Piccola raccolta di esercizi. Analisi Matematica I (AA 2014/15)

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1 Piccola raccolta di esercizi Aalisi Matematica I AA 04/5) Samuele Mogodi - 3 dicembre 04

2 Coosceze di base Completare la seguete tabella, idicado a fiaco di ogi sommatoria, la sua scrittura per esteso, come ell esempio. 8 3k k= 3 k= 5 k= 6 k= k k + 3 k 7 cosπk) k=0 3 k= 3 k + k Iserire elle sommatorie a destra dell uguale gli opportui estremi di somma affiché valga l uguagliaza, come ell esempio j=0 30 k=0 3 k + = k + 3 j + = j= 9 h=0 k k k + = h= k= k k + 3 j j ) k k k + =0 0 k= k + 3 k = k= + + = = 7 m= m = 5 + m= k k 3 + m Iserire elle sommatorie a destra dell uguale l espressioe opportua affiché valga l uguagliaza k=0 k=0 k k + = k= k k 3 k + k + h + = + k= 0 j= 0 h= 0 j) j = j= h 0 + h h + = h= + 0 j=

3 Sia U l isieme degli uiversitari, diamo i segueti sottoisiemi di U: M il sottoisieme delle matricole, I il sottoisieme degli studeti di igegeria, P il sottoisieme degli studeti di scieze politiche, S il sottoisieme dei fuorisede, E il sottoisieme degli studeti i Erasmus. Si hao le segueti fuzioi da U i R: la fuzioe a che idica l ao dei corsi seguiti ovvero au) = se u U segue i corsi del primo ao), la fuzioe m che idica quata matematica deve studiare u uiversitario, la fuzioe s che idica quato sesso fa u uiversitario, la fuzioe b che idica la quatità di birra mediamete cosumata i ua settimaa. Tradurre le segueti frasi i matematichese, come ell esempio i rosso.. Tutte le matricole frequetao i corsi del primo ao. M, a) =. No solo le matricole frequetao i corsi del primo ao. 3. Gli igegeri studiao più matematica degli studeti di scieze politiche. 4. C è almeo u fuorisede che beve più birra di qualuque o fuorisede. 5. Qualsiasi fuorisede beve più di qualsiasi o fuorisede. 6. Gli Erasmus di scieze politiche bevoo più di chiuque altro. 7. C è almeo uo studete Erasmus che fa più sesso di qualuque igegere. 8. Tra gli igegeri, gli Erasmus bevoo molto di più dei o Erasmus. 9. Ci soo uiversitari che studiao più matematica e bevoo più di qualuque igegere. 0. Per ogi igegere fuori sede, c è uo studete di scieze politiche o fuori sede che fa almeo tato sesso quato lui.. Se uo studete beve abbastaza, di certo è u Erasmus. Ora, tradurre le segueti espressioi matematiche i frasi italiae. 3

4 . A 0 R : I, a) > m) > A 0 Esiste ua quatità di matematica per cui qualsiasi studete di igegeria che frequeti corsi di ai superiori al primo studia più di tale quatità.. B 0 R : U, b) > B 0 a) = 3. C R, U : s) = C y E : sy) C 4. U \ S, y E, sy) s) 5. D 0, D R : U \ M, b) > D 0, s) > D P S) E 6. T 0 R, M 0 R : {y U \ S : my) > M 0 }, b) > T 0 I 7. B R : b) > B s) = 0 8. M R : M, m) > M s) = 0 4

5 Limiti Calcolare i iti delle segueti successioi per +. a a a a a a )3 4) ) ) ) + + ) ) ) /7 3 /7 + / /7 + / e π / 4 + 3!) + 7! + 7!) ! !! )! )! )! ) ) ) )!!)!)! )! )! + )! + )! + + )! + )! 3 )! + ) 3 3! + + )! 0 5

6 Calcolare i segueti iti a a a a ) ) + e e + ) ) + 3 ) ) + ) ) ) ) + + ) ) )! ) 3 3! 3 + ) ) +3 +! ) + ) / ) +3 ) Calcolare i segueti iti a a a a )!!e ) 8 +! )! )!! log 6

7 Calcolare i segueti iti Limite Risultato Limite Risultato si3) e log + si ) + ta cos5) 5 cos) log si + ) + si + si + cos ) si ) + e ) si ) + ta arcsi 3 cos e si 3 arcsi + ) π cos3) arcta arccos + ) 3 log ) cosπ) / cossi ) log + ta 3)) e ta si log + ) log si ) 0 Dimostrare i segueti baby sviluppi. + = + + o) = + o) cos = + + o) 4. cosh) = + o) Sviluppare i Tayloer le segueti fuzioi attoro al puto = 0 fio al 6 ordie.. ta) log + si ) 4. e + 5. cossi ) 6. arcsi) 7. si ) e 7

8 Calcolare i segueti iti Limite Risultato Limite Risultato e si si log + ) e cos si si ) + cos) + 3 log + ) log + ) / si + ta ) ) / logcos ) e ta si ta 3 si + 3 /6) ta 5 silog + ta 3 ))) 3 ta log cos log ) + Discutere i segueti iti al variare di α R. Limite Risultato ta 3 /) si 0 se α < 5, 3/8 se α = 5, se α > 5 + α logcos ) si /) α log + si ) si log + ) + α cos) α si + sih + α cos + α Limite Risultato Limite Risultato + e si cos )/ 3 ) π/) ta π/ log ) + log ) arcta + ) arcta) ) si 3/ 8

9 3 Fuzioi Per ogua delle fuzioi proposte determiare il domiio Domiio), se è iiettiva I), se è surgettiva Su), quati massimi locali Ma) e quati miimi locali Mi) ha, se ha u massimo globale MGl) se ha u miimo globale mgl), se ha asitoti H/V/O orizzotali/verticali/obliqui) e di quale tipo. Fuzioe Domiio I Su Ma Mi MGl mgl H/V/O + 3 R No Sì No No No + 3 e e log 3 + ) e 3 log arcta 3 arcta 3 ) si ) cos + + Per ogua delle fuzioi del precedete esercizio, si esegua, per quato possibile, uo studio di fuzioe, tracciadoe u grafico approssimativo. 9

10 Le segueti fuzioi hao dei problemi i = 0. Determiare L = f) e l eveuale valore della derivata i = 0 della fuzioe f) se 0 f) = L se = 0 ammesso che L esista fiito. f) L f 0) f) L f 0) si arcta si si ) si NE e / 0 0 si) cos log + ) 3 + si 4 Itegrali Trovare ua primitiva per ogua delle segueti fuzioi. f) F ) f) F ) f) F ) cos3) si cos cos si e si e + e e log 3 cos ta + si + cos 0

11 Itegrare per parti, ricorredo ad evetuali trucchi. f) F ) f) F ) e e ) cos + si cos 4 log 3 arcsi arcsi log ) log + ) arcta log log arcta cos)e si3) cos4) log 3 cos log Sostituzioe e parti f) F ) f) F ) e e cos cossi ) sisi ) si cos log log 4 + ) e ta log3 7) e si 3 e cos si) cos)e 3 log

12 Itegrazioe delle fuzioi razioali f) F ) f) F ) log 3 + arcta ) ) e + e cos 3 ) cos + Itegrare le segueti fuzioi sugli itervalli idicati. Scrivere : se la fuzioe o è itata su tale itervallo e scrivere : / se la richiesta o ha seso. Fuzioe Itervallo Itegrale Fuzioe Itervallo Itegrale [0, ] [, ] + cos [0, ] si [ 5, 6] [0, 3] + [0, 3] e 3 [, ] e 3 [, 3] arcta + ) [, 0] log [0, ]

13 Fuzioe Itervallo Itegrale Fuzioe Itervallo Itegrale cos) si3) [0, π] log 3 [e, e ] arcsi ) [, 3] arcsi ) [0, ] + [, 0] [/7, /3] + + [, ] + 4 [0, ] + cos si [7π/, 07π/3] + + [, ] si 3 ) [ π/3, π/3] 5 cos 3 ) [ 3 π, 0] 5 Equazioi differeziali Per ogua delle segueti equazioi lieari omogeee a coefficieti costati trovare ua base delle soluzioi. Equazioe Base delle soluzioi Equazioe Base delle soluzioi u u = 0, e t, e t u + 4u = u e t cos 3t), e t si 3t) u + 4u = 0 u + u = 3u u + u = 3u u + 3u = 0 u + u = u + u u + u + u = 0 u = u + u u 4) = u Risolvere i segueti problemi di Cauchy Equazioe Dati iiziali Soluzioe u = 4u + te t u0) =, u 0) = u 4u = 3u + e t cos t u0) = 0, u 0) = /0 u + u + u = e t u) = e, u ) = e u 3u + u = et + e t u0) =, u 0) = e 3

14 Risolvere i segueti problemi di Cauchy Equazioe Dati iiziali Soluzioe t )u = u u0) = u = + u t + t u) = e u log u = tu ue) = 3 u t 3 = u ) u) = 0, u ) = u = u cos t uπ/4) = 4