5. Derivate. Derivate. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivate di funzioni composte e di funzioni inverse

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1 Di cosa parleremo Le derivate costituiscoo, per la maggioraza degli studeti, l argometo più semplice di questa parte dell aalisi matematica. I questo capitolo e daremo il cocetto assieme al sigificato geometrico e fisico sottostate. Ci occuperemo, ioltre, delle derivate delle diverse fuzioi: elemetari (alcue delle quali sarao dimostrate), composte e iverse; daremo le regole di derivazioe ed esporremo i teoremi. Dimostrazioe delle derivate delle fuzioi y k y y y se y cos y ta Derivata destra Derivata siistra Teoremi sulle derivate: Rolle Lagrage Corollari Caucy l Hospital Derivate Derivate di fuzioi elemetari Sigificato geometrico della derivata Derivata della somma di due fuzioi Derivate della differeza di fuzioi Derivata del prodotto di due fuzioi Derivata del prodotto di più di due fuzioi Derivata del quoziete di fuzioi Derivata della poteza di fuzioi Regole di derivazioe Derivate di fuzioi composte e di fuzioi iverse Derivate di ordie superiore Sigificato fisico della derivata 9

2 . La derivata Sia y f() ua fuzioe defiita e cotiua i u itervallo [a, b], siao e + due puti di detto itervallo; si dicoo: icremeto della variabile idipedete la quatità: 0 icremeto della variabile dipedete l icremeto della fuzioe dal puto avete ascissa al puto avete ascissa + : f( + ) f() rapporto icremetale il rapporto tra l icremeto della fuzioe e l icremeto della variabile idipedete: ( ) ( ) f + f Si dice derivata della fuzioe y f(), il limite, se esiste ed è fiito, del rapporto icremetale per ce tede a zero: f ' y' ( ) lim Derivata destra e derivata siistra 0 0 ( ) ( ) f + f lim È possibile ce, pur o esistedo il limite per 0 del rapporto icremetale appea cosiderato, esistao e siao fiiti il limite destro e/o siistro, si parla i tal caso, rispettivamete, di derivata destra e derivata siistra, e si idicao i questo modo: + ( ) f ' lim 0 + ( ) ( ) f + f e f ' ( ) lim 0 ( ) ( ) f + f Ua fuzioe si dice derivabile i tutto l itervallo i cui è defiita se ammette la derivata i ogi puto di detto itervallo.

3 Ogi fuzioe f() derivabile i u puto è ivi cotiua; o è vero il cotrario, ossia, o tutte le fuzioi cotiue i u itervallo, soo derivabili i ogi puto dell itervallo, potedo la derivata destra i u puto essere diversa dalla derivata siistra, detti puti si ciamao puti agolosi. Esempio La fuzioe: y 5 è cotiua el puto di ascissa 5, tuttavia, o è ivi derivabile, ifatti, le derivate destra e siistra soo, rispettivamete, uguali a + e. ) Sigificato geometrico della derivata Il diagramma della fuzioe y f() sia rappresetato dalla curva tracciata ella figura seguete. α' O y P α P' a f() α' La derivata f'() è il coefficiete agolare della retta tagete alla curva di equazioe y f() el puto di ascissa. f( + ) Q f ( + ) f() Q" Q' + y f () b

4 Il rapporto icremetale: ( ) ( ) f + f Q" Q PQ " taα' è la tagete trigoometrica dell agolo α' idividuato dall asse delle ascisse e dalla retta passate per i puti P e Q, aveti ascissa, rispettivamete, e + ; essedo il triagolo PQ"Q rettagolo. Se tede a zero, il puto Q tede al puto P, per cui la secate PQ ruota itoro a P e tede alla posizioe limite della tagete alla curva el puto P. Di cosegueza, l agolo α' tede ad assumere il valore α, per cui il coefficiete agolare della retta secate tede al coefficiete agolare della retta tagete i P e si a ce la derivata f '() è proprio il coefficiete agolare della retta tagete alla curva el puto di ascissa : f '( ) lim taα 0 Se f '() 0 si a ce taα 0, per cui la tagete, el puto di ascissa è parallela all asse. Se esistoo e soo diverse tra loro le derivate destra e siistra, la curva ammette i P due tageti diverse. Il differeziale La derivata di ua fuzioe y f() i u dato itervallo è: f '( ) lim 0 Sia ε u ifiitesimo fuzioe di, si a dalla defiizioe di derivata: f '( ) +ε

5 Se si assume ε 0, per 0, allora ε è fuzioe cotiua di, per cui, si a: f '() +ε L icremeto della fuzioe è dato, quidi, dalla somma di ua parte pricipale (f '() ) e di u ifiitesimo (ε ). La parte pricipale si ciama differeziale della fuzioe y f () ed è uguale al prodotto della derivata della fuzioe per il differeziale della variabile idipedete, e si idica i questo modo: dy f '() d Dalla defiizioe di differeziale si evice ce la derivata può essere vista come rapporto di differeziali, ifatti, si a: dy d f '( ) Graficamete, il differeziale di ua fuzioe o è altro ce l icremeto dell ordiata della tagete al diagramma della fuzioe, corrispodete all icremeto della variabile. 3) Sigificato fisico della derivata Cosideriamo il moto di u puto su ua traiettoria qualsiasi. La ozioe di derivata è stata itrodotta per cooscere la velocità del puto i u dato istate, per dare, cioè, ua formulazioe matematica al cocetto di velocità istataea. Cosiderado ce la velocità media v m di u oggetto è data dal rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo t impiegato a percorrerlo, ossia: vm t 3

6 si a ce la velocità istataea v è il limite della velocità media per t 0; i simboli: 4 v lim v lim t t m t 0 0 Derivado la velocità si ottiee l accelerazioe. Derivate di fuzioi elemetari Fuzioe Derivata Fuzioe Derivata y k y ' 0 y y ' y y' y y ' m y m y ' y e y' e m y a y' a l a y l y ' y log a y ' loga e y y ' (l + ) y se y' cos y cos y ' se y ta y arcse y arcta y ' y cota y ' cos se y ' y ' + y arccos y ' y arccota y ' +

7 Dimostrazioi delle derivate di alcue fuzioi La derivata di ua costate è 0; i simboli: y k y 0 f( + ) f() k k 0 0 La derivata della variabile dipedete è ; i simboli: y y f( + ) f() + La derivata della fuzioe poteza co espoete itero y è y f( + ) f() ( ) + Ricordado ce, per la formula del biomio di Newto, si a: (a b) 0 a a + b b Il rapporto icremetale diviee: k k k a b k 0 f( + ) f() da cui, il limite del rapporto icremetale: f( + ) f() lim lim

8 La derivata della fuzioe y se è y cos 6 f ( + ) f ( ) se( + ) se Applicado la formula di prostaferesi, il rapporto icremetale diviee: cos se se( + ) se cos + se da cui, il limite del rapporto icremetale: se lim cos + lim cos + cos cos 0 0 La derivata della fuzioe y cos è y se f( + ) f() cos( + ) cos Applicado la formula di prostaferesi, il rapporto icremetale diviee: se se cos( + ) cos se se + da cui, il limite del rapporto icremetale: se lim se + lim se + se se 0 0

9 La derivata della fuzioe y ta è y' cos f( + ) f() ta( + ) ta se( + ) se() cos( + ) cos() se( + ) cos () se( ) cos( + ) cos(+ ) cos() se( + ) cos( + ) cos() se() cos(+ ) cos() da cui, il limite del rapporto icremetale: 4) Regole di derivazioe lim se () 0 cos( + ) cos() cos () cos () Siao date due fuzioi f () e g() defiite i u itervallo comue e derivabili i quei puti dell itervallo a cui si fa riferimeto. Somma di fuzioi La derivata della somma di fuzioi è uguale alla somma delle derivate delle sigole fuzioi, si a: y f () + g() y ' f '() + g'() 7

10 Differeza di fuzioi La derivata della differeza di fuzioi è uguale alla differeza delle derivate delle sigole fuzioi, si a: Prodotto di due fuzioi 8 y f () g() y ' f '() g '() La derivata del prodotto di due fuzioi è uguale alla somma dei prodotti di ciascua fuzioe per la derivata dell altra, si a: y f () g() y ' f '() g() + f () g '() I particolare, la derivata del prodotto di ua costate per ua fuzioe è uguale al prodotto della costate per la derivata della fuzioe, si a: Prodotto di più di due fuzioi y kf () y ' kf '() La derivata del prodotto di più di due fuzioi è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ciascua fuzioe per tutte le altre fuzioi, o derivate; siao f (), g() e z(), tre fuzioi, si a: y f() g() z() y ' f '() g() z() + f() g'() z() + f() g() z '() Quoziete di fuzioi La derivata del quoziete di due fuzioi è uguale alla derivata del umeratore moltiplicata per il deomiatore, meo il umeratore per la derivata del deomiatore, il tutto diviso per il quadrato del deomiatore, si a: ( ) f f g f g y y g ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ' g [ ( )]

11 Poteza di ua fuzioe La derivata della poteza ma di ua fuzioe f() è uguale al prodotto di f per la derivata della fuzioe, si a: [ ( )] [ ] ( ) y f y' f f ' ( ) [ ] ( ) Tale regola vale oltre ce per le poteze ad espoete itero positivo, ace per le poteze co espoete reale qualuque. Esempi y y' 3 0 y 7 5 y' y ( ) ( ) y' ( ) + ( ) (6 + 5) y l y' l + (l + ) y [3 + ] 4 y' 4[3 + ] 3 3 [3 + ] 3 y se 3 y cos y' 3 se cos y' 5 8 se y ( 3 se ) y' ( 3 se ) (4 3 cos ) y 3 cos 3 y' 6 cos 3 9 cos se y 3 3 y' y [ ] 4 y'