Viene imposto uno spostamento alla traversa e si misura il carico applicato (F) Si misura l allungamento in un tratto del provino ( L)

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1 Prova di trazioe UNI 55/86 556/79 Macchia di prova coloe traversa mobile provio cella di carico morsetti basameto Viee imposto uo spostameto alla traversa e si misura il carico applicato (F) Si misura l allugameto i u tratto del provio ( L) Provii S o L o L c Schema di provio a sezioe circolare L c : lughezza della parte calibrata L o : lughezza tra i riferimeti (iiziale) S o : area della sezioe calibrata (iiziale) Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe 3/0/00

2 L o L c Schema di provio a sezioe rettagolare L c : lughezza della parte calibrata L o : lughezza tra i riferimeti (iiziale) S o : area della sezioe calibrata (iiziale) Defiizioe elemetare di tesioe e deformazioe tesioe media forza F S o F allugameto allugameto relativo: L Lo ε L L L o L o allugameto percetuale ε 00 L L L Risultato della prova Diagrammi F- L La forza F dipede dalla deformazioe e dall area della sezioe. F m carico massimo ( o di rottura) F eh carico di servameto superiore F el carico di servameto iferiore F p0. carico di scostameto dalla proporzioalità Il primo tratto delle curve è lieare (Fkε) o o Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe 3/0/00

3 F m F rottura F eh F el deform. plastica uiforme materiale duttile co servameto deform. plastica localizzata ε (%) F m F materiale duttile seza servameto F p 0. rottura deform. plastica uiforme 0.% deform. plastica localizzata ε (%) F rottura F m materiale fragile ε (%) Politecico di Torio Pagia 3 di Data ultima revisioe 3/0/00

4 Diagrammi ε Si ottegoo dai diagrammi precedeti dividedo covezioalmete le forze per la sezioe iiziale (tesioi igegeristiche): R R m m R eh R p 0. ε 0.% R m carico uitario massimo ( tesioe di rottura) R eh carico uitario di servameto superiore (tesioe di servameto) R p0. carico uitario di scostameto dalla proporzioalità (tesioe di servameto Allugameto percetuale a rottura: a s ε L L ( + ε ) + a u o m s L u L L a A u o s ε + m 00 L o L o deformazioe uiforme a R m allugameto dovuto alla strizioe Gli allugameti a rottura soo otteuti co provette di dimesioi stadard. Modulo elastico, Coefficiete di Poisso Cosideriamo solo materiali omogeei (uguali caratteristiche i ogi puto) ed isotropi (uguali caratteristiche i tutte le direzioi) Il rapporto fra le tesioi e le deformazioi logitudiale è detto Modulo elastico () o ache modulo di Youg: Politecico di Torio Pagia 4 di Data ultima revisioe 3/0/00

5 R p 0. HOOK: ut tesio sic vis el tratto rettilieo il coefficiete di proporzioalità è il modulo elastico ε 0.% ε (%) Durate la prova il provio, ache el tratto lieare elastico, si alluga e la sezioe si riduce. Il rapporto (cambiato di sego) fra la cotazioe laterale e quella logitudiale è detto coefficiete di Poisso (ν). νε d d d(+ε ) d(+ ε) d d(+ε ) d(-νε) dz d(+ε z ) dz(-νε) z ε ds o ε d ε ε νε ν z Politecico di Torio Pagia 5 di Data ultima revisioe 3/0/00

6 Valori tipici Carichi di rottura, servameto e allugameti percetuali a rottura Materiale R eh (R p0, ) R (valori miimi) m (MPa) (MPa) acciai al C Fe Fe Fe acciai da boifica A % 6 3 C C Cr NiCrMo ghise grigie G G G ghise sferoidali GS GS GS Uità di misura delle forze Newto (N), delle lughezze millimetri (mm), delle tesioi N/mm MPa Tecicamete si cosiderao fragili i materiali co a<5% e Duttili quelli co a>0% Moduli elastici e coefficieti di Poisso (MPa) ν acciaio al C ghise titaio allumiio Stato di tesioe i u puto (approccio elemetare) Ci chiediamo cosa capita su ua faccia obliqua del provio di trazioe Cosideriamo ua piccola areola attoro al puto di iteresse (area ds) Politecico di Torio Pagia 6 di Data ultima revisioe 3/0/00

7 df df df df df? df Cosideriamo la codizioe di equilibrio: Sulla faccia obliqua vi sarà ua forza ormale alla superficie (dn) ed ua tageziale (dt) dt dn df df Scriviamo le equazioi di equilibrio (NB: QUILIBRIO DLL FORZ) dn dt dt dn df α se l icogita è df: df dncosα + dt siα 0 dn siα dtcosα se le icogite soo dn e dt: dn dfcos α dt df se α Politecico di Torio Pagia 7 di Data ultima revisioe 3/0/00

8 I termii di tesioi bisoga cosiderare che le due aree cosiderate soo ds e ds/cosα ds cos α ds α Sulla faccia icliata si idividuao tesioi ormali alla faccia ( ) e tesioi tageziali alla faccia ( ). Possiamo quidi scrivere: df ds dn ds cos α dt ds cos α e quidi: dn dfcosα ds cos α ds cos α dt df se α ds cos α ds se α che risulta l equazioe di u cerchio el piao. Cerchio di Mohr- Tesioi pricipali (caso elemetare) Il cerchio di Mohr è ua rappresetazioe grafica di quato detto: cos α se α cos α α α Le direzioi ormali alle facce i cui le tesioi tageziali soo ulle soo dette Direzioi pricipali e le corrispodeti tesioi Tesioi ormali pricipali (o tesioi pricipali). Politecico di Torio Pagia 8 di Data ultima revisioe 3/0/00

9 Stato di tesioe tridimesioale (caso geerale) Prediamo, ell itoro di u puto all itero di u corpo sollecitato i modo qualuque, ua superficie elemetare ( S) idividuata da u versore. z M su questa superficie agirao ua forza elemetare F e u mometo elemetare M (soo vettori). Il pricipio di Cauch dice che: M lim 0 S 0 S metre la forza elemetare geera il vettore delle tesioi t: F t lim s 0 S le tesioi ormali e tageziali ageti sulla superficie possoo essere calcolate se si coosce t: Tesioe ormale t Tesioe tageziale t t - Lo stato di tesioe i u puto è oto quado siao oti i vettori delle tesioi t associati a tutte le possibili direzioi () - Cooscedo i vettori delle tesioi i tre direzioi ortogoali è possibile cooscere il vettore delle tesioi t i ua direzioe qualuque z ds ds t z t t z S F t ds t z ds z ds ds ds ds ds ds z z Politecico di Torio Pagia 9 di Data ultima revisioe 3/0/00

10 I vettori delle tesioi soo a tre compoeti: t { ; } T i ii ij; NB: si defiiscoo facce positive del sistema ortogoale coordiato quelle rispetto alle quali il versore è uscete, egative quelle co versore etrate. Le tesioi soo positive se agiscoo su ua faccia positiva ella direzioe positiva oppure se agiscoo su ua faccia egativa i direzioe egativa (versi positivi idicati i figura) z ik z z zz z z Scriviamo l equazioe di equilibrio rispetto alla direzioe : z ds ds ds t z ds z t ds - ds - ds - z ds z 0 t ds - ds - ds - z ds z 0 t z z 0 eseguedo la stessa operazioe elle tre direzioi si ottiee: t z z 0 t z z 0 t z - z - z - z z z 0 che scritte i forma matriciale dao: t t tz o i forma sitetica: Politecico di Torio Pagia 0 di Data ultima revisioe 3/0/00 z z z z zz z

11 [] Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe 3/0/00 t [] Rappresetazioe matriciale del tesore delle tesioi (tesore di Cauch). Note le 9 compoeti del il tesore di Cauch è quidi oto lo stato di tesioe el puto. Scrivedo opportue equazioi di equilibrio si può dimostrare che il tesore delle tesioi è simmetrico: z z z z e quidi per cooscere lo stato di tesioe i u puto è ecessario poter calcolare 6 compoeti del tesore delle tesioi i tre piai ortogoali. Si oti ioltre che il tesore delle tesioi dipede dal sistema di riferimeto utilizzato per calcolare le compoeti Tesioi e direzioi pricipali (caso geerale) sistoo direzioi privilegiate il cui vettore delle tesioi t è colieare co la ormale alla superficie (compoete tageziale 0). Tali direzioi soo dette direzioi pricipali e le tesioi ormali ageti sulle superfici ortogoali alle direzioi pricipali soo dette tesioi pricipali. per ua direzioe pricipale deve essere z {} t p{ } p[ ]{ } t ma per defiizioe {} t [ ]{ } segue: 0 ([ ] [ ]){ } cioè: p z p z 0 () z z zz p z dove è il versore della direzioe pricipale. Il sistema scritto è u sistema di tre equazioi i 4 icogite. Risolvibile solo se det 0 z p z Quidi per trovare le direzioi pricipali e le tesioi pricipali si deve risolvere u problema agli autovalori. ssedo la matrice simmetrica esistoo tre autovalori reali (le tre tesioi pricipali) e tre direzioi pricipali ortogoali fra loro. p z p z z p

12 Sviluppado il determiate si ottiee la seguete equazioe (equazioe di Lagrage): p p( z) p( z z z z) ( z zz z z z) 0 + Le tesioi pricipali vegoo idicate ormalmete co i simboli,, 3 ( oppure X, Y, Z ) e ordiate, per cosuetudie, i modo che 3. Per le tre direzioi pricipali associate alle tre tesioi pricipali possoo verificarsi tre casi:. se 3 esistoo tre direzioi pricipali mutuamete perpedicolari;. se due tesioi pricipali soo uguali (ad es. 3), la direzioe pricipale corrispodete alla tesioe pricipale diversa è uica, ma ogi direzioe perpedicolare ad essa è pricipale 3. se 3 (stato di tesioe idrostatico) qualuque direzioe è ua direzioe pricipale. U sistema di riferimeto i cui assi soo paralleli alle direzioi pricipali è detto sistema di riferimeto pricipale. Per valutare le direzioi pricipali è sufficiete risolvere il sistema Per ricavare le tre direzioi pricipali rispetto alla tera coordiata assuta come riferimeto per il calcolo del tesore delle tesioi si risolve il sistema () iseredo di volta i volta il valore della i-esima tesioe pricipale per la quale si vuole otteere la direzioe pricipale co la codizioe aggiutiva di ormalizzazioe: i + i + iz Bisoga otare che le tesioi pricipali e le direzioi pricipali soo ua caratteristica itriseca dello stato di sollecitazioe i u puto e quidi soo del tutto idipedeti dal sistema di riferimeto utilizzato per il loro calcolo. Questo implica che i coefficieti dell'equazioe di Lagrage devoo essere costati, o meglio ivariati, al variare del sistema di riferimeto utilizzato per il calcolo delle tesioi pricipali. Questi coefficieti vegoo deomiati primo, secodo e terzo ivariate e soo così defiiti: I + + Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe 3/0/00 I I 3 z z z z z + + z z z z z z + I u sistema di riferimeto pricipale il tesore delle tesioi risulta: Cerchi di Mohr el caso geerale. Si assuma u sistema di riferimeto pricipale e si cosideri cosa capita su u piao facete parte di u fascio avete per asse ua delle direzioi pricipali (ad esempio la direzioe Z.

13 Operado questa scelta le equazioi di equilibrio riguardao solo le gradezze elle altre due direzioi. dt ds ds X α X ds X dn ds ds ds Y Y ds Y ds dsx dsy cos α se α Per semplicità cosideriamo cosa succede separatamete l effetto delle due tesioi pricipali cosiderate, per poi otteere la soluzioe fiale co la sovrapposizioe degli effetti (valida solo i campo lieare elastico). dt X X ds dn X X ds dt Y Y ds α df Y Y ds Y df X X ds X dn X X ds Co riferimeto alle figure si ha: dsx dn X dfx cos α X X dsx cos α cos α dsx dtx dfx se α X X dsx se α cos α dsy dn Y dfy se α Y Y dsy se α se α dsy dty dfy cos α Y Y dsy se α se α Applicado la sovrapposizioe degli effetti si ottiee + cos α + se α + X Y X X Y X se α cosα Y se α cosα X cioè le equazioi parametriche di u cerchio co diametro ( X Y ) X Y X + cetro Y + Politecico di Torio Pagia 3 di Data ultima revisioe 3/0/00 Y Y X X ( ) ( ) Y Y X X Y Y cos α se α cos α se α se α cosα ( X Y ) cos α ( ) se α cosα Y Y

14 Aaloghi ragioameti si possoo effettuare rispetto alle altre due direzioi pricipali. Si ottegoo cosi tre cerchi di Mohr, oguo relativo ai piai faceti parte del fascio co asse la direzioe pricipale o cosiderata. 3 3 π θ π θ 3 π Si può ache dimostrare che i piai o apparteeti a uo dei tre fasci coordiati hao uo stato di tesioe rappresetato dalla regioe tratteggiata della figura. I cerchi di Mohr soo u utile strumeto per valutare le tesioi pricipali. Nel particolare caso di stato di tesioe i cui si coosca a priori ua direzioe pricipale e la relativa tesioe, cooscedo lo stato di sollecitazioe calcolato i u qualsiasi sistema di riferimeto che abbia u asse coicidete co la direzioe pricipale ota, è possibile tracciare direttamete il cerchio di Mohr corrispodete e ricavare da esso le tesioi pricipali icogite (Fig..7). I questo caso soo oti due puti del cerchio di Mohr, e, ) e si sa a priori che il cetro del cerchio deve giacere el puto medio fra le due tesioi ormali Politecico di Torio Pagia 4 di Data ultima revisioe 3/0/00

15 3 Le tesioi pricipali possoo essere ricavate co semplici cosiderazioi geometriche e valgoo: +, ± + Cooscedo la terza tesioe pricipale è poi possibile ricavare gli altri cerchi di Mohr. Nel caso molto frequete i cui lo stato di sollecitazioe sia completamete defiito da ua tesioe ormale e ua tesioe tageziale ageti sul medesimo piao, come a esempio el puto di progetto di u albero soggetto a flessioe più sforzo ormale e torsioe si ha la situazioe illustrata ella figura. Le tesioi pricipali i questo caso varrao: Politecico di Torio Pagia 5 di Data ultima revisioe 3/0/00

16 Stato di deformazioe Lo spostameto totale dei puti i u cotiuo è dovuto a spostameti rigidi, rotazioi rigide e deformazioi; la deformazioe di u corpo è composta da ua dilatazioe (allugameti delle fibre passati per il puto seza cambiameto degli agoli fra le fibre, legata quidi ai cambiameti di volume) e da ua distorsioe (cambiameto di forma, o meglio degli agoli fra le fibre, seza cambiameto di volume). a) b) c) d) Caso bidimesioale Moti rigidi: a) spostameto rigido; b) rotazioe rigida; Deformazioe: c) dilatazioe ; d) distorsioe I geerale lo stato di è oto se si cooscoo le variazioi di lughezza di tutte le fibre passati per il puto tutte le variazioi fra gli agoli di due fibre passati per il puto. Aalogamete a quato visto per le tesioi tali variazioi soo ote se si cooscoo le variazioi di lughezza e di agoli di tre fibre passati per il puto e parallele ad u sistema di riferimeto cartesiao. Svolgedo gli opportui calcoli si ottiee che lo stato di deformazioe è descritto, a partire dagli spostameti depurati dai moti rigidi, dal seguete tesore: ε ij ε ε ε ε ε ε ε ε ε z z z z zz u u v + u + w z u v + v v + w z u w v w w + + z z z dove du, dv, dw soo le compoeti dello spostameto relativo (cioè depurate dallo spostameti rigidi) del puto. Si oti che tale trattazioe è valida solo se le deformazioi e le rotazioi rigide soo piccole. Nella pratica igegeristica si utilizzao i segueti simboli: Politecico di Torio Pagia 6 di Data ultima revisioe 3/0/00

17 deformazioi uitarie logitudiali: u ε Scorrimeti: ε v ε z w z u v γ γ + u w γ z γ z + z v w γ z γ z + z Si oti ogi scorrimeto può essere visto come l agolo complemetare a quello fra due fibre passati per il puto che prima della deformazioe erao perpedicolari: π γ Si oti che gli agoli così defiiti cotegoo ache ua compoete di rotazioe rigida: + Cioè gli scorrimeti o soo gradezze tesoriali. Utilizzado la simbologia vista il tesore della deformazioe risulta: ε γ γ z εij γ ε γ z γ z γ z ε z evidete l aalogia formale co il tesore delle tesioi; questo sigifica che vi sarao tre direzioi privilegiate (pricipali) lugo le quali vi soo solo dilatazioi e o distorsioi. Per i materiali isotropi le direzioi pricipali delle deformazioi coicidoo co quelle delle tesioi Politecico di Torio Pagia 7 di Data ultima revisioe 3/0/00

18 Aalogamete a quato fatto per il tesore delle tesioi è possibile ricavare i valori delle deformazioi pricipali risolvedo il problema agli autovalori: ε εp γ γ z det γ ε εp γ z 0 γ z γ z εz εp e tracciare i cerchi di Mohr delle deformazioi (i u piao ε, γ/). γ/ ε ε ε 3 ε Leggi costitutive del materiale Abbiamo già visto che i ua prova di trazioe le deformazioi preseti soo legate alla tesioe applicata. Quado lo stato di sollecitazioe è tridimesioale si può dimostrare che le tesioi ormali o producoo scorrimeti, e le tesioi tageziali o producoo dilatazioi Si suppoga adesso di avere u corpo su cui agiscoo tre tesioi ormali perpedicolari fra loro (,, z, ). Applicadole ua alla volta otteiamo la situazioe illustrata ella tabella seguete: ε ε ε z z ν ν Applicado la sovrapposizioe degli effetti si ottiee: ν ν ν z ν z z Politecico di Torio Pagia 8 di Data ultima revisioe 3/0/00

19 ( ν( + z ) ( ν( + z )) ( ν( + ) ε ε εz z Il rapporto fra le tesioi tageziali e gli scorrimeti è ivece dato dal modulo di elasticità tageziale G: ij Gγ ij Si può ioltre dimostrare che le tre costati idividuate (,G, ν) o soo idipedeti e vale la relazioe: G +ν ( ) Ipotesi di cedimeto - Tesioi ideali Le caratteristiche di resisteza di u materiale vegoo determiate co ua prova di trazioe che sollecita uiassialmete il provio. Abbiamo visto che lo stato di sollecitazioe tridimesioale è caratterizzato da u tesore a 6 compoeti idipedeti, o da almeo tre tesioi pricipali. Per valutare il grado di pericolosità di uo stato di tesioe tridimesioale è ecessario fare delle ipotesi sui meccaismi di cedimeto. I particolare si deve idividuare ua gradezza, calcolabile sia ello stato di tesioe uiassiale sia i quello triassiale, che comporti lo stesso grado di pericolo ei due casi. I pratica il modulo della gradezza scelta el mometo i cui si ha cedimeto (servameto o rottura) del compoete soggetto ad uo stato di tesioe tridimesioale deve avere lo stesso valore raggiuto per il cedimeto ella prova di trazioe. Normalmete la verifica viee fatta cosiderado come cedimeto del compoete la codizioe di servameto. Si defiisce quidi ua tesioe ideale id che è possibile calcolare i base allo stato di tesioe tridimesioale che equivale alla tesioe ella prova di trazioe. Fra le varie ipotesi di cedimeto ricordiamo le tre più utilizzate: Ipotesi della tesioe ormale massima. Si ipotizza che la rottura avvega quato la tesioe pricipale massima raggiuga il carico uitario di servameto (o di rottura ) ella prova di trazioe: id Ma {, }, Questa ipotesi si è dimostrata valida per i materiali fragili, ma o adatta ai materiali duttili. 3 Politecico di Torio Pagia 9 di Data ultima revisioe 3/0/00

20 Ipotesi di Tresca o della tesioe tageziale massima. Partedo dall osservazioe che le superfici di frattura dei provii i materiale duttile risultao icliate si circa 45 (piao su cui agisce la tesioe tageziale massima) si ipotizza che il cedimeto avvega quado si raggiuge ua tesioe tageziale limite. La tesioe tageziale massima è pari al raggio del cerchio di Mohr più grade: per lo stato multiassiale : metre per la prova di trazioe: ma ma eq L uguagliaza delle due permette di ricavare la ideale: id 3 3 Nel caso particolare del puto di progetto di u albero i cui agiscoo solo ua tesioe ormale e ua tesioe tageziale la tesioe ideale (pari al diametro del cerchio di Mohr più grade) risulta: 3 id + 4 Ipotesi di vo Mises (detta ache della ottaedrica o dell eergia di distorsioe) La tesioe ideale di vo Mise può essere calcolata co ipotesi di cedimeto diverse. Ua ipotesi prede i cosiderazioe la tesioe tagezaile agete sui piai ottaedrici, cioè i piao i piai che formao agoli uguali rispetto ai tre assi di u sistema di riferimeto pricipale: 3 Politecico di Torio Pagia 0 di Data ultima revisioe 3/0/00

21 Su tali piai agiscoo tesioi ormali tutte uguali fra loro (e pari ad u terzo del primo ivariate) e uguali tesioi tageziali. Co lughi calcoli che qui vegoo omessi la tesioe ideale secodo questa ipotesi risulta: id ( ) + ( ) + ( ) Alla stessa formula si arriva partedo da cosiderazioi diverse, ad esempio cosiderado l eergia di distorsioe, cioè l eergia elastica totale depurata dall eergia che tede semplicemete a far variare di volume l elemeto. No viee cosiderata l itera eergia perché sperimetalmete si ota che uo stato di tesioe idrostatico (tre tesioi pricipali uguali fra loro, co cosegueti deformazioi simmetriche) o porta mai a rottura, ache co tesioi molto elevate. Nel caso particolare del puto di progetto di u albero i cui agiscoo solo ua tesioe ormale e ua tesioe tageziale la tesioe ideale di vo Mises risulta: id Sia l ipotesi di vo Mises sia quella di Tresca soo utilizzate comuemete. L ipotesi di Tresca è più coservativa, quella di vo Mises è più aderete ai dati sperimetali. L ipotesi di vo Mises è valida solo el campo lieare elastico. Coefficieti di sicurezza Il coefficiete di sicurezza viee defiito come rapporto fra la tesioe limite ammissibile e la tesioe ideale applicata. Si può avere u coefficiete di sicurezza cotro lo servameto e uo cotro la rottura duttile. Servameto: + 3 R p0 R CS id moltiplicado tutti i carichi applicati alla struttura per il coefficiete di sicurezza si perviee allo servameto dei puti più sollecitati. Rottura: CS i questo caso il coefficiete di sicurezza ha u sigificato covezioale, i quato le tesioi ideali vegoo calcolate ell ipotesi di tesioi e deformazioi i campo lieare elastico. R m id 3 eh id 3 Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe 3/0/00

22 sercizio - Dato lo stato di tesioe i u puto di u compoete i Fe430 0 MPa, 0 MPa, 00 MPa, z z 0 MPa e zz 30 MPa:. tracciare i cerchi di Mohr e determiare le tesioi pricipali;. calcolare la tesioe ideale secodo le tre ipotesi idicate; 3. calcolare il coefficiete di sicurezza i quel puto adottado ua opportua ipotesi di cedimeto 4. calcolare le deformazioi el sistema di riferimeto origiario e le deformazioi pricipali. Politecico di Torio Pagia di Data ultima revisioe 3/0/00