Numeri Complessi. May 9, 2015

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1 Numeri Complessi May 9, 15 1 Defiizioe dei umeri complessi Sappiamo che l equazioe +1 o ha soluzioe el campo R dei umeri reali. Ifatti se c R fosse ua soluzioe avremmo c >, perché c, e quidi >, assurdo. Quidi se vogliamo risolvere questa equazioe dobbiamo estedere il campo dei umeri reali. L idea è la stessa che porta all itroduzioe dei umeri reali a partire dai umeri razioali (le frazioi m ). I questo caso è l equazioe che o ha soluzioi razioali. Le soluzioi esatte dell equazioe soo i umeri reali ±. Dobbiamo usare u simbolo speciale per deotare la radice quadrata di perché, o essedo apputo u umero razioale, la sua espasioe decimale o è fiita e eppure periodica e quidi richiede ifiite cifre decimali. Possiamo dire che i umeri reali risolvoo il problema della misurazioe co precisioe ifiita. La radice quadrata di misura la diagoale del quadrato uitario. Altro esempio famoso è il umero π che misura l area del disco uitario. Ach esso è u umero irrazioale (è più che u umero irrazioale, è u cosiddetto umero trascedete, ovvero o è soluzioe di alcua equazioe algebrica a coefficieti razioali, a differeza di che è soluzioe dell equazioe ). L idea di estedere il campo dei umeri ad u campo più grade per risolvere u problema ci è duque familiare. Vedremo che aggiugedo solo la radice quadrata di 1, usualmete chiamata i (iiziale di immagiario ), otterremo u uovo campo di umeri, detto campo C dei umeri complessi, e saremo i grado di risolvere tutte le equazioi algebriche di secodo grado. Quidi co poca spesa si ottiee molto, a differeza del passaggio dai razioali ai reali dove bisoga aggiugere ifiiti umeri azi ua ifiità o umerabile di umeri. Co ache u premio perché si può dimostrare (ma oi o lo faremo, è u risultato difficile, oto come Teorema fodametale dell algebra ) che tutte le equazioi algebriche a coefficieti complessi soo completamete risolubili co i umeri complessi. L uità immagiaria è u simbolo i che soddisfa i 1. U umero complesso è u espressioe della forma a + ib a + bi, dove a e b soo umeri reali Ad esempio, + 3i, iπ + iπ, + i soo umeri complessi. I geerale scriveremo a a + i, bi + bi. Quidi ogi umero reale si può cosiderare u umero complesso. Due umeri complessi a + ib e c + id soo uguali, a + ib c + id, se e solo se a c e b d. Deoteremo co C l isieme dei umeri complessi C {a + ib a, b R}. I umeri a e b si dicoo rispettivamete la parte reale e la parte immagiaria del umero complesso a + ib e scriveremo a Re (a + ib), b Im (a + ib) ad esempio Re (1 i) 1, Im (1 i), Re (3i) Re ( + 3i), Im (3i) Im ( + 3i) 3, Re ( ) Re ( + i), Im ( ) Im ( + i). Il umero complesso a+ib si può rappresetare co il puto (a, b) el piao R. Il piao coordiato Oy i cui puti soo idetificati co i umeri complessi si chiama il piao complesso o di Argad- Gauss. Ad esempio l uità immagiaria si idetifica co il puto (, 1). L asse delle di dice l asse reale, l asse delle y l asse immagiario. 1

2 y i i 1 + i 3 + i 1 i i i i Operazioi su C Defiiamo ora le quattro operazioi su C. La somma e la differeza di due umeri complessi soo defiite sommado o sottraedo le loro parti reali e immagiarie ad esempio (a + ib) + (c + id) (a + c) + i(b + d) (a + ib) (c + id) (a c) + i(b d) (3 i) + ( 1 + i) (3 1) + i( 1 + ) + i. Sul piao complesso la somma e la differeza di umeri complessi si ottegoo dalla somma e la differeza dei corrispodeti vettori. y w + z z w w z z Il prodotto di due umeri complessi è defiito i modo che formalmete valgao le proprietà cosuete delle operazioi (a + ib)(c + id) a(c + id) + (ib)(c + id) ac + a(id) + (ib)c + (ib)(id) ac + i(ad) + i(bc) + i (bd) Essedo i 1, defiiamo (a + ib)(c + id) (ac bd) + i(ad + bc) ad esempio (1 + i)(3 i) 3 i + 6i i 5 + 5i, i(3 i) + 3i.

3 Osserviamo che (a + ib)(a ib) a (ib) a + b è u umero reale; poiché a + b se e solo se a b, se a + ib, ovvero se a o b, il umero a + b è positivo. Ora abbiamo c + id (c + id)(a ib) (ac + bd) + i(ad bc) a + ib (a + ib)(a ib) a + b ac + bd bc a + iad + b a + b. Quidi la divisioe per u umero complesso a + ib è defiita. Ad esempio 1 + i 1 + i 3 + i (1 + i)( 3 + i) i. 3 i 3 i 3 + i È facile verificare (ma o lo farò) che le quattro operazioi soddisfao le usuali proprietà e quidi i umeri complessi formao u campo. Il campo complesso è uo spazio vettoriale di dimesioe due sul campo reale. Ua base di C su R è {1, i}. La trasformazioe a+ib (a, b) è u isomorfismo di C su R. 3 Coiugato. Modulo Dato il umero complesso z a + ib, il umero complesso z a ib si dice il coiugato di z. Nel piao complesso il coiugato di z a + ib è rappresetato dal simmetrico (a, b) di (a, b) rispetto all asse. y z a + ib i i z a ib Il modulo o valore assoluto di z a + ib è il umero z a + b. Ad esempio: ±, 1 + i, i 1, 3i 3, 3 i. Ioltre z z. Nel piao complesso il modulo di z a + ib è la distaza del puto (a, b) dall origie. y ib z a + ib z a + b a Utilizzado u coto fatto qui sopra, troviamo Valgoo ache zz z z z, z + w z + w, zw z w, z z 3

4 wz w z, w + z w + z U umero complesso z è reale se e solo se z z. U umero complesso z si dice immagiario puro se è della forma z ib, b R. U umero complesso è immagiario puro se e solo se z z. Coiugato e modulo permettoo di dare ua forma compatta per la divisioe di due umeri complessi w z wz zz wz z. Poiché i 1, i è ua radice quadrata di 1, l altra è i. Siamo quidi autorizzati a chiamare i la radice quadrata pricipale di 1 e possiamo scrivere i 1. I geerale, se c è u umero reale positivo, scriviamo c i c. Possiamo ora risolvere ua qualuque equazioe di secodo grado a + b + c ache quado il discrimiate b ac < 1, b ± b ac. a Ad esempio le soluzioi dell equazioe soo 1, 1 ± 1 1 ± i 3. Le due soluzioi soo complesse coiugate. Questo risultato è vero per qualuque equazioe p() ove p() a + a a è u poliomio a coefficieti reali. Se z C è ua soluzioe dell equazioe, p(z), allora ache z è soluzioe, p(z). Ifatti, da p(z) a z + a 1 z a 1 z + a segue che p(z) a z + a 1 z a 1 z + a a z + a 1 z a 1 z + a a z + a 1 z a 1 z + a a z + a 1 z a 1 z + a p(z). Forma polare Sappiamo che u umero complesso z a + ib si idetifica co il puto (a, b) del piao complesso. Se (r, θ) soo le coordiate polari del puto (a, b), allora a r cos θ, b r si θ e quidi z r(cos θ + i si θ), r z a + b, ta θ b a L agolo θ si dice l argometo di z e lo si deota co arg z. È determiato a meo di multipli iteri di π. L agolo è misurato i seso atiorario. Se z r(cos θ+i si θ), z si dice rappresetato i forma polare, se z + iy, z si dice rappresetato i forma cartesiaa. y z z θ arg z Ad esempio: z 1 + i, r z 1 + 1, ta θ 1, θ π/ z ( cos π + si π ),

5 y 1 + i π π 6 3 i z 3 i, r z 3 + 1, ta θ 1/ 3; poiché z sta el quarto quadrate, possiamo scegliere θ π/6 ( ( z cos π ) ( + si π )). 6 6 Particolarmete utile è la forma polare ella moltiplicazioe e ella divisioe di due umeri complessi: sia w r(cos θ + i si θ), z s(cos φ + i si φ), dove r w, θ arg w, s z, φ arg z, allora wz rs(cos θ + i si θ)(cos φ + i si φ) rs ( (cos θ cos φ si θ si φ) + i(cos θ si φ + si θ cos φ) ). Dalle formule di addizioe per seo e coseo si ricava wz rs ( cos(θ + φ) + i si(θ + φ) ) Segue che per moltiplicare due umeri complessi si moltiplicao i moduli e si sommao gli argometi. wz z θ + φ φ y θ w Ad esempio, se z r(cos θ + i si θ), ( ( π ) iz r cos + i si ( π )) (cos θ + i si θ) r ( ( π ) ( π )) cos + θ + i si + θ quidi la moltiplicazioe per i dà la rotazioe i seso atiorario di agolo π/. Similmete, utilizzado le formule di sottrazioe per seo e coseo, per dividere due umeri complessi si dividoo i moduli e si sottraggoo gli argometi w z r ( ) cos(θ φ) + si(θ φ) s I particolare, il reciproco di z r(cos θ + i si θ) è dato da 1 z 1 (cos θ i si θ) r 5

6 y z θ θ 1/z Ad esempio, calcoliamo il prodotto dei umeri complessi w 1 + i e z 3 i i forma polare. Abbiamo visto prima che w 1 + i ( cos π + i si π ) [ (, z cos π ) ( + i si π )]. 6 6 Segue che wz (1 + i)( 3 i) [ ( π cos π ) ( π + i si 6 π )] [ cos π i si π ] 1 y w 1 + i wz π 1 z 3 i Se z r(cos θ + i si θ), allora z r (cos θ + i si θ), z 3 zz r 3 (cos 3θ + i si 3θ),.... Iduttivamete, si ottiee la formula di De Moivre Ad esempio, calcoliamo ( i) 1. Abbiamo 1 +1 i 1 ( cos π ) ( ) iπ + i1 [ ( ) 1 5 cos 3 π 5 Espoeziale complesso z r (cos θ + i si θ) ( ) 1 1 [ ( cos 1 π ) ( + i si 1 π ) ( + i si 1 π )] ( )] 5 + i si π 1 3 i Abbiamo discusso le quattro operazioi aritmetiche co i umeri complessi. Vediamo ora come si defiisce l espoeziale. Questo richiede qualche ozioe di Aalisi Complessa che richiamerò brevemete. Utilizzado il modulo z z alcue delle ozioi di Aalisi Reale si possoo trasferire sui complessi. Ad esempio la teoria della covergeza delle successioi e delle serie di umeri reali si possoo trasferire ai umeri complessi. Ua successioe (s ) di umeri complessi coverge al umero complesso s se s s è piccolo quato si vuole purché sia abbastaza grade. Ua serie a di umeri complessi coverge al umero complesso s se la successioe delle ridotte s covergeza di Cauchy vale ache i ambito complesso. a j coverge ad s. Il criterio di Teorema. Ua successioe (z ) di umeri complessi coverge se e solo se per ogi reale ε > esiste u itero N > tale che z z m < ε per ogi m > N. 6

7 dim. Se (z ) coverge a z, allora per ogi ε > esiste u itero N > tale che z z < ε/ se > N. Segue m > N z z m z z + z z m z z + z m z < ε. Viceversa, suppoiamo che la codizioe sia soddisfatta. Ci si riduce al criterio di Cauchy reale. Osserviamo che Re z z, Im z z. Si scrive z + iy co, y R. Segue che m Re (z z m ) z z m e y y m Im (z z m ) z z m. Segue che le due successioi reali ( ) ed (y ) soddisfao il test di Cauchy reale e quidi covergoo a umeri reali ed y. Si verifica facilmete che la successioe (z ) coverge a z + iy. Il test di Cauchy si trasferisce seza difficoltà alle serie. Teorema. Ua serie a coverge se e solo se per ogi ε > esiste N > tale che m > N jm+1 a j < ε Ua serie coverge. a coverge assolutamete se la serie (a termii reali o egativi) a Teorema. Ua serie a assolutamete covergete è covergete e a a, (disuguagliaza triagolare geeralizzata). dim. Suppoiamo che a sia covergete. Fissato ε >, esiste N > tale che ε. Se m > N, allora dalla disuguagliaza triagolare segue Basta ora applicare il test di Cauchy. jm+1 a j jm+1 a j < ε. jm+1 a j < Dal corso di Aalisi sappiamo che l espoeziale reale e coicide, per ogi (reale), co la somma della sua serie di Taylor e!. Possiamo ispirarci a questa formula per defiire e z per ogi umero complesso z e z z! La serie coverge assolutamete per ogi umero complesso z. Ifatti z! z e z.! Segue che la serie coverge per ogi z e quidi si ottiee ua fuzioe (cotiua) z e z di C i sé stesso. La proprietà importate dell espoeziale reale e +y e e y vale ache per i umeri complessi e w+z e w e z 7

8 Per dimostrarla, defiiamo il prodotto (alla Cauchy) di due serie c, c a b + a 1 b a b a e a j b j. b : è la serie La defiizioe può essere motivata come segue. Partiamo da due serie di poteze a z e b z, moltiplichiamole termie a termie e raccogliamo i termii che hao la stessa poteza di z. Otteiamo ( a z ) ( b z ) (a + a 1 z + a z +...)(b + b 1 z + b z +...) a b + (a b 1 + a 1 b )z + (a b + a 1 b 1 + a b )z +... c + c 1 z + c z +... Poedo z 1 si ottiee la defiizioe data del prodotto. Poiamo A a j, B b j, C c j, Se A A e B B (le serie a e b covergoo ad A e B risp.), o è detto che il prodotto coverga ad AB, ovvero che C AB, perché C o è uguale ad A B. Azi, il prodotto può o covergere ache se i fattori covergoo. Ma se almeo uo dei fattori coverge assolutamete, allora il prodotto coverge e coverge al valore giusto, c AB. Teorema. Nelle ipotesi che a) allora dim. Poiamo A a coverge assolutamete, b) ( ) c a j b j AB. a j, B b j, C a A, c) c j, β B B. b B, Segue C a b + (a b 1 + a 1 b ) (a b + a 1 b a b ) Poiamo a B + a 1 B a B a (B + β ) + a 1 (B + β 1 ) a (B + β ) A B + a β + a 1 β a β. γ a β + a 1 β a β C A B + γ. Poiché A B AB, per dimostrare che C AB basta dimostrare che γ. Utilizzado l ipotesi (a), poiamo α a. Fissiamo ε >. Dall ipotesi (c) segue che β e quidi esiste u itero N > tale che β < ε per > N. Per tali abbiamo γ β a β N a N + β N+1 a N β a < β a β N a N + εα. Poiché a k per k, teedo N fisso e facedo, abbiamo lim sup γ εα. Essedo ε > arbitrario, otteiamo quato voluto, γ. 8

9 Ricordo che se (s ) è ua successioe di umeri reali ed E è l isieme dei limiti delle sottosuccessioi di (s ) covergeti o divergeti a ±, allora lim sup s sup E, Toriamo al ostro espoeziale. Le serie w!, lim if s if E. soo assolutamete covergeti e quidi, usado il Teorema precedete e la formula del biomio di Newto, si ricava ( ) ( w k ) ( z m ) w k z k 1! k! m! k! ( k)!! k!( k)! wk z k (w + z).! k m k Segue che e w e z e w+z, come voluto. I particolare, se z + iy,, y R, e z e e iy. Ora calcoliamo e iθ co θ reale (la scelta della lettera θ si capirà tra u mometo). Separado gli espoeti pari da quelli dispari, si ricava Osserviamo che Segue che e iθ (iθ)! m z! k (iθ) m (m)! + m (iθ) m+1 (m + 1)!. (iθ) m (i) m θ m (i ) m θ m ( 1) m θ m, (iθ) m+1 i( 1) m θ m+1. e iθ ( 1) m θm (m)! + i ( 1) m θm+1 (m + 1)!. m Ricordado gli sviluppi i serie di McLauri delle fuzioi seo e coseo, si ottiee la formula di Eulero e iθ cos θ + i si θ m Possiamo quidi rappresetare i umeri complessi i forma polare come z re iθ, r z, θ arg z. I umeri e iθ rappresetao tutti e soli i umeri complessi di modulo 1, quidi i umeri e iθ, al variare di θ i R, parametrizzao i puti del cerchio uitario Chiaramete abbiamo U {z C z 1} {e iθ θ R}. e πi 1, e iπ 1 e e iθ e iφ se e solo se θ φ πz è u multiplo itero di π. θ i π 3 θ π e i π 3 i e i π e i π θ π θ π θ 13π 1 1 e iπ e i 13π 1 e i 7π 1 e i e 3π θ 7π θ θ 3π 9

10 È iteressate osservare che la fuzioe R U, θ e iθ trasforma l itervallo [, π] el cerchio uitario U. Poiché e πi e 1, la fuzioe e iθ idetifica gli estremi dell itervallo. Quidi la fuzioe e iθ realizza matematicamete quello che si può otteere fisicamete piegado e saldado gli estremi di u pezzo di filo di ferro. πi e iθ 1 Osservazioe Quado abbiamo separato gli espoeti pari dagli espoeti dispari ella serie e iθ abbiamo riordiato i termii della serie. È lecita questa operazioe di riordio? Precisiamo. Sia k : N N, k ua biiezioe (quidi (k ) è ua successioe i cui ogi itero positivo compare ua ed ua sola volta). Sia a ua serie (a termii reali o complessi) e poiamo a a k. La serie a si dice u riordio della serie a. I geerale, le successioi delle ridotte (s ) ed (s ) delle due serie a e a soo formate da umeri completamete diversi. Quidi possiamo chiederci se u riordio di ua serie covergete è acora covergete e, i caso affermativo, se le somme ecessariamete coicidoo. Ci accotetiamo di esporre il risultato seguete che mostra come l operazioe di riordio fatta per dimostrare la formula di Eulero è lecita. Teorema. Se la serie a di umeri complessi coverge assolutamete, allora ogi suo riordio coverge e tutti covergoo alla stessa somma. dim. Sia s a j l -esima ridotta di a. Sia a, a a k, u riordio di a e sia s j1 a j l -esima ridotta di a. Dato ε >, poiché a coverge, dal criterio di Cauchy j1 1 segue che esiste u itero positivo N tale che a j ε, se m N. jm+1 Scegliamo ora u itero p abbastaza grade i modo che gli iteri 1,,..., N siao tutti coteuti ell isieme k 1, k,..., k p. Segue che, se > p, allora i umeri a 1, a,..., a N si cacellao ella differeza s s. Segue che, per > p, s s < ε. Pertato la successioe (s ) coverge alla stessa somma di (s ). 6 Risolvere l equazioe z w Si scrivoo w re iθ (r > e θ soo dati) e z se iφ (s > e φ soo icogite) i forma polare. Segue z s e iφ re iθ w e quidi s r e e iφ e iθ. Segue che s r 1/, φ θ mod π. L ultima equazioe dà φ θ + kπ, k Z. 1

11 Sembra che le soluzioi siao ifiite perché ifiiti soo gli iteri k. Ma se due delle soluzioi φ differiscoo per u multiplo itero di π dao la stessa soluzioe z. Se φ 1 θ + k 1, φ θ + k φ 1 φ k 1 k π e quidi φ 1 e φ dao la stessa soluzioe se e solo se k 1 k è u multiplo di. Quidi le soluzioi soo tate quate le classi residue modulo che soo rappresetate dai umeri, 1,..., 1, i possibili resti della divisioe per. Segue che le soluzioi soo z k r 1/ e iφ k, φ k θ + kπ, k, 1,,..., 1. Le soluzioi si dicoo le radici -esime di w. Stao tutte sul cerchio di raggio r 1/. Ioltre la differeza tra gli argometi di due soluzioi successive è π. Quidi soo i vertici di u -agoo regolare. Esempio Risolvere l equazioe z i. Scriviamo w 3 + i i forma polare. Il modulo è r, il umero è el secodo quadrate e ta θ 1 3 e quidi possiamo predere θ 5π 6. Quidi w e i(5π/6). Segue che le soluzioi hao modulo 1/5 e argometo φ π 6, φ 1 π 6 +π 5 17π 3, φ π 6 +π 5 9π 3, φ 3 π 6 +6π 5 1π 3, φ π 6 +8π 5 53π 3. Solo della prima soluzioe è agevole trovare la forma cartesiaa ( ( π ) ( π )) ( ) 3 z 1/5 e iπ/6 1/5 (cos + i si 1/ i1 /5 ( 3 + i). φ 1 17π 3 z 1 φ 9π z 3 φ π 6 z 1/5 z 3 φ 3 1π 3 z φ 53π 3 7 Risolvere l equazioe e z w Se z + iy, e z e e iy è i forma polare e, se w reiθ, dobbiamo avere e r (da cui segue che l equazioe ha soluzioe solo se w ) e e iy e iθ. Quidi l r e y θ + kπ, k Z. Segue che l equazioe ha ifiite soluzioi che si dicoo le determiazioi del logaritmo complesso di w z l r + i(θ + kπ). Esempio Risolvere l equazioe e z 3 + i e i(5π/6). Segue che ( ) 5π z l + i 6 + kπ 11

12 8 Teorema fodametale dell algebra Teorema. Sia p(z) a z a 1 z + a, co a, u poliomio di grado a coefficieti a k i C, k, 1,...,. Allora esistoo r umeri complessi z 1,..., z r, distiti tra loro ed r umeri iteri m 1,..., m r maggiori o uguali ad 1 e soddisfaceti m m r, tali che p(z) si fattorizza come p(z) a (z z 1 ) m1 (z z r ) mr. Detto più semplicemete, ogi poliomio i ua variabile, a coefficieti complessi, di grado, ha, cotate co la molteplicità, esattamete radici. Il riferimeto a questo importate risultato come a Teorema fodametale dell Algebra è dovuto a ragioi storiche. Fu così battezzato quado la ricerca i Algebra era pricipalmete dedicata alla risoluzioe delle equazioi algebriche. È ua luga storia della quale o darò eppure u ceo. Esistoo molte dimostrazioi del Teorema, tutte richiedoo strumeti di Aalisi o Topologia. È u teorema di esisteza, o isega come trovare le radici. Esercizi Trovare parte reale e immagiaria di ciascuo dei segueti 1 z ; z a z + a (a R); z3 ; 3 + 5i 7i + 1 ; ( 1 + i ) 3 3 ; ( 1 i ) 6 3 ; i ; ( 1 + i ), 8. Trovare il modulo ed il coiugato di ciascuo dei segueti + i; 3; ( + i)( + 3i); Trovare tutte le soluzioi delle equazioi 3 i + 3i ; i i + 3 ; (1 + i)6 ; i ; 1; ; + 5 ; z + z + ; z + 1 z + 1. Scrivere il umero i forma polare co argometo compreso tra e π 3 + 3i; 1 3i; 3 + i; 8i. Calcolare le forme polari di zw, z/w, 1/z, scrivedo prima z e w i forma polare z 3+i, w 1+ 3i; z 3 i, w 8i, z 3 i, w 1 i; z ( 3+i), w 3 3i. Calcolare le poteze idicate Scrivere i segueti umeri i forma cartesiaa (1 + i) ; (1 3i) 5 ; ( 3 + i) 5 ; (1 i) 8. e iπ/ ; e πi ; e i3π/ ; e iπ ; e +iπ ; e 1+i. Usare la formula di Eulero per trovare le formule di addizioe e di sottrazioe di seo e coseo; le formule per si θ, cos θ, per cos 3θ, si 3θ, cos θ, si θ. Sia a + ib u umero complesso. Trovare umeri reali, y tali che ( + iy) a + ib. Trovare le formule di bisezioe per coseo e seo, ovvero calcolare cos θ, si θ i termii di cos θ e si θ. Trovare u espressioe chiusa per 1 + cos θ + cos θ cos θ. si(θ) Far vedere che la serie coverge e calcolare la somma.! Trovare: le radici -esime di 1 per, 3,, 5, 8; le radici quite di 3; le radici cubiche di i; le radici cubiche di 1 + i. Trovare parte reale e parte immagiaria di i 1/ scegliedo la radice quarta il cui argometo è tra e π/. 1

13 Calcolare la forma cartesiaa di e eiθ. Risolvere le equazioi (z ) 3 i; z + 1 z 3i 8 ; z z + 1. Sapedo che z 1 + i è ua soluzioe dell equazioe z 3 + 6z 1z + 16, trovare tutte le altre soluzioi. Risolvere l equazioe e iz+3 i. Descrivere geometricamete gli isiemi di puti z che soddisfao le codizioi segueti. 1. z i z i + 3 > 5 3. z i z + i 1 5. Im z > 6. Im z 7. Re z > 8. Re z 9. 1 < z < 1. arg z 11. arg z π 1. arg z π π 6 arg z < π 3 1. arg z < ( π ) z i + z + i Re (z ) 1 z i ( z ) 17. Im (z + 1/z) 18. z 1/ z 19. Im. Im >. 3 + i e iπ/ Sia D la regioe del piao complesso z formato dai umeri complessi z + iy che soddisfao le codizioi date. Descrivere (o disegare) l immagie R di D el piao complesso w della fuzioe w f(z) idicata. 1, y, w z; + y 1, w z; 1 z, π arg z 3π, w z ; z, arg π, w z3 ; < z, arg π, w 1/z; π arg z π 3, w iz; arg z π 3, w z; 1, w z ; y 1, w z ; 1, w 1/z; 1, π y π 3, w ez ; < < +, π y π, w ez ; < < π, < y < + ; w eiz. - Siao a, b C e c > fissati. Descrivere l isieme dei puti z che soddisfao per ogi possibile scelta di a, b e c. z a z b c 13