Nicola De Rosa, Liceo della comunicazione sessione ordinaria 2010, matematicamente.it

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1 PROBLEMA Sia la parabola d equazioe f a) Sia F il fuoco di e r la sua direttrice, Si determiio le coordiate di F e l equazioe di r b) Siao A e B i puti di di ordiata 5 e S il segmeto parabolico di base AB. Si determii la retta y k che dimezza l area di S c) Si determii il volume del solido geerato dalla rotazioe di S itoro all asse d) Si calcoli d f e lo si iterpreti geometricamete. Puto RISOLUZIONE La parabola di equazioe y ha l asse di simmetria coicidete co l asse delle ordiate, vertice i V,, fuoco di coordiate 5 F, cioè F,, direttrice di equazioe 4a 4 Puto y. 4a 4 La retta 5 C,5. Le ascisse dei puti A e B si calcolao risolvedo il seguete sistema A y y 5. y 5 B y 5 y iterseca l asse delle ordiate i

2 d. L area di S è pari a AS 5 Itegrado si ha d 8 A S Alterativamete, applicado il teorema di Archimede, l area del segmeto parabolico è pari ai dell area del rettagolo circoscritto; il rettagolo circoscritto ha area pari a AB VC 4 4 6, per cui il segmeto parabolico avrà area. Sia y k ua geerica retta parallela all asse delle ascisse che iterseca il segmeto parabolico ei puti H k, k,k k, k co k 5 e che suddivide il segmeto parabolico i S ed S. Si cosideri la figura sottostate. Sia D,k l itersezioe della retta y k co l asse delle ordiate. L area di S applicado il teorema di Archimede è pari a 4 AS VD HK k k k.

3 Allo stesso modo per via itegrale si ha AS Itegrado si ha k k AS k d k k k k k 4 4 k k k k k Impoedo S 4 A S 6 A otteiamo 6 k 4 k k k Puto Il volume richiesto è V Itegrado pari 4 5 d V Puto k d d La fuzioe g rappreseta la Versiera di Agesi e il f suo grafico può essere costruito a partire da quello della parabola, osservado che, essedo f sempre positiva, cotiua e derivabile su tutto R, lo è ache lim g e ell itervallo u cui f è crescete g ; ioltre g è decrescete e viceversa. Di seguito i due grafici i uo stesso riferimeto cartesiao:

4 L itegrale richiesto è pari a arcta d che coicide 4 co l area raffigurata i grigio ella figura di seguito. 4

5 PROBLEMA 4, co k R. Sia P il puto otteuto dalla itersezioe della retta k co la perpedicolare per B alla retta AB. a) Si provi che il luogo geometrico descritto da P al variare di k ha Nel piao Oy soo dati i puti A, e B,k 8 equazioe: y b) Si disegi c) Si scriva l equazioe della retta r tagete a el puti di ascissa d) Si calcoli l area della parte di piao delimitata da r, da e dalla retta Puto k La retta AB ha coefficiete agolare m per cui la perpedicolare alla retta AB passate per B 4,k ha equazioe y k 4 y 4 k. Itersecado la retta di m k co la retta k 8 y 4. equazioe y 4 k Puto 8 Studiamo la fuzioe y,, ; Domiio: k otteiamo il luogo 5

6 Itersezioe asse ascisse: o ve e soo i quato 8 7 R Itersezioe asse ordiate: o ve e soo perché o appartiee al domiio Positività: + + N : 8 R - + D : y 8 Asitoti verticali: 8 8 lim, lim per cui è asitoto verticale; 8 Asitoti orizzotali: lim per cui o esistoo asitoti orizzotali; Asitoti obliqui: trattadosi di fuzioe razioale fratta co grado del umeratore pari al grado del deomiatore più, l asseza dell asitoto orizzotale implica la preseza di quello obliquo; esso ha equazioe y m q co - + f 8 m lim lim, 8 8 q lim quidi l asitoto obliquo ha equazioe y ; Cresceza e decresceza: la derivata prima è 8 8 y' il cui quadro dei segi è rappresetato a lato; f m lim lim 6

7 N : D : 8 R massimo miimo Quidi la fuzioe è strettamete crescete i,, e strettamete decrescete i,, e preseta u massimo relativo el puto M, 4 i m, 4 ; ed u miimo relativo 6 Cocavità e covessità: la derivata secoda è y'' per cui la fuzioe preseta cocavità verso l alto i, e verso il basso i,; o esistoo flessi. Il grafico è di seguito presetato: 7

8 Alterativamete avremmo potuto trovare il grafico a partire dalla 8 seguete cosiderazioe: la fuzioe y può essere scritta 8 come y da cui deduciamo che il grafico è ua iperbole cetro,, di asitoto verticale ed asitoto obliquo y. Puto Il puto ad ascissa uitaria è P,7 ; la derivata prima i vale y ' 8 7, per cui la tagete alla fuzioe el puto P,7 ha equazioe y. 8

9 Puto 4 L area da calcolare è rappresetata i grigio ella figura seguete: L area richiesta è pari a 8 A S d 4 6 8l 6 8l 4 6 8l 4 d 9

10 QUESTIONARIO Quesito Sia esima è p p u poliomio di grado. Si dimostri che la sua derivata -! a dove a è il coefficiete di. p di grado può essere scritto el seguete U geerico poliomio modo: p a a a a a co a i R, i,,, Calcoliamo le derivate prima, secoda e così via sio all -esima: p ' a a a a p '' a a a p ''' a a 6a 4 p 4 a! a Quesito Siao ABC u triagolo rettagolo i A, r la retta perpedicolare i B al piao del triagolo e P u puto di r distito da B. Si dimostri che i tre triagoli PAB, PBC, PCA soo triagoli rettagoli. Cosideriamo la figura a lato rappresetate la geometria del problema. Poiché la retta PB è ortogoale al piao del triagolo, essa è ortogoale a tutte le rette del piao passati per B, quidi è ortogoale a BA e BC, da cui deduciamo che i triagoli PBC e PBA

11 soo etrambi rettagoli i B. Ci resta da dimostrare che ache PAC è rettagolo; i particolare vogliamo dimostrare che PAC è rettagolo i A. Ciò è vero se, applicado il teorema di Pitagora, si ha PC PA AC. Applicado il teorema di Pitagora ai triagoli PBA, PBC ed ABC otteiamo: PB PC PA PB AB BC BC AB AC Sostituedo le espressioi e i si ha: PA AB AB AC PA AC PC PB BC cioè il triagolo PAC è rettagolo i A. Quesito Sia il grafico di f e a i f. Per quale valore di la retta tagete, ha pedeza uguale a? f è la derivata f. Nel caso i esame la derivata prima di f e è ' e, per cui impoedo f ' e si ricava La pedeza della retta tagete i a ua fuzioe prima di f e Per l l l l si ha Quidi e f ha tagete i. l 5 l f e. 5 l, co pedeza.

12 Quesito 4 Si calcoli: lim 4si Effettuiamo il cambio di variabile y ; se y, per cui si y lim 4si 4 lim 4 y y si y i cui si è sfruttato il limite otevole lim. y y Quesito 5 U serbatoio ha la stessa capacità del massimo coo circolare retto di apotema 8 cm. Quale è la capacità i litri del serbatoio? Cosideriamo la figura a lato i cui è rappresetato i sezioe u coo di apotema a 8cm, altezza h e raggio di base r. C Poiamo CH, 8. Il raggio di base per il teorema di Pitagora misura HB r 64. Il volume del coo è hr V 64. Massimizziamo il volume ricorredo al calcolo differeziale. A H a=8 cm B

13 V ' V ' V ' quidi il volume è 8 strettamete crescete i strettamete decrescete i Ioltre V' ' 8, 8, e V '' + 8 massimo 8 per cui il volume è massimo per e vale VMAX 7 V 64 cm 4 dm 7 Ricordado che litro è uguale a dm, il volume massimo i litri è 4 V MAX litri 6,4 litri. 7-8.

14 Quesito 6. Si determii il domiio della fuzioe f cos Il domiio di f cos disequazioe cos Quesito 7 è l isieme degli R che soddisfao la, cioè k k co k Z. Per quale o quali valori di k la fuzioe 4, 4 h k, 4 è cotiua i = 4? Affiché la fuzioe lim h lim h 4 4 valgoo rispettivamete: lim h lim 4 4 lim h 4 4 h sia cotiua i 4 deve aversi. Per il caso i esame i limiti siistro e destro lim k 6k Impoedoe l uguagliaza si ha 6k 9 k. 6 I 4 la fuzioe è tuttavia o derivabile e preseta u puto agoloso i quato lim h' lim 6 4 lim h' lim

15 5 Quesito 8 Se e,, soo i progressioe aritmetica, qual è il valore di? Ua progressioe aritmetica è ua successioe di umeri tali che la differeza tra ciascu termie e il suo precedete sia ua costate. Tale costate viee detta ragioe della progressioe. I tre umeri,, soo i progressioe aritmetica se. Esplicitiamo i sigoli coefficieti biomiali: 6!6!!!!!!!!!!!!!! Si ha quidi: acc. 7 o acc. o acc

16 I coclusioe il valore accettabile è 7 cui corrispodoo i tre valori 7,, Quesito 9 Si provi che o esiste u triagolo ABC co AB =, AC = e A Bˆ C 45. Si provi altresì che se AB =, AC = e A Bˆ C, allora esistoo due triagoli che soddisfao queste codizioi. Cosideriamo la figura a lato, rappresetate il triagolo ABC co AC,AB,ABˆ C e cosideriamo i casi corrispodeti ad 45 ed. 45 Applicado il teorema dei sei si ha: AB AC AB si ACB ˆ si 4 si ACB ˆ si AC Poiché, u triagolo co 4 esiste. AC,AB,ABˆ C 45 o Applicado acora ua volta il teorema dei sei si ricava AB AC si ACB ˆ AB si si ACB ˆ si AC 4 ˆ ˆ ACB arcsi 48, 6 ACB 8 arcsi, I tal caso esistoo due triagoli che soddisfao le codizioi AC,AB,ABˆ C. 6

17 Per calcolare la misura del terzo lato si può procedere i due modi distiti: Teorema dei sei ˆ ˆ AC BC si CAB si 5-ACB BC AC AC si si CAB ˆ si AC si 5-ACB ˆ 4 si5cosacb ˆ cos 5si ACB ˆ ˆ ˆ si ACB ˆ ˆ cos ACB si ACB si ACB Teorema di Carot Posto BC si ha AC AB 4 9 BC AB cos 5 7 7

18 Quesito Per la ricorreza della festa della mamma, la sig.ra Luisa orgaizza ua cea a casa sua, co le sue amiche che hao almeo ua figlia femmia. La sig.ra Aa è ua delle ivitate e perciò ha almeo ua figlia femmia. Durate la cea, la sig.ra Aa dichiara di avere esattamete due figli. Si chiede: qual è la probabilità che ache l altro figlio della sig.ra Aa sia femmia? Si argometi la risposta. Aa ha due figli F ed F e sappiamo per certo che almeo uo dei due è femmia. Si possoo presetare quidi casi possibili:. F maschio ed F femmia. F femmia ed F maschio. F femmia ed F femmia Ricordado la defiizioe frequetista della probabilità come rapporto tra casi favorevoli sui totali, la probabilità di avere due figlie femmie è pari a p. Il quesito può essere risolto alterativamete el seguete modo. Idichiamo co X la variabile aleatoria idicate il umero di figlie femmie della sigora Aa e idichiamo co p la probabilità che u figlio sia di sesso femmiile. Il quesito ci chiede di calcolare la probabilità che Aa abbia due figlie femmie sapedo che la prima è femmia, cioè P X X. I particolare le probabilità che il umero di figlie femmie sia pari a, o soo: P P P X p, X p, X PX PX p p p p 8

19 La probabilità richiesta è quidi P X X P X P X P X X P X P X P X P X p p p p p p e se assumiamo uguale probabilità per i due sessi si ha p P X X. p 9