o f ' a b c. Pertato: f I base a queste cosiderazioi risulta: f a a o Determiiamo ora la codizioe sull area: ' 0 c 0 a b 0 b a a 4 a a a d a a 8 a... 4 L area colorata ella piastrella è pari al 55% della superficie totale se e solo se 8 a 55 cioè: 00 8 a 8 a a a Otteiamo, i tal caso: 7 b 5 5 la fuzioe cercata è: 7 f 5 5 ed i valori dei parametri cercati soo: 7 o a o b o c 0 o d 5 5 PUNTO Vegoo proposti a u cliete due tipi diversi di disego, derivati rispettivamete dalle fuzioi e b, cosiderate per 0, a, co itero positivo. Verifica che al variare di tutte queste fuzioi rispettao le codizioi a), b) e c). Dette aree delle parti colorate delle mattoelle otteute a partire da tali fuzioi a e b, calcola lim B ed iterpreta i risultati i termii geometrici. Cosideriamo le famiglie di fuzioi a e b per 0, Verifichiamo che rispettao le codizioi a), b) e c): a 0 o a o a 0 A e lim B le A e, co itero positivo. 6

10 o 0 a : vera per ogi 0, b o b 0 0 o b 0 o 0 b : 0 Per la relazioe equivale a 0, vera per ogi 0, Per, estraedo la redice esima otteiamo: vera per 0, ogi le famiglie di fuzioi c). a e b per 0,, co itero positivo, rispettao le codizioi a), b) e Calcoliamo le espressioi delle successioi A e A d 0 0 B. B d d Otteiamo quidi: o lim A lim o lim B lim 0 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA: Cosideriamo la famiglia di fuzioi a per 0,, co itero positivo. Per otteiamo u segmeto, per u arco di parabola, per u arco di cubica, ecc. Come si può otare dalla figura seguete, al crescere del valore di la curva tede ad avviciarsi sempre A,. più al puto I questo modo, l area sotto al grafico tede a riempire il quadrato, come sottolieato dal valore del lim A 7

11 Cosideriamo ora la famiglia di fuzioi b per 0,, co itero positivo. Come si può otare dalla figura seguete, al crescere del valore di la curva tede ad avviciarsi sempre più all origie del sistema cartesiao. I questo modo, l area sopra al grafico tede a riempire il quadrato, come sottolieato dal valore del lim B 0 PUNTO 4 Forisci ua stima motivata del umero di mattoelle che, avedo ua macchia ella parte o colorata, risulterao daeggiate al termie del ciclo di produzioe. Cosideriamo ora le mattoelle co il disego ricavato da a e quelle co il disego ricavato da Nella figura seguete è rappresetata la mattoella del tipo, il cui disego è ricavato da diagoale lugo la quale il braccio meccaico può lasciare accidetalmete cadere ua goccia di colore. a b., e la Idicata co d u la lughezza della diagoale del quadrato ABCD, la probabilità che la goccia cada sulla parte biaca macchiado la mattoella (eveto M) è pari al rapporto tra il doppio della lughezza del segmeto AE e la lughezza della diagoale, cioè: AE P M Determiiamo, quidi, la lughezza del segmeto AE. Per farlo, troviamo le coordiate del puto E, apparteete al quadrate, itersezioe tra la diagoale del quadrato (di equazioe y ) e l arco della parabola y : 8

12 Risolviamo l equazioe Pertato E 0 : y y y 0 5 0, 5 4 5, , e quidi: AE u La probabilità che la goccia cada ella parte biaca roviado la mattoella è: AE 5 5 PM 0.8 L eveto E: cade ua goccia di colore ha ua probabilità del 0% ed è idipedete dall eveto M. Pertato, la probabilità che ua goccia cada sulla mattoella dei tipo e la macchi è p P E PM Iterpretado la probabilità secodo la impostazioe statistica (come frequeza relativa), il umero di mattoelle del tipo che vegoo roviate è: N Ripetiamo il ragioameto sviluppato per stimare il umero di mattoelle del tipo che vegoo roviate da ua goccia di colore. Nella figura seguete è rappresetata la mattoella del tipo, il cui disego è ricavato da, e la diagoale lugo la quale il braccio meccaico può lasciare accidetalmete cadere ua goccia di colore. b I questo caso, la probabilità che la goccia cada sulla parte biaca macchiado la mattoella (eveto M) è pari al rapporto tra il doppio della lughezza del segmeto AF e la lughezza della diagoale, cioè: AF P M Determiiamo, quidi, la lughezza del segmeto AF. 9

13 Per farlo, troviamo le coordiate del puto F, apparteete al quadrate, itersezioe tra la diagoale del quadrato (di equazioe y ) e l arco della parabola y : Risolviamo l equazioe 0 : y y y , 5 0, 5 5 Pertato F, e quidi: AF u La probabilità che la goccia cada ella parte biaca roviado la mattoella è: AF 5 5 PM 0.68 L eveto E: cade ua goccia di colore ha ua probabilità del 0% ed è idipedete dall eveto M. Pertato, la probabilità che ua goccia cada sulla mattoella dei tipo e la macchi è p PE PM Iterpretado la probabilità secodo la impostazioe statistica (come frequeza relativa), il umero di mattoelle del tipo che vegoo roviate è: N il umero di mattoelle complessivamete daeggiate è stimato i N N N 000 OSSERVAZIONE: È iteressate osservare che il umero complessivo di mattoelle roviate o sarebbe cambiato utilizzado u diverso umero di cifre decimali ella stima della probabilità dell eveto M. Ifatti: 5 o PM 0.8 p P E PM N o PM 0.6 p P E PM N il umero di mattoelle complessivamete daeggiate è stimato i N N N 000 0

14 PROBLEMA PUNTO Cosideriamo la fuzioe fk : così defiita: fk k 9 co k. Detto k il grafico della fuzioe, verifica che per qualsiasi valore del parametro k la retta r k, tagete a k el puto di ascissa 0 e la retta s k, tagete a k el puto di ascissa, si icotrao i u puto M di ascissa. Cosideriamo la fuzioe f k 9. Per determiare l equazioe delle tageti richieste, k calcoliamo f ' k k. o Tagete el puto di ascissa 0: fk 0 9 e m0 f ' k 0 k y 9 k 0 rk : y k 9 o Tagete el puto di ascissa : fk k 9 k 8 e m f ' k k y k 8 k y k k k 8 s : y k k Itersechiamo tra loro le rette r k e s k : y k 9 y k 9 y k k 9 k Le rette si itersecao i M,9 k VERIFICATO! y k 9 k k y k 9 PUNTO Dopo aver verificato che k è il massimo itero positivo per cui l ordiata del puto M è miore di 0, studia l adameto della fuzioe f, determiadoe i puti stazioari e di flesso e tracciadoe il grafico. Cosideriamo l ordiata del puto M ed impoiamo che sia iferiore a 0: 9 0 k k k Pertato, il massimo itero positivo che realizza la codizioe richiesta è effettivamete k. Cosideriamo ora la fuzioe f ; otiamo 9 che il suo grafico si può otteere da quello della fuzioe 0 g mediate ua traslazioe di vettore v 9. g taglia l asse i tre puti distiti, di coordiate,0 e 0,0 la fuzioe f itercetta la retta y 9 ei puti,9 e 0,9. Per completare l aalisi della fuzioe flesso: f determiiamoe gli estremi relativi (puti stazioari) ed il

15 ' 0 Mi relativo: f o f A ;9 9 o Ma relativo: f f " Flesso: F 0,9 B ;9 9 GRAFICO: PUNTO Detto T il triagolo delimitato dalle rette r, s e dall asse delle ascisse, determia la probabilità P, y all itero che, preso a caso u puto P P di T, questo si trovi al di sopra di (cioè che si abbia y f per tale puto P). P Cosideriamo il triagolo T delimitato dalle rette r, s e dall asse delle ascisse. U puto P apparteete al triagolo T soddisfa la codizioe imposta dal testo se e solo se

16 appartiee alla regioe colorata i verde e deomiata A. Possiamo determiare la probabilità richiesta come rapporto di aree: Area A p Area T I base ai calcoli sviluppati i precedeza: o r : y 9 o s : y Itersechiamo le rette r e s co l asse ; otteiamo: o 9 0 9,0 R o 0,0 M 9,. 9 9 RS 9 u e che la distaza del puto M dall asse è h u otteiamo: AreaT u A. Ioltre, l itersezioe tra r e s è il puto Dal mometo che Per determiare l area colorata i verde i figura dobbiamo trovare l area delle regioi A e 8 A è u triagolo rettagolo isoscele il cui cateto misura 9u Area A A è u trapezoide delimitato dagli assi cartesiai e dal grafico della fuzioe 9 u. f. L esisteza di uo zero della fuzioe è garatita dal teorema degli zeri delle fuzioi cotiue, i quato f è cotiua (fuzioe algebrica razioale itera) ed assume valori di sego opposto agli estremi dell itervallo, : o f 8 9 o f L uicità dello zero reale della fuzioe è garatita dal fatto che il miimo relativo di f ha ordiata Si verifica facilmete che lo zero cercato o è itero; i possibili zeri iteri soo ifatti da ricercarsi tra i divisori del termie oto:,, 9. Utilizzado ua calcolatrice si ottiee facilmete: o f f 9 o f o f 9 79 o f 9 7 o è emmeo u umero razioale, dal mometo che il coefficiete domiate del poliomio è. possiamo cercare mediate u metodo di approssimazioe (ad esempio il metodo di bisezioe).

17 Cocludedo: il valore dello zero cercato è approssimativamete Area A 9 d Possiamo quidi stimare l area della regioe A per differeza: La probabilità che u puto, corrispodete al 8.85%. Area A Area T Area A Area A.... P y, preso a caso all itero di T, si trovi al di sopra di è all icirca: P P Area A p Area T PUNTO 4 Nella figura è evideziato u puto N e u tratto del grafico. La retta ormale a i N (vale a dire la perpedicolare alla retta tagete a i quel puto) passa per l origie degli assi O. Il grafico possiede tre puti co questa proprietà. Dimostra, più i geerale, che il grafico di u qualsiasi poliomio di grado 0 o può possedere più di puti ei quali la retta ormale al grafico passa per l origie. Cosideriamo la fuzioe N a; a a 9 : f e troviamo l equazioe della sua ormale el puto 9 o Il coefficiete agolare della tagete i N è m f ' a a o Il coefficiete agolare della ormale i N è m ' f a a l equazioe della ormale è: y a a 9 a a Il testo del problema afferma che tale retta passa per l origie O del riferimeto cartesiao; pertato: a a a 9 a a a 9 a a a a 9a a a a 7a a a 9 a 0 a 4a 7a a 9 0 Per determiare le coordiate dei puti che hao questa proprietà dovremmo risolvere l equazioe precedete. I realtà, il testo del problema o chiede di determiarli, ma si limita ad affermare che soo tre. Quel che ci è richiesto esplicitamete di fare è verificare che il grafico di u qualsiasi poliomio di grado o può possedere più di puti ei quali la retta ormale passa per O. Si veda ache l osservazioe al termie dello svolgimeto del problema. 4

18 Per farlo osserviamo che l equazioe della retta ormale el puto y f è: Affichè la ormale passi per l origie, dev essere: f a f ' a cioè y f a f ' a a a f a f N a, f a al grafico della fuzioe a 'a f a f ' a a (*) Cosideriamo ora l equazioe (*); il primo membro è sostazialmete il prodotto tra f a e f ' a, cioè tra u poliomio di grado ed uo di grado. Pertato, la (*) è u equazioe di grado che, per il Teorema Fodametale dell Algebra, ammette al massimo radici reali (corrispodeti ai puti di cui parla il testo). OSSERVAZIONE: No sarebbe particolarmete difficile mostrare, da u puto di vista qualitativo, che l equazioe a a a 9 a ammette tre zeri reali. Sarebbe sufficiete, ifatti, cofroto tra i grafici delle fuzioi y (curva rossa i figura) e y 9 (curva blu). 5

19 SOLUZIONE QUESITI N. Dimostrare che il volume di u cilidro iscritto i u coo è miore della metà del volume del coo. Cosideriamo il coo di vertice V e raggio di base AB R ed il cilidro, coassiale co il coo, di raggio di base r, variabile da 0 a R. Osserviamo che i triagoli rettagoli VDC e VAB soo simili dal mometo che hao i comue l agolo acuto V. Per la similitudie risulta VD : VA CD : AB Idicata co h l altezza del coo e co h ' quella del cilidro, risulta: VD h h' Pertato: h h' : h r : R da cui h R r hr h h' R h' R Per dimostrare che il volume del cilidro iscritto el coo è miore della metà del volume del coo, determiiamo il valore della variabile r che massimizza il volume cilidro e verifichiamo che tale valore massimo è iferiore alla metà del volume Il volume del cilidro vale: h h V r AB AC r R r Rr r R R Pertato: h V ' r rr r 0 rr r 0 R Il massimo volume del cilidro si ottiee, quidi, per k R e vale: h Vma V R R R R h R L affermazioe da dimostrare è vera se e solo se: V c 4 4 Vma R h R h 4 < che è effettivamete vera. N. 6 Vc R h del coo. V r del Si dispoe di due dadi uguali o bilaciati a forma di tetraedro regolare co le facce umerate da a 4. Laciado ciascuo dei due dadi, la probabilità che esca è il doppio della probabilità che esca, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca 4. Se si laciao i due dadi cotemporaeamete, qual è la probabilità che escao due umeri uguali tra loro? Idicata co p la probabilità che esca 4, i base alle ipotesi date risulta: P P 4 p P P 4 p o o o Per le proprietà delle distribuzioi di probabilità risulta: P P 8 p

20 p p 4 p 8 p 5 p p 5 Otteiamo, quidi, per ciascu dado la seguete distribuzioe di probabilità: X 4 p Cosideriamo, quidi, l eveto A: escoo due umeri uguali. Osserviamo che laciado i due dadi si ottegoo come risultati delle coppie ordiate di umeri iteri; pertato possiamo affermare che A, ;, ;, ; 4,4. Se idetifichiamo co D i la variabile che idica il risultati uscito sul dado i, la coppia, idica che D D, ecc. Dal mometo che gli esiti dei laci dei due dadi soo idipedeti, possiamo cocludere che: o P, 8 5 o P, 4 5 o P, 5 o P4,4 5 Cocludedo: 8 4 P A P, P, P, P4, % N. Determiare i valori di k tali che la retta di equazioe y 4 k sia tagete alla curva di equazioe y 4 5. Affichè la retta y 4 k sia tagete alla curva che o y' a 4, cioè: a : o y a 8a 4 a 8a y il puto di tageza è T, 7 7 Sostituedo le sue coordiate ell equazioe della retta otteiamo: k 67 k 7 a : y il puto di tageza è T, Sostituedo le sue coordiate ell equazioe della retta otteiamo: 8 k k el suo puto di ascissa a è ecessario 7

21 N. 4 se e Cosiderata la fuzioe f 5 e cos lim f, giustificado adeguatamete le risposte forite., determiare, se esistoo, i valori di lim f e Ricordiamo che le fuzioi goiometriche se e cos soo periodiche e pertato o ammettoo limite per e per. Ioltre risulta: o se o cos Determiiamo, se esiste: lim f Dal mometo che la fuzioe espoeziale e e quidi. è crescete, possiamo cocludere che: se e e e per ogi lim e essedo la somma di ua fuzioe limitata co ua ifiita (per ). Ioltre la fuzioe deomiatore D 5 e cos è limitata (per ) e positiva, essedo la somma di ua fuzioe ifiitesima ( e ) ed ua limitata ( 5 cos, i cui valori soo sempre compresi tra 4 e 6). Coclusioe: se lim lim e f 5 e cos essedo il rapporto tra ua fuzioe ifiita ed ua limitata. Determiiamo, se esiste: lim f. se I base alle cosiderazioi precedeti possiamo affermare che I questo caso, però, la fuzioe 5 cos lim se e. D e è ifiita e positiva, essedo la somma di ua fuzioe ifiita positiva ( e ) ed ua limitata ( 5 cos, i cui valori soo sempre compresi tra 4 e 6). Applicado il Teorema di de l Hospital otteiamo: se se e se e lim f lim H lim 0 5 e cos e se dal mometo che, ragioado come i precedeza, si dimostra facilmete che: se o la fuzioe g se e è limitata o la fuzioe se h e è ifiita OSSERVAZIONE: I questo secodo caso, si sarebbe ache potuto procedere così: se e se e lim lim lim 0 5 cos e e se e 5 cos 5 cos e e e 8

22 poiché ache lim H lim 0 e e N. 5 Co ua staccioata luga metri si vuole recitare ua superficie avete la forma di u rettagolo sormotato da ua semicircofereza, come i figura: Determiare le dimesioi dei lati del rettagolo che cosetoo di recitare la superficie di area massima. Osservado la figura a fiaco, poiamo MB e BC y. La lughezza complessiva della staccioata è, quidi: y da cui si ricava facilmete y Codizioi geometriche sul problema: 0 dev essere, cioè y La superficie racchiusa dalla staccioata è: 4 S y... È facile otare che la fuzioe S è ua parabola co la cocavità rivolta verso il basso; pertato il suo massimo coicide co il suo vertice, se rispode alle codizioi geometriche. L ascissa del vertice è 0 0, 4 4 I tal caso: 4 y0 y Coclusioe: le dimesioi dei lati del rettagolo che cosetoo di recitare la superficie di area massima 4 soo AB m e BC y0 0.8m. 4 4 OSSERVAZIONI: Avremmo potuto risolvere il quesito studiado la cresceza della fuzioe S ' 4 0 S. Quidi la fuzioe S ammette il suo massimo per

23 N. 6 t Determiare l equazioe della superficie sferica S, co cetro sulla retta r : y t t tagete al z t piao : y z 4 0 T 4,0,. el puto Il cetro della sfera appartiee, oltre che alla retta r (come specificato dal testo), ache alla retta s per T perpedicolare al piao. Il vettore ortogoale al piao è v ; quidi la retta s ha equazioe vettoriale: 4 s : y 0 k z da cui ricaviamo l equazioe parametrica: 4 k s : y k z k Per itersecare tra loro le rette r e s ci basta osservare che, i base alla defiizioe della retta r, dev essere: y z Pertato: k 4 k 4k 4 k k k k C,,. Il cetro della sfera è, quidi: Il raggio della sfera è la distaza tra C ed il piao : 4 d u l equazioe della sfera è y z 4 ovvero y z y z 0. NOTE: ) Il problema dell itersezioe tra due rette può essere risolto ache partedo dalla loro espressioe come itersezioe tra piai. 0

24 Rappresetado le rette i questo modo si ottiee, ad esempio: y 4 y r : e s : y z z y L itersezioe tra le rette è forita dal sistema: y y y z 4 4 r s : 4 y y z z y y C,,. quidi il cetro della sfera è y z ) Ua volta trovato il cetro C della sfera, il raggio può essere calcolato ache come distaza tra due puti: r CT u METODO ALTERNATIVO: Osserviamo iazitutto che il cetro della sfera ha le coordiate parametriche C t, t, t. La sua caratteristica è di essere equidistate sia dal puto T che dal piao. t t t 4 o Distaza cetro/piao: d 4 u 9 4 o Distaza cetro/puto di tageza: Otteiamo quidi l equazioe: CT CT t 4 t t t 6t 7 d t 6t 7 4 t 6t 0 da cui si ottiee facilmete il cetro C,,. N. 7 t 0 t Determiare a i modo che a d sia uguale a 0. a Calcoliamo l itegrale a a a d a a a a a 4 a a a a a a a a Risulta quidi: a d 0 a a 4 0 a a 6 0 a 8 9 I valori cercati soo, quidi: a a a a 0 N. 8 I u gioco a due giocatori, ogi partita vita frutta puto e vice chi per primo raggiuge 0 puti. Due giocatori che i ciascua partita hao la stessa probabilità di vicere si sfidao. Qual è la probabilità che uo dei due giocatori vica i u umero di partite miore o uguale a?

25 Osserviamo iazitutto che l eveto A: uo dei due giocatori vice i u umero di partite miore o uguale a NON può essere tradotto semplicisticamete così: 0 successi i N prove, co N Ifatti co ua traduzioe del geere si potrebbe pesare che se uo dei due giocatori vice i udici partite, questo fatto possa realizzarsi ache perdedo l ultima partita e vicedoe le prime 0 (e questo fatto sembra escluso da alcui impliciti lasciati el testo). Idichiamo i due giocatori co G e G e calcoliamo la probabilità che G vica i o più di partite. Dal mometo che il miimo umero di partite da vicere per vicere il gioco è 0, l eveto A è l uioe dei segueti eveti, tra loro icompatibili: o A : 0 successi su 0 prove o A : 9 successi elle prime 0 prove ed u successo ell udicesima o A : 9 successi elle prime prove ed u successo ella dodicesima Per calcolare le probabilità richieste, applicheremo ache lo schema delle prove ripetute di Beroulli, co p q. Più precisamete: o P A p q 0 o Per calcolare la probabilità di A osserviamo che come già affermato elle prime 0 partite il giocatore e ha persa ua, vicedo però l udicesima; dal mometo che le sigole partite soo tra loro idipedeti possiamo scrivere: P A p q p o Ache i questo caso, il giocatore perde partite delle prime (altrimeti si ricade i uo dei casi precedeti) e vice la dodicesima; sfruttado acora ua volta l idipedeza delle sigole partite, possiamo scrivere: Otteiamo pertato: 9 P A p q p PG P A P A P A ovvero il.9%. Quella appea calcolata è la probabilità che G vica i o più di partite; co u ragioameto aalogo si trova che la probabilità che a vicere i o più di partite sia G è acora.9%, ed i due eveti soo chiaramete icompatibili. Coclusioe: P A PG PG cioè il.86%. N. 9 Soo dati, ello spazio tridimesioale, i puti A,,0, B,, e C,,. Dopo aver verificato che ABC è u triagolo equilatero e che è coteuto el piao di equazioe y z 4 0, stabilire quali soo i puti P tali che ABCP sia u tetraedro regolare

26 Per verificare che il triagolo ABC è equilatero è sufficiete mostrare che i vettori AB, AC e BC hao la stessa lughezza. I vettori soo: 0 o AB o AC 0 o BC 0 ed hao evidetemete tutti lughezza l u. Per verificare l apparteeza dei tre puti al piao è sufficiete sostituire le coordiate al piao e vedere se si ottiee u idetità: o VERO o 4 0 VERO o 4 0 VERO i tre puti appartegoo al piao. Per risolvere l ultima parte del quesito, ricordiamo che l altezza, i u tetraedro regolare, cade el baricetro della base. Calcoliamo, quidi, le coordiate del baricetro: 7 4 G,, la retta che cotiee il quarto vertice del tetraedro è perpedicolare al piao e passa per G. Il vettore ortogoale al piao è v la retta che cotiee i vertici P e P ha equazioe vettoriale:

27 7 y k z 4 da cui ricaviamo facilmete le coordiate parametriche del puto 7 4 P k, k, k. P è il quarto vertice del tetraedro se e solo se la sua distaza dai vertici del triagolo ABC è uguale a cioè, ad esempio: AP 8 k k k 8 k k k k k k k 8 0 k 0 k o Per k si ottiee P,, 4 o Per k si ottiee,,0 P 8 u METODO ALTERNATIVO: Cosideriamo il triagolo rettagolo VGC i figura e ricordado che CM l e che CG CM l otteiamo: h l l da cui 6 h l l Pertato la distaza del quarto vertice del tetraedro dal triagolo di base è 6 4 h AB u Ci basterà, allora, imporre che la distaza del puto P dal piao sia 4 u ; otteiamo l equazioe: 7 4 k k k k 4 4 A questo puto le coclusioi soo idetiche a quelle otteute i precedeza. N. 0 k 4 k Determiare quali soo i valori del parametro k per cui la fuzioe y e k dell equazioe differeziale y" y ' y 0. è soluzioe Derivado la fuzioe otteiamo: k o y ' k e o y" k e k 4

28 Sostituedo ell equazioe differeziale otteiamo: k k k k e k e e 0 k k k e 0 che dev essere verificata per ogi. k No potedo essere e 0, dalla legge di aullameto del prodotto otteiamo l equazioe: k k Pertato: k k 5

29 ESAMI DI STATO 08 sessioe ordiaria LICEO SCIENTIFICO COMUNICAZIONE e opz. SPORTIVA NOTA: Il testo della prova della sessioe ordiaria per il Liceo Scietifico della Comuicazioe, co opzioe sportiva, è quasi del tutto idetico a quello della corrispodete sessioe del Liceo Scietifico. Ci limiteremo, quidi, ad euciare e svolgere il problema ed i quesiti differeti. PROBLEMA Siao f : e g : rispettivamete le fuzioi parte itera e parte frazioaria (o matissa) di u umero. Tali fuzioi soo così defiite: f ma m m g f e Pertato, ad esempio, f, g 4,79 0,79.. A partire dalle defiizioi delle fuzioi f e g, mostra che per ogi si ha g delle fuzioi f e g determiado esplicitamete i loro puti di discotiuità e, evetualmete, i relativi salti.. Dopo aver verificato che la fuzioe g è periodica di periodo, calcola la media di g ell itervallo 0, 0. Disega i grafici qualsiasi sia, 0. Calcola ioltre la media di g ell itervallo 0,, e determia il limite a cui tale media tede per.. Calcola il volume del solido otteuto dalla rotazioe di 6 radiati itoro all asse della regioe di piao delimitata dai grafici di f e g ell itervallo,. 4. Stabilisci per quali valori dei parametri reali a, b, c, d la fuzioe h : defiita dalla legge: h a b se c d verifica le segueti codizioi mi g mi h, sup g ma h, h" h 0 Quate soo le fuzioi siffatte? QUESITI 9) Trovare l area R della regioe di spazio racchiusa dalla curva y, per 4 9. Sapedo ioltre che la retta di equazioe k divide R i due figure di ugual area, determiare il valore di k. 0) Verificare che, qualuque siao le costati reali e k, la fuzioe y ke se è la soluzioe dell equazioe differeziale y" y ' y 0. Trovare e k tali che questa fuzioe abbia u puto di massimo di coordiate 0,. mi g = miimo della fuzioe g, sup g = estremo superiore della fuzioe g, ma h = massimo della fuzioe h 6

30 Svolgimeto Problema Per comodità di scrittura, idichiamo co A m m ; per defiizioe, allora: f ma A g f. e Fissato arbitrariamete, sia ma A f. Per defiizioe dell isieme A risulta 0. Pertato: Verifichiamo ora che o può essere g. g 0 Se, per assurdo, lo fosse, si avrebbe Avremmo otteuto, quidi, u umero itero ed apparteete all isieme A e questo è assurdo, dal mometo che ma A. I base alle defiizioi date, la fuzioe f è ua fuzioe a gradii ; vale, ifatti, 0 per 0, per, e, più i geerale, vale per,, per ogi., vale Studiamo le discotiuità della fuzioe o Se f. Sia : risulta f ma A o Se 7 lim f risulta f ma A lim f Pertato ogi è puto di discotiuità di specie per la fuzioe. f ; il salto, i ogi caso, vale

31 Studiamo le discotiuità della fuzioe o Se risulta f ma A o Se g. Sia : lim g lim f risulta f ma A lim g lim f 0 Pertato ogi è puto di discotiuità di specie per la fuzioe. g ; il salto, i ogi caso, vale NOTA: Abbiamo preferito iterpretare il salto di ua fuzioe i u puto c come differeza tra il limite destro ed il limite siistro della fuzioe i c, come faceva Giuseppe Zwirer. Questa impostazioe, diversa da quella utilizzata ei testi cotemporaei 4, ci cosete di sapere se il grafico della fuzioe ha u salto verso l alto o verso il basso el suo puto di discotiuità di specie. Verificare che ua fuzioe che, detto T il periodo, per ogi T è il miimo umero reale positivo per cui ciò accade. Il testo suggerisce di verificare che la fuzioe che per ogi risulta g g g, di domiio D, è periodica è relativamete facile; basta ifatti cotrollare D risulta g T g. Più difficile è, i geerale, dimostrare che. Fissiamo arbitrariamete e poiamo risulta m ma k k Osserviamo che:. g è periodica di periodo T ; verifichiamo, pertato, m f ; i tal caso, per defiizioe della fuzioe f, k k Vd. G. Zwirer, Complemeti di Algebra e ozioi di Geometria Aalitica per i Licei Scietifici, IX Ed., CEDAM Ed., Padova (98), pagg Oggi il salto di ua fuzioe i c viee defiito come valore assoluto della differeza tra i due limiti destro e siistro i c. 8

32 Pertato risulta m ma k k f Risulta quidi:. g f m m f g I questo modo abbiamo verificato che la fuzioe è periodica e che è multiplo itero del suo periodo T. Questo o è sufficiete, però, per affermare che il periodo sia, cioè che sia il miimo umero positivo T per cui risulta g T g, per ogi. () Suppoiamo, ora, per assurdo che il periodo sia iferiore ad ; dal mometo che dev essere u multiplo itero del periodo T possiamo affermare che esiste,, tale che T. La () può essere quidi riscritta così: g g, per ogi. () I particolare la () dev essere vera per. Osserviamo che, essedo 0, risulta: o f f 0 o f f f e, dovedo essere ecessariamete, risulta 0 4 e quidi f f 0. Risulta, quidi: g f 0 metre g f 0 Pertato il umero T può essere periodo per la fuzioe se e solo se esiste u umero itero tale che 0, ma ciò è impossibile. Cocludedo: la fuzioe g è periodica di periodo. Ricordiamo che il valor medio di ua fuzioe Nel ostro caso dobbiamo calcolare f ell itervallo, v. m. b f a b a d a b è dato dal rapporto: 9

33 v. m. g d 0 () 0 Iterpretado geometricamete l itegrale che compare al membro della () possiamo affermare che il umeratore dell espressioe è la somma delle aree dei triagoli rettagoli isosceli di cateto uitario rappresetati i figura: Pertato: e quidi 0 g d g d 0 v. m. 0 Se cosideriamo, ivece, la fuzioe g ell itervallo 0 0,, il valor medio è g d v. m. ; (5) 0 il umeratore della (5) può essere iterpretato come l area di triagoli rettagoli isosceli di lato uitario, più quella di uo di lato u, come si vede el grafico seguete. Risulta pertato: 0 4 g d 8 8 e di cosegueza il valor medio di g ell itervallo 0, è: 4 g d M 8 4 Calcoliamo ora il limite cui tede tale media per : 4 lim M lim 4 4 0

34 Cosideriamo iazitutto le restrizioi all itervallo o f 0, delle fuzioi f e g: o g Dobbiamo calcolare il volume del solido geerato dalla rotazioe della regioe colorata di verde ella figura precedete. Allo scopo, osserviamo che ua rotazioe di rad corrispode ad di giro completo. 6 Pertato il volume richiesto è di quello di u solido costituito dall accostameto di u troco di coo co u cilidro cavo, avete la base coicidete co la base maggiore del troco di coo. La cavità del cilidro è u coo di altezza h u e raggio di base r u ; il cilidro ha raggio R u ed altezza h ed, ifie, il troco di coo ha raggi R e r ed altezza h.

35 Il volume del troco di coo è 7 V hr R r r u 4 4 Il volume del cilidro pieo è V R h u Ifie, il volume della cavità coica è V r h u 4 4 Pertato il volume del cilidro cavo vale V4 V V u 4 4 e quidi il volume totale del solido itero è 7 8 V5 V V4 u Dividedo per otteiamo il volume richiesto: V5 V u 4 6 Può essere utile osservare, da agolazioi diverse, la forma del solido richiesto, rappresetata elle immagii segueti. SOLUZIONE ALTERNATIVA: U metodo alterativo per il calcolo del volume del solido itero è basato sul calcolo itegrale. Vediamoe i dettagli. b Partedo dalla formula V d, che cosete di calcolare il volume del solido geerato dalla a rotazioe attoro all asse della porzioe di piao descritta dall asse stesso, dal grafico della fuzioe y e dalle rette a e b, possiamo scrivere: V d d d u

36 Cosideriamo la fuzioe h a bse c d o mi g 0 mi h 0 o sup g ma h. Aalizziamo, ua ad ua, le codizioi poste. Osserviamo iazitutto che o può essere é b 0 é c 0 altrimeti la fuzioe h sarebbe costate, cotro le ipotesi precedeti. Per fissare le idee, assumiamo azitutto che 0 b. Dal mometo che la fuzioe se c d come valore miimo ed come valore massimo risulta: b b c d b a b a bse c d a b se Affichè le due ipotesi precedeti risultio verificate dovrà essere: a b 0 a b Sommado membro a membro otteiamo a e sottraedo ricaviamo b, da cui a b Se, ivece, fosse b 0, i base alle ipotesi precedeti otterremmo: b b c d b da cui: se a b a bse c d a b I questo caso, affichè le due ipotesi precedeti risultio verificate dovrà essere: a b a b 0 Sommado membro a membro otteiamo a e sottraedo ricaviamo b, da cui a b ammette Per determiare il valore dei parametri c e d, dobbiamo quidi cosiderare due casi distiti. CASO : a b Impoiamo che la fuzioe h se c d risolva l equazioe differeziale h" h 0. o h' c cosc d o h" c se c d Sostituedo le espressioi ell equazioe differeziale otteiamo: c se c d se c d 0 c se c d se c d 0 c c d se 0 (6)

37 Dal mometo che la (6) dev essere vera per ogi, risulta ecessariamete c Per c la fuzioe cercata è se h d (7) Le fuzioi espresse dalla (7) soddisfao le ipotesi date per ogi d. Per c la fuzioe cercata è se h d (8) Ache le fuzioi espresse dalla (8) soddisfao le ipotesi date per ogi d. A titolo di esempio, rappresetiamo le fuzioi: h se e h se CASO : a b Impoiamo che la fuzioe h se c d risolva l equazioe differeziale h" h 0. o h' c cos c d o h" c se c d Sostituedo le espressioi ell equazioe differeziale otteiamo: c se c d se c d 0 c se c d se c d 0 c c d se 0 (9) Dal mometo che la (9) dev essere vera per ogi, risulta ecessariamete c Per c la fuzioe cercata è se h d (0) Le fuzioi espresse dalla (0) soddisfao le ipotesi date per ogi d. Per c la fuzioe cercata è 4

38 se h d () Ache le fuzioi espresse dalla () soddisfao le ipotesi date per ogi d. A titolo di esempio, rappresetiamo le fuzioi: h se e h4 se Coclusioe: Esistoo ifiite fuzioi h che soddisfao le ipotesi date. La loro espressioe geerale è: h se d, per ogi d OSSERVAZIONE IMPORTANTE: Abbiamo scelto di rappresetare i grafici di alcue fuzioi, sia el caso che el caso. È utile sottolieare che se, ad esempio, a b (caso ), la famiglia delle soluzioi del problema è costituita dalle fuzioi h se d ovvero h se d per ogi valore di d. L immagie seguete mostra, i blu, il grafico della fuzioe della fuzioe h se 4. h se 4 e, i rosso, il grafico Lasciamo (per esercizio) al lettore il compito di costruire i grafici delle fuzioi corrispodeti a d, sia el caso che el caso, per osservare aalogie e differeze. d e 6 5

39 QUESTIONARIO N. 9 NOTA: Rispetto ai quesiti proposti per la prova degli idirizzi Scietifici, vi soo alcue modifiche. Soo stati, ifatti, elimiati i quesiti. 6 e 9, che vertevao sulla geometria aalitica dello spazio, aticipado la umerazioe degli altri ed iseredo i quesiti segueti. Cosideriamo la fuzioe dall itegrale: f il cui grafico è rappresetato i figura. L area richiesta è data Atot d u Per completare la risposta, dobbiamo determiare il valore del parametro reale k i modo che le due aree colorate i figura valgao u, cioè che risulti: I base ai calcoli precedeti risulta pertato: k 4 k k 4 d k 5 k k 5 4 6

40 N. 0 Cosideriamo la fuzioe y ke se (*) e l equazioe differeziale omogeea y" y ' y 0. Per verificare che la fuzioe (*) è soluzioe dell equazioe differeziale idipedetemete dai valori di k e e calcoliamo le derivate prima e secoda e sostituiamo ell equazioe differeziale, verificado che si ottiee u idetità. o ' se y k e e cos ke cos se o " y ke cos se ke se cos ke cos se se cos ke cos Sostituedo le espressioi trovate el primo membro dell equazioe differeziale otteiamo: ke cos ke cos se ke se ke cos cos se se ke 0 0 per ogi. Abbiamo verificato, quidi, che la fuzioe (*) è soluzioe dell equazioe differeziale omogeea y" y ' y 0. Affichè la (*) abbia u massimo di coordiate 0, devoo essere verificate le codizioi (ecessarie, ma o sufficieti): 0 o y 0 ke se k se o y' 0 0 I base ai calcoli precedeti: 0 y' 0 ke cos se 0 k cos k se 0 k cos k se Osserviamo che la (*) risolve l equazioe differeziale y" y ' y 0. Pertato risulta: y" y' y I particolare, y y y ache sufficieti per avere u massimo i 0,. per ogi " 0 ' Cocludedo, le precedeti codizioi soo Poedo a sistema le due codizioi trovate otteiamo: k se k se k cos k se k cos Mettedo a rapporto le equazioi precedeti otteiamo: k se k cos tg, co 4 o Se, co, il sistema si riduce a 4 k k k 5 o Se m, co m, il sistema si riduce a 4 7

41 k k k OSSERVAZIONE: Osserviamo che i grafici delle fuzioi otteute ei due casi esamiati coicidoo. Ifatti, ricordado le formule per gli archi associati, possiamo scrivere: se se se se ovvero Nel primo caso risulta quidi: y ke se e se 4 ; el secodo, ivece, essedo: 5 se m se m se m se m risulta: 5 y ke se e se m 4 e se m e se 4 4 8

42 PROBLEMA U artigiao deve realizzare ua corice i cui iscrivere uo specchio di forma circolare. A partire da ua tavola quadrata di lato decimetri (approssimato alla secoda cifra decimale), adoperado ua macchia a cotrollo umerico (CNC), icide su ciascu lato ua decorazioe che rappreseta ua porzioe di curva goiometrica come si vede i figura. La macchia traccia sul lato giacete sull asse delle ascisse la curva descritta dalla fuzioe y k se 0, e k parametro reale positivo. La corice viee ruotata per realizzare la decorazioe su ciascu lato. (La 4 precisioe della macchia è di 0 m, quidi al di sopra della precisioe richiesta dalle misure della corice).. Per otteere la decorazioe, occorre che le curve su due lati cosecutivi si itersechio el loro puto di massimo più vicio al vertice della corice. Verifica che tale richiesta è soddisfatta per k. La decorazioe preseta delle foglie (colorate i grigio i figura ) i corrispodeza dei quattro vertici. L artigiao vuole rivestire queste quattro regioi co ua polvere ceramica. Determia l area, espressa i dm, della superficie da ricoprire. co 9

43 Voledo offrire ai clieti la possibilità di iserire ella corice uo specchio di dimesioi maggiori, l artigiao e realizza u altra co il lato delle stesse misure della precedete, ma co le quattro curve goiometriche che hao i comue solo i vertici della corice, così come i figura.. Verifica che per otteere ua decorazioe di questo tipo occorre impostare ella macchia CNC u valore di k compreso tra 0 e e che per k due decorazioi cosecutive soo tageti el vertice della corice. Determia, l area della parte di corice compresa tra i lati e le quattro curve goiometriche, ioltre, i fuzioe di k 0, esprimedola i dm.. L artigiao ha ovviamete l esigeza di offrire la corice a clieti che hao specchi circolari di dimesioi diverse. Determia i fuzioe del parametro k l area dello specchio tagete alle quattro curve goiometriche e stabilisci quidi l area miima e massima possibile dello specchio. U cliete, per cui è stata realizzata ua corice co k, chiede che la regioe compresa tra lo specchio e le quattro curve vega dipita co ua verice di cui l artigiao possiede u flacoe da 5 ml. 4. Dal mometo che co litro di verice è possibile coprire 6 m di superficie, la quatità a disposizioe è sufficiete per passare due mai di verice? Per quale valore di k la quatità di verice richiesta è massima? PROBLEMA Fissato u umero reale k > 0, si defiiscoo le fuzioi: k l e f k k k g e, i cui grafici soo idicati, rispettivamete, co F k e G k.. Verifica che, qualuque sia k > 0, le due fuzioi f k e g k soo tra loro iverse; defiite ioltre le fuzioi: k k e b gk fk a f g stabilisci se si verifica a b,.,. Idicata co r la retta di equazioe y, determia l equazioe della retta s, parallela a r e tagete al grafico F della fuzioe f l. Determia ioltre l equazioe della retta t, parallela a r e tagete al grafico G della fuzioe g e. Rappreseta i grafici F e G isieme alle rette s e t e stabilisci qual è la distaza miima tra u puto di F e u puto di G. f g possiede due soluzioi sapedo che, qualuque sia k > 0, gli evetuali. Verifica che l'equazioe puti d'itersezioe tra il grafico F k e il grafico G k coicidoo co i puti di itersezioe tra uo qualsiasi di tali grafici e la retta di equazioe y. Stabilisci ioltre per quali valori k > 0 i grafici F k e G k soo secati, per quali valori soo disgiuti e per quale valore essi soo tageti. 4. Sia A la regioe limitata compresa tra i grafici F e e G e e gli assi cartesiai. Determia l'area di A ed il volume del solido geerato ruotado A attoro a uo degli assi cartesiai. QUESTIONARIO. Cosiderati el piao cartesiao i puti A 0,0 e B,0, sia R la regioe piaa delimitata dal segmeto AB e dall arco di curva avete equazioe y 4se, co 0. Calcolare il massimo perimetro che può avere u rettagolo iscritto i R avete u lato coteuto el segmeto AB. 40

44 ell itervallo [p, p] e, detto il suo grafico, sia t la retta tagete a el suo puto di ascissa p. Determiare, al variare di p, le aree delle due parti i cui la retta t divide la regioe fiita di piao compresa fra e l asse delle ascisse. C,, tagete al piao di equazioe. Si cosideri la fuzioe f. Determiare l equazioe della superficie sferica di cetro y z 0 e le coordiate del puto di cotatto tra la superficie sferica e il piao. 4. Verificare che cos d cos d per 4 cos d e usare questo risultato per calcolare 5. Si lacia volte u dado regolare a sei facce. Qual è il più piccolo valore di tale che la probabilità che o esca mai il umero sia miore dello 0,0%? 6. Data la fuzioe y a b, determiare il valore dei coefficieti a e b per i quali il grafico della fuzioe è tagete el puto di ascissa alla retta di equazioe y Date le curve e di equazioi rispettivamete y e y 8 9, sia t la retta che è tagete a etrambe. Stabilire l area della regioe piaa di area fiita che è delimitata da, e t. 8. Ua variabile casuale, a valori ell itervallo [0, 0], è distribuita secodo la desità di probabilità data dalla fuzioe. 0 4 f 0 Stabilire il valore medio e il valore mediao di questa variabile casuale.,, 0,, B,,0. 9. Determiare il luogo geometrico dei puti P y z equidistati dai puti A e 0. Verificare che la fuzioe y e se è soluzioe dell equazioe differeziale y" y ' y 0. 4

45 Liceo Scietifico - S. A - S. S Sessioe Suppletiva SVOLGIMENTO PROBLEMA U artigiao deve realizzare ua corice i cui iscrivere uo specchio di forma circolare. A partire da ua tavola quadrata di lato decimetri (approssimato alla secoda cifra decimale), adoperado ua macchia a cotrollo umerico (CNC), icide su ciascu lato ua decorazioe che rappreseta ua porzioe di curva goiometrica come si vede i figura. La macchia traccia sul lato giacete sull asse delle ascisse la curva descritta dalla fuzioe y k se 0, e k parametro reale positivo. La corice viee ruotata per realizzare la decorazioe su ciascu lato. 4 (La precisioe della macchia è di 0 m, quidi al di sopra della precisioe richiesta dalle misure della corice). Puto Per otteere la decorazioe, occorre che le curve su due lati cosecutivi si itersechio el loro puto di massimo più vicio al vertice della corice. Verifica che tale richiesta è soddisfatta per k. La decorazioe preseta delle foglie (colorate i grigio i figura ) i corrispodeza dei quattro vertici. L artigiao vuole rivestire queste quattro regioi co ua polvere ceramica. Determia l area, espressa i dm, della superficie da ricoprire. co La fuzioe se co 0, y k e co parametro k 0 ha periodo π. k se per 0, y k se k se per 4

46 Cosideriamo la fuzioe y k se, co 0 e la sua simmetrica k se y rispetto alla retta y, bisettrice del primo e terzo quadrate, che rappreseta il primo arco di siusoide sull asse y. I grafici delle due curve si itersecao sull asse di simmetria; verifichiamo che tale puto di itersezioe è il puto di massimo più vicio al vertice della corice. Calcoliamo la derivata prima delle due fuzioi: o y ' k cos y = 0 per = (puto di massimo della siusoide); sostituedo tale valore ella fuzioe y = k se si ottiee il massimo di coordiate ; k; o = k cosy = 0 per y = (puto di massimo della siusoide); sostituedo tale valore ella fuzioe = k sey si ottiee il massimo di coordiate k;. I due massimi coicidoo se k = e quidi la curva y = k se co 0 icotra la sua simmetrica, = k sey co 0 y, i P = ;. I due archi si itersecao ache i O = (0; 0), origie del sistema di riferimeto cartesiao. I cosiderazioe della simmetria tra le due curve, l area di ciascua regioe i corrispodeza dei vertici del quadrato è il doppio di quella racchiusa tra la fuzioe y = se() e la retta y = ell itervallo 0;, rappresetata dalla zoa colorata i giallo ella figura seguete. Pertato, dall osservazioe della figura, si deduce che l area delle quattro foglie colorate i grigio, è uguale a otto volte l area della zoa gialla e quidi risulta: A = 8 π se d = 8 π cos = 8 π 8 + π = 4π π dm.70 dm = 4

47 Puto Voledo offrire ai clieti la possibilità di iserire ella corice uo specchio di dimesioi maggiori, l artigiao e realizza u altra co il lato delle stesse misure della precedete, ma co le quattro curve goiometriche che hao i comue solo i vertici della corice, così come i figura. Verifica che per otteere ua decorazioe di questo tipo occorre impostare ella macchia CNC u valore di k compreso tra 0 e e che per k due decorazioi cosecutive soo tageti el vertice della corice. Determia k 0,, l area della parte di corice compresa tra i lati e le quattro curve goiometriche, ioltre, i fuzioe di esprimedola i dm. Nella uova corice co le dimesioi uguali alla precedete, ma avete lo scopo di racchiudere uo specchio più grade, i primi archi sull asse e sull asse y, si devoo icotrare solo ell origie degli assi e i questo puto devoo essere etrambi tageti alla retta y =. Quidi il coefficiete agolare della retta tagete ell origie alla curva y = k se è y = k cos e ell origie è y = k. Aalogamete = kcosy e ell origie è = k. La retta tagete deve essere la retta y= quidi le tageti ai due rami coicidoo co la bisettrice del primo e del terzo quadrate per k e quidi le curve sull asse hao equazioe y = se e sull asse y, = sey. Per k > i due primi archi sull asse e sull asse y hao due puti i comue e per 0 < k < hao i comue solo l origie degli assi, come mostra l immagie seguete: 44

48 Per k = 0, la decorazioe sparisce e lo specchio circolare è tagete ai lati del quadrato. L area della parte della corice compresa tra i lati del quadrato e le quattro curve goiometriche è volte l area della regioe compresa tra il grafico della fuzioe y = k se e l asse delle ell itervallo [0, π]: Area k se d k se d k cos k cos cos0 k 4 k dm Puto L artigiao ha ovviamete l esigeza di offrire la corice a clieti che hao specchi circolari di dimesioi diverse. Determia i fuzioe del parametro k l area dello specchio tagete alle quattro curve goiometriche e stabilisci quidi l area miima e massima possibile dello specchio. Il diametro dello specchio è d = π k e quidi il raggio sarà r = Derivado si ottiee A = π sego della derivata prima si ha A > 0 se π k A = π dm ( )= π(π k) Area è crescete per k > π e decrescete per 0 k π. 45 ; l area dello specchio sarà che si aulla per k = π. Studiado il k π > 0, cioè per k > π ; e segue che la fuzioe Quidi ell itervallo che ci iteressa 0 k, la fuzioe avrà massimo per k = 0 e miimo per k = ; il valore massimo dell area sarà pertato A = π dm dm e il valore miimo dell area sarà π dm 4. dm. Si poteva giugere agli stessi risultati, teedo coto del fatto che al valore massimo che può assumere k, k =, corrispode il valore miimo dell area; metre al valore miimo di k, k = 0, corrispode il valore massimo dell area. Puto 4 U cliete, per cui è stata realizzata ua corice co k, chiede che la regioe compresa tra lo specchio e le quattro curve vega dipita co ua verice di cui l artigiao possiede u flacoe da 5 ml. Dal mometo che co litro di verice è possibile coprire 6 m di superficie, la quatità a disposizioe è sufficiete per passare due mai di verice? Per quale valore di k la quatità di verice richiesta è massima? L area da vericiare sarà data dall area del quadrato, dimiuita dell area della zoa compresa tra le quattro curve e i lati del quadrato e dell area dello specchio. Calcoliamo il valore di quest area: A = 9π 4k π per k = si ottiee : A = 9π 4 π.5 dm Per dare mai occorre ricoprire ua superficie doppia, uguale ad.5 dm = 4.04 dm Poiché co litro di verice si riesce a vericiare 6m = 600 dm, quata verice occorre per ricoprire la superficie richiesta? La seguete proporzioe permette di trovare la quatità di verice ecessaria per ricoprire la superficie richiesta: l 600dm = 0.5l A disposizioe è sufficiete. A =. La superficie da vericiare i fuzioe di k è data dalla seguete espressioe: A(k) = 9π π k 4k π = 75 dm la quatità di verice a Vegoo date due mai; la superficie da vericiare è quidi A(k) = 9π 4k π, che assume valore massimo quado è massima A(k)=9π 4k π.

49 Sviluppado, svolgedo i calcoli e ordiado secodo le poteze decresceti di k si ottiee: A(k) = π k + (π 8) k + 9π 9 4 π Si rileva che l area, espressa i fuzioe di k, è ua fuzioe di secodo grado il cui grafico è ua parabola co la cocavità rivolta verso basso. Pertato il valore massimo di k si avrà el vertice, cioè i k = = = Il valore di k così trovato è accettabile i quato è compreso tra 0 k. PROBLEMA Fissato u umero reale k > 0, si defiiscoo le fuzioi: k l e f k k k g e, i cui grafici soo idicati, rispettivamete, co F k e G k.. Verifica che, qualuque sia k > 0, le due fuzioi f k e g k soo tra loro iverse; defiite ioltre le fuzioi: a f g b g f, Puto stabilisci se si verifica a() = b(), R. Le fuzioi f k l k e k k soo defiite i R e assumoo valori i R, f (): R R, qualuque sia il valore di k > 0. I grafici F k di tali fuzioi soo tracciati, per alcui valori di k, ella figura Fig.. Le fuzioi f, come si deduce ache dalla lettura del grafico, soo iiettive, suriettive e pertato biuivoche e quidi ivertibili. Aalogamete le fuzioi k k k g e soo defiite i R e assumoo valore i R, g (): R R, qualuque sia il valore di k > 0. I grafici G k di tali fuzioi soo tracciati, per alcui valori di k, ella figura Fig.. Le fuzioi g, come si può dedurre ache dal grafico, soo iiettive, suriettive e pertato biuivoche e quidi ivertibili. Le fuzioi g, come si può dedurre ache dal grafico, soo iiettive, suriettive e pertato biuivoche e quidi ivertibili. k Determiiamo le rispettive fuzioi iverse scambiado per ciascua il domiio co il codomiio. L iversa di y = kl() si ottiee esplicitado la rispetto alla y: = l( ) = e 46

50 Scambiado la co la y si ottiee y = e, equazioe che rappreseta la fuzioe g () = e ; quidi f = g. I modo aalogo si procede per determiare l iversa di y = e : = l(y) = kl(y) Scambiado la co la y y = f () = kl(); quidi g = f. Tuttavia il testo richiedeva, molto più semplicemete, di verificare che f k e g k soo l ua iversa dell altra. Ricordiamo che, i geerale, se f e g soo l ua iversa dell altra la loro composizioe è uguale all idetità: f g = g f = I dove la fuzioe I ha equazioe y =. Verifichiamo quato richiesto: a() = f g () = kl e = k =, R b() = g f () = e () = e () =, > 0 Le due fuzioi soo effettivamete l ua iversa dell altra, ma o è verificata l uguagliaza a() = b() i quato, come emerge dalla verifica, a() è defiita i R e b() i R. Puto Idicata co r la retta di equazioe y, determia l equazioe della retta s, parallela a r e tagete al grafico F della fuzioe f l. Determia ioltre l equazioe della retta t, parallela a r e tagete al grafico G della fuzioe g e. Rappreseta i grafici F e G isieme alle rette s e t e stabilisci qual è la distaza miima tra u puto di F e u puto di G. Sia r l equazioe della retta y = ; determiiamo l equazioe della retta s parallela a r e tagete alla fuzioe f () = l(). La retta s ha coefficiete agolare m = f ( )=, dove è l ascissa del puto di tageza. Dovedo essere m =, sarà = e quidi = f() = l il puto di tageza che, chiamiamo P, avrà coordiate P = (; l). L equazioe della retta tagete sarà s : y l = y = + (l ). l ; quidi le due fuzioi soo simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrate. Pertato l equazioe t tagete a g si ottiee da quella di s mediate simmetria rispetto alla retta y =. Per quato rilevato precedetemete, la fuzioe g e è la fuzioe iversa di f t : = y + l y = + ( l) Il puto di cotatto alla curva g () avrà coordiate Q = (l; ). Rappresetiamo i grafici F, G isieme alle rette s e t e la retta y =, asse di simmetria dei due grafici F e G. 47

51 Stabiliamo adesso la miima distaza tra u puto di F e u puto di G. La miima distaza richiesta, come si può vedere ache dal grafico precedete, o è altro che la distaza tra le due rette parallele s e t che equivale alla distaza tra i puti di tageza P = (; l) e Q = (l; ), simmetrici rispetto alla retta y =. PQ = ( l) + (l ) = ( l) = 8 ( l) = = ( l)u 0.87 u rispetto ad ua uità di misura prefissata, idicata co u. Puto Verifica che l'equazioe f g possiede due soluzioi sapedo che, qualuque sia k > 0, gli evetuali puti d'itersezioe tra il grafico F k e il grafico tali grafici e la retta di equazioe y. Stabilisci ioltre per quali valori k > 0 i grafici F k e per quali valori soo disgiuti e per quale valore essi soo tageti. L equazioe G k coicidoo co i puti di itersezioe tra uo qualsiasi di f g l() = e G k soo secati, forisce le ascisse degli evetuali puti di itersezioe tra i grafici F e G delle curve defiite dalle fuzioi f e g. Poiché le due curve soo simmetriche rispetto alla retta y =, gli evetuali puti comui ai due grafici soo puti uiti ella simmetria rispetto alla retta y = e quidi le loro evetuali itersezioi coicidoo co le itersezioi di ua qualuque delle due curve, ad esempio y = l(), co la retta y =. Rappresetiamo sul piao cartesiao la fuzioe y = l() che si ottiee da y l mediate ua dilatazioe di fattore e la bisettrice del primo terzo quadrate y =. Osserviamo che i puti comui a F e alla retta y = soo effettivamete due e che pertato l equazioe l() = e possiede soluzioi. Ifatti rileviamo che: o per < il grafico della retta si trova al di sopra del grafico della fuzioe logaritmica; y e l e ed il corrispodete puto sulla o per = e la fuzioe logaritmica assume valore retta ha ordiata e; pertato la retta si trova al di sotto della fuzioe logaritmica e le due curve si icotrao i u puto [; e]; 48

52 o per = e il puto sulla retta ha ordiata y = e, metre il corrispodete puto sulla fuzioe logaritmica ha ordiata y = l( e ) = 6 e quidi la retta si trova uovamete al di sopra della fuzioe logaritmica e quidi le due fuzioi si itersecao di uovo i u puto [e; e ]. Verifichiamo co gli elemeti dell aalisi ifiitesimale quato dedotto dalla lettura del grafico. Si tratta di risolvere il sistema y = l() y = la cui equazioe risolvete è l() = 0. Cosideriamo la fuzioe h() = l(), che è fuzioe cotiua e derivabile per ogi, 0. La cotiuità ci permette di applicare il teorema di esisteza degli zeri per determiare le evetuali soluzioi dell equazioe. La derivabilità cosete, mediate lo studio della mootoia della fuzioe h(), di stabilire la umerosità delle soluzioi. Calcoliamo la derivata prima di h(): h () = = Studiamo il sego di h (): essa è positiva per 0 e egativa per e quidi la fuzioe h() è mootoa crescete per 0 e mootoa decrescete per e per = la fuzioe h() possiede u massimo el puto R(; l() ). Adesso per applicare il teorema dell esisteza degli zeri, scegliamo u itervallo chiuso i cui la fuzioe sia cotiua e mootoa. o La fuzioe h() assume valori di sego opposto agli estremi dell itervallo [; e]. Si ha: h() = < 0 e h(e) = e > 0, quidi esiste u puto [; e] per il quale h() = 0 e tale puto è uico poiché la fuzioe i questo itervallo è mootoa crescete. o Cosideriamo poi l itervallo [4; e ]. La fuzioe h() assume valori di sego opposto egli estremi dell itervallo; risulta ifatti: h 4 l h e 6l e e 6 e

53 Pertato ache i questo itervallo la fuzioe ammette uo zero che è uico, perché la fuzioe è f g ammette due soluzioi e i grafici F e G si mootoa decrescete. Quidi l equazioe icotrao i due puti, comui ache alla retta y =. Per studiare le itersezioi tra i grafici di F k e G k, seguedo quato fatto iizialmete, coviee studiare le itersezioi tra ua delle curve, ad esempio y = kl(), e la retta y =. Iazitutto stabiliamo per quale valore di k > 0 la fuzioe logaritmica y = kl() e la retta y = risultao tageti. Per defiizioe, questo accade se e solo se esiste u puto della curva, di ascissa 0, tale che y' 0. Derivado otteiamo: k y' 0 k 0 0 L equazioe kl() = 0, che risolve il sistema y = kl() y = co k > 0 diveta k = kl(k), da cui lk = e quidi k = e. Ne segue che per k = e la fuzioe logaritmica è tagete alla retta y = el puto C di coordiate C = (e; e). Per k > e, F k taglia la retta y = k i due puti distiti e i grafici F k e G k soo secati. Per 0 < k < e, F k o ha alcu puto i comue co la retta y = e pertato i grafici hao puti i comue e soo disgiuti. Il grafico precedete illustra le varie situazioi. Puto 4 Sia A la regioe limitata compresa tra i grafici F e e G e e gli assi cartesiai. Determia l'area di A ed il volume del solido geerato ruotado A attoro a uo degli assi cartesiai. Il quadrilatero mistilieo DBAC, co D(0;0), B(0;), A(e;e) e C(;0), delimitato dal grafico F k e G k o F e della fuzioe y = el(), dal grafico Ge della fuzioe y = e e dagli assi cartesiai è diviso dalla retta y = i due zoe tra loro simmetriche. Pertato l area A della regioe idividuata dal quadrilatero DBAC è il doppio dell area del triagolo mistilieo DBA rappresetata el grafico sottostate dalla zoa colorata i giallo: A(DBAC) = A(DBA) 50

54 A = e d d = e d = e e = e e e = (e e) u Quidi l area della regioe compresa tra i grafici F e eg e e gli assi cartesiai è A = e eu.95u Calcoliamo il volume del solido geerato dalla rotazioe, ad esempio, attoro all asse della regioe delimitata dal quadrilatero mistilieo DBAC. 5

55 Tale volume, come si evice dall osservazioe del grafico precedete, è dato dalla somma dei volumi geerati dalla rotazioe attoro all asse, del quadrilatero mistilieo DBEC (zoa colorata i giallo) e del triagolo mistilieo EAC (zoa colorata i aracio). Ruotado la stessa regioe, quadrilatero mistilieo DBAC attoro all asse y, si ottiee u solido cogruete al precedete, a causa della simmetria della regioe rispetto alla bisettrice del e quadrate. Il volume richiesto è, quidi: e e e V e e d e e e l e e d e d e d e l d 0 0 Calcoliamo i segueti itegrali idefiiti: e e e e e e l 0 e d e d o e d e c o Itegrado per parti: l l d l d l l d l l d l l d l l l l c Pertato il volume di rotazioe è: e e e e e e l e l l 0 0 V e d e d e c e c e 0 e e e e e l e l e l l e e e 0 e e e e e e e e e 4e e u 0.6u 4 5

56 QUESTIONARIO ) Cosiderati el piao cartesiao i puti A(0,0) e B(π, 0), sia R la regioe piaa delimitata dal segmeto AB e dall arco di curva avete equazioe y = 4 si, co 0 π. Calcolare il massimo perimetro che può avere u rettagolo iscritto i R avete u lato coteuto el segmeto AB. Soluzioe. Se poiamo t =, co 0 t, si ha = π t, il perimetro del rettagolo è p(t) = + f(t) = (π t t) + (4 si t) = π 4t + 8 si t ; è sufficiete massimizzare la fuzioe g(t) = 8 si t 4t, co 0 t ; la derivata prima è g (t) = 8 cos t 4 = 4( cos t ) e si aulla i t = 0;, è positiva per 0 < e egativa per <. Il perimetro massimo, pertato, è p π = π 4 π + 8 si π = π 4 π + 8 = π + 4. ) Si cosideri la fuzioe f() = ell itervallo [p, p] e, detto Γ il suo grafico, sia t la retta tagete a Γ el suo puto di ascissa p. Determiare, al variare di p, le aree delle due parti i cui la retta divide la regioe fiita di piao compresa fra Γ e l asse delle ascisse. Soluzioe. Si osserva prima di tutto che il parametro p è positivo. La retta tagete al grafico della fuzioe el suo puto di ascissa p ha equazioe cartesiaa y = p + f (p) ( p) y = p + p ( p) y = p + p ed iterseca l asse delle ascisse i B(p, 0). L area del sottografico (ossia del trapezoide ABQP) compreso tra l asse e le due rette verticali = p e = p è uguale a f() d = d = [l ] = [l ] = l p l p = l p p = l. 5

57 L area del triagolo APB è pari a area(apb) = AB AP = p p =. L area della regioe di piao (triagolo mistilieo PBQ) compresa tra la curva, la retta tagete e la retta = p è pertato uguale a area(pbq) = l 0,9 NOTA: è iteressate osservare che le aree richieste soo idipedeti dal valore di p; questo si può tradurre dicedo che la tagete i P ha la proprietà di tagliare l area del sottografico compreso tra l asse e le due rette verticali = p e = p i due regioi di area costate. ) Determiare l equazioe della superficie sferica di cetro C(,,) tagete al piao di equazioe y z 0 e le coordiate del puto di cotatto tra la superficie sferica e il piao. Soluzioe. Determiiamo prima di tutto il puto di cotatto richiesto osservado che coicide co la proiezioe ortogoale H del cetro C(,,) sul piao y + z = 0 : itersechiamo tale piao co la retta passate per C ed avete direzioe (,,): y + z = 0 = + t y = t z = + t t = = y = z = 4 quidi H(,,4). Il raggio della sfera è dato dalla lughezza del segmeto di estremi C, H: r = CH = ( ) + ( + ) + ( 4) = = e la sfera ha equazioe cartesiaa ( ) + (y + ) + (z ) =. 54

58 4) Verificare che cos d = per > e usare questo risultato per calcolare cos d. cos d Soluzioe. Itegrado per parti si ha cos d = cos cos d = = si cos si ( ) cos ( si ) d = = si cos + si ( ) cos d = = si cos + ( cos ) ( ) cos d = = si cos + ( ) cos d + ( ) cos d ; itegrado da 0 a e quidi si ha cos d = [si cos ] / + ( ) cos d + ( ) cos = 0 + ( ) cos d + ( ) cos cos d = ( ) cos d + cos d cos d d d = semplificado si ottiee cos Poedo = 4 si ha d = ( ) cos d cos d = cos d. 55

59 cos e poedo = si ricava i defiitiva abbiamo d = 4 4 cos d cos d = 4 cos cos d = cos d cos d = d = π 4 ; cos d = 4 cos d = 4 π 4 = π 0, ) Si lacia volte u dado regolare a sei facce. Qual è il più piccolo valore di tale che la probabilità che o esca mai il umero sia miore dello 0,0%? Soluzioe. La probabilità che, i u sigolo lacio, esca il umero è p =. La probabilità che, i u sigolo lacio, o esca il umero è p = =. La probabilità che i laci o esca mai il umero è uguale a ( p) =. Si tratta allora di risolvere la disequazioe ( p) < 0, < 0 > log(0 ) 50,5 e quidi il miimo umero di laci, dovedo essere u umero aturale, è uguale a 5. 6) Data la fuzioe y = a + b, determiare il valore dei coefficieti a e b per i quali il grafico della fuzioe è tagete el puto di ascissa = alla retta di equazioe y = 7 9. Soluzioe. Il puto T di tageza ha ascissa = e ordiata y = 7 9 =. Il grafico della fuzioe f() = a + b deve passare da T, quidi si ha = a + b a + b =. A questo puto resta da imporre la codizioe f () = 7. Se a + b 0, la codizioe a + b = diveta a + b = e la fuzioe f(), i u itoro di =, assume la forma f() = (a + b), ossia f() = a + b ; essedo f () = a + b, la codizioe f () = 7 porta a a + b = 7 a + b = 7 ; ricordado che a + b = e risolvedo il sistema a + b = 7 a + b = si giuge alla soluzioe a = b =. Se a + b < 0, la codizioe a + b = diveta a + b = e la fuzioe f(), i u itoro di =, assume la forma f() = ( a b), ossia f() = a b ; essedo f () = a b, la codizioe f () = 7 porta a a b = 7 a + b = 7 ; ricordado che a + b =, si trova a + b = 7 a + b = I defiitiva, i coefficieti che risolvoo il quesito soo a = b = è la stessa: f() =. a = b =. e a = b = d. I etrambi i casi la fuzioe 56

60 7) Date le curve γ e γ di equazioi rispettivamete y = + e y = 8 + 9, sia t la retta che è tagete a etrambe. Stabilire l area della regioe piaa di area fiita che è delimitata da γ, γ e t. Soluzioe. La geerica retta tagete i P(k, k + ) alla parabola y = + ha coefficiete agolare m f ' k k ; k la sua equazioe cartesiaa è pertato: y = k + + k ( k) y = k + k Tale retta risulta tagete alla parabola y = se e solo se il sistema y = y = k + k ammette due soluzioi coicideti. Si deve imporre cioè che l equazioe di secodo grado + ( k 8) k = 0 abbia il discrimiate ullo: = ( k 8) 4 (8 + k ) = 0 k + = 0 k = ; 57

61 co tale valore di k, l equazioe di secodo grado diveta = 0 ed ammette come uica soluzioe =. La retta tagete comue alle due parabole y = +, y = ha equazioe y = ed i rispettivi puti di tageza soo P(,) e Q(, 6). Per determiare il puto di itersezioe delle due parabole è sufficiete risolvere il sistema y = + y = = + y = = y = da cui il puto comue A(,). L area della regioe piaa compresa tra le curve e la tagete è uguale a [( + ) ( )] d + [( 8 + 9) ( )] d = = ( + + ) d + ( 6 + 9) d = ( = ( + ) d + ( ) + ) d = = = 6 5,. ( ) + = 8) Ua variabile casuale, a valori ell itervallo [0,0], è distribuita secodo la desità di probabilità data dalla fuzioe f() = 4, 0 58, < 0 Stabilire il valore medio e il valore mediao di questa variabile casuale. Soluzioe. Per prima cosa verifichiamo che f() d = : f() d = 4 d + d = + 9 = + 4 = =. Il valor medio della variabile aleatoria è dato dall itegrale f() d, quidi f() d = 4 d + = La mediaa è quel valore m per cui si ha poiché f() f() d = 4 d = 4 d + d = = = ,. d = f() d = ; d = = = 4 < possiamo affermare che < m < 0 e quidi basta risolvere l equazioe f() d = :

62 f() d = d = = 5 6 m = m = 4. 9) Determiare il luogo geometrico dei puti P(, y, z) equidistati dai puti A(0,,) e B(,,0). Soluzioe. Il puto P(, y, z) è equidistate da A(0,,) e da B(,,0), quidi ( 0) + (y ) + (z ) = ( + ) + (y ) + (z 0) elevado al quadrato e svolgedo i calcoli si ha + y y + + z 4z + 4 = y 4y z ; semplificado si ricava 6 y + 4z + 8 = 0 y + z + 4 = 0. PROCEDIMENTO ALTERNATIVO: Il piao richiesto è il piao assiale del segmeto di estremi A e B, ossia il piao che passa per il puto medio M,, e che ha AB = ( 0,, 0 ) = (,, ) come vettore ormale; la sua equazioe, pertato, è + + y (z ) = 0 + y z 4 = 0 e moltiplicado per (cambiado cioè di sego) si ritrova y + z + 4 = 0. 0) Verificare che la fuzioe y = e si è soluzioe dell equazioe differeziale y + y + y = 0. Soluzioe. Calcoliamo la derivata prima e la derivata secoda della fuzioe assegata: y = e si + e cos = e (cos si ) 59

63 y = e (cos si ) + e ( si cos ) = e ( cos ) = e cos. Sostituedo ell equazioe differeziale si ha y + y + y = e cos + e (cos si ) + e si = = e cos + e cos e si + e si = 0. 60

64 ESAMI DI STATO 08 sessioe suppletiva LICEO SCIENTIFICO COMUNICAZIONE e opz. SPORTIVA NOTA: Il testo della prova della sessioe ordiaria per il Liceo Scietifico della Comuicazioe, co opzioe sportiva, è quasi del tutto idetico a quello della corrispodete sessioe del Liceo Scietifico, fatta eccezioe per il problema seguete. PROBLEMA Sia dato u sistema di assi cartesiai Oy i cui l uità corrispode a metro. Ua particella putiforme si muove lugo l asse delle ascisse, el verso positivo, partedo dall origie, co ua velocità di metri al secodo. Quado la particella si trova i u geerico puto a, costruisci u triagolo prededo le tageti alla curva di equazioe y a ei puti di ascissa 0 e a. ) Determia l area del triagolo i fuzioe di a; quato vale l area del triagolo dopo 5 secodi? ) Dopo quati secodi il triagolo diveta equilatero? ) Esprimi i fuzioe di a l agolo θ formato dalle due tageti alla curva di equazioe y a ei puti di ascissa 0 e a; utilizzado l espressioe di θ i fuzioe di a, verifica la correttezza della risposta che hai forito al puto precedete. 4) Quado la particella si trova el geerico puto a, determia l area della superficie limitata superiormete dalle due rette tageti e iferiormete dalla curva di equazioe y a. Soluzioe Iiziamo co l osservare che la legge oraria di u moto rettilieo ed uiforme è 0 a t a v t. Nel caso i esame, la particella parte dall origie e si muove lugo l asse el verso delle 0 co velocità v m. Possiamo scrivere, pertato: s a t t 0 () Cosideriamo la parabola di equazioe y a ed i suoi puti di itersezioe co l asse : O 0,0 e Aa,0. Dal mometo che i due puti hao la stessa ordiata, si tratta di puti simmetrici rispetto all asse della parabola; ache le tageti cercate risulterao pertato simmetriche rispetto all asse della parabola. a Coviee, quidi, calcolare la tagete i O e ricavare l altra per simmetria rispetto alla retta, asse della parabola. 6

65 Dal mometo che y ' a risulta m a 0 a la tagete alla parabola i O ha equazioe y a. Per simmetria, la tagete alla parabola i A ha coefficiete agolare m' a la tagete i A ha y a a. equazioe Per simmetria, ioltre, le due tageti si icotrao sull asse della parabola; pertato il terzo vertice B del triagolo cercato è: a a a a B, y a a y la formula dell area del triagolo OAB è: a At a t at 8 t t 4 4 dopo 5 s l area del triagolo è: A t m () Il triagolo è equilatero se e solo se dimostrato i (). BH OA a. D altra parte a BH, per quato Pertato: a a a a 0 a a 0 Questo accade el caso baale a 0, che corrispode all istate iiziale t 0 0 s, ed ache quado a. Ricordado che at t otteiamo: () t t s Determiiamo l agolo formato dalle due tageti i O ed A alla parabola 6 y a. Per simmetria, gli agoli O e A soo uguali tra loro. Idicata co la loro ampiezza, per il teorema dell agolo estero risulta: e quidi possiamo scrivere, utilizzado la formula di duplicazioe della tagete:

66 tg tg tg tg [] tg Ricordado che, per quato calcolato al puto (), risulta tg a : a tg a e quidi a arctg a a Osserviamo che il triagolo è equilatero se e solo se a a a 0 6 a a 4 4 Ricordado che la particella putiforme si muove el verso delle 0, cioè che a 0, possiamo accettare solo la soluzioe a e tato basta per cofermare quato determiato al puto (). NOTA: Chi avesse dimeticato la formula di duplicazioe della tagete, ecessaria per dimostrare la [], può procedere ricorredo alle formule di addizioe e sottrazioe della tagete, i questo modo: tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg

67 (4) L area richiesta è quella del triagolo mistilieo OAB. Per calcolarla è sufficiete determiare l area del segmeto parabolico delimitato dalla parabola e dalla corda OA e sottrarla a quella del triagolo OAB Per determiare l area del segmeto parabolico utilizziamo il Teorema di Archimede; per poterlo fare ci servoo le coordiate del vertice della parabola. Ricordado che l asse ha equazioe a otteiamo a a a a yv y a. 4. Per il Teorema di Archimede, quidi: L area del triagolo OAB vale: a a A a 4 6 a a Area OAB a 4 Cocludedo, l area del triagolo mistilieo OAB vale: a a a A Area OAB A

68 PROBLEMA U produttore di cadelie tea light vuole produrre u uovo tipo di cadela colorata che abbia ua parte iferiore di forma cilidrica ed ua parte superiore avete la forma riportata i figura, che si coetta perfettamete a quella iferiore, come mostrato i figura : ) Stabilisci, motivado adeguatamete la risposta, quale delle segueti fuzioi può rappresetare adeguatamete il profilo della parte superiore della cadela: a se 0 a. y co a, a 0 a se a 0. y a i a, a co a, a 0. y a i a, a co a, a 0 Utilizzado l espressioe aalitica trovata, studia evetuali puti di sigolarità del profilo della parte superiore della cadela. ) Per cosetire l iserimeto dello stoppio al vertice della cadela, è ecessario che l agolo θ i figura o sia maggiore di 0. Determia di cosegueza i possibili valori del parametro a. ) Attribuedo all altezza e al raggio della parte cilidrica i valori rispettivamete di 8 e, i u opportua uità di misura, determia il volume totale della cadela. Da questo dato dipederao il peso e il costo di produzioe della cadela stessa Il produttore deve iscatolare le cadele i cofezioi da e da 4 cadele, posizioado le cadele i verticale, co le basi circolari disposte i modo da occupare il mior spazio possibile. Si prevedoo due possibili cofigurazioi per posizioare le basi circolari delle cadele all itero delle scatole, rappresetate i figura : 65

69 Cofigurazioe Cofigurazioe Figura 4) Forisci ua valutazioe umerica dell efficieza dei due cofezioameti, calcolado il rapporto tra area occupata dalle basi circolari delle cadele iserite ella scatola e area dispoibile i ciascua delle due cofigurazioi. Tale rapporto deve essere espresso i percetuale. Ai fii del calcolo, cosidera che le celle poligoali evideziate i grigio soo rispettivamete u triagolo equilatero e u quadrato. PROBLEMA Cosideriamo la fuzioe f :, così defiita: al variare di a, b, c parametri reali positivi. ) Verifica che, comuque si scelgao i parametri, si ha: f ' 0 b l f a e c, 66 f " 0. ) Verifica ioltre che, comuque si scelgao i parametri, la fuzioe f ha u asitoto orizzotale, per, e u asitoto obliquo, per ; determia a, b, c i modo che l asitoto orizzotale, per, si a la retta di equazioe y 0 e l asitoto obliquo, per, sia la retta di equazioe y. ) Dimostra che poedo a b c si ha: f e 4) Verifica ioltre che poedo a b c e detta A l area della parte di piao compresa tra il grafico della fuzioe h f e l asse del riferimeto cartesiao, si ha A Ioltre, a partire dalle caratteristiche del grafico della fuzioe grade possibile, tale che A S h, determia u umero reale S, quato più QUESTIONARIO. Si dispoe di due dadi uguali o bilaciati. Laciado ciascuo dei due dadi, le probabilità di uscita dei umeri,, e 4 soo pari a k, metre le probabilità di uscita dei umeri 5 e 6 soo pari a k. Determiare il valore di k e stabilire qual è la probabilità che, laciado i due dadi cotemporaeamete, escao due umeri uguali tra loro.. Determiare il raggio della sfera di cetro C(,, ) tagete al piao di equazioe: + y + z =.. Cosiderado la fuzioe f: R R defiita come: per 4 f 4 4 e per 4 determiare l agolo formato dalle tageti el puto agoloso del grafico della fuzioe. 4. Calcolare la derivata della fuzioe f() = se(), adoperado la defiizioe di derivata. 5. Determiare l area della superficie compresa tra il grafico della fuzioe: f le rette y =, = 5 e l asse y. 6. Determiare l equazioe della retta tagete al grafico della fuzioe: f e el suo puto di flesso.

70 7. La variabile casuale ha desità di probabilità data dalla fuzioe per 0, 7 f per, ; per, determiare la media e la mediaa della variabile casuale. 8. Determiare le coordiate dei puti ello spazio che giaccioo sulla retta perpedicolare el puto,, al piao di equazioe y z = 0, a distaza 6 da tale piao. 9. Cosiderado la fuzioe: a f defiita i R e a valori i R, mostrare che le tageti al suo grafico ei puti di ascissa - e soo parallele alla bisettrice del secodo e del quarto quadrate, idipedetemete dal valore del parametro a. Idividuare ioltre il valore miimo del parametro a per cui la tagete al grafico el puto di ascissa forma co gli assi cartesiai u triagolo di area maggiore di. 0. Dimostrare che la derivata della fuzioe: è la fuzioe f ' e a f a e a 67

71 Liceo Scietifico e S. A PROBLEMA I Straordiaria SVOLGIMENTO Sessioe U produttore di cadelie tea light vuole produrre u uovo tipo di cadela colorata che abbia ua parte iferiore di forma cilidrica ed ua parte superiore avete la forma riportata i figura, che si coetta perfettamete a quella iferiore, come mostrato i figura : Puto Stabilisci motivado adeguatamete la risposta, quale delle segueti fuzioi può rappresetare adeguatamete il profilo della parte superiore della cadela: Osservado la Fig. si rileva che il profilo della parte superiore della cadela preseta el puto A di ascissa 0 u puto agoloso, metre i B e C di ordiata ulla la forma della curva tede a divetare perpedicolare all asse delle ascisse, evideziado la preseza di due puti a tagete verticale. I puti A, B e C soo puti di o derivabilità. Queste soo le codizioi da teere presete per stabilire quale delle tre fuzioi rappreseta adeguatamete il profilo della parte superiore della cadela. Nella scelta delle fuzioi viee automaticamete scartata l equazioe della parabola rappresetata dalla fuzioe y = a, razioale itera, cotiua e derivabile e quidi ache ell itervallo di defiizioe a ; a co a, a 0. co 0 La fuzioe y = + a = è cotiua, ma la fuzioe derivata co < 0 68

72 0 a y' a 0 o è defiita i 0 ; i limiti destro e siistro soo divergeti e di sego opposto: o lim o lim 0 0 Pertato il puto 0 è ua cuspide; geometricamete, come mostra il grafico a lato, le tageti destra e siistra soo verticali e formao tra loro u agolo ullo. Quidi la fuzioe che dovrebbe rappresetare adeguatamete il profilo della parte superiore della cadela è : y = a se 0 a a + se a < 0 co a, a 0. La fuzioe è cotiua ell itervallo a a. Aalizziamo la derivabilità i 0 : se 0 < < a y a = se a < < 0 a + o lim o 0 a a lim 0 a a il puto di coordiate (0; a) è u puto agoloso. Aalizziamo la derivabilità agli estremi dell itervallo [ a;a]: o lim o lim a a a a i puti di ascissa (a;0) e ( a;0) soo puti a tagete verticale. Il grafico della fuzioe y a per a 0 si ottiee da quello di y co ua traslazioe di vettore ( a;0) e quello relativo all itervallo 0 a si ottiee da y a co ua simmetria rispetto all asse delle y. Puto Per cosetire l iserimeto dello stoppio al vertice della cadela, è ecessario che l agolo θ i figura o sia maggiore di 0. Determia di cosegueza i possibili valori del parametro a. 69

73 La fuzioe che rappreseta il ramo destro della figura è y = a co 0 a. Il puto A ha coordiate A = 0; a. L agolo θ è formato dalla retta r per A, parallela all asse, di equazioe y = a e la tagete t per A alla fuzioe y = a. La retta t ha coefficiete agolare m = y (0) = e pertato la sua equazioe è: y = + a. Per cosetire l iserimeto dello stoppio deve essere 0 < θ 0. Quidi 0 < tgθ. Dalla figura si rileva che θ è supplemetare di α e pertato tgθ = tg(π α) = tg(α) = = + tgθ = Da cui 0 < a 4a a. Puto Attribuedo all altezza e al raggio della parte cilidrica i valori rispettivamete di 8 e, i u opportua uità di misura, determia il volume totale della cadela. Da questo dato dipederao il peso e il costo di produzioe della cadela stessa. Il volume della parte iferiore, a forma cilidrica, avete per base u cerchio di raggio e altezza 8 è V = 4πr h = π. Per determiare il volume della parte superiore si può procedere i più modi. I questo caso, per il calcolo del volume otteuto dalla rotazioe della fuzioe attoro all asse y, poiché la fuzioe y = a è cotiua, positiva e ivertibile ell itervallo [0;a], si può o ricorrere al metodo dei cosidetti gusci cilidrici. Coviee cosiderare il volume come dato dalla somma di 70

74 ifiite fette orizzotali circolari di raggio uguale alla distaza del puto sull arco di curva dall asse delle ordiate. Ivertedo la fuzioe y a otteiamo a y Poiché il raggio della parte cilidrica è, sarà a= e quidi: y co ε[0; ]. La fuzioe è strettamete decrescete e quidi V = π. () ( y ) Ioltre, per = 0 è y = f(0) = e per = è y = f() = 0. Quidi il volume della parte superiore si ottiee calcolado () V = π ( y ) dy = π (( y ) )dy = π (4 4y + y ) dy = () = π y 5 4 y + 4y () dy = π π + 4 = 5 Il volume totale della cadela è V = π + = 5 + u 0 u. Puto 4 Il produttore deve iscatolare le cadele i cofezioi da e da 4 cadele, posizioado le cadele i verticale, co le basi circolari disposte i modo da occupare il mior spazio possibile. Si prevedoo due possibili cofigurazioi per posizioare le basi circolari delle cadele all itero delle scatole, rappresetate i figura : Forisci ua valutazioe umerica dell efficieza dei due cofezioameti, calcolado il rapporto tra area occupata dalle basi circolari delle cadele iserite ella scatola e area dispoibile i ciascua delle due cofigurazioi. Tale rapporto deve essere espresso i percetuale. Ai fii del calcolo, cosidera che le celle poligoali evideziate i grigio soo rispettivamete u triagolo equilatero e u quadrato. Esamiiamo la cofigurazioe Il triagolo EFG co i vertici ei cetri delle tre basi circolari delle cadele è equilatero; la misura del lato EF è uguale volte il raggio delle basi circolari EF = 4 e l altezza GH = EF = 4 = GH =. Il lato AB è doppio del diametro AB = 8; il lato AD è uguale all altezza del triagolo equilatero più il doppio del raggio AD = 4 +. Pertato il quadrilatero ABCD è u rettagolo di area A = 84 + u. Quidi il rapporto tra l area occupata dalle basi circolari delle cadele iserite ella scatola e l area dispoibile è : 7

75 = = = 0.6 = 6%. Esamiiamo la cofigurazioe La base della scatola è a forma quadrata co il lato uguale al doppio del diametro l 8u e pertato l area di base della scatola è A = 64u. All itero della scatola soo iserite quattro cadele di basi circolari e quidi il rapporto tra l area occupata dalle basi circolari delle cadele iserite ella scatola e l area dispoibile è : = = 0.76 = 76%. Dai risultati otteuti, la secoda cofezioe, che utilizza scatole di base quadrata, capace di coteere al suo itero quattro cadele circolari, risulta più efficiete. PROBLEMA II Cosideriamo la fuzioe f: R R, così defiita: al variare di a, b, c parametri reali positivi. b l f a e c Puto. Verifica che, comuque si scelgao i parametri, si ha: f () > 0 R, f () > 0 R. b Calcoliamo la derivata prima della fuzioe f l a e c : f () = a e a a b e e b = a e + c f () > 0 R poiché i parametri a, b e c soo positivi per ipotesi. Calcoliamo la derivata secoda della fuzioe: f () = = 7 a e + bc a e = Ache i questo caso si deduce che f () > 0 R, per la positività dei parametri a,b, c. Puto. Verifica ioltre che, comuque si scelgao i parametri, la fuzioe f ha u asitoto orizzotale, per, e u asitoto obliquo, per ; determia a, b, c i modo che l asitoto orizzotale, per, sia la retta di equazioe y 0 e l asitoto obliquo, per, sia la retta di equazioe y Verifiche dell esisteza degli asitoti. o Ricordiamo che la fuzioe f ammette l asitoto orizzotale y l per se e solo se esiste u umero reale l tale che lim f l. Dal mometo che, essedo b 0 e c 0 : 0 lim f lim l( a e c) l c b

76 possiamo affermare che la fuzioe ammette u asitoto orizzotale y l c per. f ammette l asitoto obliquo y m q per se e solo se esistoo ua coppia di umeri reali m, q tali che f m lim e q lim f m o Ricordiamo che la fuzioe b f l a e c lim lim F. I. I questo caso possiamo utilizzare il Teorema di de l Hospital; quidi: b l a e c f b a be a b lim lim H lim H lim b a e c a b e pertato m b lim f m lim l a e b cb F. I. I questo caso osserviamo che, essedo b 0, risulta lim e b. Pertato, se poiamo b l y y e risulta b l y, cioè. b b Effettuado il cambio di variabile y e el limite si ottiee: e pertato q l b lim f m lim l a e c b lim l a y c b y a b La fuzioe f l a e c a y c c y y y lim l lim l a l a y b e b e l y b ammette l asitoto obliquo di equazioe y b l a. b Determiiamo i valori dei parametri a,b, c i modo che: a) l asitoto orizzotale y l c sia la retta y 0 b) l asitoto obliquo y b l a sia la bisettrice del e quadrate. Affichè ciò possa accadere dev essere: e la fuzioe è f l e. l c 0 b l a 0 a b c Puto Dimostra che poedo a b c si ha: < f() < e R Dobbiamo dimostrare che l e e La dimostrazioe della disuguagliaza per ogi. l e è immediata, dal mometo che si può scrivere le. Essedo, ifatti, sempre vero che e e, applicado il logaritmo aturale ad ambo i membri si ottiee: 7

77 da cui e e l l l e, per ogi. Rimae da dimostrare che l e Derivado otteiamo e, per ogi. Per farlo cosideriamo la fuzioe y e l e. e e e e e y' e 0 e e e per ogi, essedo il rapporto di quatità positive. la fuzioe è crescete el suo domiio e precisamete. Calcoliamo ioltre lim e l(e + ) = [F. I. ]. Per elimiare la forma idetermiata, effettuiamo u cambio di variabile. Poiamo e = y; di cosegueza risulta = ly. Dal mometo che, per si ha sostituedo otteiamo: y y e lim e l e lim y l y lim l e l y lim l y y y y Osserviamo che, applicado il Teorema di de l Hospital: pertato risulta Calcoliamo, ifie, il lim y y e e H lim ; y y y lim l lim l e e e y y lim e l e 0 y e, Possiamo dedurre che la fuzioe y = e l(e + ) è sempre positiva e crescete e quidi possiamo cocludere che e l(e + ) > 0, ovvero l(e + ) < e. Abbiamo così dimostrato la disuguagliaza destra e pertato cocludiamo che l e e,. La figura a fiaco forisce ua rappresetazioe grafica delle fuzioi y, y l e e y e e ci cosete di iterpretare graficamete la disequazioe che abbiamo dimostrato 74

78 Puto 4 (a) Verifica ioltre che poedo a b c e detta A l area della parte di piao compresa tra il grafico della fuzioe h f e l asse del riferimeto cartesiao, si ha A Cosideriamo la fuzioe h( ) = le + = l(e + ) se 0 l(e + ) se < 0 Tracciamo il grafico della fuzioe y = h( ) osservado che si tratta di ua fuzioe pari. Ifatti: h h per ogi. Possiamo, quidi, limitarci a tracciare il grafico della fuzioe y l e simmetria rispetto all asse delle ordiate. per 0 ed effettuare ua Dal mometo che la fuzioe h è pari possiamo scrivere: 0 h d h d L area della parte di piao compresa tra il grafico della fuzioe h( ) = le + e l asse delle si ottiee risolvedo il seguete itegrale improprio: A = le + d = l(e + )d + l(e + )d che, per quato osservato sopra, può essere riscritta idifferetemete così o così A = l(e + )d 75 0

79 A = l(e + )d Per la disuguagliaza l e e dimostrata al puto () e la mootoia dell itegrale, risulta: A 0 e 0 d 0 0 k e d e d e e l lim l lim lim lim k k k k k k k da cui chiaramete A. Puto 4 (b) Ioltre, a partire dalle caratteristiche del grafico della fuzioe grade possibile, tale che A S h, determia u umero reale S, quato più Determiiamo partedo dalle caratteristiche del grafico u umero reale S, quato più grade possibile tale che A > S. Il puto A è u puto agoloso. Tracciamo le rette per A tageti ai due rami (destro e siistro) del grafico della fuzioe y = h( ) che delimitao il triagolo ABC i figura. L area di tale triagolo è il valore più grade possibile che può assumere S tale che sia A > S. Idichiamo quidi co S l area del triagolo ABC formato dalle tageti destra e siistra al grafico di h el puto agoloso A. Per < 0 la fuzioe h( ) ha equazioe h( )= l(e + ); calcoliamo la derivata siistra della fuzioe h = che el puto = 0 assume valore h (0) = tagete i A al ramo siistro della fuzioe è: y l = y = + l. Per simmetria la tagete destra avrà equazioe y = + l. ; pertato l equazioe della retta 76

80 Il puto B i cui la tagete siistra icotra l asse delle ascisse avrà coordiate B =(-l; 0). Per simmetria la tagete destra icotrerà l asse delle ascisse el puto C di coordiate C =(l;0). La base e l altezza del triagolo ABC hao rispettivamete misura: AB = 4l() e CO = l() e la sua area, il cui valore abbiamo idicato co S, sarà S = = l () 0.96 = () () QUESTIONARIO ) Si dispoe di due dadi uguali o bilaciati. Laciado ciascuo dei due dadi, le probabilità di uscita dei umeri,, e 4 soo pari a k, metre le probabilità di uscita dei umeri 5 e 6 soo pari a k/. Determiare il valore di k e stabilire qual è la probabilità che, laciado i due dadi cotemporaeamete, escao due umeri uguali tra loro. Soluzioe. La somma delle probabilità deve essere uguale a, pertato abbiamo k + k + k + k + k + k = 5k = k = 5. La probabilità che escao due umeri uguali è data dalla somma p(x =, Y = ) + p(x =, Y = ) + p(x =, Y = ) + +p(x = 4, Y = 4) + p(x = 5, Y = 5) + p(x = 6, Y = 6) = = = 9 50 = 0,8. ) Determiare il raggio della sfera di cetro C(,,) tagete al piao di equazioe + y + z =. Soluzioe. Osserviamo che il raggio della sfera è uguale alla distaza del cetro C(,,) dal piao di equazioe + y + z = 0: + + r = = = 4 6 = = 6. METODO ALTERNATIVO (certamete più laborioso): è possibile determiare le coordiate della proiezioe ortogoale H di C(,,) sul piao + y + z = 0 e successivamete, per otteere il raggio della sfera, calcolare la lughezza del segmeto CH. 77

81 ) Cosiderado la fuzioe f: R R defiita come: f() = 4 +, per < 4 e +, per 4 determiare l agolo formato dalle tageti el puto agoloso del grafico della fuzioe. Soluzioe. La derivata prima della fuzioe è La tagete siistra ha coefficiete agolare + per < 4 f () = e per > 4 m = lim f () = 4 + = 0 metre per quato riguarda la pedeza della tagete destra si ha m = lim f () = e = e =. L agolo formato dalle due semirette è pari a α = arcta m m 0 = arcta = arcta( ) = 5 + m m + ( ) 0 ma è più semplice ragioare direttamete sulla figura. 78

82 4) Calcolare la derivata della fuzioe f() = si, adoperado la defiizioe di derivata. Soluzioe. Scrivedo il limite del rapporto icremetale si ha f f( + h) f( ) ( + h) si( + h) si ( ) = lim = lim = h h si( + h) + h si( + h) si = lim = h (si cos h + cos si h) + h (si cos h + cos si h) si = lim = h si cos h + cos si h + h si cos h + h cos si h si = lim = h si cos h si + cos si h + h si cos h + h cos si h = lim = h (cos h ) = lim si + h cos si h h + si cos h + cos si h = = lim si (cos h ) h h + cos si h h + si cos h + cos si h = = si 0 + cos + si + cos 0 = = cos + si. I defiitiva si ha f () = cos + si. 5) Determiare l area della superficie compresa tra il grafico della fuzioe f() = + + +, le rette y =, = 5 e l asse y. Soluzioe. Il deomiatore o si aulla mai ( < 0 ), quidi il domiio della fuzioe è. D altra parte la disequazioe < < < 0 è risolta per ogi i quato il umeratore è egativo ed il deomiatore è positivo per ogi. L area della superficie compresa tra il grafico della fuzioe, le rette y =, = 5 e l asse y (retta = 0) è uguale a d = ( + + ) + + d = [ l + + ] = = [ l( + + )] = 0 l() (0 l()) = 0 l() 6,

83 NOTA: I alterativa, ma si tratta di fare più calcoli, è possibile dimostrare che il massimo assoluto della fuzioe è raggiuto quado = ed il valore corrispodete è f =,5 <. 6) Determiare l equazioe della retta tagete al grafico della fuzioe el suo puto di flesso. f() = e Soluzioe. Calcoliamo la derivata prima e la derivata secoda di f() = e : f () = e + e ( ) = ( ) e ; f () = ( ) e + ( ) e ( ) = ( ) e. Il sego della derivata secoda f () è determiato da ( ) i quato e > 0 per ogi reale. Il flesso si ha perciò i =. L equazioe della retta tagete i (; e ) è y = e + f () ( ) y = e + ( ) e ( ) y = e + 4 e, cioè y = +. 7) La variabile casuale X ha desità di probabilità data dalla fuzioe per 0 < 7 f() = per < per ; determiare la media e la mediaa della variabile casuale X. Soluzioe. Per prima cosa verifichiamo che f() d = : f() d = f() d + f() d + f() d = = = = =. 80

84 La media della variabile aleatoria si calcola mediate l itegrale f() d : f() d = f() d + f() d + f() d = = d + 7 d + d = / / = = =,065. // Per quato riguarda la mediaa m della variabile aleatoria X, deve risultare Essedo f() d = f() d =. f() d = d = 6 < f() d = f() d + f() d = d + 7 d = = = la mediaa appartiee all itervallo ; ; deve risultare f() = d + 7 d = = = 4 > m = m = 5 4,074. 8) Determiare le coordiate dei puti ello spazio che giaccioo sulla retta perpedicolare el puto (,,) al piao di equazioe y z = 0, a distaza 6 da tale piao. Soluzioe. I puti richiesti possoo essere otteuti i più modi. Possiamo otteerli come itersezioe della sfera di cetro C(,,) e raggio r = 6 co la retta s di = + t equazioi parametriche y = t : z = t 8

85 ( ) + (y ) + (z ) = 6 = + t y = t z = t sostituedo ella prima equazioe si ottiee ( + t ) + ( t ) + ( t ) = 6 t = 6 t, = ± 6 ; i due puti richiesti, pertato, hao coordiate P + 6, 6, 6 ; P 6, + 6, + 6. APPROCCIO: I alterativa, possiamo cercare, tra i puti della retta s, ossia tra quelli della forma P( + t, t, t), quelli che hao distaza 6 dal puto (,,), riotteedo la stessa equazioe vista i precedeza. APPROCCIO: Come terzo metodo, possiamo imporre che la distaza del puto P( + t, t, t) dal piao y z = 0 sia pari a 6 : ( + t) ( t) ( t) = 6 6t + ( ) + ( ) 6 = 6 6 t 6 = 6 t = 6 t, = ± 6. 9) Cosiderado la fuzioe f() = a + defiita i R e a valori i R, mostrare che le tageti al suo grafico ei puti di ascissa e soo parallele alla bisettrice del secodo e quarto quadrate, idipedetemete dal valore del parametro a. Idividuare ioltre il valore miimo del parametro a per cui la tagete al grafico el puto di ascissa forma co gli assi cartesiai u triagolo di area maggiore di. Soluzioe. Dal mometo che la bisettrice del secodo e quarto quadrate ha equazioe y =, si tratta di dimostrare che f () = f ( ) = ; la derivata prima della fuzioe f() = a + = a + è uguale a f () = e quidi f () = f ( ) =. Pertato le tageti al grafico della fuzioe ei puti di ascissa e soo parallele idipedetemete dal valore del parametro a. Si osservi che il parametro a gioca il ruolo di traslare il grafico della fuzioe parallelamete all asse delle ordiate. Per quato riguarda la secoda richiesta, si evidezia che c è u errore el testo del quesito: o esiste il valore miimo di a per cui l area del triagolo AOB è maggiore di. Nel seguito, per dare u seso alla richiesta, ci porremo il problema di determiare il valore miimo del parametro a per cui l area del triagolo è uguale a. La retta tagete el puto P(; a + ) ha equazioe cartesiaa y = a + + ( ) ( ) y = + + a ed iterseca gli assi cartesiai ei puti A(a + ; 0), B(0; a + ). Il triagolo rettagolo AOB ha pertato area pari a Area(AOB) = OA OB = a + a + = (a + ). L area è uguale a se e solo se (a + ) = (a + ) = 6 a + = ± 6 a, = ± 6 ed il valore miimo tra i due è a = 6 4,45. Nella figura è evideziata la situazioe per a >. 8

86 Nella figura seguete, ivece, è rappresetata la situazioe el caso a <. 0) Dimostrare che la derivata della fuzioe è la fuzioe f() = e f () = a e. Soluzioe. Si tratta di calcolare il limite del rapporto icremetale f f( + h) f( ) e () e e e ( ) = lim = lim = lim = h h h e e e e e = lim = lim = e e lim = h h h = e lim a e = e e a lim = e a = a e, a h a h dove abbiamo sfruttato il limite otevole e lim =. k 8

87 ESAMI DI STATO 08 sessioe straordiaria LICEO SCIENTIFICO COMUNICAZIONE e opz. SPORTIVA NOTA: Il testo della prova della sessioe ordiaria per il Liceo Scietifico della Comuicazioe, co opzioe sportiva, è quasi del tutto idetico a quello della corrispodete sessioe del Liceo Scietifico, fatta eccezioe per il problema seguete. PROBLEMA Due archi illimitati di due parabole (co assi paralleli all asse y di u sistema di riferimeto), ciascuo dei quali coteete il vertice della parabola, soo disposti i modo da passare per tutti e quattro i quadrati del piao e raccordarsi ell origie, formado il grafico di ua fuzioe: f se 0 f f se 0 che è derivabile i. La figura sottostate e forisce u possibile esempio. Figura Il grafico iterseca l asse ell origie O e ei puti A di ascissa A 0 e B di ascissa B 0. ) Dimostra che, se la fuzioe f soddisfa le richieste precedeti, si ha: f a b f c b dove a, b, c soo opportui coefficieti reali o ulli. Dimostra che le rette tageti a i A e i B soo parallele. ) Cosiderado le fuzioi g f ' F 0 f t dt ; mostra, co opportue argometazioi, che il grafico di g è costituito da due semirette che itersecao l asse ei puti di ascisse due puti di flesso di ascisse A A ) Determia le espressioi di equazioe y 8 B e e. B e che il grafico di F ha due puti stazioari di ascisse A e B e f e f i modo tale che la retta tagete a el puto A abbia e l area della superficie limitata compresa tra e l asse coteuta el semipiao 0 sia pari a 9 volte quella dell aaloga superficie coteuta el semipiao 0. 4) Dimostra che ache il rapporto tra le aree dei triagoli formati dalle rette tageti al grafico ei puti A, O e B e l asse delle ascisse è pari a 9. 84

88 Soluzioe problema Le due parabole passao per O; pertato hao termie oto ullo e le loro equazioi soo del tipo: Impoiamo ora che la fuzioe o Per 0 o Per 0 Pertato: La fuzioe Quidi:,, f f ' f ' a b f ' f ' c d f è derivabile i f a b e f se 0 f se 0 f c d a b se 0 f ' c d se 0 se e solo se lim f ' lim f ' 0 0 sia derivabile i 0 : lim a b lim c d b d f a b e f c b Osserviamo la figura seguete. Le rette r e s soo le tageti al grafico della fuzioe rispettivamete i A e B. f Dal mometo che tale grafico è costituito da due archi di parabola, tra loro tageti i O, possiamo affermare che r è la simmetrica di t rispetto alla retta a, asse della parabola y f, metre s è la simmetrica di t rispetto alla retta a, asse della parabola y f. Per la simmetria possiamo, quidi, affermare che gli agoli,, soo cogrueti tra loro; i particolare soo cogrueti tra loro gli agoli e, corrispodeti tra le rette r e s, prededo l asse come trasversale. r s NOTA: avremmo potuto procedere così: 85

89 b o f 0 a b 0 0 A a b o f 0 c b 0 0 c Pertato: o ' A A b f a b a b b o a ' B B b f c b c b b c f ' f ' le tageti i A e B soo parallele tra loro, per l iterpretazioe geometrica della A derivata B Ricordiamo che l espressioe della fuzioe f, defiita a tratti, è costituita da ua coppia di poliomi di grado. Ioltre, derivado u poliomio di grado si ottiee u poliomio di grado. Più precisamete, i base a quato affermato al puto precedete: a b se 0 f ' c b se 0 Osserviamo che y a b e y c b soo le equazioi di due rette. Possiamo cocludere, quidi, che il grafico della fuzioe g f ' è costituito da ua coppia di semirette. Determiiamoe gli zeri: b o a b 0 A per quato osservato ella ota precedete a b o c b 0 B per quato osservato ella ota precedete c Abbiamo verificato, quidi, che il grafico della fuzioe g è costituito da ua coppia di semirette che si aullao ei puti di ascisse A e B. Cosideriamo ora la fuzioe F Teorema di Torricelli-Barrow possiamo affermare che ogi ; i sostaza, Dal mometo che (per ipotesi) ammette derivata secoda. Per quato detto fiora, i puti stazioari di zeri di 0 f t dt. Dal mometo che la fuzioe itegrada è cotiua, per il F è derivabile i e che F ' f per F è ua delle ifiite primitive di f. f è ovuque derivabile, possiamo affermare che la fuzioe F f ; pertato la fuzioe F, cioè i puti i cui F ammette due puti stazioari di ascisse F ' 0, soo da ricercarsi tra gli A e B. Noto ache come Teorema Fodametale del Calcolo itegrale. 86

90 Cosideriamo ora la derivata secoda di Dal mometo che F " f ' g tra gli zeri di F per determiare gli evetuali flessi della fuzioe., gli evetuali puti di flesso della fuzioe g. Abbiamo già osservato che il grafico della fuzioe semirette che si aullao ei puti di ascisse i A e B F cambia cocavità i A A e e B B F vao ricercati g è costituito da ua coppia di ; pertato la fuzioe g F " F ha due puti di flesso di ascisse cambia sego A e B. Per quato osservato al puto (), il coefficiete agolare della retta tagete al grafico i A è Dovedo essere ache mr cocludiamo che b. Ioltre la retta tagete i A ha equazioe y 8 Pertato possiamo scrivere f a e o A b 4 a a parabola y f ha ascissa mr b. e la sua itersezioe co l asse ha ascissa 4. f c ed ioltre: f. Ioltre il vertice della A ed ordiata f 4 4 a a la parabola ha equazioe A o B b c c il vertice della parabola y f y ha ascissa c c c c B ed ordiata c Pertato, il segmeto parabolico coteuto el semipiao 0 ha base 4u ed altezza y u ; per il Teorema di Archimede, la sua area misura: 6 A A y 4 u A 87