Programma di Analisi Matematica svolto nella Classe 5D (PNI) a.s del Liceo Scientifico

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1 Programma di Aalisi Matematica svolto ella Classe 5D (PNI) as 7-8 del Liceo Scietifico Defiizioe di fuzioe f : A B Fuzioi defiibili tra due isiemi co u umero fiito di elemeti Fuzioi iiettive, suriettive, biuivoche Immagie ed atimmagie di u isieme tramite ua fuzioe- f : A B, S A, defiizioe dei f(s); T B, defiizioe di f - (T) Fuzioi aalitiche (matematiche) e fuzioi empiriche Composizioe di due o più fuzioi: f : A B, g : B C, g f : A B Composizioe di fuzioi aalitiche e domiio della fuzioe composta Esercizi sulla composizioe di fuzioi utilizzado fuzioi razioali itere e fratte, fuzioi irrazioali, fuzioi espoeziali e logaritmiche Dimostrare che le fuzioi del tipo f()a+b, co a ed Q, oppure R, soo ivertibili Dimostrare che compoedo le fuzioi reali di variabile reale f()a+by, g(y)my+q, co a ed m, si ottiee ua fuzioe composta ivertibile Le fuzioi elemetari: proprietà e loro rappresetazioi grafiche f ( ) k, f ( ), f ( ) a + b, f ( ), co umero aturale pari o dispari f ( ) λ, λ R, f ( ) a, f ( ), f ( ) a + b, f ( ) log a, f ( ) log a ( m + ) Applicazioi sulle fuzioi composte Trovare le espressioi aalitiche delle fuzioi composte g f e f g ed i relativi domii Alcui esempi: a) f ( ), g( ) ; b) f ( ) e, g( ) ; c) f ( ) se, g( ) ; + + e + e d ) f ( ), g( ) log Positività e zeri di ua fuzioe aalitica + + Applicazioi f ( ) ; f ( ) 4 ; f ( ) ; f ( ) ; f ( ) ; + + f ( ) arcse Esercizi sulla determiazioe della fuzioe iversa di fuzioi ivertibili 5 Ceo alla ricorsioe come applicazioe del foglio elettroico Data la fuzioe f ( ) +, co, calcolare f ( ), f ( ), f ( ) Altre fuzioi elemetari- se, cos, tg, cotg, arcse, arccos, arctg, arccotg Ricerca del domiio di defiizioe di fuzioi aalitiche Esempi: f ( ) arctg( ), + f ( ), f ( ) 4se, f ( ), f ( ), arcse 4 log( se + cos ) Topologia i R- Maggiorati e miorati per u isieme umerico; isiemi umerici limitati; isiemi umerici o limitati Isiemi separati ed isiemi cotigui Proprietà della completezza di R Defiizioe di estremo superiore e di estremo iferiore e relative proprietà caratteristiche Defiizioe di massimo e di miimo per u isieme umerico + Applicazioi- Studio di isiemi umerici descritti espressioi razioali Es:, N ; ( ) +, N ;, N ;, N + + +

2 Itori di u puto o R, itoro circolare di o, itoro destro ed itoro siistro di o, itori di + e di - Defiizioi di puto di accumulazioe, di puto itero, di puto estero, di puto isolato, di puto di frotiera per u isieme umerico A R Successioi- Defiizioe di successioe umerica Simbologia Successioi mootòe, successioi defiitivamete mootòe Esercizi sui puti di accumulazioe di codomii di successioi reali Es: a +, + a +, a e + +, a 8, co N Altri isiemi umerici descritti da successioi di cui trovare l estremo superiore, l estremo iferiore ( ) + Es A R, N + Proprietà delle disuguagliaze umeriche Proprietà del valore assoluto Proprietà di desità dei umeri Razioali i R e dei umeri irrazioali i Q Limiti Defiizioe geerale di limite e sua illustrazioe co gli itori Esplicitazioe della defiizioe di limite ei diversi casi ( o R, o +, o -, l R, l +, l - ) Verifica della defiizioe di limite Esercizi: lim + 5, lim +, lim e, lim 7, lim log ( ), lim, + 5 se a + b a lim +, lim, lim log + ( e + ), lim + e e +, lim, co ± c + d c a, c, d Defiizioe di limite per ua successioe reale Successioi regolari, successioi covergeti, successioi divergeti, successioi oscillati Teorema: Ogi successioe covergete è limitata (dim) Defiizioe di successioe di Cauchy Successioi oscillati Verifica della defiizioe di limite per ua successioe Laboratorio - Studio delle successioi k defiite per ricorreza ) a a +, co a ; ) a a +, co k 5, a a a Fuzioi aalitiche ivertibili e ricerca dell espressioe della fuzioe iversa Es: y log ( e ) ; y log + ; e + y e 4 ; y e + y log y Teoremi sui limiti- T sull uicità (dim), T sul valore assoluto (dim),t sulla permaeza del sego (dim), T sul limite della fuzioe opposta (dim), T sul limite della somma (dim), Teorema sul limite della differeza (dim), T sulla forma equivalete del limite: ( lim f ( ) l R ) ( lim f ( ) l ) Teorema sul limite del prodotto (dim), T sul limite di /f el caso i cui lim f ( ) l (euciato) Teorema sul limite di u rapporto di fuzioi (euciato) Defiizioe di cotiuità i u puto per ua fuzioe Specie di discotiuità (,, ) Dimostrazioe della cotiuità delle fuzioi,, a, della fuzioe poliomio P(), delle fuzioi, log a, a Esercizi sullo studio dei puti di discotiuità di fuzioi Esempi: f ( ), f ( ) Cotiuità di fuzioi parametriche defiite per casi Es a per f ( ) + per >

3 Teorema sul sego della fuzioe e sul limite (dim) Teorema della covergeza a zero (dim) Aalisi del grafico della fuzioe f ( ) cos e studio del limite lim se Teorema del cofroto per tre fuzioi (dei carabiieri) (dim) Teorema sui limiti che si presetao ella forma + λ/, co λ (dim) Applicazioi allo studio di limiti Es lim +, lim + +, e se se + cos + lim ; lim π se( ) log ( ), Cotiuità a destra e/o a siistra di ua fuzioe i u puto f ( ) Caratteristiche della fuzioe parte itera [ ] Fuzioe matissa f ( ) [ ] Attività di laboratorio co Derive6 Rappresetare fuzioi el cui argometo figura la parte itera []: floor() Utilizzo dello strumeto vettore bidimesioale per la rappresetazioe di archi di curve dei quali soo ote le equazioi parametriche Es [t, t], [t, t-floor(t)/] Teorema del cofroto per due fuzioi Teorema della divergeza per la somma di due fuzioi Teorema della divergeza per il prodotto di due fuzioi Esercizi Es lim se e, lim + se +, Applicazioe dei teoremi allo studio di limiti Es + π ( π ) lim tg log, Teorema sul limite di ua fuzioe composta Asitoti orizzotali, asitoti verticali per il grafico di ua fuzioe Applicazioi : y + 7, y Dimostrazioe della cotiuità delle fuzioi se, cos Studio dei limiti della forma - otteuti da poliomi e limiti della forma / dedotti da fuzioi razioali fratte Limiti della forma / per fuzioi razioali e per fuzioi irrazioali Studio degli asitoti verticali, orizzotali ed obliqui Applicazioi dello studio dei limiti e del sego della fuzioe al tracciameto del grafico probabile + + di ua fuzioe: f ( ) +, f ( ), f ( ), Applicazioe dei limiti allo studio dei puti di discotiuità di ua fuzioe se tg cos Limiti otevoli: lim, lim, lim e loro geeralizzazioi : limiti per o delle fuzioi se ϕ()/ ϕ(), tgϕ()/ ϕ(), (-cosϕ())/ ϕ(), (-cosϕ())/ ϕ(), ecc dove ϕ() è ifiitesima per o Il umero di Nepero e limiti otevoli dedotti: α ( + ) lim e loro geeralizzazioi lim + +, lim α + +, log( + ) e lim ; lim arcse arctg arcseϕ ( ) Altri limiti otevoli: lim, lim ;co lim ϕ( ), lim, ϕ( ) arctgϕ( ) lim Applicazioi dei limiti otevoli allo studio di limiti che si presetao elle ϕ( ) forme idetermiate: /, -,,,,

4 Ifiiti ed ifiitesimi Defiizioi - Ordie di u ifiito e di u ifiitesimo - Cofroto di ifiiti e di ifiitesimi - Ifiitesimi equivaleti - Ifiiti equivaleti Parte pricipale di u ifiitesimo e di u ifiito Ifiiti ed ifiitesimi o cofrotabili Esempi Cotiuità Esercizi su fuzioi parametriche Studio di limiti di fuzioi razioali fratte coteeti u parametro: Es Co α R α α lim, lim, α α Teoremi sui limiti di successioi (della somma a +b, del prodotto a b, del quoziete a /b ) Studio di limiti di successioi che si presetao i ua forma idetermiata Iformatica- Discussioe e costruzioe del programma i TP per il calcolo del limite della successioe delle aree dei poligoi regolari iscritti i ua circofereza Calcolo di valori approssimati di π Altra applicazioe :La misura della circofereza come limite della successioe π dei perimetri dei poligoi regolari iscritti: lim r se π r + Teoremi sulle fuzioi cotiue- Teorema di Weierstrass, Teorema di Darbou (), Teorema di esisteza degli zeri Applicazioi: Ricerca delle soluzioi di equazioi trascedeti (Es + ) Applicazioi delle tecologie iformatiche (foglio elettroico) e dell iformatica (programmazioe i Turbo pascal)- Sfruttado particolari successioi umeriche, determiare approssimazioi del umero π e del umero di Nepero e co u errore iferiore a -k, co k itero positivo defiito dall utete Progressioi aritmetiche e geometriche Proprietà Formule varie, Calcolo della somma di termii cosecutivi di ua progressioe aritmetica o geometrica Iserimeto di k termii aritmetici tra due valori assegati; discussioe del problema dell iserimeto di k termii medi geometrici tra due valori assegati Calcolo della somma degli ifiiti termii di ua progressioe geometrica co ragioe q < come studio del limite lim S, essedo S la somma dei primi termii + Applicazioi umeriche e geometriche Calcolo del motate di u capitale C ivestito i regime di capitalizzazioe composta: MC(+i) ( applicazioe delle progressioi geometriche) Approfodimeto sulla capitalizzazioe composta Calcolo dei tassi equivaleti periodici Derivazioe: Cocetto di derivata - Sigificato geometrico del rapporto icremetale - Equazioe della tagete i u puto P o ( o ;f( o )) del grafico di ua fuzioe derivabile i o - Puti agolosi e cuspidali - Teorema: f derivabile i o f è cotiua i o Calcolo della derivata di alcue fuzioi applicado la defiizioe di limite del rapporto icremetale - Le derivate delle fuzioi elemetari co le relative dimostrazioi Regole di derivazioe: D(kf), D(f+g), D(f g), D(f/g) - Teoremi sulla derivata di ua fuzioe composta e sull iversa di ua fuzioe (dimostrati) Le derivate delle fuzioi iverse delle fuzioi circolari Applicazioe delle derivate: agolo formato dalle semitageti i u puto agoloso e da due curve che si tagliao i u puto; ricerca dei puti del grafico di ua fuzioe a tagete orizzotale (puti critici) Ricerca degli asitoti obliqui per il diagramma di ua fuzioe Applicazioi Mootoia, massimi e miimi relativi e assoluti Cresceza e decresceza (stretta cresceza, stretta decresceza di ua fuzioe i u puto); cresceza e decresceza di ua fuzioe a destra o a siistra di u puto Defiizioe di puto di massimo relativo (e proprio), di miimo relativo ( e proprio), di massimo assoluto e di miimo () Teorema di Darbou; Ua fuzioe reale di variabile reale defiita ell itervallo [a;b] se è cotiua allora assume almeo ua volta tutti i valori compresi tra il miimo ed il massimo 4

5 assoluto per ua fuzioe Caratterizzazioe della mootoia di ua fuzioe i u puto tramite f ( ) f ( ) lo studio del sego del rapporto icremetale Applicazioi Acora sui puti stazioari (critici) di ua fuzioe e loro ricerca Applicazioi: f ( ), f ( ), f ( ) arcse( ), f ( ) log ( 5 ), f ( ) cos se, f ( ) e, Differeziale del primo ordie per ua fuzioe i u puto o - Dimostrazioe dell uguagliaza f ( o + ) f ( o ) + f '( o ) + ω ( o; ) Applicazioi- Calcolare ,5 Teoremi di Rolle, di Lagrage, Teorema di Cauchy (co dimostrazioi) Esercizi di verifica dei suddetti teoremi per fuzioi di diverso tipo Cosegueze del Teorema di Lagrage :T - f:[a;b] R, derivabile ; f () ]a;b[ f è costate ;T - due fuzioi cotiue e derivabili i uo stesso itervallo se hao la stessa derivata prima differirao per ua costate Studio della mootoia di ua fuzioe tramite il sego della derivata prima T - f:[a;b] R, cotiua ed f () ]a;b[ co f ()> f è strettamete crescete i [a;b]applicazioe di T : ricooscere l esisteza di uo zero di ua fuzioe grazie allo studio della derivata (Es f() log + - ha come uico zero i quato si ha f() e risulta f () > el domiio della fuzioe e duque questa è strettamete crescete)- Applicazioe del teorema sulla derivata dell iversa di ua fuzioe per il calcolo della derivata i u puto di ua fuzioe iversa per la quale risulta difficoltoso trovare la forma aalitica (Es f()e + arctg) Teorema di De l H²pital (euciato) e sua applicazioe per il calcolo di alcui limiti - Studio del r r P( ) limiti otevoli lim log, lim e, co r>, lim + + e Applicazioe del teorema di De l H²pital e del teorema di caratterizzazioe di limiti di successioi e, lim + + +, lim arcse + a log log Studio dei limiti: lim a, lim, lim, lim, lim log ± ± + m ( e + k ) + + Criterio di derivabilità- f cotiua i I( ), f derivabile i I( )-{ }, esiste il lim f '( ) l R Es lim ( ) f '( ) l Applicazioi Determiare i valori dei parametri h e k i modo che le fuzioi idicate siao cotiue e derivabili el loro domiio: h k ( + ) per e per f ( ) k + ; f ( ), Sol k-, h k h per > + k + h per > Derivabilità della fuzioe f ( ) + Poliomio di Taylor di ordie relativo al puto per ua fuzioe derivabile volte el puto Cofroto tra i valori della fuzioe e quelli del poliomio P () di Taylor i u itoro del puto, utilizzado Ecel Formula di Taylor ( e di Mac-Lauri) co il resto di Peao e co il resto di Lagrage Esempi: Sviluppi di Mac-Lauri per le fuzioi se, e -, log(+), Applicazioe se della formula di Taylor co il resto di Peao per lo studio di alcui limiti Es lim Cofroto della differeza f()- P () rispetto alla poteza (- ) 5

6 Utilizzo della formula di Taylor co il resto di Lagrage per stimare l errore commesso ell approssimare il valore di f() co P () Es Per f()e stima dell errore poedo f P Laboratorio di Iformatica- Calcolare i poliomi di Taylor per alcue fuzioi co Derive6 e rappresetare i diagrammi delle fuzioi e dei poliomi di Taylor trovati Es yse, yse, Ricerca dei puti di miimo e di massimo relativi ed assoluti Cocavità e puti di flesso Puti di flesso a tagete orizzotale (tramite lo studio del sego della derivata prima); puti di flesso a tagete obliqua tramite lo studio della cocavità co il sego della derivata secoda; ricerca dei puti di flesso co il metodo delle derivate successive Studio della cocavità Teorema (dim): f ( ), f ( )> I( ) i cui il diagramma di f volge lòa cocavità verso l alto Classificazioe dei puti di flesso: ascedete, discedete (Teorema: y ( o ), y ( o )> o puto di flesso ascedete) Acora sugli asitoti per il grafico di ua fuzioe Studio completo e rappresetazioe del grafico di fuzioi: razioali (itere e fratte), irrazioali (itere e fratte), trascedeti (espoeziali, logaritmiche, goiometriche) e fuzioi aveti forma aalitica mista Esempi: f ( ) e, f ( ) log +, f ( ) e, f ( ) log, f ( ) log, f ( ) + +, f ( ) +, f ( ) Risoluzioe di problemi di vario geere per i quali sia ecessario studiare ua fuzioe aalitica (problemi di massimo, di miimo, ) Trovare il massimo ed il miimo della fuzioe f ( ) π + se, co [;π] Determiare il cilidro circolare retto di volume massimo iscritto i u coo circolare retto; Dedurre dal diagramma di yf() il diagramma delle fuzioi y f ( ), f ( ) y e, y log f ( ) Dopo lo sviluppo del programma fi qui descritto si è iiziato ad affrotare quesiti e problemi assegati all Esame di Stato di Liceo scietifico egli ai precedeti Cotiuazioe del programma Itegrazioe idefiita: Euciato del teorema sull esisteza delle primitive per fuzioi cotiue - Regole di itegrazioe Liearità dell operatore itegrale Itegrali immediati: d, d, /d, / d, ϕ ()/ ϕ() d, (a+b)/(c+d)d, seϕ() ϕ ()d, cosϕ() ϕ ()d, a d, a ϕ() ϕ ()d, d/(a + ), ϕ ()/(+ϕ d () )d, a d,, a ϕ' ( ) d, [ f ( ) ] f ' ( ) d ϕ ( ) Metodi di itegrazioe per decomposizioe, per sostituzioe, per parti : applicazioi (itegrali del k tipo e d, se d, cos d, log d, e se d, arcse d, arccos d, P( ) arc tgd ; itegrali delle fuzioi razioali fratte: m d P( ), + a + b + c d Itegrazioe di fuzioi razioali fratte per le quali il poliomio al deomiatore preseta radici semplici o multiple, reali o complesse Itegrali del tipo R(, a + b + c) d, co R(,) fuzioe razioale 6

7 Itegrazioe defiita Il problema delle aree - Defiizioe di itegrale defiito di ua fuzioe cotiua esteso ad u itervallo chiuso e limitato [a;b]- Defiizioe di isiemi umerici cotigui - Costruzioe delle successioi s, s, s,,s, S, S, S, S delle somme iferiori e delle somme superiori [Illustrazioe ituitiva della dimostrazioe della covergeza delle stesse all uico valore b a f ( ) d ]- Defiizioe più geerale di itegrale defiito - Proprietà dell itegrale defiito Teorema della media(dim) - La fuzioe itegrale ed il teorema fodametale del calcolo itegrale (dim) - Calcolo dell area del trapezoide e di ua regioe piaa a cotoro curvilieo costituito da archi di grafici di più fuzioi Parte da sviluppare dal -maggio al termie delle lezioi Esempi e applicazioi: calcolo del volume di u solido di rotazioe descritto da u trapezoide i ua rotazioe completa attoro all asse delle ascisse o attoro all asse delle ordiate (applicazioi per il troco di coo, l ellissoide di rotazioe, ecc); [calcolo della lughezza di u arco di curva regolare; calcolo dell area di ua superficie di rotazioe descritta da u arco del grafico di ua fuzioe y f() i ua rotazioe attoro all asse delle ascisse] - Itegrali geeralizzati estesi ad itervalli limitati o illimitati Defiizioi - Fuzioi itegrabili i seso geeralizzato - Calcolo dell area di regioi illimitate Esempi d + + +, e + d + d d, e d, d,, + Itegrazioe umerica: Calcolo di u itegrale defiito co il metodo dei rettagoli e/o co il metodo dei trapezi predispoedo u programma i Turbo Pascal i cui si utilizzio Procedure e Fuctio Risoluzioe di problemi e quesiti vari, ache di quelli assegati elle precedeti prove d Esame di Stato, i preparazioe agli Esami di Stato Luigi Lecci Gli argometi riportati tra paretesi quadre[ ] o soo stati svolti 7