Def. Considerata la funzione f avente insieme di esistenza A diremo che x 0 è un punto di massimo assoluto (minimo assoluto) se:

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1 Puti Stazioari. Estremati locali e assoluti. De. Cosiderata la uzioe deiita i u itoro U di diremo ce è u puto di massimo locale miimo locale se: De. U [ U ] Cosiderata la uzioe avete isieme di esisteza A diremo ce è u puto di massimo assoluto miimo assoluto se: A [ A] De. Cosiderata la uzioe deiita i diremo ce è u puto estremate se esso è u massimo o u miimo locale. De. Cosiderata la uzioe derivabile i diremo ce è u puto stazioario se. Nota. I puti stazioari soo i puti i cui la tagete al graico della uzioe è orizzotale.

2 Esempi : puti stazioari ed estremati X miimo assoluto locale. X massimo assoluto locale. Puto derivabile stazioario. X miimo locale. Puto o derivabile agoloso. X4 massimo locale. Puto derivabile stazioario X6 miimo locale < 6

3 Esempi : puti stazioari ed estremati Puti stazioari estremati. Puti stazioari o estremati. 6 > Puto estremate o stazioario.

4 Teorema di Fermat. Teorema di Fermat Sia :[a,b]r, derivabile i apparteete ad a,b; Se è puto estremate per allora. Dimostrazioe. Suppoiamo ce sia u puto di massimo. Allora per ogi di u opportuo itoro U di abbiamo ce. Cosideriamo il rapporto icremetale di i tale itoro e cosideriamo separatamete tedete a zero da destra e da siistra, abbiamo: > < Per il teorema della permaeza del sego* la e la divetao: ' Dovedo essere la uzioe derivabile i cotemporaeamete, quidi: 4 ' la e la 4 devoo valere ' ' ' * Nota. Da itedersi come segue: se per assurdo il valore del ite osse el primo caso >, allora il teorema della permaeza del sego implicerebbe l esisteza u itoro i cui la uzioe argometo del ite è >, cosa ce è i cotrasto co la. Da ciò si deduce la correttezza della. Aalogamete per e 4. 4

5 Ricerca Estremati di ua uzioe Riassumedo, la ricerca dei puti estremati di ua uzioe :[a,b] R, cotiua, va codotta: Nei puti iteri dell isieme di deiizioe i cui la uzioe è derivabile, solo tra i puti stazioari. Nei puti iteri dell isieme di deiizioe ei puti i cui la uzioe NON è derivabile. Nei puti di rotiera dell isieme di deiizioe. Si aggiugao separatamete i puti i cui la uzioe o è cotiua. 5

6 Teorema di Rolle. Teorema di Rolle Sia :[a,b]r, cotiua i [a,b], derivabile i a,b. Sia ab. Allora: c a, b : ' c Dimostrazioe. Per il teorema di Weierstrass la uzioe possiede massimo e miimo i [a,b]. Se il massimo o il miimo soo iteri, allora per il teorema di Fermat esiste c i a,b tale ce c. ed il teorema di Rolle risulta dimostrato. Ivece se il massimo vale discorso aalogo per il miimo è ad u estremo i a o i b allora ci soo due possibilità: i Il massimo ed il miimo coicidoo el qual caso è ua uzioe costate ed a derivata ulla i tutti i puti di a,b ii Il massimo ed il miimo o coicidoo. I questo caso il miimo deve trovarsi all itero i a,b ed il teorema di Fermat assicura ce i tale puto c si a ce c. I etrambi i casi esiste c i a,b tale ce c. Il ce dimostra completamete il teorema di Rolle. c.v.d. 6

7 Osservazioi Fuzioe cotiua i [a,b], derivabile i a,bco ab. Esiste almeo u puto i a,b ce a derivata ulla. 7

8 Osservazioi Lasciado cadere ua delle tre ipotesi del teorema di Rolle la tesi o è più veriicata. Fuzioe cotiua i [a,b, derivabile i a,bco ab. Nessu puto i a,b a derivata ulla. Fuzioe cotiua i [a,b], derivabile i a,b co a b. Nessu puto i a,b a derivata ulla. Fuzioe cotiua i [a,b], derivabile i a,b\{} co ab. Nessu puto i a,b a derivata ulla. 8

9 Teorema di Lagrage o del valor medio Teorema di Lagrage o del valor medio Teorema di Lagrage. Sia :[a,b]r, cotiua i [a,b], derivabile i a,b. Allora: Dimostrazioe. ' :, c a b a b b a c Si cosideri la retta secate passate per a;a e b;b: a a b a y 9 a a b a y Si cosideri la uzioe ausiliaria: a a b a b a g a b a b g ' ' g è cotiua i [a,b] gagb La tesi cosiste el dimostrare ce esiste u puto c di a,b tale ce g c Ma g soddisa alle ipotesi del teorema di Rolle, duque esiste c i a,b tale g c. Questo dimostra il teorema. c.v.d.

10 Sigiicato Geometrico Teorema di Lagrage a b b b a b a Coeiciete agolare secate ' c Coeiciete agolare tagete puto itero Es. Applicare il teorema del valor medio alla uzioe: a 4 Estremi: -; - -;- [;] Retta secate y m ' ± 9 ; ;. 4 4

11 Appplicazioi Teorema di Lagrage Es. Applicare il teorema del valor medio alla uzioe: y No è possibile applicare il teorema di Lagrage, per es. relativamete all itervallo [-8;8] a tale uzioe, i quato essa o è derivabile i y '

12 Esercizi Es. Data ^. Si dimostri ce i a,b, il puto c del teorema di Lagrage coicide co la media aritmetica di a e b. y a ; b ; b b a a b b a a b a ' c c b a c secate c b a y y 9 4 tagete

13 Esercizi Es. Data /. Si dimostri ce i a,b, il puto c del teorema di Lagrage coicide co la media geometrica di a e b. b b a a b a b a ' c ab c a b ab b a ;4 4 c 4 4 ab c c ab y 7 secate 4 y tagete

14 Calcolo secate e tagete Esercizio Esercizi Secate: retta per ; e ;9 y 9 y Tagete: retta per /;9/4 co coeiciete agolare / 9 y 4 y 9 4 Calcolo secate e tagete Esercizio Secate: retta per /4;4 e 4;/4 4 y y 7 4 Tagete: retta per ; co coeiciete agolare - y y 4

15 Derivata prima e mootoia di ua uzioe Dalla deiizioe di rapporto icremetale, si deduce ce : Sia >, se è mootoa crescete i ; ed è ivi derivabile ' sego * Sia >, se è mootoa decrescete i ; ed è ivi derivabile Per il teorema della permaeza del ' Per il teorema della permaeza del sego Aalogamete per <. Nota Se iatti osse miore di, il teorema della permaeza del sego implicerebbe ce i u itoro di il sego del rapporto icremetale debba essere egativo, il ce è i cotraddizioe co la proprietà di mootoia della uzioe. 5

16 Derivata prima e mootoia di ua uzioe Teorema Se :a,br è derivabile i a,b allora: crescete decrescete ' ' a. b Dimostrazioe Basta dimostrare ce implica ce la sia mootoa crescete. L altra implicazioe discede dalla deiizioe di rapporto icremetale e dal teorema della permaeza del sego vedi sopra. Siao e i a,b co <. Dal teorema di Lagrage applicato all itervallo [, ]: ' c co c ; Poicé c, poicé - > - e quidi la uzioe è mootoa crescete i a;b data l arbitrarietà di ed. c.v.d. 6

17 Codizioe Suiciete per massimi e miimi Sia :[a,b] R, derivabile, suppoiamo ce sia u puto stazioario i a,b. Allora ci soo 4 possibili casi per il sego della derivata prima i u opportuo itoro di : ' MINIMO ' MASSIMO FLESSO, a tagete orizz.ascedete FLESSO, a tagete orizz., discedete ' ' 7

18 Ricerca Estremati di ua uzioe Riassumedo, la ricerca dei puti estremati di ua uzioe :[a,b] R, cotiua e derivabile, va così codotta: Si calcola a ed b Si risolve i a,b ricerca puti stazioari. Se esistoo puti stazioari se e determia la atura massimi,miimi o lessi a tagete orizzotale si corota il valore di i tali puti co a ed b [per determiare gli estremati assoluti] Se o esistoo, allora la uzioe è mootoa crescete o decrescete i a,b e duque gli estremati soo a ed b 8

19 Si studio massimi e miimi i [;] della seguete uzioe. Esempi e [,] La uzioe a simmetria dispari. e 4 ~.7 ' e e e ' ± ' / e e ~.49 è miimo assoluto i [;] / è massimo assoluto i [;]. ota : Estededo a tutto R lo studio: -/ è miimo assoluto i R / è massimo assoluto i R. 9

20 Corollari al teorema di Lagrage Corollario Sia :a,b R derivabile i a,b. Allora: Dim. ' i a,b i costate i a,b ' ii ' i a, b Corollario Siao,g:a,b R derivabili i a,b. Allora: i a,b costate i a,b Cosiderati < i a,b è possibile applicare ad i [ ; ] il teorema di Lagrage. Si a: ' c c, Da cui segue la tesi per l arbitrarietà di ed. ' g' i a,b g c i a,b Dim. Si cosideri F-g e si applici il corollario precedete alla uzioe F.

21 Corollari al teorema di Lagrage Es. Attezioe!! Le precedeti cosiderazioi devoo essere estese co cautela se o si tratta di itervalli del tipo a;b. Si cosideri: arcta arcta per ' per Come scelgo a,b? Posso sceglie -, o, o etrambi. La uzioe è costate su ciascuo dei due ma o su tutti e due isieme. Iatti, ad esempio: arcta arcta Duque: π π 4 arcta arcta π π 4 arcta arcta π π per > per <

22 Es. Si dimostri ce: La derivata prima: Corollari al teorema di Lagrage π arcse arccos -; ' costate Per calcolare la costate scelgo e la calcolo. arcse arccos π π Es. Determiare la uzioe, sapedo ce: ' c 6 4 c c

23 Ceo ai Problemi di ottimo massimo e miimo Ceo ai Problemi di ottimo massimo e miimo Iscrivere i u coo retto altezza, raggio di base R u cilidro di volume massimo: Sia l altezza del cilidro iscritto, r il raggio di base del cilidro: allora: : : < < R r r R Volume cilidro: R r V c π π r V c π π Cerciamoe il massimo : [ ] ' R R R π π π ' > < > ' / è u puto di massimo R R V c 7 4 π π / '

24 Teorema di de l Hospital. Teorema di De l Hospital Siao,g :a,br, derivabili i a,b co g e g i a,b. Se: Allora: i a ii a a ' g' a g L R g L * oppure ± NOTA: Il teorema cotiua a valere se a- oppure se si cosidera il ite per b - co b 4

25 Teorema di De l Hospital: Applicazioi Gerarcia Iiiti: e e e e e l / Limiti Iiitesimi: se l / cos cos se Cr. Calcolo co iti otevoli. se cos cos 5

26 Teorema di De l Hospital: Applicazioi Teorema di De l Hospital: Applicazioi cos se Limiti Notevoli: cos se e e l l a a a a l l a log log log e e a a a

27 Teorema di De l Hospital: Attezioe!! l e si [ R.]

28 Diereziale di ua uzioe De. Diereziale di ua uzioe Si ciama diereziale della uzioe el puto i cui è derivabile, relativo all icremeto d, la seguete quatità: d d ' d, Iterpretazioe Geometrica ' ta β d d d ' Δ β d d d d 8

29 Diereziale di ua uzioe d, d ' d ' ta β d d ' d Poiamo ce sia derivabile i e poiamo: ε d d ' d : ε d ' d d d d ε ε d Allora: ε è quidi iiitesimo di ordie superiore a d. Ciò idica ce la relazioe d ' d ε d È ua buoa approssimazioe lieare della uzioe i Co approssimazioe lieare o liearizzazioe della uzioe i si itede la sostituzioe e l errore ce co essa si commette della stessa uzioe icremetata co ua espressioe lieare ella variabile d ce costituisce l icremeto. Useremo come sioimi l aggettivo derivabile o diereziabile i rierimeto ad ua data uzioe. 9

30 Derivata secoda La derivata prima di ua uzioe rappreseta la pedeza della retta tagete al graico della uzioe. Può essere idetiicata co la velocità di variazioe della uzioe rispetto alla variabile idipedete. La derivata secoda rappreseta allora la velocità di variazioe della pedeza delle tageti al graico rispetto alla variabile idipedete. I aalogia al teorema di mootoia della derivata prima potremmo dire cosiderado la derivata secoda come la derivata prima della derivata prima se è derivabile due volte: '' i a,b ' crescete i a, b '' i a,b ' decrescete i a, b

31 Covessità e Cocavità De. locale, i u puto Ua uzioe :a,br è covessa cocava i u puto di a,b se il graico della uzioe si matiee sopra sotto la tagete i ; i u opportuo itoro di. De. i u itervallo Ua uzioe :a,br è covessa cocava i a,b se preso u puto qualsiasi di a,b se il graico della uzioe si matiee sopra sotto la tagete i ;. Fuzioe covessa: è mootoa crescete. Fuzioe cocava: è mootoa decrescete.

32 Covessità e Cocavità '' i a,b ' crescete i a, b covessa i a,b '' i a,b ' decrescete i a, b cocava i a,b Corota Ua uzioe :a,br è covessa cocava i a,b se il graico è tutto sotto sopra la corda secate ce uisce i puti,, co ed apparteeti ad a,b. Riassumedo Ua uzioe é covessa i a,b se il graico è tutto sotto le corde e sopra le tageti al graico i a,b. Ua uzioe é cocava i a,b se il graico è tutto sopra le corde e sotto le tageti al graico i a,b.

33 '' i a,b Covessità e Cocavità ' crescete i a, b covessa i a,b '' i a,b ' decrescete i a, b cocava i a,b

34 Flessi De. Il puto itero di a,b è detto lesso o di ilessioe per la uzioe deiita su tale itervallo, se esiste u opportuo itoro di i cui il graico di cambia la propria cocavità. Se la uzioe è derivabile due volte abbiamo la seguete codizioe ecessaria per la determiazioe dei lessi di ua uzioe: lesso '' Ci soo due possibilità: FLESSO ASCENDENTE se la cocavità passa dal basso - all alto FLESSO DISCENDENTE se la cocavità passa dall alto al basso - '' '' lesso ascedete lesso discedete Lo studio della disequazioe ci permette di idividuare i puti di lesso e la loro atura, stabiledo l adameto della covessità e della cocavità del graico della 4 uzioe.

35 Flessi 5

36 Flessi e Tagete ilessioale De. Tagete Ilessioale E la tagete al graico della uzioe passate per l evetuale puto di lesso. Essa a equazioe: y ' I geere, el puto di lesso, il graico della uzioe passa da u semipiao all altro rispetto alla tagete ilessioale Es. Si calcolio i puti di lesso e le tageti ilessioali della uzioe ^4-^ ' 4 '' 6 Sego di : > per < vel >/ Il puto ;; é lesso discedete Il puto /;//; -/6 é lesso ascedete '' '' Tagete ilessioale i ;: y il graico della uzioe passa da sopra a sotto rispetto alla tagete Tagete ilessioale i /;-/6: y/6-/4-/ il graico della uzioe passa da sotto a sopra rispetto alla tagete 6

37 Flessi e Tagete ilessioale

38 Teorema di De l Hospital: Applicazioi Applicazioi Ulteriori: Trovare l ordie di iiitesimo per se- quado se cos se Bisoga porre, per otteere k iito e k,. Allora: cos k se - 6 se- ~ - se ~ 6 6 Ce possiamo scrivere:

39 Teorema di De l Hospital: Applicazioi 4 se Ce possiamo scrivere: Il discorso può proseguire.: se- - 6 ~ - se ~!! Trovare l ordie di iiitesimo per se-/6 quado se 6 cos se cos se 4 cos 4 5 k Per avere k iito e diverso da zero occorre scegliere 5

40 Teorema di De l Hospital: Applicazioi 5 se 5 6 se- ~ 5 5!! 5! Co ragioameto aalogo al precedete: se! 5! 5 ~ y! y Si sta costruedo u approssimazioe poliomiale di se, sempre più ie.! y 5! 5

41 Gli sviluppi di McLauri Teorema sviluppo di McLauri Sia ua uzioe derivabile volte i u itoro di. Allora, cosiderato u icremeto vale il seguete sviluppo poliomiale sviluppo di McLauri: ' '' '''... o!!! Co o [simbolo o piccolo ] si itede ua gradezza iiitesima di ordie superiore ad, cioè: Possiamo ace scrivere: o ' '' '''... o!!! o 4

42 Gli sviluppi di McLauri delle uzioi elemetari Cosideriamo le uzioi elemetari i u itoro dello. Essedo iiitamete derivabili lo sviluppo di Mclauri può essere portato sio all ordie di iiitesimo desiderato e di cosegueza ace l approssimazioe poliomiale desiderata. k k o k! k co ~ Co le covezioi:!! se se ' ' se ' cos ''' cos E poi ciclicamete se!! 5! 5.. o! [,,,...] 4

43 Gli sviluppi di McLauri delle uzioi elemetari cos cos '' cos ' se ''' se E poi ciclicamete 4 cos.. o! 4!! ta se ta '' cos ' cos ''' se 4 cos ta o

44 Gli sviluppi di McLauri delle uzioi elemetari e ' ''... 4 e.. o!! 4!! estesioe aalitica Ua buoa approssimazioe di e e ~.....!! 4!! l l 4.. o 4 44

45 Gli sviluppi di McLauri delle uzioi elemetari 4 α α α α α o.. o.. o 45

46 Esempio Esempio McLauri McLauri per calcolo ite per calcolo ite Es. ] [ cos si o o ] [ o o 46 o o o 9 9 o

47 Esempio Esempio McLauri McLauri per calcolo ite per calcolo ite Es. l e o o o o o o o o 47 Utilizzado il teorema di De l Hospital si complicerebbe: l e... e

48 Esempio McLauri per Studio Fuzioe Es. Si studi il comportameto della seguete uzioe i u itoro di si ~! 5 5!.. ~ 6 5!... Parabola co la cocavità verso l alto a meo di iiitesimi di ordie superiore 48

49 Gli sviluppi di Taylor Gli sviluppi di Taylor Teorema sviluppo di Taylor Sia ua uzioe derivabile volte i u itoro di. Allora, cosiderato u icremeto vale il seguete sviluppo poliomiale sviluppo di Taylor:!... ''! ' o Co o [simbolo o piccolo ] deiito come gradezza iiitesima di ordie superiore ad, cioè: 49 o Possiamo ace scrivere:! k k k o k Co le covezioi:!!!... ''! ' o Attezioe, poedo e quidi -, possiamo riscrivere la come:

50 Esempio di sviluppo di Taylor Es. Si cosideri ep e. e. '! ''...! o e e e... e o e... o!!!! Es. Si cosideri 5 7- e. 4 ' 7 ' 7 '' '' ''' e segueti 7 5 5

51 Esempio di sviluppo di Taylor Es. Si cosideri , si scriva lo sviluppo di Taylor arrestato al secodo ordie ' ' '' 6 '' o ~~ Approssimazioe parabolica i 5

52 Cocavità e sego della derivata secoda Abbiamo visto ce : '' i a,b ' crescete i a, b covessa i a,b '' Traccia dimostrativa Dallo sviluppo di Taylor: i a,b ' decrescete i a, b cocava i a,b ' '' o! Scriviamolo come: ' ''...! Ricordiamo ce l equazioe della tagete al graico di i è : Perciò: y! ''... y ' Rappreseta la diereza di ordiate tra la uzioe la tagete quidi: Se y la uzioe sta sopra la tagete uzioe covessa el puto Se y la uzioe sta sotto la tagete uzioe cocava el puto 5

53 Ulteriore codizioe suiciete per massimi e miimi derivate successive Teorema Sia :[a,b]r. Sia u puto di a,b i cui la uzioe sia derivabile almeo due volte. Sia u puto stazioario. Allora codizioe suiciete aicé sia u massimo miimo è ce < >. Traccia dimostrativa Dallo sviluppo di Taylor: ' '' o! '' o! Se < per suicietemete piccolo >, allora è u puto di massimo 5

54 Ulteriore codizioe suiciete per massimi e miimi derivate successive Teorema estesioe del precedete Sia :[a,b]r. Sia u puto di a,b i cui la uzioe sia derivabile volte. Sia u puto stazioario, co derivate successive ulle sio alla derivata di ordie -. Allora se è pari codizioe suiciete aicé sia u massimo miimo è ce < >. Nota. Se è dispari o è é massimo é miimo lesso vd poi. Es. Sia iv 4 iv 4> allora è u puto di miimo Es. Sia 5 NON è puto di miimo é di massimo iv iv v v > allora NON è u estremate 54

55 Flessi a tagete orizzotale: caso A Nel ostro caso e ell itoro di,. Duque è mootoa crescete i tale itoro. Ioltre y è la tagete el puto. Quidi : casoa: ' FLESSO, a Quidi è puto di lesso ascedete tagete orizz. se < Duque la uzioe è cocava per < < se > Duque la uzioe è covessa per > > Si cosideri ioltre lo sviluppo di Taylor della uzioe derivabile almeo volte i u opportuo itoro di : '' ' o '' o 55

56 se se Flessi a tagete orizzotale: caso A '' > et > '' o < et < '' per cotiuità di '' '' se se Duque lo sviluppo di Taylor diveta: '''! o > et > ''' < et < ''' ''' '' mootoa crescete i Duque: è puto di lesso ascedete '' 56

57 Flessi a tagete orizzotale: caso B Nel ostro caso e ell itoro di,. Duque è mootoa decrescete i tale itoro. Ioltre y è la tagete el puto. Quidi : casob ' : FLESSO, a tagete orizz. se < Duque la uzioe è covessa per < > se > Duque la uzioe è cocava per > < Quidi è puto di lesso discedete Si cosideri ioltre lo sviluppo di Taylor della uzioe derivabile almeo volte i u opportuo itoro di : '' ' o '' o 57

58 se se Flessi a tagete orizzotale: caso B '' > et < '' o < et > '' per cotiuità di '' '' se se Duque lo sviluppo di Taylor diveta: '''! o > et < ''' < et > ''' ''' '' mootoa decrescete i Duque: è puto di lesso discedete '' 58

59 Ulteriore codizioe suiciete per massimi, Ulteriore codizioe suiciete per massimi, miimi e lessi derivate successive miimi e lessi derivate successive Teorema Sia :[a,b]r. Sia u puto di a,b i cui la uzioe sia derivabile volte. Sia u puto stazioario, co derivate successive ulle sio alla derivata di ordie -. Allora: se è pari e < è cocava i e é u MASSIMO. se è pari e > è covessa i e é u MINIMO. se è dispari é u FLESSO. Traccia dimostrativa 59 Traccia dimostrativa!... '' ' o! o! o y è la tagete el puto.

60 Ulteriore codizioe suiciete per massimi, miimi e lessi derivate successive o y è la tagete el puto.! -dispari Cambia di sego passado dalla siistra alla destra di. Ciò implica Ce la uzioe la passa da cocava a covessa o viceversa a secoda del sego di. Duque è u puto di lesso ascedete se > ; discedete se < N-pari E sempre positivo per > è u MINIMO < è u MASSIMO 6