I tre personaggi della matematica. Prof.ssa Sandra Gaudenzi 30 aprile 2012

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1 i e 0 I tre persoaggi della matematica Prof.ssa Sadra Gaudezi 30 aprile 202

2 Numeri algebrici e trascedeti U umero algebrico è u ualsiasi umero x, reale o complesso, che soddisfi u euazioe algebrica della forma k0 dove a k x k 0, soo umeri iteri. Il cocetto di umero algebrico è ua aturale geeralizzazioe del cocetto di umero razioale (caso i cui ) a 0

3 No tutti i umeri reali soo algebrici Cator 874 dimostra la umerabilità di tutti i umeri algebrici e poiché l isieme R o è umerabile devoo esistere dei umeri reali che o soo algebrici, tale isieme di umeri trascedeti o è umerabile Trascedeti perché come disse Eulero trascedoo il potere dei metodi algebrici

4 Dimostrazioe Ad ogi euazioe del tipo k0 a k x k 0, a 0 si fa corrispodere ua altezza defiita come il umero itero positivo h a a... a0 per ogi h esiste u umero fiito di euazioi di altezza h e ciascua di ueste può avere al massimo radici distite [ ]

5 Problema dell iteresse composto C capitale iiziale x>0 tasso di iteresse auo dopo u ao il motate C+xC=C(+x) Se la capitalizzazioe avviee ogi sei mesi dopo u ao C(+x/2) 2 Se la capitalizzazioe avviee ogi uadrimestre dopo u ao C(+x/3) 3 Se la capitalizzazioe avviee ogi gioro dopo u ao C(+x/365) 365

6 Problema dell iteresse composto C capitale iiziale= euro

7 Problema dell iteresse composto Se la capitalizzazioe avveisse co freueza sempre maggiore.. ad ogi istate? lim f C ( lim h x ) h [ ] Se suppoiamo di aver dimostrato che h f x ( ) lim x x f () x 0

8 Defiizioe di e Mostriamo che esiste ed è fiito lim Cosideriamo gli + umeri Calcoliamo le loro medie geometrica e aritmetica,...,, A G

9 Defiizioe di e La disuguagliaza fra le medie G<=A, elevadoe ambo i membri alla + forisce uidi Ovvero la successioe è crescete Da uesto e segue che il limite esiste (fiito o ifiito)

10 Defiizioe di e Itroduciamo crescete e dimostriamo j0 j! superiormete limitata co [ ] Dimostriamo del biomio [ ] s Pertato essedo superiormete limitata defiiamo e e x s lim lim x s 3 ricorredo allo sviluppo crescete e Defiizioe di fuzioe espoeziale data da Eulero el 748 ella Itroductio i aalysi ifiitorum

11 Defiizioe di e Eulero 748 ella Itroductio i aalysi ifiitorum

12 Defiizioe di e Dal testo storico e lim s lim... 2! s e lim s!! Per uato visto prima e passado al limite È uidi sufficiete dimostrare che e lim s [ ]

13 Irrazioalità di e (Eulero 737) Per assurdo co p, iteri e almeo uguale a 2. Moltiplicado i membri per! p e !! ) ( ! p e Il primo membro è u itero, a destra il termie detro le uadre è u itero, ma il resto è u umero positivo miore di ½ [ ] uidi o è itero. Nel 873 Hermite dimostra la trascedeza di e

14 Ulteriori proprietà Fuzioe iversa del logaritmo, le= Area sottesa dall iperbole Tra le permutazioi di elemeti, le permutazioi prive di puti fissi deragemet soo! d e

15 Il umero i Il simbolo i è effettivamete di Eulero ma l idea di servirsi di umeri immagiari i opposizioe a umeri reali, per lavorare co radici uadrate di umeri egativi ella risoluzioe di euazioi è precedete e all iizio della storia soo implicati diversi matematici italiai del ciueceto: Scipioe dal Ferro, Niccolò Fotaa detto il Tartaglia, Girolamo Cardao e Raffaele Bombelli.

16 i e 0

17 i e 0 Siamo acora lotai dal 806 (Argad) e 83 (Gauss) grazie all opera dei uali si rappresetao i umeri complessi el piao z=a+ib

18 i e 0 E ora chiudiamo la uadratura del cerchio Lidema (882) mostra che e x è trascedete ache se x è solo algebrico (diverso da zero). e i Si ha uidi che o è trascedete, visto che vale -, si coclude uidi che l espoete deve allora essere o algebrico, cioè trascedete. Ma l uità immagiaria è algebrica e uidi deve essere ecessariamete π ad essere trascedete.

19 Settimo problema di Hilbert "Se vogliamo immagiarci lo sviluppo presumibile della coosceza matematica el prossimo futuro, dobbiamo far passare davati alla ostra mete le uestioi aperte e dobbiamo cosiderare i problemi che soo posti dalla scieza attuale e la cui soluzioe attediamo dal futuro. Questi giori, che stao a cavallo tra due secoli, mi sembrao be adatti per ua rassega dei problemi..." Così David Hilbert aprì la sua cofereza al secodo cogresso iterazioale dei matematici a Parigi. Era l 8 agosto 900. U umero del tipo a b co a e b algebrici, è algebrico o trascedete? 2 Hilbert fece l esempio di Problema acora aperto No si sa ulla di e e, π e,π π, e +π, e -π 2 Il problema fu risolto el 934 idipedetemete da A. Gelfod e Th. Scheider sulla base di risultati otteuti da Gelfod el 929.

20 i e 0 Cocludiamo come B. Peirce ( ) che al termie di ua sua lezioe sulla formula di Eulero disse Sigori, posso dirlo co certezza, è assolutamete paradossale: o possiamo capirla, e o sappiamo cosa sigifichi; ma l abbiamo appea dimostrata e uidi sappiamo che deve essere vera.