Si scriva un espressione analitica di g(x). Vi sono punti in cui g(x) non è derivabile? Se sì, quali sono? E perchè? x 9x y

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1 PROBLEMA Nella figura che segue è riportato il grafico di g ( ) per - 5 essedo g la derivata di ua fuzioe f. Il grafico cosiste di tre semicircofereze co cetri i (, ), (, ), (9/, ) e raggi rispettivi,,/. Si scriva u espressioe aalitica di g(). Vi soo puti i cui g() o è derivabile? Se sì, quali soo? E perchè? Prima circofereza. y y ( ) y Secoda circofereza 9 Terza circofereza ( ) y y, g y 6 8, y 9, 5 y y y 9 I puti i cui la fuzioe o è derivabile soo =-,,,5 perché la tagete i tali puti è parallela all asse e quidi la derivata verrebbe ifiita. Per quali valori di, - < < 5, la fuzioe f preseta u massimo o u miimo relativo? Si illustri il ragioameto seguito. I puti tali che f '( ) g( ) soo =-,,,5 5 di cui il puto = è u puto di miimo relativo = u puto di massimo. Tra - e la fuzioe è crescete, tra e la fuzioe decresce e tra e 5 la fuzioe cresce

2 crescete, f ( ) decrescete, crescete, 5 Se ( ) ( ) f g t dt, si determii f() e f(). Per il sigificato di itegrale, e cosiderado g è composto da semicerchi ho che r r f () g( t) dt g( t) dt g( t) dt Cosiderado che L area del semi segmeto circolare ABD è r Area( semi _ segmeto) r r si si f () g( t) dt Area _ semicerchio seg _ circ( ABD) Si determiio i puti i cui la fuzioe f ha derivata secoda ulla. i puti i cui f ''( ) g '( ) soo =, =, =9/ Cosa si può dire sul sego di f()? Qual è l adameto qualitativo di f()? a) La fuzioe per f ( ) g( t) dt b) poi cresce fio a f () g ( t ) dt c) d) che è u massimo poi decresce fio a f () g( t) dt che è u miimo e poi cresce fio a 5 f (5) g( t) dt g( t) dt 8 8.Quidi la fuzioe è sempre positiva.

3 Osserviamo che Dato che (calcolo di aree) f ( ) g( t) dt f () g( t) dt f () g ( t ) dt 5 5 f (5) g( t) dt g( t) dt g( t) dt 8 8 ( ) 7 f arcsi, ( ) arcsi( ) ( ), arcsi( 9) ( ), 5 Per calcolare y=f() Abbiamo itegrato le tre fuzioi di g(): a d a arcsi a a f( ) d arcsi c f ( ) arcsi c c da cui c ( ) f ( ) ( ) d arcsi ( ) c f() arcsi( ) c c da cui c f( ) ( ) d arcsi ( ) c f ( ) ( ) d arcsi( 9) ( ) c 8 5 f() arcsi( ) c c 8 6 6

4 PROBLEMA Nel piao riferito ad u sistema Oy di coordiate PROBLEMA Nel piao riferito ad u sistema Oy di coordiate cartesiae siao assegate le parabole d equazioi: y y a) Si disegio le due parabole e se e determiio le coordiate dei fuochi e le equazioi delle rispettive rette direttrici. Si deoti co A il puto d itersezioe delle due parabole diverso dall origie O. b y F ; a a y b F ; a a F ; direttrice y a F ; direttrice a y y y y y y ( ) y y b) L ascissa di A è ; si dica a quale problema classico dell atichità è legato tale umero e, mediate l applicazioe di u metodo iterativo di calcolo, se e trovi il valore approssimato a meo di Il problema legato al umero è il classico problema di raddoppiare il volume l di u dato cubo. Ovviamete il volume doppio l ha come spigolo l ed essedo u umero irrazioale, è impossibile trovarlo solamete co riga e compasso, come si voleva fare ell atichità. La leggeda arra, che a Delo per compiacere Apollo, si voleva costruire u altare doppio di quello che c era.

5 Per trovare il valore,599 Applico il metodo di Newto alla fuzioe f ( ) Per trovare la soluzioe. y f ( ) è ua fuzioe cotiua e Per il teorema degli zeri ell itervallo [,], esiste almeo ua soluzioe. Tale soluzioe è uica per il fatto che la derivata f '( ) è sempre positiva e quidi sempre crescete il tale itervallo. X f f' Errore -,6E-,,77 5, -7,E-,6889,8955,795 -,97E-,599 5,9E-5,7697 -,E-5,599 5,85E-,76 -,E- Valore, 6 o,5 c) Sia D la parte di piao delimitata dagli archi delle due parabole di estremi O e A. Si determii la retta r, parallela all asse, che stacca su D il segmeto di lughezza massima. Scrivo la parabola y come fuzioe (co k, umero reale ). y. E iterseco le due parabole co la retta y=k. y k k B B B y k y k y k y k k k C C C C y k y k y k y k Allora la distaza richiesta i fuzioe di k è k d( k) BC B C k d() Agli estremi ho 6 B C d( ) BC Dato che agli estremi il valore è uguale a zero il valore massimo lo trovo poedo, la derivata uguale a zero.

6 k d'( k) d '( k) k k k k k k k k (valore per cui la distaza è massima) d) Si cosideri il solido W otteuto dalla rotazioe di D itoro all asse. Se si taglia W co piai ortogoali all asse, quale forma hao le sezioi otteute? Si calcoli il volume di W. Ovviamete le sezioi soo tutte coroe circolari. Di raggio r e r. Applicado la formula dei solidi di rotazioe attoro all asse di ua regioe compresa tra due curve ho che 5 b ( ) ( ) ( ) a 5 Volume f g d d d Volume 5 5 5

7 QUESTIONARIO. Sia pu ( ) poliomio di grado. Si dimostri che la sua derivata -esima è dove coefficiete di p( ) a a... a a p'( ) a ( ) a... a p''( ) ( ) a ( )( ) a... a. p ( ) ( )( )... a ( )( )... a p ( ) ( )( )... a! a a è il. Siao ABC u triagolo rettagolo i A, r la retta perpedicolare i B al piao del triagolo e P u puto di r distito da B. Si dimostri che i tre triagoli PAB, PBC, PCA soo triagoli rettagoli. per costruzioe BAC ˆ PBA ˆ PBC ˆ 9 e quidi i ABC, PAB e PBC soo ovviamete retti. Se idichiamo co AB a BC c AC b e co PB PC z PA y E applicado il teorema di pitagora ai triagoli citati abbiamo che c a b c a b z c z c sottraedo la terza riga alla secoda abbiamo che y a y a z y c a c a b da cui z y c a b, z y b, z b y da questa relazioe si z y c a deduce che il triagolo PAB è rettagolo i A. Si poteva applicare il teorema delle rette perpedicolari, e arrivare semplicemete alla soluzioe come cosegueza

8 . Sia r la retta d equazioe y = a tagete al grafico di y e. Quale è la misura i gradi e primi sessagesimali dell agolo che la retta r forma co il semiasse positivo delle ascisse? Sia P( ; y ) P( ; e ) il puto di tageza e O(,) l origie degli assi. La retta tagete ha m a e la derivata di y Da cui P e P e el puto P è y' e P yp y e e a ioltre per defiizioe di coefficiete agolare m P e m P P e P Cofrotado le due relazioi m a e e P ( P ) P P P P a e Allora P(; e ) m e e dato che ta m e dove è l agolo richiesto. ta,78 69,8 69 8'8,89'' P P P. Si calcoli co la precisioe di due cifre decimali lo zero della fuzioe f ( ). Come si può essere certi che esiste u uico zero? Osserviamo per prima cosa che f ( ) è ua fuzioe cotiua. Ioltre osserviamo che f () f () quidi ell itervallo (,) ha i valori agli estremi discordi e quidi ammette almeo ua soluzioe, per il teorema degli zeri di ua fuzioe cotiua. E dato che f '( ) come somma di due quatità sempre positive, la derivata prima è sempre positiva, quidi sempre crescete e allora lo soluzioe è uica. Applichiamo il medo di ewto per la ricerca degli zeri poedo,5 f f',5 -,8,79,56558,98,55,56,67E-5,78,5689,89E-,675 P Il valore è,56

9 5. Sia G il grafico di ua fuzioe f ( ). Si illustri i che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta = k. ' k Cosideriamo l equazioe di ua simmetria assiale di asse =k t e quidi y' y ' k cosideriamo l itersa t sostituiamo alla fuzioe y f ( ) e se y y' y' f ( ' k) è uguale a y' f ( ') allora il grafico G sarà simmetrico rispetto alla retta =k. 6. Si trovi l equazioe cartesiaa del luogo geometrico descritto dal puto P di coordiate (cost, set) al variare di t,. t π cos t Pt () y si t cos t y si t elevo al quadrato e sommo cos t 9 y si t y cos t si 9 y da cui equazioe caoica di u ellisse 9 7. Per la ricorreza della festa della mamma, la sig.ra Luisa orgaizza ua cea a casa sua, co le sue amiche che hao almeo ua figlia femmia. La sig.ra Aa è ua delle ivitate e perciò ha almeo ua figlia femmia. Durate la cea, la sig.ra Aa dichiara di avere esattamete due figli. Si chiede: qual è la probabilità che ache l altro figlio della sig.ra Aa sia femmia? Si argometi la risposta. Casi possibili E=(F, M) E=(M, F), E=(F,F) Casi favorevoli E=(F,F) f P( E) p p P( EE E) 8. Se > e, e soo i progressioe aritmetica, qual è il valore di?! ( )! a ( )!! ( )!! ( )( )! ( ) a ( )!! ( )!!! ( )( )( )! ( )( ) a ( )!! ( )!! 6 Per esser i progressioe aritmetica, la differeza tra due umeri cosecutivi è sempre costate (p.e. d) d a a e d a a Da cui d a a a a t

10 ( )( ) ( ) ( ) mettedo i evideza 6 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Dato che > la soluzioe è =7 9. Si provi che o esiste u triagolo ABC co AB =, AC = e ABC ˆ 5. Si provi altresì che se AB =, AC = e ABC ˆ, allora esistoo due triagoli che soddisfao queste codizioi. AB =, AC = e ABC ˆ 5. Applicado il teorema di Carot. E poedo CB abbiamo che 9 cos5 9 Dato che il delta è egativo o ho soluzioi. 9 cos 7,7,9 AC CB AB AB CB cos 9 Si poteva applicare ache il teorema dei sei. AB =, AC = e ABC ˆ AC AB si si si si, 6 soluzioe impossibile AB =, AC = e ABC ˆ. AC AB si si si si arcsi 8.6 arcsi,

11 . Si cosideri la regioe R delimitata da y, dall asse e dalla retta =. L itegrale ( ) d forisce il volume del solido: a) geerato da R ella rotazioe itoro all asse ; b) geerato da R ella rotazioe itoro all asse y; c) di base R le cui sezioi co piai perpedicolari all asse soo semicerchi di raggio d) essuo di questi. Si motivi esaurietemete la risposta. a) No è possibile perché l itegrale sarebbe ( ) d b) È la risposta esatta perché calcola l itegrale come somma di cilidri cavi di raggio altezza e larghezza della coroa d Quidi dv S _ d d itegrado da a ho che laterale cilidro dv d ottego la superficie di rotazioe 5 5 dv d d d Calcolado l area come rotazioe tra le curve = e la curva y co la rotazioe attoro a y Osserviamo che per =, y= 5 y b 8 Volume ( f g ) dy () ( y ) dy 6 y dy 6y a c) No può essere perché il raggio delle sezioi o è ma /