Marino Badiale Paolo Caldiroli Sandro Coriasco Esercizi di analisi matematica

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3 Mario Badiale Paolo Caldiroli Sadro Coriasco Esercizi di aalisi matematica

4 Copyright MMXII ARACNE editrice Srl wwwaraceeditriceit via Raffaele Garofalo, 33/A B 0073 Roma 06) ISBN I diritti di traduzioe, di memorizzazioe elettroica, di riproduzioe e di adattameto ache parziale, co qualsiasi mezzo, soo riservati per tutti i Paesi No soo assolutamete cosetite le fotocopie seza il permesso scritto dell Editore I edizioe: giugo 202

5 Prefazioe Raccogliamo i questo volume buoa parte degli esercizi che abbiamo assegato, egli ultimi dieci ai, alle prove scritte degli esami del corso di Aalisi Matematica per il Corso di Laurea i Iformatica presso l Uiversità di Torio Si tratta di u testo che può essere utile per tutti gli studeti che devoo preparare ua prova scritta di Aalisi Matematica, qualsiasi sia il Corso di Laurea al quale soo iscritti I temi trattati soo quelli tipici di u primo corso di Aalisi Matematica calcolo differeziale ed itegrale per fuzioi di ua variabile), co l aggiuta di qualche argometo che o sempre fa parte dei programmi dei corsi del primo ao equazioi differeziali, serie umeriche e serie di poteze, calcolo differeziale per fuzioi di due variabili) Ogi capitolo cotiee u breve paragrafo co richiami teorici, l eleco dei testi degli esercizi proposti ed i corrispodeti svolgimeti Segaliamo che il testo di teoria seguito per le lezioi del corso di Aalisi Matematica cui si riferiscoo gli esercizi qui raccolti è il libro di Michiel Bertsch: Istituzioi di Matematica, Bollati Borighieri, 994 I ostri più siceri rigraziameti vao a Fracesca Alessio, Vivia Barutello, Elea Cordero, Margherita Fochi, Alessadro Morado e Gabriella Viola, che hao collaborato co oi allo svolgimeto della didattica ed alla preparazioe degli esami da cui è tratto il materiale del testo Gli Autori i

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7 Idice Prefazioe i Calcolo differeziale per fuzioi di ua variabile Richiami di teoria 2 Esercizi di calcolo di iti 8 Svolgimeti 0 3 Esercizi su cotiuità e derivabilità 22 Svolgimeti 25 4 Esercizi sugli sviluppi di Taylor e sulla retta tagete 30 Svolgimeti 32 2 Grafico delle fuzioi di ua variabile 4 2 Richiami di teoria 4 22 Esercizi sullo studio dell adameto del grafico di ua fuzioe 43 Svolgimeti Esercizi sulla soluzioe di equazioi algebriche e trascedeti 27 Svolgimeti 28 3 Calcolo itegrale per fuzioi di ua variabile 39 3 Richiami di teoria Esercizi di calcolo di primitive e itegrali defiiti 44 Svolgimeti Esercizi di calcolo di itegrali impropri 49 Svolgimeti Esercizi sul carattere di itegrali impropri 55 Svolgimeti 56 4 Serie umeriche e serie di poteze 62 4 Richiami di teoria Esercizi sulle serie umeriche 65 Svolgimeti Esercizi sulle serie di poteze 77 Svolgimeti 79 5 Equazioi differeziali ordiarie 87 5 Richiami di teoria Esercizi 90 Svolgimeti 95 iii

8 6 Calcolo differeziale per fuzioi di due variabili 25 6 Richiami di teoria Esercizi 27 Svolgimeti 222 iv

9 Capitolo Calcolo differeziale per fuzioi di ua variabile Richiami di teoria Il calcolo dei iti si basa pricipalmete sull applicazioe di alcue regole geerali e sulla coosceza di alcui iti fodametali Teciche utili per arrivare al risultato soo la regola di de l Hôpital, i cofroti asitotici e gli sviluppi di Taylor Regole di calcolo Per quato riguarda il ite di somme, prodotti e quozieti valgoo le segueti regole: Suppoiamo che fx) L e gx) M per x a Se L, M R allora: fx) + gx) L + M, fx)gx) LM, fx) gx) L purché sia M 0 M Il valore a può essere u umero reale oppure ± Le precedeti regole algebriche per i iti valgoo i modo aalogo el caso di successioi ad esempio se a L e b M allora a + b L + M per + ) Se L e/o M soo ifiiti, le regole precedeti si estedoo sulla base delle segueti tabelle r + = + r R r = r R + + = + = r + ) = + r > 0 e r = + r ) = r > 0 e r = + r + ) = r < 0 e r = r ) = + r < 0 e r = { r ± = 0 r R r + se r > = se r < 0 { r se r > 0 0 = + se r < 0

10 2 M Badiale, P Caldiroli, S Coriasco Nelle ultime due tabelle le frazioi el cui deomiatore compare 0 + o 0 soo r da itedere el seso seguete: 0 sigifica che si sta valutado u ite della + forma fx) x a gx) dove fx) r per x a e { gx) 0 per x a gx) > 0 per ogi x I, x a essedo I u itoro di a coteuto el domiio di g Se a = +, per itoro di a si itede qualsiasi itervallo della forma x 0, + ) Aalogamete, gli itori di soo gli itervalli della forma, x 0 ) Nota bee No soo defiite le operazioi +, 0 ± ), ± ±, 0 0 Quado si preseta ua di queste situazioi si parla di forma idetermiata o forma di idecisioe I questi casi la valutazioe del ite può essere fatta teedo coto delle particolari fuzioi coivolte U altro risultato utile è il seguete teorema di cofroto: Se fx) C per ogi x i u itoro di a, x a, e gx) 0 per x a allora fx)gx) 0 per x a Se fx) C per ogi x i u itoro di a, x a, e gx) + per x a allora fx) + gx) + per x a Se fx) C per ogi x i u itoro di a, x a, e gx) per x a allora fx) + gx) per x a Per quato riguarda il ite di fuzioi composte vale che Se fx) L per x a e gy) M per y L allora gfx)) M per x a I valori L, M e a possoo essere fiiti o ifiiti Nel caso di iti di successioi, la versioe corrispodete della regola sopra riportata si può formulare el modo seguete: Se a L per + e gy) M per y L allora ga ) M per + Alcui iti fodametali r = + se r > se r = 0 se r < o esiste se r { se r > 0 r = 0 se r = 0

11 Calcolo differeziale per fuzioi di ua variabile 3 a + = 0 b = { 0 se 0 < a < + se < a + { 0 se 0 < b + + se b < 0 log b + ) = { + se b > se 0 < b < { + se 0 < a < a = 0 se < a + { + se 0 < b + + ) b = 0 se b < 0 log b 0 + ) = { se b > + se 0 < b < arcta+ ) = π 2 arcta ) = π 2 Ricordiamo ioltre che o esistoo i iti di si x e cos x per x ± Spesso però soo utili le itazioi si x e cos x Limiti otevoli a x = log a a > 0) + x) log + x) x = e = x x + x) α si x = α α 0) x x = arcsi x = x cos x x 2 = 2 ta x arcta x = = x x x + x α = + se α, b > 0, b log b x x + r x = + se r >, α R xα = + r = e ) r! r R = + r R r Cofroti asitotici fx) Due fuzioi fx) e gx) si dicoo asitotiche per x a se = I x a gx) tal caso scriviamo fx) gx) per x a La precedete defiizioe richiede che gx) 0 e ache fx) 0) per ogi x i u itoro di a, x a Elechiamo le pricipali regole sul cofroto asitotico: fx) gx) per x a se e solo se gx) fx) per x a, se fx) gx) e gx) hx) per x a, allora fx) hx) per x a, se fx) L per x a co L R, L 0, allora fx) L per x a,

12 4 M Badiale, P Caldiroli, S Coriasco se fx) gx) per x a allora fx)) α gx)) α per x a, per ogi α; i particolare fx) gx) per x a, se { f x) g x) f 2 x) g 2 x) per x a allora f x) f 2 x) g x) g 2 x) per x a, se { f x) g x) f 2 x) g 2 x) per x a allora f x) f 2 x) g x) g 2 x) per x a Ivece i geerale o è vero che: se fx) gx) e a è ua costate positiva allora a fx) a gx) se f x) g x) e f 2 x) g 2 x) allora f x) + f 2 x) g x) + g 2 x) Ioltre o si può mai scrivere che fx) 0 perché o si può eseguire la divisioe per zero) Defiizioe e proprietà del cofroto asitotico valgoo i modo aalogo el caso di successioi, scrivedo a e b al posto di fx) e gx) rispettivamete e cosiderado sempre + i luogo di x a Cofroti asitotici otevoli Per x 0 si ha che log + x) x a x x log a a > 0) si x x arcsi x x cos x x2 2 + x) α α x α 0) ta x x arcta x x Per x + si ha che r x + c x α r x se r >, α, c R x α + c log b x x α se α, b > 0, b, c R Cotiuità Ua fuzioe defiita i u itoro I di u dato umero a R si dice cotiua i a se x a fx) = fa) Le fuzioi elemetari x N), x, x α α R), a x, log x, si x, cos x, arcsi x, arccos x e arcta x soo cotiue i ogi puto del loro domiio Ogi fuzioe che sia combiazioe delle suddette fuzioi elemetari risulta cotiua sul proprio domiio Geeralmete il problema di stabilire se ua fuzioe f è cotiua i u dato puto a del proprio domiio si preseta quado:

13 Calcolo differeziale per fuzioi di ua variabile 5 ) l espressioe geerale di fx) o è sigificativa per x = a e il valore della fuzioe i a è assegato a parte : { fx) per x I, x a fx) = l per x = a 2) f è defiita a tratti, co espressioi diverse, prima e dopo il valore a: { { f x) per x I, x a f x) per x I, x < a fx) = o fx) = f 2 x) per x I, x > a f 2 x) per x I, x a f x) per x I, x < a oppure fx) = f 2 x) per x I, x > a l per x = a I etrambi i casi, geeralmete per verificare se f è cotiua i a si usa la defiizioe I particolare: Nel caso ) si calcola fx) x a Si ha che f è cotiua i a se e solo se tale ite esiste, fiito e coicide co l Nel caso 2) si calcolao f x) e f 2x) x a x a + Si ha che f è cotiua i a se e solo se tali iti esistoo, soo fiiti, tra loro uguali e coicidoo co il valore fa) Classificazioe di u puto di discotiuità Dati u puto a R e ua fuzioe f defiita i u itoro I di a, suppoiamo che f o sia cotiua i a Il puto a si dice: discotiuità eiabile se esiste fiito x a fx) = l ma l fa); discotiuità di prima specie o salto se esistoo fiiti i iti l = fx) e l + = fx) ma l l + ; x a x a + discotiuità di secoda specie i tutti gli altri casi Attezioe: questa classificazioe è adottata ella gra parte dei testi e mauali, ma o da tutti Alcui autori usao espressioi leggermete differeti Derivabilità e retta tagete al grafico Dato u valore x 0 R, ua fuzioe f defiita i u itoro di x 0 si dice fx) fx 0 ) derivabile i x 0 se esiste fiito I tal caso, tale ite si x x 0 x x 0 chiama derivata di f i x 0 e si deota f x 0 ) Se f è derivabile i x 0, è possibile costruire la retta tagete al grafico di f el puto x 0, fx 0 )) e tale retta è idividuata dall equazioe y = fx 0 )+f x 0 )x x 0 )

14 6 M Badiale, P Caldiroli, S Coriasco Derivate elemetari e regole di derivazioe Il calcolo della derivata di ua fuzioe espressa come combiazioe di fuzioi elemetari si effettua applicado le segueti regole di derivazioe αf + βg) x) = αf x) + βg x) fg) x) = f x)gx) + fx)g x) ) f x) = f x)gx) fx)g x) g gx) 2 f g) x) = f gx))g x) essedo f g)x) = fgx)) e ricordado le derivate delle fuzioi elemetari: fx) f x) fx) f x) x α αx α cos x si x a x a x log a arcsi x x 2 log x si x x cos x arccos x arcta x x 2 + x 2 Regola di de l Hôpital Si vuole calcolare u ite della forma fx) x a gx) e si preseta ua forma idetermiata del tipo 0 0 I u caso del geere può essere utile applicare la seguete regola Suppoiamo che f e g siao derivabili i u itoro I di a, co g x) 0 per ogi x I, x a fx) 0 e gx) 0 per x a Se fiito o ifiito) f esiste x) x a g x) allora fx) x a gx) = f x) x a g x) Il valore a può essere fiito o ifiito Ioltre la regola precedete si applica ache el caso di forme idetermiate del tipo, cioè quado fx) ± e gx) ± per x a Poliomi di Taylor, sviluppi di Taylor co resto secodo Peao Dati u valore x 0 R e ua fuzioe f defiita i u itoro di x 0 e derivabile volte i x 0, si chiama poliomio di Taylor di f di ordie co puto base x 0

15 Calcolo differeziale per fuzioi di ua variabile 7 il poliomio P x) = fx 0 )+f x 0 )x x 0 )++ f ) x 0 ) x x 0 ) =! k=0 f k) x 0 ) x x 0 ) k k! dove f k) x 0 ) deota la derivata k-esima di f calcolata i x 0 se k = 0 si itede f 0) x 0 ) = fx 0 )) Si chiama sviluppo di Taylor di f all ordie co puto base x 0 l espressioe fx) = fx 0 ) + f x 0 )x x 0 ) + + f ) x 0 ) x x 0 ) + ox x 0 ) ) }{{! } P x) per x x 0 dove o x x 0 ) ) è il resto secodo Peao La scrittura gx) = o x x 0 ) ) si legge o piccolo di x x 0 ) e sta a sigificare che gx) è ua fuzioe che tede a zero più rapidamete di x x 0 ) gx) cioè x x 0 ) 0 per x x 0 Nel caso i cui x 0 = 0, gli sviluppi di Taylor i x 0 si chiamao ache sviluppi di McLauri Sviluppi di McLauri di alcue fuzioi elemetari x = + x + x2 + + x + ox ) e x = + x + x2 2! + + x! + ox ) si x = x x3 3! + x5 x ) 5! 2 + )! + ox2+2 ) cos x = x2 2! + x4 x2 + + ) 4! 2)! + ox2+ ) log + x) = x x 2 + x x + + )+ 3 + ox ) + x) α αα ) = + αx + x 2 αα )α + ) + + x + ox ) 2!! Attezioe: i precedeti sviluppi valgoo tutti solo per x 0 Pricipali regole per il simbolo di o piccolo Per defiizioe abbiamo che fx) = ox ) per x 0 se fx) 0 per x 0 x I particolare, se = 0 allora x = e duque scrivere fx) = o) per x 0 sigifica che fx) 0 per x 0 Le segueti proprietà valgoo per x 0: oαx ) = αox ) = ox ), per ogi α 0 ox ) + ox m ) = ox ) se m ox )ox m ) = ox +m ) x ox m ) = ox +m ) I particolare ox ) = x o)

16 8 M Badiale, P Caldiroli, S Coriasco [ox )] m = ox m ) o ox )) = ox ) o x + ox )) = ox ) 2 Esercizi di calcolo di iti Calcolare i segueti iti: si x x cos x 2 x si x e x 2 cos x 3 x ) siα ) 5 α per α = 2,, 2 si x x) 2 6 cosx 3 ) 2 2 ) ) 2 cos x) 3 8 x 3 + x 2 log + e ) 9 log2 + e ) 0 x 2 ± e x 2 si x 2 si πx x+ x 2 x 2 2 log 2 ) 3 si x arcta x x 3 si log 2 + ) log 2 si 2

17 Calcolo differeziale per fuzioi di ua variabile 9 6 [ + ) + ] 7 x ± x arctg x π 2 8 x + x3 si 4 x 9 ) log[3 + cos3 )] x 2 + e cos x 20 x + x 2 cos x 2 x [ x 4 log log + 2 ) 22 e 2+log e x 23 x + loge x2 + 2x) 24 x π 2 e x si x) ) x π x 2 ) x 2 ] e 25 log + ) log 26 2x x si x 3 cos x x 2 2 log x 27 x x 3 3 log x 28 2x si 2x x 3 29 x e x + xe x ) 30 [log3 + si ) 3 log ] e x 2 3 x + log x) 3/ log3 + 3 ) 2 + log 2 + ) + si 2 log si si x tg x logx + ) x + x2 2

18 0 M Badiale, P Caldiroli, S Coriasco e 35 2 log ) 7 log x x) e x si x 36 x 3 37 log x) log + 2 ) x + x [ 38 [loge + )] log + )] Svolgimeti Per eiare l idetermiazioe usiamo la formula del biomio ella forma a b = a b a+ b e troviamo = = ) = 0 2 Il ite si preseta ella forma idetermiata 0 e il teorema di de L Hôpital 0 è applicabile Co ua duplice applicazioe del medesimo teorema, si ottiee si x x cos x x si x cos x cos x + x si x = si x + x cos x = si x + x cos x cos x + cos x x si x = 0 I alterativa, è possibile utilizzare gli sviluppi di McLauri di si x e cos x: si x x cos x x si x x 3 ) x 6 + ox4 ) x x2 2 + ox3 ) = ) x x x3 6 + ox4 ) x 3 x = 6 x + x3 2 + ox4 ) x 2 + ox 3 ) = x ox4 ) x 2 + ox 3 ) = 0 3 È possibile procedere co varie teciche Se si utilizzao gli sviluppi di Taylor dell espoeziale e del coseo, è sufficiete cosiderare solo i primi due

19 Calcolo differeziale per fuzioi di ua variabile termii, cioè e t = + t + ot) e cos t = 2 t2 + ot 3 ), otteedo: e x2 cos x x 2 = = x 2 + x2 + ox2 ) x2 + ox 2 ) x 2 ) 3 = 2 + ox2 ) x 2 = 3 2 x ox3 ) Utilizzado i iti otevoli, si può effettuare il calcolo el modo seguete ) e x2 cos x e x2 x 2 = x 2 + cos x x 2 = + 2 = 3 2 Siccome il ite si preseta ella forma idetermiata 0, si può utilizzare ache 0 il teorema di de L Hôpital svolgere il calcolo per esercizio) 4 Per eiare l idetermiazioe si può moltiplicare e dividere per all itero delle paretesi ed usare il ite otevole + ) x = e x I questo modo si trova che ) [ ) 4 4 = ) 4 4 = = e 4 e = e 3 ) ] = I alterativa possiamo valutare il ite di fuzioe ) x x 4 x + x Per calcolare quest ultimo possiamo scrivere x 4 x ) x 4 log x log = x + x x + 4 ) ) = ) = e 4 e = e 3 4 ) ) ) x = e x log x 4 x ) e calcolare x 4 x Per eiare l idetermiazioe di tipo 0 i cui si preseta il ite possiamo 0 applicare il teorema di de L Hôpital Si ottiee ) x 4 log x 3 x x 4 x 4) = 2 x x 2 x + x + x 4 x 4) 2 = 3 x = 3 x 2 x + x )