Le tensioni interne nelle travi

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1 Uiversità degli Studi di Roma "La Sapiea" Prima Facoltà di rchitettura "Ludovico Quaroi" CORSO DI LURE SPECILISTIC QUIQUELE I RCHITETTUR UE a.a. 2003/ semestre Le tesioi itere elle travi arch. Cesare Tocci

2 IDICE 1.1. Dalle fore estere alle tesioi itere La determiaioe delle tesioi itere elle travi Le travi soggette a sforo ormale Le travi soggette a flessioe Le travi soggette a sforo ormale e flessioe Le travi soggette a taglio

3 1.1. Dalle fore estere alle tesioi itere Cosideriamo ua trave che, soggetta a u geerico sistema di fore estere, si trovi i uo stato di equilibrio (Figura 1). o è ecessario precisare se le fore estere siao tutte direttamete applicate e si abbia quidi a che fare co ua trave libera oppure se tra di esse figurio ua o più reaioi vicolari el qual caso la trave sarebbe almeo parialmete vicolata. E, ache i questo secodo caso, o iteressa cooscere l effettivo grado di vicolo della trave che può essere labile, isostatica o iperstatica. Ciò che è esseiale è soltato che la trave sia i equilibrio sotto l aioe delle fore applicate. S troco B troco Figura 1. Immagiiamo di seioare la trave i corrispodea di ua sua geerica seioe trasversale S, i modo da dividerla i due trochi separati. Ciascuo dei due trochi cotiuerà ad essere i equilibrio se, operato il taglio, si sostituisce al vicolo di cotiuità (icastro itero) localiato ella seioe S (come i qualsiasi altra seioe trasversale) il complesso di reaioi itere che detto vicolo esercitava (Figura 2a). Tali reaioi soo il risultato dell iteraioe tra gli elemeti di materia immediatamete a siistra e a destra della seioe S, ovvero delle reaioi molecolari che il materiale oppoe alla deformaioe subita dalla trave per effetto delle fore estere, e soo distribuite co cotiuità su tutta la seioe trasversale. Duque, il troco precedete la seioe S (d ora i poi troco ) è i equilibrio sotto l aioe delle fore estere ad esso applicate (attive e/o reattive) e delle fore itere (reaioi molecolari) che gli vegoo trasmesse dal troco successivo (troco B): ciò vuol dire che queste ultime costituiscoo u sistema equilibrate delle fore estere applicate ad. a u altro sistema equilibrate delle stesse fore è dato dal sistema di fore estere (attive e/o reattive) applicate al troco B, dal mometo che il sistema complessivo delle fore ageti su tutta la trave è, per ipotesi, i equilibrio. E, duque, le fore itere trasmesse da B ad soo equivaleti alle fore estere applicate a B. Ciò sigifica che, pur o cooscedo la distribuioe effettiva delle iteraioi molecolari che tegoo uite le diverse seioi della trave, ua loro caratteriaioe globale è possibile: poiché il sistema delle fore itere che assicurao l equilibrio di uo dei due trochi di trave (ad esempio ) è equivalete al sistema delle fore estere applicate all altro troco (B), i due sistemi devoo essere caratteriati dallo stesso risultate (R) e dallo stesso mometo risultate rispetto a u geerico polo, ad esempio il baricetro della seioe S ( G ). 2

4 La fora R e la coppia G predoo il ome di sollecitaioe ella seioe S (Figura 2b). S S G G R P dr (a) d (c) (b) Figura 2. Caratteristiche della sollecitaioe soo le compoeti di R e di G secodo gli assi di ua tera cartesiaa ortogoale avete l origie el baricetro della seioe S, l asse ortogoale a S (e quidi coicidete co l asse della trave o ad esso tagete se la trave è ad asse curvilieo) e gli assi e coicideti co i due assi cetrali d ieria della seioe. Più precisamete, si defiiscoo: sforo ormale () la compoete del risultate lugo l asse, sfori di taglio (T, T ) le compoeti del risultate lugo gli assi e ; mometo torcete ( ) la compoete del mometo risultate lugo l asse, mometi fletteti (, ) le compoeti del mometo risultate lugo gli assi e. llo scopo di caratteriare i maiera putuale la distribuioe delle reaioi molecolari itere ella seioe S, globalmete misurate dalla sollecitaioe (e quidi valutabili ache a partire dalla cooscea delle sole fore estere), fissiamo l atteioe sulle fore elemetari che gli elemeti di materia a siistra e a destra della seioe si scambiao i corrispodea di ciascu puto P della seioe stessa. Si defiisce tesioe (secodo Cauch) el puto P sulla giacitura defiita dal piao della seioe (di ormale uscete ) il limite del rapporto tra la fora elemetare dr trasmessa i P da ua parte all altra della seioe e l area ifiitesima d circostate P (Figura 2c): dr t ( P ) = lim (1) d 0 d La tesioe rappreseta duque la fora che si trasmette attraverso u area uitaria, ell ipotesi che essa risulti uiformemete distribuita sulla seioe, ovvero il rapporto tra la fora agete su u elemeto ifiitesimo della seioe e l area dell elemeto stesso, ell ipotesi più geerale di distribuioe qualsiasi delle fore elemetari. Per il pricipio di aioe e reaioe risulta t ( P ) = t ( P ) ovvero la tesioe trasmessa i u puto della seioe S dal troco B al troco della trave, agete cioè sulla giacitura di ormale uscete, è uguale ed opposta alla tesioe trasmessa ello stesso puto dal troco al troco B, agete sulla giacitura di ormale uscete. Il vettore tesioe t ( P ) ha la stessa direioe e lo stesso verso della fora elemetare dr di cui costituisce il limite; e poiché quest ultima può essere orietata arbitrariamete rispetto alla giacitura di ormale ha seso cosiderare le compoeti del vettore tesioe rispettivamete ortogoale e parallela alla giacitura stessa (Figura 3). La compoete ortogoale prede il ome di tesioe ormale e si idica co ; la compoete parallela prede il ome di tesioe tageiale e si idica co τ. Quest ultima si può ulteriormete scomporre secodo 3

5 due direioi ortogoali apparteeti alla giacitura, τ e τ per le compoeti dirette rispettivamete secodo gli assi e. t(p) τ P τ Figura 3. La omeclatura itrodotta è geerale: le tesioi ormali soo desigate co la lettera seguita da u idice che idica la ormale alla giacitura sulla quale agisce la tesioe; le tesioi tageiali soo desigate co la lettera τ seguita da due idici, il primo dei quali idica la ormale alla giacitura sulla quale agisce la tesioe, il secodo la direioe della tesioe el piao della giacitura. 1 La tesioe è defiita i u puto (P) e secodo ua giacitura (di ormale ). Essa pertato può cambiare o solo se viee valutata i puti diversi, apparteeti a ua medesima giacitura (seioe), ma ache se viee valutata su giaciture diverse passati per uo stesso puto. Ciò sigifica che, oostate la tesioe defiita come sopra sia effettivamete u vettore, per la cooscea dello stato tesioale i u puto itero della trave (come di u qualsiasi corpo cotiuo) o è sufficiete dare le tre compoeti cartesiae del vettore tesioe secodo ua particolare giacitura passate per il puto, ma occorrerebbe, i liea di pricipio, dare le tre compoeti di ciascuo degli ifiiti vettori tesioe relativi alle ifiite giaciture passati per il puto. Si dimostra però (teorema di Cauch) che è sufficiete cooscere il vettore tesioe solo su tre giaciture mutuamete ortogoali (ad esempio quelle parallele a ua tera cartesiaa) passati per il puto per poter risalire al vettore tesioe su qualuque altra giacitura. Così, metre per defiire uivocamete ua fora soo ecessarie tre sole compoeti scalari, per defiire lo stato tesioale i u puto soo ecessarie ove compoeti scalari: si dice che la fora è ua gradea vettoriale, la tesioe ua gradea tesoriale (la deomiaioe di tesore deriva, i effetti, proprio dal cocetto di tesioe itera ei corpi cotiui). el caso delle travi il umero di compoeti scalari ecessarie a defiire completamete lo stato tesioale i u puto itero è sesibilmete iferiore, poiché delle ove compoeti relative ad esempio a tre giaciture parallele ai piai cartesiai,, (Figura 2b), solo alcue risultao diverse da ero. Si dimostra ifatti che le fibre logitudiali della trave iteragiscoo solo co tesioi tageiali parallele all asse ovvero, equivaletemete, che su tutte le giaciture parallele all asse soo ulle le compoeti ormali della tesioe e le compoeti tageiali ortogoali all asse stesso. 1 Le dimesioi fisiche della tesioe soo quelle di ua fora diviso ua lughea al quadrato (F L -2 ) e l uità di misura corrispodete è il Pascal (Pa): 1 Pa = 1 /m 2. ella pratica progettuale si usa spesso il egapascal (Pa): 1 Pa = 10 6 /m 2 = 1 /mm 2. 4

6 Co riferimeto ai suddetti piai cartesiai,, si può duque affermare che sulle giaciture parallele ai piai e, ovvero sulle seioi logitudiali della trave (sia oriotali che verticali), le uiche compoeti di tesioe diverse da ero soo le tesioi tageiali parallele all asse della trave (τ, τ ) metre, sulle giaciture parallele al piao, ovvero sulle seioi trasversali della trave, risultao diverse da ero tutte e tre le compoeti della tesioe, sia quella ormale ( ) sia quelle tageiali (τ, τ ). Ioltre, i virtù del pricipio di reciprocità delle tesioi tageiali - che si può euciare dicedo che su due elemeti di superficie ortogoali le tesioi tageiali dirette ormalmete allo spigolo comue soo uguali - risulta: τ = τ e τ = τ. I defiitiva, el caso delle travi, basta cooscere le tre compoeti della tesioe ageti su ciascua seioe trasversale per defiire completamete lo stato tesioale i ciascu puto e su qualuque giacitura della trave. 5

7 1.2. La determiaioe delle tesioi itere elle travi La proprietà delle tesioi itrodotta ella seioe precedete, e cosistete el ricooscere che le tesioi trasmesse dal troco (B) al troco B () fao equilibrio alle fore estere ageti sul troco B (), è i realtà del tutto geerale. Essa vale o solo per le travi ma per qualuque corpo (struttura) cotiuo, comuque complesso. Essa o è tuttavia sufficiete a cosetire la determiaioe del valore putuale delle tesioi stesse, poiché diverse (teoricamete ifiite) distribuioi di tesioi potrebbero i liea di pricipio rispettare la suddetta codiioe di equilibrio. Occorre pertato aggiugere ulteriori codiioi che chiamao i causa sia la deformaioe della trave (o del geerico corpo cotiuo) sia le proprietà elastiche del materiale. Si è detto che le tesioi itere ascoo solo a causa delle deformaioi che la trave subisce per effetto delle fore estere e, ascoo proprio come reaioi molecolari che il materiale oppoe alle deformaioi: le deformaioi crescoo fio a che le corrispodeti tesioi o raggiugoo u valore tale da cosetire di equilibrare le fore estere. Precisare i che modo le deformaioi si sviluppao e i che modo le tesioi coseguoo dalle deformaioi porge le ulteriori codiioi che, aggiute alle equaioi di equilibrio, cosetoo di risolvere il problema della determiaioe delle tesioi itere. Tale criterio è affatto geerale e su di esso si basa qualuque procedura di risoluioe dei sistemi iperstatici: ogi volta che le equaioi di equilibrio o soo sufficieti a risolvere il problema statico 2, occorre aggiugere altre equaioi che devoo mettere i coto le deformaioi subite dal corpo (equaioi di cogruea) e, coseguetemete, far riferimeto ache alle sue proprietà elastiche (equaioi di legame). Per quato detto ella seioe precedete, i ciascu puto della geerica seioe trasversale S della trave soo preseti le compoeti di tesioe rappresetate ella Figura 4. T τ τ G T Figura 4. 2 Le equaioi cardiali della statica soo sempre codiioi ecessarie di equilibrio ma o soo, i geerale, sufficieti (soo sufficieti, ad esempio, per le strutture isostatiche per le quali, come sappiamo, le reaioi vicolari si possoo determiare idipedetemete dalla deformabilità elastica dei diversi elemeti strutturali e per questi è duque lecita l ipotesi di corpo rigido). 6

8 Teedo presete la scomposiioe della sollecitaioe ella stessa seioe S elle sei compoeti caratteristiche (, T, T,,, ) la codiioe di equilibrio prima euciata tra tesioi itere e fore estere si traduce elle sei relaioi scalari: d = τ d τ d = τ d = T d = τ d = T d = queste vao aggiute, come si è detto, le equaioi di cogruea e le equaioi di legame. Ua otevole semplificaioe del problema si cosegue cosiderado separatamete i diversi casi elemetari di sollecitaioe, ovvero casi ei quali è presete ua sola delle caratteristiche della sollecitaioe: la soluioe valida per il caso geerale i cui soo preseti più compoeti viee otteuta sovrappoedo gli effetti. La sovrapposiioe degli effetti si basa sul seguete assuto (o pricipio di sovrapposiioe degli effetti): l effetto (reaioe vicolare, tesioe, deformaioe) prodotto da più fore ageti cotemporaeamete su ua struttura è uguale alla somma degli effetti prodotti dalle sigole fore pesate ageti separatamete. Esso è coseguea: (i) dell ipotesi che gli spostameti subiti da ua struttura siao così piccoli da poter imporre l equilibrio ella cofiguraioe ideformata (co il che ogi fora viee ad agire sulla stessa struttura su cui agiscoo le altre, idipedetemete dall ordie di applicaioe); (ii) dell ipotesi che il materiale segua la legge di Hooke e quidi le deformaioi siao proporioali alle tesioi, ovvero gli spostameti alle fore (co il che ua uova tesioe uguale a u altra già agete produce ua ulteriore deformaioe uguale a quella preesistete). (2) 7

9 1.3. Le travi soggette a sforo ormale La sollecitaioe i ua seioe S di ua trave si riduce al solo sforo ormale quado la risultate di tutte le fore che precedoo (o seguoo) la seioe coicide co l asse geometrico della trave, se questa è ad asse rettilieo, oppure co la tagete all asse el baricetro della seioe, se l asse è curvilieo. Per semplificare il discorso facciamo riferimeto a travi prismatiche, di peso trascurabile, soggette a due sole fore estere, applicate alle due basi estreme della trave e dirette lugo l asse. Tali fore possoo produrre traioe o compressioe. Figura 5. Idicato co l asse della trave (Figura 4), è ragioevole supporre, ache i relaioe al tipo di deformaioe che la trave subisce (vedi oltre), che i ogi seioe retta di area l uica compoete di tesioe diversa da ero sia la tesioe ormale, la cui risultate deve pertato equilibrare lo sforo ormale (Figura 5). Le (2) si riducoo pertato all uica equaioe di equilibrio: d = (3) llo scopo di precisare la distribuioe delle ella seioe e il loro valore i ogi puto aggiugiamo le due segueti ipotesi che, ua volta formulate matematicamete, esprimoo le codiioi ote rispettivamete come equaioe di cogruea ed equaioe di legame. Prima ipotesi (cogruea): si ammette che l allugameto (o accorciameto) che la trave subisce sia lo stesso per tutte le sue fibre logitudiali e, quidi, che le seioi rette, iiialmete piae, rimagao piae e parallele. Se si idica co l la variaioe di lughea della trave (allugameto o accorciameto), per teer coto del fatto che uo stesso l è più importate i ua trave corta che i ua luga, si fa riferimeto all allugameto (accorciameto) per uità di lughea: l ε = (4) l ed è a questo rapporto (adimesioale) che si attribuisce, per la sollecitaioe di sforo ormale, il ome di deformaioe. L equaioe di cogruea per la trave soggetta a solo sforo ormale è duque: ε = cos t. (5) Secoda ipotesi (legame costitutivo): si ammette che il materiale segua la legge di Hooke ovvero che vi sia diretta proporioalità tra il carico applicato e la corrispodete variaioe 8

10 di lughea, ovvero tra la tesioe e la deformaioe 3, almeo fi tato che il carico o superi il limite elastico del materiale. È questa l equaioe di legame che si scrive: = E ε (6) dove E rappreseta il modulo di elasticità ormale o modulo di Youg 4 del materiale della trave. L equaioe di legame distigue da u puto di vista matematico u materiale da u altro (el caso elemetare di sollecitaioe qui cosiderato, tale distiioe si limita al diverso valore che viee attribuito al modulo di Youg): essa deriva da sperimetaioi fisiche elle quali opportui provii del materiale i oggetto vegoo assoggettati a prove di traioe e compressioe, secodo schemi di fatto ricoducibili alle due situaioi rappresetate ella Figura 5, misurado le variaioi uitarie di lughea (ε) provocate da fore uitarie (). Le equaioi di equilibrio, di cogruea e di legame cosetoo di risolvere il problema della determiaioe dello stato tesioale ella geerica seioe S. Dalle (5) e (6) si ricoosce che le devoo essere costati sulla seioe per cui la (3) porge: = (7) La variaioe di lughea della trave si ottiee dalla (4) teedo coto della (3) e della (6): l l = ε l = l = (8) E E Esempio 1. Due fili verticali di acciaio, viciissimi, di uguale lughea l e diversa seioe trasversale ( 1 =1 cm 2, 2 =2 cm 2 ), sorreggoo u peso P=2 k. Determiare il peso sopportato da ciascuo dei due fili. Soluioe. Il problema è iperstatico perché l equaioe di equilibrio impoe solo che la somma delle traioi esercitate dai due fili sia uguale al peso totale P: se X 1 è la traioe el filo più sottile, l equilibrio impoe che la traioe ell altro sia P-X 1. È però sufficiete teere coto della codiioe di cogruea che impoe che l allugameto dei due fili sia lo stesso (ell ipotesi qui implicitamete assuta che i due fili siao elastici equaioe di legame) per poter risolvere il problema. Per la (8) si può ifatti scrivere: X 1 l/e 1 = (P-X 1 ) l/e 2 da cui X 1 =[ 1 /( )] P Co i dati del problema si ottiee: X 1 =[1/(1+2)] 2=0.67 k, X 2 =2-0.67=1.33 k Se aiché ua seioe retta si cosidera ua seioe icliata di u agolo α (di ormale ) la tesioe totale sarà acora diretta lugo l asse della trave (i modo che l equilibrio sia comuque rispettato) ma si potrà scomporre i ua tesioe ormale e i ua tesioe tageiale τ secodo le relaioi (Figura 6): 3 La tesioe è ifatti u carico uitario così come la deformaioe è ua variaioe di lughea uitaria. 4 Il modulo di Youg è tato più grade quato più è rigido il materiale. Esso ha le stesse dimesioi della tesioe (essedo la deformaioe u umero puro) e si misura pertato i Pa. Per alcui materiali di impiego comue esso vale: acciaio E = Pa calcestruo E = Pa lego E = Pa 9

11 t ' = t τ = t = = = cosα cosα cosα = cos α seα = seα cosα 2 Per α=0 la tesioe tageiale si aulla e la tesioe ormale assume il suo valore massimo (ma) = ; per α=45 la tesioe tageiale e la tesioe ormale assumoo lo stesso valore (ed è il massimo valore assuto dalla tesioe tageiale) τ (ma) = = /2; per α=90 etrambe le compoeti di tesioe si aullao τ = =0 (coeretemete co quato affermato ella seioe 1.1. ovvero che sulle seioi logitudiali parallele all asse della trave la tesioe ormale è pari a ero). (9) τ α t Figura 6. Vale la pea sottolieare che le tesioi ageti sulle seioi trasversali rette della trave e le tesioi e τ ageti su seioi trasversali icliate soo equivaleti: esse cioè rappresetao lo stesso stato tesioale all itero della trave, esattamete allo stesso modo i cui ua fora può essere rappresetata da diverse compoeti cartesiae a secoda del sistema di riferimeto prescelto. È ioltre iteressate osservare che ei materiali poco resisteti a tesioe tageiale, come soo tipicamete le pietre, la rottura per effetto di ua compressioe assiale si verifica spesso secodo piai icliati di 45 rispetto alla direioe dello sforo, proprio a causa del raggiugimeto del valore massimo della tesioe tageiale. Determiate le tesioi itere è possibile operare la verifica di resistea della trave che cosiste semplicemete el cotrollare che i ogi puto la tesioe prodotta dalle fore estere risulti coveietemete miore della tesioe che provoca la rottura. Coveietemete miore (i) perché le massime fore ageti sulla struttura o possoo essere previste co esattea, (ii) perché dette fore possoo ache agire co o trascurabili effetti diamici, (iii) perché i materiali possoo essere sede di difetti iteri i grado di ridure imprevedibilmete la tesioe di rottura rispetto ai valori sperimetati, (iv) perché ifie le tesioi vegoo calcolate su modelli meccaici semplificati aiché sulla struttura reale. Per questi motivi tra la tesioe di rottura ( R ) di u materiale e la sua tesioe ammissibile ( adm ) deve esistere u otevole margie caratteriato dal cosiddetto coefficiete di sicurea (k), da talui deomiato coefficiete di igoraa: adm = R /k. 5 Il coefficiete di sicurea è aturalmete diverso per i diversi materiali e (puto iii) tato maggiore quato più elevate soo le icertee riguardati le sue caratteristiche meccaiche: per la muratura, le cui caratteristiche possoo essere estremamete variabili, il coefficiete di 5 Per alcui materiali di impiego comue la tesioe ammissibile assume valori grosso modo compresi egli itervalli sotto riportati: acciaio adm = Pa calcestruo adm = 7 14 Pa lego adm = 8 10 Pa 10

12 sicurea è almeo 5, per il cls 3, per l acciaio, prodotto idustrialmete e soggetto pertato a cotrolli di qualità molto rigorosi, 1.5. Per la sollecitaioe di sforo ormale la verifica di resistea è la più sicura perché la trave è soggetta alla stesso tipo di sollecitaioe usato i laboratorio per determiare la tesioe di rottura dei diversi materiali: le prove di resistea più comui (e più facili) soo ifatti quelle di traioe o compressioe su provii prismatici. E poiché si è visto che la massima tesioe ormale si raggiuge sulle seioi rette della trave la verifica di resistea per la sollecitaioe di sforo ormale è: (ma) = adm (10) 11

13 1.4. Le travi soggette a flessioe La sollecitaioe i ua seioe S di ua trave si riduce al solo mometo flettete quado le fore che precedoo (o seguoo) la seioe equivalgoo a ua coppia agete i u piao ormale a quello della seioe. Suppoiamo, al solito, che la trave sia prismatica e di peso trascurabile e che le fore ageti su di essa si riducao a due sole coppie di mometo, uguali e cotrarie, applicate alle seioi di estremità. Suppoiamo ioltre che tali coppie siao coteute i u piao (piao di sollecitaioe) che cotiee l asse geometrico della trave e che la seioe della trave sia simmetrica rispetto all asse s i cui il piao di sollecitaioe icotra il piao della seioe (asse di sollecitaioe). Sia coicidete co l asse della trave e s di modo che (Figura 4). Poiché il mometo flettete è costate i ogi seioe, quado la trave si iflette il suo asse si atteggia secodo ua curva di curvatura costate e cioè si trasforma i u arco di circoferea di cetro O, coteuto i u piao (piao di flessioe) che, i virtù della simmetria della seioe, coicide co il piao di sollecitaioe (Figura 7). È a tale coicidea che si deve il ome di flessioe retta per il caso qui esamiato. O Φ s Figura 7. che le altre fibre della trave si trasformao i archi circolari e poiché complessivamete la trave o è é tesa é compressa, dette fibre o possoo essere tutte tese o tutte compresse. ella parte covessa della trave, pertato, le fibre si allugao, ella parte cocava si accorciao e alcue coservao la lughea origiaria: l isieme di queste ultime icotra ciascua seioe trasversale lugo ua retta che prede il ome di asse eutro e che, state la coicidea tra piao di flessioe e piao di sollecitaioe, risulta ortogoale all asse di sollecitaioe. che i questo caso, duque, è lecito supporre che i ogi seioe retta di area l uica compoete di tesioe diversa da ero sia la tesioe ormale ; il complesso degli sfori derivati da quest uica compoete di tesioe deve garatire l equilibrio del troco di trave idividuato dalla geerica seioe trasversale S e deve pertato essere equivalete, el caso i esame, alla coppia di estremità. 12

14 Le equaioi di equilibrio soo, duque, dalle (2): d = 0, d = (11) Come già detto per lo sforo ormale, queste equaioi o soo sufficieti a determiare la distribuioe e il valore delle ella seioe e vao perciò itegrate co ulteriori codiioi che descrivoo la deformaioe della trave e il comportameto elastico del materiale. dϕ R R+η d d+ (η) s Figura 8. Per quato riguarda la deformaioe si assume che le seioi rette della trave rimagao piae e ortogoali alle fibre deformate, secodo ua ipotesi detta di Beroulli-avier o della coservaioe delle seioi piae. Tale ipotesi implica che ciascua seioe trasversale ruoti attoro al proprio asse eutro (Figura 8), coservadosi piaa, e che tutte le seioi deformate covergao su ua retta ortogoale al piao di flessioe e passate per O. Se allora, cosiderato u troco di lughea ifiitesima d, si idica co (η) la variaioe di lughea della geerica fibra distate η dall asse eutro, tale variaioe di lughea sarà proporioale al raggio della circoferea alla quale appartiee la fibra deformata e ciò cosete di determiare la deformaioe della medesima fibra (ovvero la sua variaioe di lughea rapportata alla lughea iiiale). Si può ifatti scrivere: d + ( η ) R + η ( η ) η ( η ) η = 1 + = 1 + ε = = (12) d R d R d R L ultima relaioe rappreseta l equaioe di cogruea per la trave soggetta a flessioe semplice. L equaioe di legame è la stessa già itrodotta per la sollecitaioe di sforo ormale dal mometo che le compoeti di tesioe e di deformaioe coivolte soo le medesime. Pertato: = E ε (13) Sostituedo la (12) ella (13): E = E ε = η (14) R e questa ella prima delle (11) si ottiee: E d = 0, R η (15) 13

15 Questa equaioe esprime l aullarsi del mometo statico della seioe rispetto all asse il che sigifica che l asse eutro è baricetrico. Pertato, avedo supposto la seioe della trave simmetrica rispetto all asse di sollecitaioe, ovvero s coicidete co uo degli assi cetrali d ieria della seioe (s ), e discede che l asse eutro - ortogoale, ella flessioe retta, all asse di sollecitaioe - coicide co l altro asse cetrale d ieria. I defiitiva (Figura 4 e Figura 8), e quidi è lecito sostituire, ella (14), all ordiata η l ordiata. Dalla secoda delle (11), teedo coto della (14) e risolvedo rispetto a E/R, si ottiee pertato: E R E 2 d = = = (16) 2 R J d (essedo J il mometo d ieria della seioe rispetto all asse eutro). Sostituedo ifie ella (14) si ottiee la distribuioe delle (Figura 9): = (17) J La distribuioe delle ella seioe è duque lieare, co valore ullo i corrispodea dell asse eutro e valori massimi, rispettivamete positivi (traioe) e egativi (compressioe), i corrispodea delle fibre estreme (itradosso ed estradosso della trave). La (17) è ache ota come formula di avier. Figura 9. Come già fatto per lo sforo ormale ricaviamo ifie ua misura globale della deformaioe della trave che i questo caso è rappresetata dalla rotaioe relativa delle due seioi di estremità. Teedo presete (Figura 8) che d = R dϕ, dalla (16) si ottiee: 1 R 1 = dϕ = d = d Φ = l = (18) E J R E J R E J espressioe, come si vede, formalmete aaloga alla (8). Esempio 2. Ua trave di lego di seioe rettagolare 1020 cm, semplicemete appoggiata su ua luce l=3.40 m e co due sbali lughi a=0.80 m, sopporta alle estremità degli sbali due carichi P=5 k. Determiare la freccia massima (ialameto) i meeria. P P 1 l a l a Soluioe. Il tratto cetrale della trave tra i due appoggi, soggetto alle estremità a due coppie pari a P a = = 4 k m = mm, si icurva trasformadosi i u arco di circoferea di raggio R la cui massima distaa dalla corda di lughea l è proprio la freccia f richiesta dal problema. Le tre gradee R, f, l soo legate dalla relaioe: 14

16 (R - f) 2 + (l/2) 2 = R 2 dalla quale, trascurado il termie i f 2 si ottiee: f = l 2 /8R = l 2 /8EJ = / = 8.67 mm Poiché le (11) soo state scritte co riferimeto agli assi defiiti ella Figura 4, la (17) che dalle (11) deriva porge correttamete valori positivi delle (traioe) dalla parte delle positive quado il mometo è positivo, e cioè cocorde co l asse (Figura 10). 6 Spesso, però, la (17) viee applicata facedo riferimeto ai valori assoluti sia del mometo sia dell ordiata, essedo immediato ricooscere quali soo le fibre tese e quali quelle compresse. (mi) = compressioe ma = G = s Figura 10. (ma) = traioe ma I ogi caso i valori massimi delle tesioi, sia di compressioe che di traioe, si raggiugoo elle travi iflesse ai lembi estremi della seioe trasversale, ovvero ei puti più lotai dall asse eutro. Idicado co s e i le distae dei lembi superiore e, rispettivamete, iferiore dall asse eutro, le tesioi massime soo date, i valore assoluto, dalle segueti espressioi: sup if = J = J s = Ws i = W i essedo W s =J/ s e W i =J/ i i moduli di resistea superiore e iferiore della seioe. La verifica di resistea, aalogamete a quato fatto per la sollecitaioe di sforo ormale, cosiste el cofrotare la massima co la adm del materiale. Teedo preseti le (19) detta verifica si scrive: (ma) adm Wmi 15 (19) = (20) Se si garatisce che ei puti della seioe più lotai dall asse eutro la o superi la adm, egli altri puti il materiale lavora meo di quato potrebbe a causa dell adameto lieare delle tesioi (Figura 9, Figura 10): ciò sigifica che gli elemeti di area prossimi all asse eutro cotribuiscoo co miore efficacia degli altri a resistere alla sollecitaioe flessioale. 6 Qualora si fosse scelto l asse positivo verso l alto, ella secoda delle (11) primo e secodo membro avrebbero avuto sego opposto. I tal caso ache la (17) si sarebbe modificata ella: = - ( /J ) i modo da forire, per mometi positivi, valori positivi delle tesioi dalla parte delle egative.

17 La forma più coveiete della seioe si ottiee duque dislocado la maggior parte del materiale i due uclei il più possibile distati da e uedoli solo co ua sottile aima (la quale è esseiale, come vedremo, per resistere alle sollecitaioi tagliati): si perviee così alla seioe a doppio T, largamete impiegata per la realiaioe di profilati metallici. La maggiore efficacia della seioe a doppio T rispetto alla seioe rettagolare è quatificata dal valore dei rispettivi moduli di resistea: metre per la seioe rettagolare si ha W = bh 2 /6 = 0.167h, essedo l area della seioe, per ua seioe a doppio T avete rapporti dimesioali tipici dei profilati metallici i commercio si ha i media W = 0.32h, il che sigifica che, a parità di area, la seioe a doppio T sopporta u mometo quasi doppio. Esempio 3. Che dimesioi deve avere ua trave di lego che si ricava da u troco di albero cilidrico di diametro d affiché risulti massimo il modulo di resistea? d h b Soluioe. Poiché i ogi caso si ha h 2 = d 2 b 2, risulta: W = bh 2 /6 = (bd 2 b 3 )/6. ullado la derivata dw/db si ottiee b = d/ 3 = 0.577d. Se il piao di sollecitaioe, pur coteedo l asse della trave, o cotiee uo degli assi cetrali di ieria della seioe trasversale, il piao di flessioe o coicide più co il piao di sollecitaioe e ache l asse eutro, ortogoale al piao di flessioe, risulta i geerale obliquo rispetto al piao di sollecitaioe. I questo caso si parla di flessioe deviata. α s Figura 11. Ua aalisi dettagliata della flessioe deviata esula dallo scopo di questi apputi. Ci limitiamo a osservare che, sebbee più complesso, lo studio delle tesioi e delle deformaioi si può effettuare acora co le relaioi stabilite per la flessioe retta semplicemete scompoedo il mometo flettete, che rappreseta ua coppia agete el piao di traccia s, i due coppie ageti i piai aveti per traccia gli assi cetrali di ieria della seioe, agete el piao di traccia, e agete el piao di traccia (Figura 11): = cosα = seα (21) 16

18 Ciascuo di questi due mometi produce ua flessioe retta, i cui assi s ed coicidoo co gli assi cetrali di ieria della seioe: l asse di sollecitaioe di è e l asse eutro è, l asse di sollecitaioe di è e l asse eutro è. Sovrappoedo gli effetti delle due flessioi rette si può duque scrivere: cosα seα = = (22) J J J J dove la differea di sego tra i due cotributi è legata al fatto che le tesioi positive (ovvero di traioe) si verificao etrambe dalla parte delle coordiate positive (Figura 11) ma, el primo caso, per positivo, el secodo caso per egativo (vedi ota 6). 17

19 1.5. Le travi soggette a sforo ormale e flessioe La sollecitaioe i ua seioe S di ua trave si riduce a sforo ormale e mometo flettete quado la risultate di tutte le fore che precedoo (o seguoo) la seioe è parallela all asse geometrico della trave ma o coicidete co esso. Tale risultate si può traslare fio ad applicarla sull asse della trave semplicemete aggiugedo la opportua coppia di trasporto e, co ciò, la sollecitaioe i esame si ricoduce alla sovrapposiioe dei due stati di sollecitaioe semplici separatamete aaliati elle seioi 1.3 e 1.4. Suppoiamo per semplicità che la risultate delle fore icotri uo degli assi cetrali di ieria della seioe (sia, per fissare le idee, l asse ) i modo che la flessioe associata allo sforo ormale sia ua flessioe retta e idichiamo, al solito, co l asse della trave. e =e o S S0 S1 o S S0 S1 (a) (b) (c) (d) Figura 12. Lo sforo ormale produce u accorciameto (o allugameto) uiforme di tutte le fibre logitudiali, ovvero fa traslare la geerica seioe trasversale parallelamete a se stessa dalla posiioe S alla posiioe S 0 ; il mometo flettete produce ivece u icurvameto delle medesime fibre e fa quidi ruotare la seioe, dalla posiioe S 0 alla posiioe S 1, attoro a u asse baricetrico di traccia 0 (asse di flessioe) che, i assea di sforo ormale, sarebbe l asse eutro e che, per le ipotesi fatte, coicide co u asse cetrale d ieria della seioe (e precisamete, 0 ). Lo spostameto complessivo della seioe, dalla posiioe S alla posiioe S1, è duque ua rotaioe attoro a u asse di traccia parallelo a 0 ma o baricetrico che rappreseta l asse eutro per la sollecitaioe composta di sforo ormale e flessioe. Se ello spostameto prevale la traslaioe rispetto alla rotaioe (Figura 12c) l asse è estero alla seioe, se prevale ivece la rotaioe (Figura 12d) l asse taglia la seioe. I ogi caso la seioe si coserva piaa e la deformaioe di ciascua fibra è proporioale alla distaa dall asse eutro. D altra parte, etrambe le sollecitaioi ( e ) producoo solo tesioi ormali che, ell ipotesi di materiale elastico lieare, sarao esse stesse proporioali alla distaa dall asse eutro. Tali codiioi (di cogruea e di legame), ua volta iserite elle equaioi di equilibrio (2), opportuamete specialiate al caso i esame, cosetoo di otteere la distribuioe putuale delle sulla geerica seioe trasversale. Tuttavia, avedo già ampiamete discusso i due casi elemetari di sforo ormale semplice e flessioe semplice, è sicuramete più agevole procedere per sovrapposiioe degli effetti e scrivere direttamete: 18

20 = + (23) J Le tesioi ormali soo quidi date da u cotributo costate, dovuto al solo sforo ormale cetrato, e da u cotributo variabile liearmete, dovuto al solo mometo flettete; la che compare ella formula è duque la distaa della geerica fibra dall asse di flessioe 0 e o dall asse eutro e, il mometo d ieria della seioe è ach esso valutato rispetto a. Se lo sforo ormale prevale rispetto al mometo flettete, la distribuioe delle forita dalla (23) si preseta come i Figura 13a (ell ipotesi che lo sforo ormale sia uo sforo di compressioe); se ivece prevale la flessioe la situaioe è quella descritta ella Figura 13b. el primo caso la seioe è iteramete compressa, el secodo i parte compressa e i parte tesa. (ma) (ma) (mi) (mi) (a) (b) Figura 13. Ua rappresetaioe più chiara è forita ella Figura 14, sempre co riferimeto a uo sforo ormale di compressioe agete sull asse co eccetricità e. (ma) = 0 G e (med) = s () () (, ) (mi) (ma) = 0 G e (med) = s () () (, ) (mi) Figura 14. Si osservi come, essedo e = e egativi, la tesioe miima si raggiuge dalla parte delle positive, dove etrambi i cotributi si sommao, metre la tesioe massima si 19

21 raggiuge dalla parte delle egative dove il cotributo del mometo ha sego opposto a quello dello sforo ormale. che qui vale, peraltro, quato già osservato a proposito della (17): la (23) è cioè più frequetemete utiliata i valore assoluto, essedo solitamete piuttosto agevole ricooscere il sego dei diversi cotributi allo stato tesioale della seioe. Idicado co b e h rispettivamete la base e l altea della seioe rettagolare rappresetata ella Figura 14 e, teedo coto dei segi i gioco si può scrivere: (mi) (ma) = = + J + J h 2 = bh h = 2 e 2 bh 6 bh = e + 2 bh 6 6e 1 + h = 6e 1 h La seioe risulta duque iteramete compressa fio a che risulta: 6e h (ma) e (25) h 6 ovvero fio a quado l eccetricità e dello sforo ormale è iferiore a u sesto dell altea della seioe. Poiché la stessa limitaioe, come è facile verificare, si ottiee ache quado l eccetricità è egativa (e quidi il mometo è positivo), alla codiioe che deve essere soddisfatta affiché la seioe della trave risulti iteramete compressa ci si riferisce come regola del tero medio: fio a quado il cetro di pressioe, ovvero il puto della seioe i cui è applicato lo sforo ormale, è compreso all itero del tero medio dell altea la seioe risulta iteramete compressa. Il discorso rimae evidetemete ialterato ache el caso i cui lo sforo ormale sia di traioe, el qual caso la limitaioe alla massima escursioe ammessa per il cetro di traioe assicura che la seioe trasversale della trave risulti iteramete tesa. Tuttavia, la regola del tero medio è ata storicamete co riferimeto alla sollecitaioe di compressioe i elemeti strutturali realiati co materiali debolmete resisteti a traioe per i quali era esseiale riuscire a mateere costatemete compressa la seioe trasversale dell elemeto i modo da evitare lo sviluppo di traioi che avrebbero potuto provocare la fessuraioe. Quado il materiale è o resistete a traioe la distribuioe tesioale forita dalle (24) rimae corretta fio a quado la seioe è iteramete compressa, ovvero per valori dell eccetricità e h/6, ma cade i difetto per eccetricità superiori. Poiché ifatti il materiale o è i grado di esplicare le traioi previste dalla (24), la seioe si parialia e l itero sforo ormale deve essere portato dalla sola parte compressa la quale è diversa dalla parte compressa prevista dalle (24) proprio perché o più aiutata dalla parte tesa, così come diverso è il valore della massima compressioe sul materiale. Il caso dei materiali o resisteti a traioe è di grade rilevaa applicativa perché tali si possoo cosiderare i materiali co cui è realiata la quasi totalità delle costruioi murarie storiche, elle quali la stessa tecica costruttiva coduce a elemeti strutturali (pilastri, pareti, volte, etc.) i grado di opporsi efficacemete alle sollecitaioi di compressioe ma pressoché icapaci di resistere a sollecitaioi di traioe. (24) 20

22 1.6. Le travi soggette a taglio La sollecitaioe i ua seioe S di ua trave si riduce al solo sforo di taglio quado la risultate di tutte le fore che precedoo (o seguoo) la seioe giace el piao della seioe e passa per il suo baricetro. Se però questo avviee i ua seioe, elle seioi vicie si ha ache u mometo flettete dovuto a tale risultate e quidi la sollecitaioe di taglio è, i geerale, accompagata da quella di mometo flettete. Sulla compresea delle due caratteristiche è fodato lo studio elemetare del problema del taglio dovuto a Jourawsk che cosete di otteere la distribuioe media delle tesioi tageiali lugo ua geerica corda della seioe trasversale della trave co le sole equaioi di equilibrio. Suppoiamo che la trave sia prismatica e di peso trascurabile e abbia seioe rettagolare di base b e altea h. T T ' h i τ r b se. S i r S τ i j r s d S' ' Figura 15. Se ella seioe S agisce il mometo flettete, coteuto el piao di sollecitaioe i cui giace ache T, ella seioe S, distate d da S, il mometo è = + d essedo d = T d. Immagiiamo di seioare il cocio ifiitesimo di lughea d co u piao parallelo all asse della trave e, più precisamete, parallelo al piao : si viee così a isolare u solido elemetare delimitato dalla superficie estera della trave, dalle seioi S ed S e dalla superficie iijj (Figura 15). Detto solido elemetare è scarico sulle facce corrispodeti alla superficie estera della trave, metre sulle facce defiite dalle seioi trasversali S ed S è soggetto alle tesioi ormali e associate ai mometi fletteti ed. 7 Poiché > ache > e per l equilibrio del solido elemetare è ecessario che sulla faccia iijj agiscao delle tesioi tageiali τ dirette come i Figura 15. L approssimaioe alla base della trattaioe di Jourawsk cosiste ell ipotiare che le τ siao distribuite uiformemete sulla faccia suddetta. L equilibrio alla traslaioe lugo del solido elemetare porge allora: ( ' ) d τ b d = 0 t (26) dove l itegrale è esteso all area tratteggiata iirr (jjss). Teedo presete che: 7 Vale la pea precisare che la variaioe di mometo el passaggio da S a S è proprio legata alla presea del taglio, perché se fosse T = 0 si avrebbe = cost. e sarebbe =. 21

23 ' d Td ' = = = (27) J J J J e che T, J e d soo idipedeti dall area d si ottiee: Td d = b d J τ (28) t e da questa l espressioe delle tesioi tageiali τ : T S i τ = (29) J b dove S i idica il mometo statico dell area tratteggiata rispetto all asse eutro della seioe trasversale. ella Figura 15, accato alle tesioi tageiali τ ageti su piai paralleli all asse della trave, soo ache rappresetate le tesioi τ ageti el piao della seioe trasversale. Così come le prime assicurao l equilibrio i direioe oriotale, le secode assicurao l equilibrio i direioe verticale: per la secoda delle (2) deve ifatti risultare: τ d = T (30) Ua volta ote le τ soo immediatamete ote ache le τ per il semplice fatto che dette tesioi soo tra loro uguali i virtù di ua proprietà geerale delle tesioi tageiali che si può euciare dicedo che su due elemeti di superficie ortogoali le tesioi tageiali dirette ormalmete allo spigolo comue soo uguali (e etrambe putao verso lo spigolo o se e allotaao). 8 Pertato ache le τ soo forite dalla (29). Poiché per la seioe rettagolare, al variare della distaa della corda ii dall asse eutro, T, J e b o variao, la legge di variaioe delle τ coicide co quella del mometo statico S i. Essedo: 2 3 h 1 h b h 2 bh S i = b + =, J = (31) 12 risulta: 2 6 T h 2 τ = (32) 3 b h 4 ovvero la legge di variaioe delle τ è parabolica (Figura 16a). La τ (ma) si raggiuge i corrispodea dell asse eutro ( = 0) e vale: 3 T T τ 1.5 (ma) = = (33) 2 b h e cioè ua volta e meo il valore della tesioe media sull itera seioe. ei profilati metallici a doppio T (Figura 16b) la brusca variaioe di spessore al passaggio tra le ali e l aima determia ua discotiuità el diagramma delle τ ; ioltre, come si può 8 o si riporta la dimostraioe di questa proprietà che si ottiee cosiderado l equilibrio alla rotaioe di u elemeto di volume ifiitesimo all itero della trave. 22

24 facilmete verificare, la differea tra il valore massimo (che si raggiuge sempre i meeria) e il valore all estremità dell aima è di fatto trascurabile. Ciò cosete di affermare che il taglio è portato quasi iteramete dall aima, metre, come già osservato, essedo modesto il cotributo dell aima al mometo d ieria della seioe, il mometo flettete è portato quasi iteramete dalle ali. G G i i τ(ma) τ (a) (b) Figura 16. La presea delle tesioi tageiali su piai paralleli all asse della trave è resposabile della solidarietà delle fibre logitudiali alla quale è ache associata ua maggiore resistea flessioale. Se si sovrappogoo, ifatti, due travi uguali di seioe rettagolare (b h), la loro iflessioe, provocata ad esempio da u carico applicato i meeria, comporta u allugameto dell itradosso e u accorciameto dell estradosso di ciascua trave e, coseguetemete, uo scorrimeto relativo i corrispodea della superficie di cotatto (Figura 17). Figura 17. La resistea flessioale dell isieme delle due travi è, i questo caso, la somma delle resistee di ciascua di esse presa sigolarmete e il modulo di resistea è pertato il doppio di quello di ua sola trave: 2 b h W = 2 (34) 6 Se però si impedisce lo scorrimeto delle due travi o icolladole isieme o iterpoedo, secodo ua tecica usuale elle costruioi i lego, delle biette o, più semplicemete, 23

25 sostituedole co u uica trave di altea doppia, il modulo di resistea raddoppia rispetto al valore precedete: 2 2 b ( 2h ) b h W = = 4 (35) 6 6 d opporsi allo scorrimeto relativo delle due travi rese solidali soo proprio le tesioi tageiali o, meglio, la resistea che il materiale co cui si realia il collegameto è i grado di opporre alle tesioi tageiali. La verifica di resistea si effettua cofrotado la τ massima co la τ adm del materiale che è legata alla adm secodo relaioi che o è qui, comuque, il caso di precisare. Ugualmete o si ritiee ecessario etrare el merito del regime deformativo associato allo sforo di taglio per il quale o è più lecita l ipotesi di coservaioe delle seioi piae (le seioi si igobbao). Ci limitiamo ad osservare che così come i luogo delle tesioi ormali () si ha a che fare, ella sollecitaioe di taglio, co tesioi tageiali (τ), allo stesso modo ivece di deformaioi defiite i termii di dilataioe (variaioe della lughea origiaria) delle fibre logitudiali (ε), si ha ora a che fare co deformaioi defiite i termii di scorrimeto (variaioe dell agolo origiario) tra le fibre logitudiali (γ); tesioi ormali e dilataioi soo legate dalla legge di Hooke ella quale etra i gioco il modulo di elasticità logitudiale ( = E ε); tesioi tageiali e scorrimeti soo legate da ua aaloga relaioe di proporioalità ella quale etra i gioco il modulo di elasticità tageiale (τ = G γ). Esempio 4. Suppoedo che le due travi sovrapposte della Figura 17 abbiao seioe quadrata di 20 cm di lato e le biette di collegameto siao ach esse quadrate co seioe di 4 cm di lato, determiare la massima distaa d tra le biette ell ipotesi che la loro tesioe ammissibile a taglio sia pari a 1 Pa e il carico i meeria sia pari a 10 k. Determiare la pressioe di cotatto esercitata dalle biette sugli itagli ei quali soo iserite (si trascuri il peso della trave). Soluioe. Lo sforo di taglio è costate i ciascua metà della trave e pari alla reaioe di u appoggio, ovvero T = 5 k. La tesioe tageiale sulla superficie di cotatto tra le due travi è pari a: τ (ma) = 1.5 (5000/80000) = Pa e quidi la fora di scorrimeto agete sul tratto d relativo a ua bietta vale: τ (ma) b d = d = 18.8 d Poiché ua bietta può sopportare ua fora di: = 8000 la distaa tra le biette deve essere di: d = 8000/18.8 = 426 mm 42 cm La pressioe di cotatto sugli itagli vale: 8000/(200 20) = 2 Pa 24

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