Statica dei sistemi meccanici

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1 Gruppo di lezioi Ore Pricipali argometi Statica dei sistemi meccaici Statica degli elemeti selli Elemeti di meccaica del cotiuo Meccaica della trave Spostameti di elemeti strutturali e metodi di risoluzioe di sistemi strutturali Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica Modellazioe del sistema Elemeti strutturali vicoli Equazioi di equilibrio Sollecitazioi itere Pricipi di dimesioameto Sistemi piai e 3D Tesioi Deformazioi Legami costitutivi Sforzo ormale Torsioe Flessioe e Taglio Verifica e progetto di travi La liea elastica Metodo delle forze Metodo degli spostameti per strutture soggette a sforzo ormale

2 Tesioi itere Forze itere di superficie preseti su ogi itera di u elemeto strutturale. Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

3 Tesioi tageziali Forces P ad P are applied trasversel to the member AB. Correspodig iteral forces act i the plae of sectio C ad are called shearig forces. The resultat of the iteral shear force distributio is defied as the shear of the sectio ad is equal to the load P. The correspodig average shear stress is, ave P A Shear stress distributio varies from zero at the member surfaces to maimum values that ma be much larger tha the average value. The shear stress distributio caot be assumed to be uiform. Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

4 Esempi di tesioi tageziali : peri Sigle Shear Double Shear ave P A F A P A ave F A Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

5 Bolts, rivets, ad pis create stresses o the poits of cotact or bearig surfaces of the members the coect. The resultat of the force distributio o the surface is equal ad opposite to the force eerted o the pi. Correspodig average force itesit is called the bearig stress, b P A P t d Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

6 Esempio di progetto di dettagli strutturali Would like to determie the stresses i the members ad coectios of the structure show. From a statics aalsis: F AB 40 kn (compressio) F BC 50 kn (tesio) Must cosider maimum ormal stresses i AB ad BC, ad the shearig stress ad bearig stress at each pied coectio Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

7 Tesioi Normali elle aste The rod is i tesio with a aial force of 50 kn. At the rod ceter, the average ormal stress i the circular cross-sectio (A m ) is BC 159 MPa. At the flatteed rod eds, the smallest cross-sectioal area occurs at the pi ceterlie, 6 A ( 0mm)( 40mm 5mm) m BC, ed P A 167 MPa The boom is i compressio with a aial force of 40 kn ad average ormal stress of 6.7 MPa. The miimum area sectios at the boom eds are ustressed sice the boom is i compressio N m Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

8 Tesioi tageziali el pero The cross-sectioal area for pis at A, B, ad C, 5mm A π r π m The force o the pi at C is equal to the force eerted b the rod BC, 3 P N C, ave 6 A m 10 MPa The pi at A is i double shear with a total force equal to the force eerted b the boom AB, P A 0kN A, ave m 40.7 MPa Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

9 Tesioi tageziali el pero Divide the pi at B ito sectios to determie the sectio with the largest shear force, P P E G 15kN 5kN (largest) Evaluate the correspodig average shearig stress, P 5kN, G B ave 6 A m 50.9 MPa Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

10 Tesioi tageziali el pero To determie the bearig stress at A i the boom AB, we have t 30 mm ad d 5 mm, b td P 40kN ( 30mm)( 5mm) 53.3MPa To determie the bearig stress at A i the bracket, we have t (5 mm) 50 mm ad d 5 mm, b td P 40kN ( 50mm)( 5mm) 3.0 MPa Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

11 Tesioi i u asta Aial forces o a two force member result i ol ormal stresses o a plae cut perpedicular to the member ais. Trasverse forces o bolts ad pis result i ol shear stresses o the plae perpedicular to bolt or pi ais. Will show that either aial or trasverse forces ma produce both ormal ad shear stresses with respect to a plae other tha oe cut perpedicular to the member ais. Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

12 Tesioi su ua sezioe obliqua Pass a sectio through the member formig a agle with the ormal plae. From equilibrium coditios, the distributed forces (stresses) o the plae must be equivalet to the force P. Resolve P ito compoets ormal ad tagetial to the oblique sectio, F P cos V Psi The average ormal ad shear stresses o the oblique plae are F A V A P cos A0 cos Psi A0 cos P A P A 0 0 cos si cos Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

13 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

14 Tesioe massima Normal ad shearig stresses o a oblique plae The maimum ormal stress occurs whe the referece plae is perpedicular to the member ais, P A cos P m A0 0 A0 0 The maimum shear stress occurs for a plae at 45 o with respect to the ais, P P m si 45 cos45 A A P 0 si cos 0 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

15 Problema 10.1 Bisoga dimesioare il blocco di lego di sezioe quadrata. Determiare il valore miimo del lato b affiché: 5.5MPa ma 5MPa 7.5MPa 140 kn Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

16 mm b mm N b P mm b mm N b P mm b mm N b P / 4cos / si / cos 4 si cos / 5 cos cos si / 5.5 cos si ma π π π π π Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

17 Tesioi per carichi geerali Si effettui u immagiaria sezioe di u elemeto mediate ua superficie passate per il puto Q. Per l equilibrio, i ogi puto della sezioe agiscoo forze itere di superficie. For equilibrium, a equal ad opposite iteral force ad stress distributio must be eerted o the other segmet of the member. Cosideriamo u area A ell itoro di Q. Su essa agisce ua forza F. Questa forza si può scomporre i ua compoete ormale ed ua tageziale. La tesioe i Q si defiisce come t lim A 0 F A Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

18 Proiettado su u asse ormale ed uo tagete lim A 0 lim A 0 F A V A Per l equilibrio, sulla superficie opposta della sezioe devoo agire delle tesioi uguali ed opposte. Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

19 m m t l l Si fissi sulla superficie della sezioe u sistema di assi locali, co l asse ormale alla superficie e assi m,l tageti alla superficie e si scompoga la tesioe secodo questa tera di assi. m m t l Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica l

20 Nel 3D su ogi piao si ha : tesioe ormale m, l : due compoeti di tesioe tageziale Superficie ormale ad m Tesioe i direzioe m Il primo idice è quello della ormale alla superficie su cui agisce la tesioe. Il secodo idice è quello relativo alla direzioe della compoete Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

21 Per u puto passao sezioi (tati quate soo le rette passati per il puto). Cosegueza: i u puto si hao vettori tesioe, oguo relativo ad ua giacitura. Dal mometo che le tesioi soo legate dalle codizioi di equilibrio, ci si chiede: Qual è il umero miimo di tesioi che bisoga cooscere per calcolare tutte le altre? Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

22 Tesore delle tesioi Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

23 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

24 t t t z Cubetto di Cauch Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

25 Per l equilibrio alla traslazioe deve essere ecc. - - Dall equilibrio dei mometi itoro a z: M 0 z aalogamete, ( A) a ( A) z z ad a z z Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

26 T La matrice delle compoeti della tesioe T è simmetrica: T T T Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

27 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

28 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

29 Trasformazioe delle compoeti di tesioe - 1 Beer Johsto De Wolf, capitolo 7 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

30 Per l equilibrio del tetraedro deve essere T z z z z z z z z z z z z z t t t A A A A A A A A A A t T 0 t t t t ma si può dimostrare che Per cui si ha o i otazioe compatta Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

31 da da da da cos da Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

32 t T t t t z z z z z z z Quidi: Nota i u puto la tesioe su tre piai idipedeti, è possibile determiare la tesioe che agisce su u qualuque altro piao di ormale passate per quel puto. La matrice T è la rappresetazioe i compoeti di u ete matematico detto tesore. Viee detto tesore delle tesioi o stato tesioale el puto. Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

33 Tesioe ormale e tageziale su u piao ( ) ( ) z z z z z z z z z z z z z t T t t Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

34 Fatti importati 1. La tesioe i u puto dipede dal piao su cui agisce Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

35 . Le tesioi tageziali soo reciproche z z z z z z z Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

36 Rotazioe delle tesioi. Caso piao ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos si 1 si cos 1 1,,si cos, z t t m t t e m m Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

37 Facedo il quadrato delle due espressioi e sommado si ha Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

38 Cerchio di Mohr Il grafico delle compoeti,, i u piao (,) è u cerchio, avete il cetro sull asse delle ascisse (), e raggio R. Esso è oto ua volta oto lo stato tesioale (ossia le compoeti di T). Le coordiate di u puto del cerchio soo le compoeti e di u vettore tesioe agete su u piao avete per supporto l asse 3. Problema 1. Note le tesioi sui piai coordiati,, determiare la tesioe su u qualsiasi altro piao di ormale. Cioè determiare a quale puto del cerchio di Mohr corrispode la tesioe t. Problema 1. Dato u puto del cerchio di Mohr, che co le sue coordiate rappreseta ua tesioe su u determiato piao, determiare qual è questo piao. Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

39 t m Riscriviamo le relazioi di trasformazioe delle compoeti ( ) ( ) (, ) ( ) si 1 R cos cos si cos si ( ) 1 ( ), R m d d si cos Il vettore d ha per modulo il raggio del cerchio, e ruotado lo descrive d m Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

40 X d m C Per 0 si ha il puto X relativo alla tesioe sul piao avete per ormale l asse 1 ( el ostro caso). Dato u piao la cui ormale forma u agolo (atiorario) rispetto all asse 1, il raggio ruota el cerchio di Mohr di rispetto a CX i seso orario. X m d m C Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

41 N.B.1 Il sego della compoete tageziale si riferisce al sistema di assi locali (,m). N.B. L agolo è quello formato dalla ormale co l asse di riferimeto 1 (o dal piao). Per lo stato tesioale di figura, determiare le compoeti della tesioe su u elemeto otteuto ruotado di 30 quello assegato. SOLUZIONE: Costruzioe del cerchio di Mohr Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica ave R MPa ( CF ) ( FX ) ( 0) ( 48) 5MPa

42 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

43 Tesioi pricipali Si dicoo tesioi pricipali le tesioi aveti direzioe ormale al piao d azioe, cioè aveti le compoeti tageziali ulle. I piai su cui agiscoo queste tesioi soo detti piai pricipali di tesioe (soo elemeti tesi o compressi). Le direzioi ormali a questi piai, cioè le direzioi delle tesioi pricipali, si dicoo direzioi pricipali di tesioe. t Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

44 Domade: Esistoo le tesioi pricipali? Se sì, quate? E soo uivocamete determiate? La risposta sta ella defiizioe stessa. ( ) compoeti i z z z z z z 0 I T T t dove è la direzioe pricipale cercata. Il sistema è compatibile ella icogita se il determiate della matrice è 0. Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

45 Sviluppado il determiate si ottiee Le tesioi pricipali soo le radici dell equazioe cubica. Poiché T è simmetrico e reale, le radici soo tutte reali. Quidi i geerale si hao 3 direzioi pricipali di tesioe. Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

46 1 1,.., z i z i i i z i i i z z z i z i i Ua volta ote le tesioi pricipali, le rispettive direzioi si ottegoo risolvedo il sistema omogeeo, dove si è sostituito a ua delle tesioi pricipali calcolate. Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

47 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

48 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

49 Tesioi pricipali Caso piao ( ) ± 1 1 1, ta 0 ) ( 0 0 compoeti i I T T t Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

50 Tesioi pricipali Cerchio di Mohr Equazioe del cerchio di Mohr ( ) co m m R R Le tesioi pricipali soo quelle che agiscoo sui piai pricipali dove o c è la tesioe tageziale. o ma,mi 90 di separati defiisce due piai Nota : ta p p m R ± ± p Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

51 Esempio , 5 ± ± MPa MPa Direzioe pricipale 1: Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

52 100 X C Y 10 ta ta rad Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

53 Esempio: disco dei frei. Dispositivo ad attrito µ r r r A P T r Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

54 Lo stato tesioale è piao. La ceramica che costituisce il disco è u materiale co limitata resisteza a trazioe, per il quale cioè deve essere: ma 0 La tesioe massima è la tesioe pricipale. Si ha: ma µ µ µ A P -P/A C ma A P Se µ Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

55 Tesioe tageziale massima La massima tesioe tageziale si ha ave ma ta R s ave Si trova a 45 rispetto alla tesioe o massima Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

56 Cerchi di Mohr i 3D Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

57 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

58 Scieza delle Costruzioi per Igegeria Meccaica

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