DIDATTICA DI DISEGNO E DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA ING. LAURA SGARBOSSA MODULO DUE

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1 DIDTTIC DI DISEGNO E DI ROGETTZIONE DELLE COSTRUZIONI ROF. CRELO JORN ING. LUR SGRBOSS ODULO DUE IL ROBLE DELL TRVE DI DE SINT VENNT (RTE B) TERILE DIDTTICO D UTILIZZRE IN UL (SCUOL SUERIORE) Esempio di leioe 0 (parte B) IN QUESTO ODULO: IL ROBLE DELL TRVE DEL DE SINT VENNT.3 Sforo ormale semplice di traioe e di compressioe.4 Flessioe semplice e deviata

2 .3 Sforo ormale semplice di traioe e di compressioe Si cosideri come caso geerale ua trave ad asse rettilieo, vicolata co ua ceriera i e co u appoggio semplice i B, comuque caricata da fore verticali ed oblique. Le fore applicate e le reaioi vicolari costituiscoo l isieme delle fore estere, le quali soo i equilibrio. Si assuma ua qualsiasi seioe S i modo tale che la trave sia divisa i due trochi: uo a siistra e uo a destra della seioe S. Ricercado le risultati relative alle fore estere applicate ei trochi a siistra e a destra della seioe, si ricoosce che attraverso la seioe stessa S si trasmettoo mutue aioi itere, a coferma della validità del tero pricipio della diamica di Newto oto come pricipio di aioe e reaioe, come i precedea osservato. I particolare tra tutte le fore risultati, la fora N ormale al piao della seioe, si chiama sforo ormale. Figura 4. figura 4 Lo sforo ormale, isieme allo sforo di taglio e al mometo flettete che aalieremo i seguito, cotrappoedosi reciprocamete ella seioe S, defiiscoo lo stato di equilibrio itero e dao luogo ad altrettati stati di sollecitaioe di pressioe semplice (compressioe o traioe), di taglio e di flessioe. I geerale allora si può dare la seguete defiiioe: ua seioe retta S di trave è sollecitata a sforo ormale semplice di traioe o di compressioe quado la risultate delle fore ageti da ua

3 o dall altra parte della seioe è ua fora ormale al piao della seioe stessa ed è icidete el suo baricetro. Se tale risultate è diretta cotro il piao della seioe lo sforo ormale è di compressioe, tededo ad avviciare, i questo caso, le mutue seioi di cotatto S dei due trochi di trave, e il sego per coveioe è egativo; al cotrario se il verso della risultate si allotaa dalla seioe lo sforo ormale è di traioe, e il sego positivo. Nel caso che ua trave prismatica sia soggetta a sforo ormale di compressioe costate, si suppoe che il troco di tale trave sia sufficietemete corto e too, i modo da evitare che si ieschi il feomeo di istabilità per carico di puta. Fatta questa osservaioe, i due casi di sforo a traioe e a compressioe, possoo essere trattati isieme per quato riguarda la ricerca degli stati tesioali, i criteri di progetto, di verifica e la ricerca delle operaioi. Ua diversità può riguardare ivece, la differete resistea del materiale el caso di traioe o di compressioe. er quato riguarda ifatti, i materiali da costruioe che più ci iteressao, l acciaio ha circa uguale resistea sia a traioe che a compressioe, metre materiali come il calcestruo e i materiali lapidei i geerale, resistoo molto bee a compressioe, pochissimo a traioe. Se il materiale è omogeeo lo sforo ormale N si distribuisce uiformemete i tutte le aree elemetari da della seioe, iteressado i eguale misura tutte le ideali fibre disposte parallelamete all asse della trave, e dado origie a tesioi uitarie σ ormali alla seioe trasversale S. Ogi area elemetare da è quidi iteressata da ua fora elemetare itera σ da tali fore itere deve essere uguale alla risultate N, ossia:, e la somma di σ da = N ; 3) poiché σ è costate, può essere portato fuori dal sego di itegrale e messo i evidea: σ da = N dove l itegrale delle aree elemetari (che può essere pesato come la somma di tutte le aree elemetari), è uguale all area della seioe da =, otteedo i fie l espressioe:

4 σ = N da cui si ricava: N σ = = costate 4) Osservaioe: el caso della pressioe semplice il dimesioameto della trave dipede solo dal parametro di area, seioe della trave, e quidi idipedete dalla forma della seioe stessa. La distribuioe uiforme delle tesioi è giustificata dal fatto che è verificata dall esperiea l ipotesi di Beroulli-Navier sulla coservaioe delle seioi piae durate e dopo le deformaioi. Ciò sta a dire che, se le fibre si allugao e si accorciao i modo uguale, sigifica ache che soo ugualmete tese e compresse e quidi che lo sforo σ è costate i ua determiata seioe retta della trave. Questa ipotesi trova coferma esatta qualora le fore N applicate alle seioi estere della trave soo uiformemete distribuite. Nel caso i cui le fore soo cocetrate, tale ipotesi dell allugameto uiforme delle fibre e come coseguea σ costate, è acora verificata dal pricipio di De Sait Veat, purché la distribuioe delle fore estere abbia la stessa risultate N, e ad ecceioe dei due tratti estremi del troco di trave per ua lughea pari a circa la maggiore dimesioe trasversale. er lo stato di deformaioe si ha: σ c ε = = = costate(,,) 5) E E I coclusioe essedo la distribuioe degli stati di tesioe σ, della trave, uiforme, si ha uo stato tesioale mooassiale; rappresetato secodo la coveioe di ohr el piao ( σ, τ ) si ha la seguete figura:

5 figura 5 E importate osservare ioltre, che uo stato deformativo di tipo biassiale, come el caso di sforo ormale, o implica che pure lo stato di tesioe lo sia, ifatti il caso di sforo ormale ce lo dimostra essedo lo stato tesioale proprio mooassiale. Si defiisce modulo di rigidea assiale, riferito all uità di lughea, il rapporto:.4 Flessioe semplice e deviata R N N = = = ε σ E NE N = E 6) Ua seioe S di trave si dice sollecitata a flessioe semplice quado l isieme delle fore estere, applicate a siistra o a destra della seioe stessa, equivale ad ua coppia apparteete ad u piao ormale al piao della seioe. figura 6

6 Il mometo della coppia = Rl è il mometo flettete estero, agete ella seioe, dato dalla risultate di tutte le fore estere applicate ; per il teorema di Varigo il mometo di tale risultate è ache dato dalla somma algebrica dei mometi delle sigole fore compoeti, i geerale allora il mometo flettete di ua determiata seioe è dato dalla somma algebrica dei mometi fletteti di tutte le fore estere ageti ambo i lati della seioe. L effetto di u mometo flettete i ua seioe della trave è la rotaioe della seioe stessa e se si immagia tale effetto esteso a tutte le seioi della trave, queste ruotao reciprocamete e la trave si deforma curvadosi o più correttamete, iflettedosi. Quado l iflessioe produce la tesioe delle fibre iferiori e la compressioe delle fibre superiori, il mometo flettete è per coveioe di sego positivo. Quado iversamete le fibre superiori soo tese e quelle iferiori compresse tale da rivolgere l iflessioe della trave co covessità verso l alto, il mometo flettete è di sego egativo. s S s (+) S s fibre compresse fibre eutre fibre tese s (+) figura 7a

7 s (-) S s (-) S fibre tese fibre eutre fibre compresse s s figura 7b Il mometo è costate i tutte le seioi comprese el campo cetrale della trave, quidi queste ruotao dello stesso agolo; l asse geometrico e le fibre logitudiali della trave, si dispogoo secodo liee curve a curvatura costate; i particolare l asse geometrico si chiama liea elastica della trave. Nello stato deformativo si distiguoo tre famiglie di fibre fibre che si allugao, ella parte covessa della trave fibre che si accorciao, ella parte cocava della trave fibre che o si allugao e o si accorciao, quidi hao coservato la dimesioe origiaria. Quest ultima famiglia di fibre appartiee ad u piao chiamato strato piao della trave il quale è ortogoale al piao di sollecitaioe. La ratta di iterseioe dello strato eutro co il piao di ua qualsiasi seioe si chiama asse eutro della seioe; di coseguea l asse eutro è ormale all asse di sollecitaioe, dividedo la seioe i ua oa compressa e ua tesa, soggetta quidi a tesioi ormali σ rispettivamete di compressioe e di traioe; i particolare i puti apparteeti all asse eutro hao tesioi ulle:

8 figura 8 Si può defiire quidi l asse eutro come luogo geometrico dei puti della seioe a tesioe ulla. Si vuole ora ricavare l espressioe che descrive i valori σ delle tesioi ai lembi di ua seioe, corrispodeti alle distae massime dall asse eutro; si immagii allora di dividere ua trave i due parti mediate ua seioe S e di isolare uo dei due trochi dall altro isieme e da tutte le fore iteressate prima del taglio. Il troco di trave così isolato deve essere acora i equilibrio, poiché lo era prima del taglio, allora devoo essere soddisfatte le codiioi di equilibrio: V = 0 H = 0 7) = 0

9 La prima codiioe è facilmete verificabile poiché è ulla la somma delle fora estere verticali, metre el piao della seioe S o agiscoo fore verticali. La secoda codiioe è verificata, o essedoci fore etere oriotali ed essedo uguali e cotrarie le tesioi σ ormali al piao di seioe, per cui la somma algebrica risulta ulla. Si osserva ioltre che le fore itere C e T, risultati rispettivamete degli sfori di compressioe e di traioe, essedo di uguale itesità e di versi cotrari, costituiscoo ua coppia di braccio e di mometo itero i = C = T 8) perciò l equilibrio dei mometi deve essere garatito dal mometo estero idotto ella seioe dalle coppie estere ed il mometo itero i dovuto alla coppia itera: = i 9) esprimedo ora il mometo itero i modo più esplicito cioè il mometo della fora ad ua striscia elemetare per cui si ha: dm i = ( da σ ) = da k = k da 10) da σ riferita dove k è costate di proporioalità poiché per l ipotesi di coservaioe delle seioi piae e la validità della legge di Hooke risulta: σ 1 σ = 1 = k 11) Il prodotto da che compare ella 10) prede il ome di mometo d ieria dell area elemetare rispetto all asse cosiderato. Il mometo d ieria totale, quidi riferito all itera seioe, rispetto all asse eutro o baricetrico, idicato co la lettera J è dato dalla somma dei mometi elemetari: J = a 1a) aalogamete i forma itegrale:

10 J = da 1b) Si può allora esprimere il mometo itero uguale a: = σ 13) i J ed essedo = i, ache = σ J. 14) Ora si può ricavare l espressioe delle tesioi massime coveioe dei segi) σ, (positive e egative secodo la σ = 15) J dove co il rapporto seioe. J I coclusioe si ottiee: = W si defiisce il modulo di resistea o mometo resistete alla σ = 16) W Quado l asse di sollecitaioe o coicide co essuo degli assi d ieria pricipale di ua seioe di trave la flessioe o è più retta ma obliqua o deviata, perché l asse eutro coiugato all asse di sollecitaioe o è più ormale a questo ma obliquo.

11 se (se Y X X Y figura 9 Questo tipo di flessioe si riscotra comuemete elle travi oriotali dei tetti (arcarecci) le quali appoggiado sui putoi di falda, presetao gli assi pricipali obliqui rispetto all asse di sollecitaioe determiato dalla direioe verticale su cui è diretta la gravità del carico. Nel caso di flessioe deviata, come rappresetato i figura 10, si cosidera quidi, al posto del carico e del corrispodete, la sua compoete se β sulla ormale all asse eutro ed il corrispodete mometo seβ, ricoducedoci così al caso della flessioe retta Y () 1 X X - Y + figura 10

12 Il raggio d ieria ρ rispetto all asse eutro, è dato dalla proieioe del semidiametro dell ellisse cetrale d ieria, steso ell asse di sollecitaioe di partea, sulla ormale all asse eutro; quidi il mometo d ieria baricetrico J della seioe rispetto all asse eutro è dato da: J = ρ 17) I puti della seioe più lotai dall asse eutro, idividuati dalle tageti alla seioe parallele all asse eutro, se distao il valore a, il modulo di resistea vale: J W = a ; 18) allora le tesioi massime a cui soo soggetti i puti a distaa a dall asse eutro soo date dalla formula valida per la flessioe semplice: si β si β a σ = ± = ±. 19) W J Si può costruire il diagramma delle tesioi sulla ormale all asse eutro come riportato i figura 11. No sempre l uso di questa risoluioe è di pratica applicaioe, perché è ecessario determiare graficamete l ellisse d ieria e l asse eutro per ricavare il mometo d ieria J e la distaa a. er semplificare il problema della flessioe deviata si può sempre pesare di ricodurre il problema alla somma di due flessioi rette, poiché vale il pricipio della sovrapposiioe degli effetti: la tesioe totale σ può essere cioè otteuta dalla somma delle tesioi pariali σ 1 + σ, decompoedo il carico elle compoeti e lugo gli assi pricipali e rispettivamete.

13 Y N B C 1= W - X X N1 + D Y - + figura 11 I coclusioe si ottiee semplicemete: σ = σ 1 + σ = ± ( + ) 0) W W dove. e soo i mometi delle due flessioi rette, rispettivamete attoro agli assi eutri e