Analisi Matematica 1 DIARIO DELLE LEZIONI

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1 INGEGNERIA AEROSPAZIALE CANALE L Z 05 setgray0 05 setgray Aalisi Matematica DIARIO DELLE LEZIONI Prof Dario Salvitti 8 settembre 009 ore Presetazioe del corso Isiemistica e otazioi della logica matematica Operazioi tra isiemi e loro proprietà Bibliografia: []Itroduzioe 30 settembre 009 ore Isiemi umerici N, Z, Q Operazioi biarie Ordiameti totali Proprietà di Archimede Q è u campo ordiato archimedeo Allieameti decimali cei) L isieme R dei umeri reali Q Itervalli itati o ilitati Maggiorati e miorati di u isieme o vuoto A R Massimi e miimi Defiizioe di estremo superiore e di estremo iferiore Esempi: 0, ), 0, ], {/ N, } Bibliografia: [] ; ; ottobre 009 ore Proprietà di desità di Q e di R Allieameti decimali propri Dimostrazioe dell idetità p, α α α 9 = p, α α α +) Uicità del massimo e del miimo U isieme o vuoto fiito A R ammette massimo e miimo Caratterizzazioe di sup e if Sup e if dell uioe di due o più isiemi Sup, if { Esercizio svolto:, } N, { + Esercizi assegati: +,, 3 {0,α α α α i = 0 oppure } Bibliografia: [] ; ; ottobre 009 ora N, } ; L isieme C dei umeri complessi Rappresetazioe vettoriale e iterpretazioe grafica delle operazioi di addizioe e di moltiplicazioe Iverso, complesso coiugato, modulo, argometo di u umero complesso Forma trigoometrica Bibliografia: [] 3 5 ottobre 009 ore Proprietà della coiugazioe complessa Formule per il calcolo di z z, z, arg z z, arg z FormuladiDeMoivre z z Metodo di derivazioe delle formule di duplicazioe e triplicazioe degli archi La rappresetazioe espoeziale Radici complesse e loro rappresetazioe grafica Bibliografia: [] 3; 3 7 ottobre 009 ore AA009/00 Radici eesime dell uità Dimostrazioe della formula per il calcolo delle radici complesse Soluzioi complesse di u equazioe di grado Teorema fodametale dell algebra Poliomi a coefficieti reali C o è u campo ordiato Ordiameto lessicografico, ordiameto a spirale Esercizi svolti: zz Rez + z Imz =0; z 3 + z =0 Bibliografia: [] 3; apputi 8 ottobre 009 ore Fattorizzazioe i R di u poliomio a coefficieti reali Equazioe complessa della circofereza Sigificato di z 0 egli ordiameti lessicografico o a spirale Geeralità sulle fuzioi Le fuzioi iiettive, suriettive, biuivoche La fuzioe iversa Esercizi svolti: fattorizzazioe di z 3 z +6/z =5 Esercizi assegati: fattorizzazioe di z 3 +8,z +4, z 4 +6 Bibliografia: [] 3; apputi 9 ottobre 009 ora Restrizioe di ua fuzioe Composizioe di applicazioi e sue proprietà Iverse a siistra, iverse a destra Codizioi equivaleti per l iiettività o per la suriettività Esercizio assegato: { x/ se x èpari f : N N, fx) := x + se x èdispari Bibliografia: [] ; 4; apputi ottobre 009 ore Iclusioi X f fx)), Y ff Y )) Proprietà del prodotto operatorio Ivertibilità el caso di isiemi fiiti La fuzioe parte itera [x] Se g f èbiuivoca,alloraf è iiettiva e g è suriettiva Il grafico ed il domiio di ua fuzioe f : R R Le poteze a b,b R La fuzioe poteza fx) =x, N Esercizio assegato: { x + 3 se 3 divide x f : Z Z, fx) := x se 3 o divide x Bibliografia: [] 4; 3; apputi 4 ottobre 009 ore Traduzioe grafica dei cocetti di domiio, immagie, iiettività, suriettività Fuzioi pari, dispari e relative simmetrie del grafico Costruzioe della fuzioe iversa Le fuzioi fx) = x /, N La fuzioe espoeziale fx) =a x ei casi 0 <a<, a> La fuzioe logaritmo fx) = log a x ei casi 0 <a<, a> Proprietà dei logaritmi

2 Bibliografia: [] ; 5; 3; 3 5 ottobre 009 ore La fuzioe fx) =x, N, Il valore assoluto La disuguagliaza triagolare Dimostrazioe della disuguagliaza x y x y Le fuzioi goiometriche seo, coseo, tagete, arcoseo, arcocoseo, arcotagete Determiazioe del domiio di ua fuzioe Bibliografia: [] ; 5; 6 ottobre 009 ora Grafici delle fuzioi parte itera fx) = [x] ematissa fx) =x [x] Dal grafico della fuzioe y = fx) al grafico delle fuzioi fx a),fx)+b, fµx), νfx), f x ), fx) Bibliografia: [] 3; 3 9 ottobre 009 3ore Dal grafico della fuzioe y = fx) al grafico delle fuzioi fx), [fx)] Risoluzioe grafica delle disequazioi Fuzioi cresceti, decresceti, mootoe La mootoia stretta implica l ivertibilità Somma e composizioe di fuzioi strettamete) mootoe soo strettamete) mootoe La distaza euclidea Itori sferici di u puto Famiglie di itori e sue proprietà R come spazio metrico e come spazio topologico Proprietà di separazioe Isiemi itati ella metrica euclidea Massimi e miimi locali forti) di ua fuzioe Ampliameto di R Itori di {+ } e di { } Puti di accumulazioe Bibliografia: [] 3; 33; 4 ottobre 009 ore Puti isolati Teorema di Bolzao-Weierstrass Proprietà valide defiitivamete Defiizioe topologica di ite e sua traduzioe metrica ei sigoli casi Verifica del ite di ua fuzioe Uicità del ite Limiti destro e siistro Bibliografia: [] 4; 4 ottobre 009 ore Ua fuzioe covergete è defiitivamete itata Teorema della permaeza del sego Algebra dei iti e prime applicazioi alle fuzioi razioali Teorema del cofroto e sue applicazioi al caso di rapporto tra ua fuzioe itata ed ua divergete Limite di poliomi Bibliografia: [] 43 6 ottobre 009 3ore Forme idetermiate, 0, 0 0, Estesioe dell algebra dei iti Limiti di fuzioi razioali e di fuzioi irrazioali Esisteza del ite per fuzioi mootoe e sue cosegueze: iti di fuzioi poteze, espoeziali, logaritmi, goiometriche Bibliografia: [] 43 8 ottobre 009 ore Limite di fuzioi composte e cambiameto di variabile Forme idetermiate 0 0,, 0 La forma 0 o è ua forma idetermiata Forme idetermiate log, log 0 0 log log 0, log 0 six arcsix Il ite otevole e sue cosegueze, tg x, arctg x cosx, = Esercizio riepilogativo svolto: cosx arctg x )) x 0 + si x arcsi x Bibliografia: [] 43; ottobre 009 ora Gerarchie di ifiiti e ifiitesimi espoeziali e logaritmi Bibliografia: [] 44 ovembre 009 3ore Limiti co poteze, Successioi covergeti, divergeti, irregolari Teoremi della permaeza del sego e del cofroto Ua succesioe covergete è itata Limiti di successioi defiitivamete mootòe Limite di a,a R Gerarchie di ifiiti Il a fattoriale! =0 +! + =0 Il umero e Limiti otevoli + log ) =, + ) e / = Formula di Stirlig + Sottosuccessioi Ua successioe ammette ite l R se e solo se qualuque sua sottosuccessioe ha ite l Ua successioe i R itata ammette ua sottosuccessioe covergete Successioi di Cauchy Ua successioe i R è covergete se e solo se èdicauchy Bibliografia: [] 5; 5; 53; 54 4 ovembre 009 3ore La derivata Sigificato geometrico e ite del rapporto icremetale Le derivate delle fuzioi elemetari x α,e x, l x, si x, cos x, tgx, fx) gx) Operazioi co le derivate Derivata di fuzioi composte e della fuzioe iversa Teorema pote Geeralizzazioe di alcui iti otevoli di successioi Bibliografia: [] 63; 8, 83; 84

3 5 ovembre 009 ore Limiti + ) x = e, +x) /x log + x) = e, = x ± x 0 x e x a x + x) α, =, = la, = α Geeralizzazioe al caso di successioi x = a 0 Prima regola di Cesaro Esercizio svolto: dimostrare che esiste fiito il seguete ite ) Bibliografia: [] 6; apputi 9 ovembre 009 3ore Secoda regola di Cesaro Teoremi delle medie aritmetiche e β geometriche β β = Se <, + + β + β allora β =0 + Gerarchia degli ifiiti come cosegueza delle regole di Cesaro + ) b = e + b /a + a Alcui degli esercizi svolti: 3 5 +) = +! ) = e 4 ) +/+ +/ log = = Notazioe o) Cofroto tra ifiitesimi e tra ifiiti Esercizi assegati: Dimostrare che o esiste + Dimostrare: a) + a =0, a < a b) =0, a R +! +) si +)π si π + Bibliografia: [] 6; [7] 5; apputi ovembre 009 ore Simboli di Ladau Ordii di ifiitesimo e di ifiito rispetto alle fuzioi campioe x x 0, Algebra degli o x x 0 piccolo ed applicazioe alla dimostrazioe del ite otevole + x) α Le fuzioi iperboliche cosh x, sih x Asitoti orizzotali, verticali, obliqui 3 ovembre 009 3ore Equivaleza asitotica di ifiitesimi e di ifiiti Fuzioi tghx, settsihx, settcoshx Fuzioi cotiue cotiue da destra, da siistra) Algebra delle fuzioi cotiue Composizioe di fuzioi cotiue Classificazioe dei puti di discotiuità Bibliografia: [] 6; 7; 7 6 ovembre 009 3ore Discotiuità di ua fuzioe mootòa su u itervallo Teoremi sulle fuzioi cotiue: della permaeza del sego; dell esisteza degli zeri; dei valori itermedi Ricerca delle soluzioi di u equazioe e metodo grafico Ua fuzioe cotiua e ivertibile su u itervallo è ivi mootòa stretta Ua fuzioe ivertibile e cotiua su u itervallo ammette iversa cotiua Teorema di Weierstrass Bibliografia: [] 7; 7; 73; 74; 75 8 ovembre 009 3ore Fuzioi lipschitziae Fuzioi uiformemete cotiue La lipschitziaità implica l uiforme cotiuità, ma o vale il viceversa Teorema di Heie-Cator Dimostrazioe del teorema di esisteza degli zeri Bibliografia: [] 73; 76 9 ovembre 009 ore Migliore approssimazioe lieare Cresceza e decresceza locale Relazioe tra cotiuità e derivabilità Derivate destra e siistra Puti a tagete verticale, puti agolosi, cuspidi Bibliografia: [] 8; 8 0 ovembre 009 ora Massimi e miimi locali Teorema di Fermat Ricerca degli estremati di ua fuzioe Teoremi di Rolle e Lagrage Bibliografia: [] 86; 87 3 ovembre 009 3ore Dimostrazioe dei teoremi di Rolle e di Lagrage Teorema di Cauchy Teorema di mootoia Dimostrazioi di alcue diseguagliaze e della lipschitziaità di alcue fuzioi co il teorema del valor medio Codizioe sufficiete per la determiazioe della atura dei puti critici: il sego della derivata Teorema di Darboux Estesioe del teorema di Rolle Estesioe del teorema di Cauchy teorema di Peao) Il teorema di De L Hôpital Bibliografia: [] 87: 87; 87; apputi Bibliografia: [] 6; 6; 64 3

4 5 ovembre 009 ore Applicazioe del teorema di De L Hôpital a forme idetermiate qualuque Calcolo di fx 0 ) come fx) Casi x x 0 di o applicabilità del teorema di De L Hôpital Esempio i cui il teorema di De L Hôpital è applicabile ma risulta iefficace Bibliografia: [] 87; apputi 6 ovembre 009 ore Cocavità del grafico Fuzioi strettamete) covesse/cocave Covessità e derivata secoda Puti di flesso Determiazioe della atura di u puto critico tramite le derivate successive Cotroesempio: { fx) := e /x se x 0 0 se x =0 Esercizio svolto: studio della fuzioe fx) =x x Bibliografia: [] 88; 89; 80; 8 7 ovembre 009 ora Studio della fuzioe fx) = log Bibliografia: [] ovembre 009 4ore + cos x ) si x Notazioi: sommatorie e loro proprietà; poliomi di cetro x 0 e calcolo delle loro derivate di ordie j Poliomi di Taylor Teorema di Peao Sviluppi di MacLauri delle fuzioi e x, log + x), si x, cos x Proprietà dei poliomi T [f,x 0 ] Poliomio di MacLauri della fuzioe fx) = come derivata del poliomio di MacLauri della +x fuzioe fx) = log + x) Applicazioe al calcolo di iti di fuzioi Bibliografia: [] 8; 8 dicembre 009 3ore Sviluppo di MacLauri di +x) α Applicazioe degli sviluppi di Taylor al calcolo di iti di fuzioi della forma fx) gx), e el caso x ± Approssimazioe di fuzioi co poliomi di Taylor Formula del resto di Lagrage Stime dell errore dell approssimazioe, ricerca del poliomio di grado miimo approssimate a meo di u errore prefissato, calcolo approssimato di valori umerici esempi: 3 e, si ) Bibliografia: [] 8; 83 9 dicembre 009 ore Applicazioe degli sviluppi di Taylor alla dimostrazioe di disuguagliaze particolari Le classi di fuzioi C k [a, b]), k N, e C [a, b]) Resto elle forme di: Schlömilch-Roche, Cauchy, Lagrage, Peao Itegrali di fuzioi o egative cotiue su u itervallo chiuso e itato [a, b] come ite di somme R ext approssimati per eccesso o di somme R it approssimati per difetto Le successioi approssimati soo mootoe itate La differeza R ext R it tede a zero quado + Bibliografia: [] 9; 9 dicembre 009 3ore Somme itegrali Fuzioi itegrabili secodo Riema Le fuzioi cotiue soo itegrabili La fuzioe di Dirichlet è itata ma o itegrabile secodo Riema Proprietà dell itegrale defiito: liearità, positività, mootoia, disuguagliaza del modulo, scomposizioe del domiio di itegrazioe Teorema della media itegrale Fuzioi itegrali Teorema fodametale del calcolo itegrale Primitive di ua fuzioe cotiua defiite su u itervallo L isieme delle primitive di ua fuzioe differiscoo tra loro per ua costate L itegrale idefiito di fx) come cotroimmagie dell operatore derivazioe Calcolo degli itegrali defiiti tramite ua qualuque primitiva Alcui itegrali immediati Itegrazioe per scomposizioe Bibliografia: [] 9; 9; 93; 94; 94 4 dicembre 009 ore Itegrazioe per sostituzioe Calcolo dell area di regioi deitate dai grafici di due fuzioi Sostituzioi tramite fuzioi goiometriche o iperboliche Itegrazioe per parti Esercizi Bibliografia: [] 95 6 dicembre 009 ore Itegrazioe di fuzioi razioali per deomiatori di grado due ei tre casi 0 Caso geerale Scomposizioe di Hermite Metodo diretto dei logaritmi e arcotageti) Bibliografia: [] 95 7 dicembre 009 ore Serie umeriche covergeti, divergeti, idetermiate Serie geometrica e di Megoli Serie a termii positivi Criterio del cofroto La serie espoeziale Maggiorati e miorati defiitivi Massimo e miimo ite Ua successioe {a } N ha ite L se e solo se sup a = if a Se la successioe {a } N è itata, allora sup a h = if sup a k, if a h = sup if a k Caratterizzazioe del N k N k massimo e miimo ite Criterio di covergeza di Cauchy per le serie Codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie La serie armoica è divergete Criterio della radice e del rapporto e loro traduzioe i termii di sup a e di if a Criterio di codesazioe Covergeza della serie armoica geeralizzata e della serie di Abel 4

5 Bibliografia: [] 57; 58; 58; 583; [5] 5; 6; 0; ; 4; apputi 8 dicembre 009 ora Serie assolutamete covergeti La covergeza assoluta implica la covergeza Il viceversa èfalso Serie a termii di sego altero Criterio di Leibiz Bibliografia: [] 57; 58; 58; 583; [5] 5; apputi dicembre 009 3ore Dimostrazioe del criterio di Leibiz Stima del resto di ua serie a termii di sego altero Ua serie a termii di sego altero o decresceti i valore assoluto èide- termiata Criterio asitotico: formulazioe i termii di disuguagliaze ed i termii di iti Estesioe al caso di successioi o cofrotabili Riformulazioi i termii della serie di riferimeto) armoica geeralizzata log Studio della covergeza della serie = α, α > 0, co il criterio asitotico o co le proprietà dei logaritmi Criterio della covergeza della primitiva e sua applicazioe allo studio della covergeza della serie armoica geeralizzata e della serie log = Esercizi sulle serie ) Calcolo della somma di a meo di 0 = Studio della covergeza della serie = e x +3 Per casa) Dimostrare che la covergeza delle serie a, implica la covergeza di a b = = b Bibliografia: [] 59; [5] 5; apputi = Formula di Bruacci-Abel Criteri di covergeza di Dedekid e di Abel Riordiameto dei termii di ua serie Il riordiameto di ua serie assolutamete covergete è assolutamete covergete ed ha la stessa somma Calcolo della somma e riordiameto della serie covergete = ) =log La costate di Eulero-Mascheroi Comportameto asitotico delle somme parziali della serie armoica Se ua serie a coverge ma o coverge assolutamete, per ogi L R esiste u suo riordiameto α tale che α = L ed esiste u suo riordiameto β tale che β è idetermiata cei della dimostrazioe) rrrrrrrs Cei sulla serie di Taylor Bibliografia: [] 5; 583; [5] 6; apputi Riferimeti bibliografici [] M Bertsch, R Dal Passo, L Giacomelli, Aalisi Matematica, McGraw- Hill [] R A Adams, Calcolo differeziale, Casa Editrice Ambrosiaa [3] P Marcellii, C Sbordoe, Aalisi Matematica uo, Liguori Editore [4] M Bramati, C D Pagai, S Salsa, Aalisi Matematica, Zaichelli [5] E Giusti, Aalisi Matematica, Bollati Borighieri [6] E Giusti, Esercizi e complemeti di Aalisi Matematica, volume primo, Bollati Borighieri [7] J P Ceccoi, G Stampacchia, Aalisi Matematica, volume, Liguori Editore dicembre 009 ore Criteri di covergeza di Kummer, di Raabe, di Gauss La serie ipergeometrica = αα +) α + )ββ +) β + )! γγ +) γ + ) Somma e differeza di due serie La serie prodotto Bibliografia:[] Appedice 5A; apputi 3 dicembre 009 3ore Covergeza semplice e covergeza assoluta della serie prodotto teoremi di Mertes e di Abel) Calcolo delle serie prodotto ) ) ) m ), logm +) = m= x ) ) m ) ) m = m= Programma d esame Le proposizioi dimostrate durate il corso soo riportate i corsivo Le dimostrazioi che potrebbero essere oggetto della prova teorica soo quelle riportate i rosso È iteso che tutte le defiizioi e proprietà riportate el diario del corso possoo essere argometo dell esame teorico ache quado di esse o è richiesta la dimostrazioe Aalogamete per tutti i metodi o teciche di risoluzioe, il cui utilizzo potrebbe essere richiesto esplicitamete ella risoluzioe degli esercizi della prova pratica o ei quesiti della prova teorica La serie di Taylor o è argometo d esame 5