Programma di Istituzioni di Matematica II Corso di Laurea Triennale in Scienza dei Materiali (a.a ) Prof. Nicola Basile

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1 Corso di Laurea Trieale i Scieza dei Materiali (a.a ) Prof. Nicola Basile ( ore) Le somme itegrali di Cauchy. Ua prova euristica della formula di itegrazioe per sostituzioe. Il segale impulso uitario di durata fiita e l impulso di Dirac. Sistema lieare fisico, la ozioe di prodotto di covoluzioe e alcue proprietà. Sistema causale e il prodotto di covoluzioe tra due segali causali. Il prodotto di covoluzioe di u segale co l impulso di Dirac ( ore) Serie di fuzioi e ozioe di covergeza semplice. Covergeza totale e u ceo alla covergeza uiforme. Teorema sulla cotiuità della fuzioe somma. Il teorema di itegrazioe termie a termie e quello di derivazioe termie a termie. Serie di poteze. Teorema sull esisteza del raggio di covergeza (solo euciato) e sua costruzioe mediate il criterio del rapporto e quello della radice. Itervallo di covergeza e covergeza totale egli itervalli chiusi i esso coteuti ( ore) Modello di Malthus discreto: soluzioi di equilibrio e sue caratteristiche. Equazioi alle differeze del prim ordie lieari omogeee: soluzioe geerale. Il caso o omogeeo co termie oto costate. Il modello logistico e le sue soluzioi di equilibrio. U modello per l evoluzioe del capitale: iteresse semplice e iteresse composto. Equazioi alle differeze del secod ordie lieari omogeee: costruzioe della soluzioe geerale. Ua rappresetazioe aalitica della sequeza dei umeri di Fiboacci. Il modello di Malthus cotiuo: itroduzioe alle equazioi differeziali ( ore) Proprietà delle somme di serie di poteze: Derivabilità e itegrabilità termie a termie. Esisteza della derivata di qualuque ordie e relazioe tra i coefficieti e la fuzioe somma. Pricipio di idetità per le somme di serie di poteze. Operazioi co le serie di poteze: Somma, prodotto e quoziete. Sviluppo i serie delle fuzioi razioali e uso delle equazioi alle differeze: qualche semplice esempio. Serie di Taylor. U esempio di fuzioe derivabile volte che o è somma di serie di poteze. Lo sviluppo i serie della fuzioe e : prova diretta e idiretta della covergeza. Lo sviluppo i serie delle fuzioi trigoometriche si e cos. Lo sviluppo i serie della fuzioe arctag. 1

2 --010 ( ore) Equazioi differeziali (del prim ordie) a variabili separabili: teorema di esisteza e di uicità. Costruzioe dell itegrale geetrale. L equazioe logistica: i suoi puti di equilibrio e lo studio qualitativo. U breve ceo alla ozioe di spazio vettoriale e gli spazi vettoriali k C ( I). Equazioi differeziali lieari (omogeee e o omogeee): l operatore lieare associato. Proprietà delle soluzioi e relazioe tra lo spazio delle soluzioi dell equazioe o omogeea e quello dell equazioe omogeea associata ( ore) Serie di Taylor e serie di poteze. Sviluppo i serie di Taylor della fuzioe logaritmo. Il teorema di Abel (solo euciato). Lo sviluppo i serie di poteze della fuzioe (1 + ) α. Lo sviluppo i serie della fuzioe arcsi, e d, 0 Si = 0 si d. Costruzioe dell itegrale geerale di ua equazioe differeziale lieare del prim ordie. Il metodo di Lagrage (o della variazioe della costate) per la ricerca di ua soluzioe particolare. Il teorema di esisteza e uicità per i problemi di Cauchy: rappresetazioe dell uica soluzioe ( ore) Equazioe lieare del prim ordie a coefficieti costati come sistema fisicio lieare. Equazioi differeziali lieari del secod ordie: teorema di esisteza e uicità per il problema di Cauchy (solo euciato). Nozioe di lieare idipedeza e di geeratori i uo spazio vettoriale. Base di uo spazio vettoriale e dimesioe. Equazioi differeziali lieari omogeee: lo spazio delle soluzioi e sua dimesioe. Caratterizzazioe delle soluzioi liearmete idipedeti mediate la matrice wroschiaa. Equazioi differeziali lieari omogeee a coefficieti costati: costruzioe della soluzioe geerale ( ore) Equazioi differeziali del secod ordie lieari o omogeee: costruzioe della soluzioe geerale. Il metodo di Lagrage (o delle variazioi delle costati) per la ricerca di ua soluzioe particolare. Equazioi a coefficieti costati co termie oto di tipo particolare: il metodo della somigliaza. Il pricipio di sovrapposizioe. Il feomeo della risoaza i u oscillatore armoico ideale. U ceo al feomeo della risoaza i preseza di resisteza viscosa ( δ y, co δ > 0 ) ( ore) Lo spazio vettoriale. La base caoica. Il prodotto scalare e la orma euclidea. La disuguagliaza di Cauchy-Schwartz. Agolo tra due vettori. Vettori paralleli e vettori ortogoali. Prodotto vettoriale i i e prodotto misto. Fuzioi di ua sola variabile reale a valori : cotiuità, itegrabilità e derivabilità. Derivata del prodotto scalare di due fuzioi a valori

3 vettoriali e del prodotto vettoriale di due fuzioi a valori i. Nozioe di curva: parametrizzazioe e sostego. Curve regolari, curve semplici, curve chiuse. Iterpretazioe geometrica del vettore derivata: vettore e versore tagete ( ore) Esempi di curve regolari: I grafici di fuzioi di ua sola variabile reale e curve idividuate da fuzioi del tipo ρ = f ( θ ). Le due orietazioi su ua curva regolare (semplice). Lughezza di u arco di curva regolare (e sua idipedeza dalla rappresetazioe parametrica). La fuzioe lughezza dell arco di curva e parametrizzazioe rispetto ad essa. L elemeto ifiitesimo ( ds ) dell (lughezza) arco di curva. Itegrale curvilieo di ua fuzioe rispetto alla lughezza dell arco di curva (e sua idipedeza dalla rappresetazioe parametrica): applicazioi al calcolo delle masse, delle aree, del baricetro e del mometo di ierzia rispetto ad u asse. Versore ormale e curvatura. Decomposizioe del vettore derivata secoda (della parametrizzazioe di ua curva) el direzioe tagete e ormale ( ore) Curve regolari i. Il versore biormale e la tera (riferimeto) itriseca. La torsioe (quado il parametro è la lughezza dell arco di curva). Il sistema di equazioi differeziali di Freet. Il caso di curve i. Fuzioi di più variabili e u ceo alle liee di livello delle fuzioi di due variabili. Covergeza e cotiuità per fuzioi defiite i itori sferici. Il teorema della permaeza del sego. Ua codizioe ecessaria per la covergeza (utilizzado le curve passati per il puto). La ozioe di isieme aperto e isieme chiuso. U ceo alle proprietà degli isiemi aperti. Puti iteri, puti esteri e puti di frotiera. Itero, chiusura e frotiera di u isieme. Isiemi aperti e isiemi chiusi defiiti da fuzioi cotiue i tutto. Isiemi coessi e il teorema degli zeri ( ore) Applicazioe del teorema degli zeri ella rappresetazioe grafica dell isieme di defiizioe di fuzioi di due variabili. Il teorema di Weierstrass (solo euciato). Defiizioe di derivata parziale e sua iterpretazioe geometrica. Fuzioi derivabili e gradiete. Fuzioi differeziabili e sue cosegueze: liearizzazioe di ua fuzioe i u puto, formula di Taylor del prim ordie, equazioe del piao tagete al grafico di ua fuzioe di due variabili. Il differeziale di ua fuzioe differeziabile. Codizioe sufficiete per la differeziabilità (solo euciato). Derivata direzioale e il suo calcolo mediate il gradiete per le fuzioi differeziabili ( ore) La fuzioe y come esempio di fuzioe differeziabile i ( 0,0) che o ha i tale puto le derivate parziali cotiue. Proprietà geometriche del gradiete: direzioe della

4 massima pedeza. Derivabilità e differeziabilità della fuzioe composta. Derivabilità delle u u fuzioi radiali. Soluzioi dell equazioe del trasporto c + = 0. Derivate parziali di ordie t superiore al primo ( ore) Teorema di Schwarz sull uguagliaza delle derivate miste (solo euciato). Formula di Taylor del secod ordie e sua iterpretazioe geometrica. Il differeziale secodo. La matrice hessiaa. Poliomi omogeei di secodo grado. Forme quadratiche e matrici simmetriche. Forme quadratiche defiite, semidefiite e idefiite ( ore) Alcui problemi di ottimizzazioe libera e vicolata. Massimi e miimi relativi: Codizioe ecessaria (teorema di Fermat) e codizioe sufficiete. U ceo alle fuzioi covesse. Puti stazioari e puti di sella. Caratterizzazioe delle forme quadratiche (defiite positive, ): il caso delle fuzioi di due variabili e (seza dimostrazioe) il caso geerale mediate il sego degli autovalori della matrice simmetrica associata e mediate il determiate delle sottomatrici pricipali di quest ultima ( ore) Alcui euciati che assicurao l esisteza del miimo assoluto. Alcue applicazioi: Il puto di Fermat di u triagolo; il baricetro di u sistema di masse come puto che miimizza l errore quadratico medio; la retta dei miimi quadrati. Nozioe di fuzioe defiita implcitamete da ua equazioe. Ua codizioe ecessaria. Il teorema del Dii sulla esisteza della fuzioe implicita (seza dimostrazioe) ( ore) U ceo alle fuzioi implicite defiite da equazioi (o da u sistema di due equazioi) i tre variabili. Codizioe ecessaria per gli estremi vicolati per fuzioi di due variabili. I puti stazioari della lagragiaa; (facoltativo: iterpretazioe del moltiplicatore λ ). U ceo al caso di fuzioi di più variabili co uo o più vicoli. Applicazioi alla ricerca di estremi assoluti ( ore) Le somme itegrali di Cauchy-iema per le fuzioi di due variabili defiite i u rettagolo. Itegrabililità delle fuzioi defiite i rettagoli e i isiemi limitati arbitrari. Defiizioe di area di ua regioe piaa. Proprietà dell itegrale (seza dimostrazioe). Domii ormali e domii ormali-regolari. Itegrabilità delle fuzioi cotiue su domii ormali e le formule di riduzioe (seza dimostrazioe). Ivertibilità dell ordie di itegrazioe. 4

5 ( ore) La trasformazioe i coordiate polari el calcolo degli itegrali doppi. Il calcolo dell itegrale + e d. Lo Jacobiao di ua trasformazioe e ua sua possibile iterpretazioe legata al calcolo di aree di regioi ifiitesime. Il teorema sulla itegrazioe per sostituzioe (solo euciato). 5