REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI

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1 A.A. 2017/18 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 PER I CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA I semestre, 12 crediti Teoria: 9 crediti, teuti da me Esercitazioi: 1 credito teuto da me e 2 crediti teuti dal Dott. Bruo Scardamaglia COMMISSIONE D ESAME Presidete: Prof. Giuseppe MARINO Membri: Dott. Bruo Scardamaglia e Dott.ssa Filomea Ciaciaruso REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI IMPORTANTE: Le defiizioi ed i risultati fodametali per poter studiare co profitto soo scritti i grassetto. Ioltre, tutti i Teoremi NUMERATI soo stati dimostrati. I a settimaa (10 ore) Totale 10 ore (8 Lez, 2 Eser) Lu , 2 ore (Tot. 2 ore Esercitazioi, Dott. BruoScardamaglia) Fuzioi iiettive e suriettive; calcolo esplicito di fuzioi iverse; itervalli massimali di ivertibilità. Mar , ore (Tot. 2 ore Lezioi) Presetazioe del corso. Modalità d esame. Modalità per il Ricevimeto studeti. Numeri aturali, iteri, razioali, irrazioali, reali. Notazioi. Gli assiomi dei umeri reali: assiomi relativi alle operazioi, relativi all ordie e il FONDAMENTALE ASSIOMA DI COMPLETEZZA; Cosegueze ote degli assiomi dei umeri reali. Esempi ed esercizi. Dimostrazioe che 2 Q Mer , 2 ore (Tot. 4 ore Lezioi) Notazioi sugli itervalli reali. Cei di teoria degli isiemi: quatificatori, simboli di apparteeza, di iclusioe; uioe, itersezioe, differeza, differeza simmetrica, complemeto, leggi di De Morga; Esempi ed esercizi Gio , , 2 ore (Tot. 6 ore Lezioi) Defiizioe di maggiorate ed Estremo Superiore. Teorema 1. Caratterizzazioe del supa Teorema 2: Equivaleza fra l AX di Completezza e l AX del sup. Ve , , 2 ore (tot. 8 ore Lezioi) Esercizi su disequazioi razioali, irrazioali e sistemi

2 II a settimaa (8 ore) Tot. 16 ore Lezioi, 2 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (tot. 10 ore Lezioi) Applicazioi (o fuzioi) tra isiemi. Fuzioi iiettive, suriettive e biuivoche. Prodotto cartesiao di u umero fiito di isiemi. R 2, R 3,, R. Defiizioe di Graf(f) Iterpretazioe geometrica co le rette orizzotali che tagliao il grafico delle fuzioi iiettive, suriettive e biuivoche. Esempi ed esercizi Prodotto cartesiao di u umero fiito di isiemi. R 2, R 3,, R. Defiizioe di Graf(f). Iterpretazioe geometrica co le rette orizzotali che tagliao il grafico delle fuzioi iiettive, suriettive e biuivoche. Esempi ed esercizi Equazioi di defiizioe della fuzioe iversa Mar , Ho avuto la febbre e o ho fatto lezioe Mer , , 2 ore (tot. 12 ore Lezioi) Defiizioi, grafici, adameto esercizi i tutte le salse delle fuzioi poteza x r, prima per r i N, poi per r i Z, poi per r i Q e ifie i R. Gio , , 2 ore (tot. 14 ore Lezioi) Fuzioi espoeziali e logaritmi, co base >1 e <1. Trigoometria: ascita co l iteto di cooscere le misure seza misurare (braca di teoria della similitudie) alla formulazioe i geometria aalitica. Ve , , 2 ore (tot. 16 ore Lezioi) Trigoometria: dalla formulazioe iiziale squisitamete geometrica alla formulazioe i geometria aalitica e successivamete alla formulazioe aalitica. Proprietà e grafici di se, cos, arcse, arccos. Proprietà e grafici di tg e arctg. La tagete è la prima fuzioe che icotriamo defiita su u uioe ifiita di itervalli aperti e o su u solo itervallo

3 III a settimaa (10 ore) Tot. 22 ore Lezioi, 6 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (tot. 18 ore Lezioi) Operazioi aritmetiche co le fuzioi. Prodotto di composizioe, ache co fuzioi defiite co più formule (ESERCIZIO DELLA PROVA SCRITTA D ESAME) Mar , , 2 ore (tot. 20 ore) Relazioi di equivaleza. Teorema 3. Le classi di equivaleza di due elemeti equivaleti coicidoo. Teorema 4. Le classi di equivaleza di due elemeti o equivaleti soo disgiute. Teorema 5. Teorema fodametale sulle relazioi di equivaleza. Isieme quoziete Cogrueza modulo p sugli iteri. Teorema 6: Caratterizzazioe delle classi di cogrueza mod p come classi di resti della divisioe per p. Teorema 7. La somma e il prodotto di classi di cogrueza o dipedoo dai rappresetati. Tabellie di somma e prodotto Cogrueza modulo p: criteri di divisibilità. Mer , , 2 ore (tot. 22 ore) Relazioe di equipoteza. Teorema 8. La relazioe di equipoteza è ua relazioe di equivaleza. Cardialità come classi di equipoteza. Isiemi umerabili. Teorema 9. Soo umerabili: N, P, Z, Q, prodotti (sia fiiti sia ifiiti) di isiemi umerabili; uioi (sia fiite sia ifiite) di isiemi o umerabili. Teorema 10: R o è umerabile (dimostrazioe col procedimeto della diagoale di Cator) Teorema 11: Teorema di Cator-Berstei : u isieme o è mai equipotete al suo isieme delle parti. Cosegueze: 1. Esistoo ifiiti umeri trasfiiti 2. Spiegazioe del paradosso del barbiere di Russell. Gio , 2 ore (Tot. 4 ore Esercitazioi, Dott. Bruo Scardamaglia) Calcolo esplicito di composizioi di fuzioi (ache defiite a tratti); Esercizi su estremo superiore ed estremo iferiore di u isieme (utilizzado le defiizioi) Ve , 2 ore (Tot. 6 ore Esercitazioi, Dott. Bruo Scardamaglia) Esercizi vari sulla cardialità di isiemi; Costruzioe di fuzioi biuivoche tra isiemi; Prova del fatto che la cardialità del quadrato el piao coicide co la cardialità di u segmeto sulla retta reale; Prova che rad(2)+rad() è irrazioale per ogi.

4 IV a settimaa (10 ore) Tot. 32 ore Lezioi, 6 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (tot. 24 ore Lezioi) Lemma 12 (Lemma della Cocordia) X, Y isiemi. f: X Y e g: Y X fuzioi. Allora esistoo {X 1, X 2 } e {Y 1, Y 2 } partizioi di X e Y rispettivamete tali che f(x 1 ) = Y 1 e g(y 2 ) = X 2 Prima parte della dimostrazioe. Mar , , 2 ore (tot. 26 ore Lezioi) Secoda parte della dimostrazioe del Lemma della Cocordia. Teo 13. (Teorema di Cator-Schröder-Berstei) La cardialità è ua relazioe d ordie, i particolare se esiste u applicazioe iiettiva da X i Y e ua iiettiva da Y i X allora esiste ua fuzioe biuivoca fra X e Y. Lettura del raccoto I SETTE MESSAGGERI, di Dio Buzzati Lettura de L ifiito ell Itroduzioe di Claudio Bartocci ai Raccoti Matematici, di AA VV. Il Pricipio di Iduzioe elle sue varie forme. Mer , , 2 ore (tot. 28 ore Lezioi) Primo e secodo pricipio di iduzioe. Esempi ed esercizi. formule chiuse per k, 2 3 k, k, Somma Geometrica x k 1 k 1 k 1 k 1 Moltiplicazioe dei depositi bacari Teorema 14: Disuguagliaza di Beroulli. Teorema 15: Algoritmo di Eroe per il calcolo di x k. Esempio: Gio , , 2 ore (tot. 30 ore Lezioi) Calcolo Combiatorio. Teorema 16: Pricipio Fodametale del Calcolo Combiatorio Teorema 17: Permutazioi semplici e co ripetizioe Teorema 18. Disposizioi semplici e co ripetizioe Teorema 19. Combiazioi semplici Coefficieti biomiali. Proprietà e covezioi Teorema 20. ( k ) = ( k ) e ( 1 1 ) = ( ) + ( k k 1 k ) Teorema 21. Sviluppo del biomio di Newto Combiazioi co ripetizioi r Teorema 22. C,k + k 1 = ( ) k Ve , , 2 ore (tot. 32 ore Lezioi) Numeri complessi. Forma geometrica. Forma algebrica. Coiugio. Esercizi. Forma trigoometrica. Teorema 23. Formula di De Moivre Teorema 24. Radici -esime

5 Teorema 25. Radici -esime dell uità Forma espoeziale V a settimaa (6 ore) Tot. 36 ore Lezioi, 8 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (tot. 34 ore Lezioi) Itroduzioe alle successioi umeriche. Defiizioe, esempi. Successioi i forma chiusa e defiite per ricorreza. Sostego. Defiizioe di limite fiito e ifiito Successioi regolari ed oscillati. Successioi limitate. Uicità del limite Osservazioe sull epslo del cocetto di limite che può essere sostituito dal prodotto per ua costate. Osservazioe sulla diversità dell epslo ei cocetti di limite al fiito e all ifiito Successioi mootoe. Teorema 26: Teorema fodametale sulle successioi mootoe: Ogi successioe mootoa è regolare. Mar , , 2 ore (tot. 36 ore Lezioi) Operazioi co i limiti. Teorema 27. I teoremi co le operazioi aritmetiche. Forme idetermiate delle operazioi aritmetiche Teorema 28: Teorema del prodotto di ua successioe limitata per ua ifiitesima. Mer FESTA DI OGNISSANTI Gio COMMEMORAZIONE DEI DEFUNTI Ve , 2 ore (Tot. 8 ore Esercitazioi, Dott. Bruo Scardamaglia) Qualche dimostrazioe per iduzioe (divisibilità, disuguagliaze); Dimostrazioe di alcui limiti otevoli (poteza -esima, radice -esima, seo, coseo, logaritmo); Calcolo di limiti di successioi.

6 VI a settimaa (10 ore) Tot. 46 ore Lezioi, 8 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (tot. 38 ore Lezioi) Sottosuccessioi o successioi estratte. Teoremi di cofroto: - Teorema 29: Teorema della permaeza del sego. Corollario 1. Corollario 2. - Teorema 30: Teorema dei Carabiieri. Osservazioe: a ifiitesima sse modulo di a ifiitesima. Teorema 31: Applicazioe del Teorema Fodametale sulle Successioi Mootoe: covergeza al umero e delle successioi a , 1 a co a, 1 a co a x Covergeza ad exp(x) della successioe 1. a Mar , , 2 ore (tot. 40 ore Lezioi) Ordii di ifiitesimi e ifiiti. Ifiitesimi e ifiiti campioe Teorema 32: Pricipio di sostituzioe degli ifiitesimi Teorema 33: Pricipio di sostituzioe degli ifiiti L algebra degli o(a ) I limiti otevoli soo stati fatti dal Dott. Scardamaglia: Co a ifiitesima: Teorema 34. lim a ; Teorema 35. lim a ; Teorema 36. lim ; Teorema 37. lim se a, Teorema 38. se a 1 cosa 1 cosa lim cos a ; Teorema 39. lim ; Teorema 40. lim ; Teorema 41. lim 2. a a a Teorema 42: Criterio del rapporto: Se a >0 e lim a +1 /a <1, allora lim a =0. Applicazioe: Teorema 43. Ifiiti di ordie crescete: ord( b ) < ord(a ) < ord(!) < ord( ) Mer , , 2 ore (tot. 42 ore Lezioi) Teorema 44: Il Teorema di Bolzao-Weierstrass: Ogi successioe ammette sempre u estratta regolare. Successioi di Cauchy. Teorema 45: Ua successioe è di Cauchy sse è covergete. Puti di adereza. Massimo e miimo limite. Teorema 46: Caratterizzazioe di maxlim e milim. RIEPILOGO DI QUANTO FATTO FINORA Gio , , 2 ore (tot. 44 ore Lezioi) Esercizi su diseguagliaze e disequazioi Ve , , 2 ore (tot. 46 ore Lezioi) Esercizi su if, sup. Fuzioi strae. Def di puti di accumulazioe, isiemi aperti e chiusi. Caratterizzazioi degli isiemi chiusi. Esercizi su isiemi aperti e chiusi.

7 VII a settimaa Da Luedì 13 a Veerdì 17 Novembre PAUSA DIDATTICA PER LO SVOLGIMENTO DELLE PROVE INTERMEDIE Lu , 2 ore (Tot.10 ore Esercitazioi, Dott. Bruo Scardamaglia) Prova itermedia seza voto su quato fatto fiora

8 VIII a settimaa (10 ore) Da Luedì 20 a Veerdì 24 Novembre Tot. 56 ore Lezioi, 10 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (tot. 48 ore Lezioi) Limiti di fuzioi. Tutte le diverse defiizioi di limite uificate da lim x α f(x) = β sse per ogi itoro I di β esiste u itoro J di α t.c. f(j\{α}) I Teorema 47: Teorema Pote Teorema 48: Operazioi co i limiti di fuzioi. Fuzioi cotiue. Mar , ore (tot. 50 ore Lezioi) Discotiuità: elimiabile, prima specie (salto) e secoda specie Teorema 49. Tutte le fuzioi elemetari soo cotiue ei loro domii di defiizioe. Teorema 50 della permaeza del sego per fuzioi cotiue. Teorema 51 di Esisteza degli Zeri. Teorema 52: Applicazioe del Teorema di Esisteza degli Zeri all esisteza di puti atipodali co la stessa temperatura. Teorema 53: Primo teorema dell esisteza dei valori itermedi. Mer , ore (tot. 52 ore Lezioi) Teorema 54: Teorema di Weierstrass Teorema 55: Secodo Teorema dell esisteza dei valori itermedi. Teorema 56: Criterio di ivertibilità. Teorema 57: Teorema sul limite delle fuzioi mootòe. Teorema 58: Criterio di cotiuità per le fuzioi mootòe Teorema 59: Teorema di cotiuità della fuzioe iversa di ua fuzioe cotiua Gio , ore (tot. 54 ore Lezioi) Esercizi su quato fatto fiora: if, sup, max, mi, limiti, ordii di ifiitesimi e ifiiti, pricipio di sostituzioe; fuzioi cotiue Ve , ore (tot. 56 ore Lezioi) Esercizi su quato fatto fiora: if, sup, max, mi, limiti, ordii di ifiitesimi e ifiiti, pricipio di sostituzioe; fuzioi cotiue

9 IX a settimaa (10 ore) Da Luedì 27 Nov a Veerdì 1 Dic Tot. 66 ore Lezioi, 10 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (tot. 58 ore Lezioi) Defiizioe di derivata. Tasso di accrescimeto. Sigificato meccaico. Notazioi di Newto e Leibitz Teorema 60: Sigificato geometrico della derivata come tagete trigoometrica della retta tagete el puto. Teorema 61: L errore che si commette cosiderado il valore della retta tagete i u puto ivece del valore esatto della fuzioe è u ifiitesimo di ordie superiore all icremeto della variabile idipedete. Esempi di valori approssimati di radici di umeri reali. Mar , , 2 ore (tot. 60 ore Lezioi) Teorema 62: Operazioi aritmetiche co le derivate. Teorema 63: Teorema di derivazioe delle fuzioi composte. Teorema 64: Teorema di derivazioe delle fuzioi iverse Teorema 65: Derivate delle fuzioi elemetari: poteze ad espoete razioale, logaritmi. Mer , ore (tot. 62 ore Lezioi) Teorema 66: Derivate delle fuzioi elemetari: cotiuazioe: espoeziali, poteze ad espoete reale. Teorema 67: Derivate delle fuzioi elemetari: fuzioi se, cos, tg, arcse, arccos, arctg. Le fuzioi iperboliche e le loro iverse Gio , , 2 ore (tot. 64 ore Lezioi) Teorema 68: Teorema fodametale della geometria iperbolica: cosh 2 x - seh 2 x = 1 Teorema 69: Grafici delle fuzioi iperboiche seh, cosh, tgh. Teorema 70: Le fuzioi iperboliche iverse: sett seh, sett cosh, sett tgh e i loro grafici Massimi e miimi locali. Teorema 71: Primo Teorema di Fermat. Teorema 72: Secodo Teorema di Fermat. Ve , , 2 ore (tot. 66 ore Lezioi) Teorema 73. Teorema di Rolle Teorema 74: Teorema di Lagrage Teorema 75: Criterio di mootoia col sego della derivata prima Teorema 76: Caratterizzazioe delle fuzioi costati i u itervallo e criterio di stretta mootoìa. Fuzioi derivabili covesse e cocave. Teorema 77. Criterio di covessità co la derivata secoda

10 X a settimaa (8 ore) Da Luedì 4 a Giovedì 7 Dicembre Tot. 72 ore Lezioi, 12 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (tot. 68 ore Lezioi) Teorema 78: Teorema di L Ho pital Metodo per lo studio del grafico di ua fuzioe. Esercizi Teorema 79: Il Poliomio di Taylor di ordie coicide col valore della fuzioe e di tutte le sue derivate fio all ordie el cetro della formula. Mar , , 2 ore (tot. 70 ore Lezioi) Teorema 80: Formula di Taylor co il resto di Peao: R è u ifiitesimo di ordie superiore ad per x x o. Teorema 81: Formula di Taylor co il resto di Lagrage: R = f (+1) (c) (x x o )+1 Teorema 82: Poliomio di Taylor di exp(x) Teorema 83: Poliomio di Taylor di log(1 + x) Teorema 84: Poliomio di Taylor di sex Teorema 85: Poliomio di Taylor di cosx Teorema 86: Poliomio di Taylor di (1 + x) α (+1)! Mer , , 2 ore (Tot. 12 ore ) Esercitazioi, Dott. Bruo Scardamaglia) Applicazioi dei teoremi sulle fuzioi cotiue; Cotiuità e derivabilità i u puto, per fuzioi defiite a tratti; Calcolo di derivate di fuzioi composte. Gio , , 2 ore (tot. 72 ore Lezioi) INTEGRAZIONE DEFINITA SECONDO RIEMANN PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE Defiizioe di Partizioe di u itervallo e di ampiezza di ua partizioe. Defiizioe di somme iferiori s(f,p), Defiizioe di somme superiori S(f,P) Teorema 87: Teorema Fodametale sulle Partizioi: Sia f([a,b]) = [m,m]. Allora, per ogi coppia di partizioi P e Q di [a,b] si ha M(b a) s(f,p) S(f,Q) M(b a) Defiizioe di itegrale defiite come elemeto separatore (quado è uico) delle somme iferiori e superiori o, equivaletemete, come s(f) = S(f), cioè l estremo superior delle somme iferiori = estremo iferiore delle somme superiori o, equivaletemete, come il limite delle somme iferiori (coicidete co quello delle somme superiori) quado l ampiezza della partizioe tede a zero Ve , FESTA DELL IMMACOLATA

11 XI a settimaa (10 ore) Da Luedì 11 a Veerdì 15 Dicembre Tot. 78 ore Lezioi, 16 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (Tot. 14 ore Esercitazioi, Dott. Bruo Scardamaglia) Studi di fuzioi: ua fuzioe logaritmica, ua fuzioe razioale fratta e ua fuzioe co radice cubica. Mar , , 2 ore (tot. 74 ore Lezioi) Teorema 88. Teorema di Riema sulla itegrabilità co le partizioi: Ua fuzioe f limitata su [a, b] è ivi > 0 ua partizioe P di [a, b] tale che s(f,p) S(f,P) < ε. itegrabile secodo Riema se e solo se Teorema 89.Teorema di Riema sull itegrabilità delle fuzioi mootoe: Ogi fuzioe mootoa è itegrabile su [a, b] Proprietà degli itegrali defiiti: Additività rispetto ai limiti di itegrazioe, Liearità rispetto alla fuzioe itegrada, Mootoìa rispetto alla fuzioe itegrada. Defiizioe di cotiuità uiforme Teorema 90. Teorema di Cator sull uiforme cotiuità: Ogi fuzioe cotiua defiita su u itervallo chiuso e limitato è uiformemete cotiua Primo e secodo Teorema della Media Teorema 91. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Teorema 92.FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Defiizioe di Itegrale Idefiito. Esercizi sugli itegrali defiiti. Mer , ore (tot. 76 ore Lezioi) Itegrali idefiiti immediati co la tabella delle derivate Teorema 93. Formula di itegrazioe per parti Teorema 94. Formula di itegrazioe per sostituzioe Formula dell area sottesa dal grafico di ua fuzioe. Formula dell area della regioe compresa fra il grafico di due fuzioi. Teorema 95. Formula del salame (solidi di rotazioe attoro all asse delle x) Teorema 96. Formula della carta igieica (solidi di rotazioe attoro all asse delle y) Gio , , 2 ore (tot. 78 ore Lezioi) Def. di serie umerica. Successioe delle somme parziali. Teorema 97. Il termie geerale di ua serie covergete è ifiitesimo. Teorema 98. Il carattere di ua serie o cambia modificado u umero fiito di termii. Resto o coda di ua serie. Teorema 99: Criterio di Cauchy per le serie. Serie a termii o egativi. Serie armoica. Serie armoica geeralizzata Teorema 100. Criteri di cofroto. Criterio di codesazioe Teorema 101: Criterio della radice Teorema 102: Criterio del rapporto Serie assolutamete e icodizioatamete covergeti. Teorema di Riema sulle serie covergeti o assolutamete. Ve , , 2 ore (Tot. 16 ore Esercitazioi, Dott. Bruo Scardamaglia)

12 XII a settimaa (10 ore) Da Luedì 18 a Veerdì 22 Dicembre Tot. 84 ore Lezioi, 20 ore Esercitazioi Lu , , 2 ore (Tot. 18 ore Esercitazioi, Dott. Bruo Scardamaglia) Mar , , 2 ore (tot. 80 ore Lezioi) Mer , , 2 ore (Tot. 20 ore Esercitazioi, Dott. Bruo Scardamaglia) Gio , , 2 ore (tot. 84 ore Lezioi) Ve , , 2 ore (tot. 84 ore Lezioi)