Comportamento meccanico dei materiali

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1 Stato di tesioe e di deformazioe Stato di tesioe -dimesioale e -dimesioale Defiizioe algebrica dello stato di tesioe Cerchi di Mohr - approfodimeti Relazioi bivettoriali e forme quadratiche Stato di deformazioe Legame tra tesioi e deformazioi 006 Politecico di Torio

2 Stato di tesioe e di deformazioe La tesioe retta i u puto Stato di tesioe -dimesioale Cerchio di Mohr I Stato di tesioe -dimesioale Cerchio di Mohr II I cerchi di Mohr i 3 dimesioi Politecico di Torio

3 La tesioe retta i u puto (/4) Tramite la prova di trazioe è stata defiita la tesioe come rapporto tra la forza di trazioe agete secodo l asse di u provio e l area della superficie ad essa ortogoale - (sezioe retta) Politecico di Torio 3

4 La tesioe retta i u puto (/4) U provio (parallelepipedo o cilidrico) può essere cosiderato come u fascio di provii di sezioe ifiitesima Che si allugao e accorciao allo stesso modo e Che o scambiao reciprocamete forze attraverso le loro superfici laterali 7 La tesioe retta i u puto (3/4) Poiché la tesioe è costate su ogi puto della sezioe retta, è idifferete cosiderare o l itero provio (sezioe retta di area A) o u parallelepipedo ifiitesimo (sezioe retta di area ) F F A Politecico di Torio 4

5 La tesioe retta i u puto (4/4) Soo quidi ote le forze/tesioi su tutte le facce È u caso particolare, molto semplice, tuttavia, è utile per rispodere alla domada: Quale sarà il sistema di forze/tesioi su ua sezioe obliqua? Ovvero, qual è lo stato di tesioe? Politecico di Torio 5

6 Stato di tesioe -dimesioale (/6) Taglio obliquo Stato di tesioe -dimesioale (/6) Sulle sole facce destra e siistra dell elemeto isolato soo preseti forze i direzioe dell asse logitudiale Politecico di Torio 6

7 Stato di tesioe -dimesioale (3/6) Queste forze si fao equilibrio 3 3 Stato di tesioe -dimesioale (4/6) La forza ormale si scompoe secodo le direzioi e tageziale t t Politecico di Torio 7

8 Stato di tesioe -dimesioale (5/6) Equazioi (grafiche) di equilibrio delle forze t dt dn 5 Stato di tesioe -dimesioale (6/6) σ = tesioe ormale sulla sezioe obliqua τ = tesioe tageziale sulla sezioe obliqua σ = tesioe ormale sulla sezioe retta cos dt = τ cos dn = σ cos = σ Politecico di Torio 8

9 Cerchio di Mohr I (/5) Come è oto, ogi triagolo rettagolo è iscritto i u semicerchio il cui diametro è l ipoteusa C A 90- O B Politecico di Torio 9

10 Cerchio di Mohr I (/5) C 90- A B O Dato: ACB i C si prede il puto O su AB i modo che: OCB = ABC =, quidi OCB isoscele OC=OB ioltre: ACO = ACB-OCB=90- CAB, quidi OCA isoscele OC=OA segue OC = OA = OB: raggi del cerchio di cetro O 9 Cerchio di Mohr I (3/5) Quidi:, dn, dt si iscrivoo el semicerchio di diametro dt = τ cos dn = σ cos = σ Politecico di Torio 0

11 Cerchio di Mohr I (4/5) Dividedo tutti i segmeti per e proiettado cos dt = τ = = σ cos dn = σ Cerchio di Mohr I (5/5) Da questa costruzioe si possoo otteere σ e, oto σ, per qualsiasi icliazioe della ormale rispetto alla ormale della sezioe retta È valida però solo per lo stato di tesioe uiassiale La costruzioe eseguita tramite il cerchio è resa possibile: Dalla scomposizioe di i due compoeti dn e dt tra loro ortogoali Dal fatto che u triagolo rettagolo si iscrive el semicerchio τ 006 Politecico di Torio

12 Stato di tesioe -dimesioale (/0) Passaggio elemetare al caso dello stato di tesioe -dimesioale N Premessa : Coviee da ora i poi procedere i maiera più N sistematica Sezioe di riferimeto: quella che vede l asse L uscete; ioltre le aree: = NL LL = NM LL M L = ML LL Politecico di Torio

13 Stato di tesioe -dimesioale (/0) Premessa : Valori delle aree proiettate = NL LL = NM LL = NL _ cos LL _ = ML LL = NL si LL N M L Valori delle aree proiettate e proiezioe delle aree come vettori 5 Stato di tesioe -dimesioale (3/0) Premessa 3: Assuzioe critica che occorrerà verificare i seguito: ogi stato di tesioe si può ridurre al caso di tre superfici ortogoali,, 3 soggette a sole tesioi ormali σ, σ, σ 3 Questa assuzioe estede il caso -dimesioale, i cui le due superfici, 3 o avevao é tesioi ormali é tesioi tageziali Se o fosse sempre verificata (ma lo sarà, aturalmete) tutto quato stiamo ora costruedo crollerebbe Politecico di Torio 3

14 Stato di tesioe -dimesioale (4/0) Nell ambito della Premessa 3, la forza σ 3 3, ortogoale al piao (,), o cotribuisce all equilibrio i quel piao σ ds σ σ ds 3 ds 7 Stato di tesioe -dimesioale (5/0) Equilibrio i (,) di ua porzioe prismatica: σ σ σ σ σ σ Politecico di Torio 4

15 Stato di tesioe -dimesioale (6/0) Il campo -dimesioale, ora detto (A+B), si può cosiderare somma di u campo -dimesioale A e di u campo idrostatico B σ 0 σ σ ( ) σ σ σ (A+B) A -dimesioale, già studiato prima B idrostatico 9 Stato di tesioe -dimesioale (7/0) Campo B relazioi tra aree; equilibrio σ N σ σ _ NL _ NM _ ML M L σ Politecico di Torio 5

16 Stato di tesioe -dimesioale (8/0) Campo B relazioi aree/forze N σ σ Q :NM = :ML R P σ :NM = σ :ML M L PQ :NM = PR :ML MNL simile a PQR 3 Stato di tesioe -dimesioale (9/0) Campo B tesioe idrostatica Poiché QR è parallelo a, la tesioe su è ormale alla superficie; ioltre vale σ = σ Perciò qualsiasi sezioe obliqua è caricata dalla medesima tesioe σ, e soo asseti compoeti tageziali τ (campo idrostatico) σ Q PQ QR = NM NL σ = σ σ = = σ 3 R P 006 Politecico di Torio 6

17 Stato di tesioe -dimesioale (0/0) I coclusioe: Campo A: il campo di tesioe -dimesioale dà luogo al cerchio di Mohr studiato ella sezioe precedete Campo B: è il campo idrostatico caratterizzato da sole tesioi ormali, di valore costate per qualuque superficie Il campo -dimesioale A+B verrà composto ella prossima sezioe, che è u avazameto ella coosceza dei cerchi di Mohr Politecico di Torio 7

18 Cerchio di Mohr II (/6) Caso A tesioe -dimesioale τ A τ σ σ A (σ - σ ) A 35 Cerchio di Mohr II (/6) Caso B - idrostatico τ σ τ B =0 σ B = σ Politecico di Torio 8

19 Cerchio di Mohr II (3/6) Composizioe A+B τ A+B σ σ σ A+B σ σ A+B = σ A + σ B = σ A + σ τ A+B = τ A +0 σ 37 Cerchio di Mohr II (4/6) Se l agolo fosse stato preso atiorario: τ σ σ σ A+B Politecico di Torio 9

20 Cerchio di Mohr II (5/6) Spesso è sufficiete, ai fii delle verifiche di resisteza, cooscere il valore assoluto τ metre o iteressa il suo verso. Allora si utilizza il solo semicerchio superiore, si traccia e si trova sulle ordiate τ 39 Cerchio di Mohr II (6/6) τ σ σ σ Politecico di Torio 0

21 I cerchi di Mohr i 3 dimesioi (/6) Se soo ote tre direzioi pricipali (fra loro ortogoali); esempio: σ 3 = 0, σ >σ σ ds σ σ ds ds Politecico di Torio

22 I cerchi di Mohr i 3 dimesioi (/6) Tesioi sul fascio di piai di asse 3 τ 3 3 Piao di sezioe τ ( 3 ) 3 σ 3 σ σ σ ( 3 ) 43 σ I cerchi di Mohr i 3 dimesioi (3/6) Tesioi sul fascio di piai di asse τ 3 Piao di sezioe τ ( ) σ σ 3 σ σ σ ( ) Politecico di Torio

23 I cerchi di Mohr i 3 dimesioi (4/6) Tesioi sul fascio di piai di asse τ 3 τ ( ) σ Piao di sezioe σ 3 σ σ σ ( ) 45 I cerchi di Mohr i 3 dimesioi (5/6) Se si voglioo iterpretare i cerchi di Mohr o solo come strumeti per calcolare i valori σ e i valori assoluti di τ, ma ivece come strumeti per mettere i evideza le direzioi ello spazio delle forze dovute a σ e τ, la seguete illustrazioe di sitesi, valida el caso più geerale i cui tutte le tesioi pricipali σ, σ σ, soo 0, può essere utile Sul cerchio ( σ, σ ) è evideziata la ricerca grafica delle tesioi Politecico di Torio 3

24 I cerchi di Mohr i 3 dimesioi (6/6) 3 σ σ σ 3 σ 3 σ σ σ 3 σ 3 σ σ σ Politecico di Torio 4