Elementi finiti trave inflessa con deformazione a taglio Timoshenko

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1 Elemeti fiiti trave iflessa co Timosheko q odo odo EI, GA s

2 Covezioe sui segi spostameti e deformazioi v (e) =v A (e) = A Q (e) e e v (e) = v B (e) = B Q (e) Elemeto fiito trave iflessa u y( x) d dv, v v( x) dx dx parametri odali: v (e) =v A spostameto traversale odo (e) = A rotazioe odo v (e) = v B spostameto traversale odo (e) = B rotazioe odo S (e) S (e)

3 Coordiate autrali A B x A x B - 0 x x J dx d 3

4 Eergia Poteziale Totale per il sigolo elemeto d d dv d EI Jd GAs Jd d dx d dx qv Jd Q v S Q v S d dv EI d GAs Jd d J Jd qv Jd Q v S Q v S 4

5 Approssimazioe v v ( e) ( e) vj j j j j j ( e) ( e) ' ' EI j j i i j i J d v v ( ) ( ) e e ( e) ( e) s j j' j j i i' i i GA v v Jd J j j J i i v v v ( e) ( e) ( e) j j j j j j j j j q v Jd Q v ( ) Q v () S ( e) ( e) j j( ) S j j() j j 5

6 Equilibrio dell elemeto 0 v ( e) i v ( e) ( e) GAs v j j' j ji' d qi Jd J j j Q ( ) Q () j j 0 ( e) i v ( ) e ( e) ( e) EI j j' i' d GAs vj j' j j i Jd j J J j j S ( ) S () i i 6

7 ovvero v ( e) ( e) GAs ij dv j GAsi jjd j j J j 0 ' ' ' q Jd Q( ) Q() v ( e) ( e) GAs ij dv j EIi j GAs i jj d j j j J i i i 0 ' ' ' S ( ) S () i i 7

8 Fuzioi di approssimazioe v ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) x xa xb xa xb dx J xb xa he d ( ) ( ) 8

9 ( e) v qhe / Q ( e) 0 S ( e) v qh / e Q ( e) 0 S 9

10 Esempio L F Sezioe rettagolare Soluzioe aalitica (esatta) 3 4 FL FL h vl 3 Ebh 5 Gbh Soluzioe aalitica 6 (esatta) otteuta riscalado per h 3 3 b h 3 4 FL FL vl vlh h Eb 5 Gb 6 Nota: la soluzioe riscalata per h che tede a zero tede alla soluzioe di Eulero-Beroulli, i quato il primo termie dello spostameto tede a zero, metre il secodo o dipede da h e rappreseta la soluzioe per il modello EB. 0

11 Programma Maple

12 ota: l eergia elastica è riscalata per h 3

13 3

14 cosa accade per h che tede a zero: h Il primo termie è ua fuzioe del tipo posto h il grafico ha l aspetto illustrato i figura, ovvero per h che tede zero, tede a zero. Il secodo termie chiaramete tede a zero per h che tede a zero. I defiitiva, si ha che al cotrario di quado otteuto dalla soluzioe aalitica, la soluzioe FEM fa tedere a zero lo spostameto quado h tede a zero. coclusioe.lockig 4

15 Perché asce il lockig Si cosidera l eergia poteziale per il sigolo elemeto: d dv EI d GAs Jd d J Jd qv Jd Q v Q v S S ( e) ( e) ( e) ( e) Si riscalao i termii flessioali ed a taglio l eergia co h 3 : EI d GAs dv d s Jd h h d J h Jd ( e) ( e) ( e) ( e) qv Jd 3 Qv Qv S S h 5

16 Facedo riferimeto per semplicità alla sezioe rettagolare di dimesioi b*h si ha: s Eb d Gb dv d Jd d J h Jd ( e) ( e) ( e) ( e) qv Jd 3 Qv Qv S S h Poiché i soluzioe, per ogi valore di h, l eergia poteziale deve risultare fiita, deve accadere i particolare che: Gb dv Jd h Jd fiita per ogi h 6

17 se e deduce allora: Gb dv h 0 0 h Jd I altri termii, quado h tede a zero, deve accadere che teda a zero, e quidi il modello di trave co di Timosheko teda al modello di trave seza di Eulero-Beroulli. Impoedo la codizioe =0 ell ambito della approssimazioe adottata, si ha: dv Jd J ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) v v 0 h e ( e) ( e) ( e) ( e) v v 7

18 dovedo essere vera per ogi, si ha: ( e) ( e) ( e) ( e) v v h e ( e) ( e) 0 0 da cui si deduce: ( e) ( e) h e v v ( e) ( e) La ciematica dell elemeto si riduce ad u moto rigido. 8

19 Poiché l itera struttura si ottiee come assemblaggio di diversi elemeti fiiti, ed ogi elemeto ammette per h che tede a zero solo moti rigidi, se e deduce che la ciematica dell itera struttura cosiste i soli moti rigidi. Poiché soo applicati alla struttura vicoli che elimiao le labilità della stessa, la struttura o ammette alcua ciematica e quidi si ha il feomeo del lockig. 9

20 Come evitare il lockig Per evitare il problema del lockig si arricchisce il campo degli spostameti. I particolare si cosidera la seguete approssimazioe: ( e) ( e) ( e) v v ( ) v ( ) v ( ) 3 3 ( e) ( e) ( ) ( ) x x ( ) x ( ) A B ( ) ( ) 3( ) '( ) '( ) 3'( ) J he 0

21 I questo caso, la codizioe = 0 per h che tede a zero diveta: dv Jd J J ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) 8 ( e) v v v3 0 he he e quidi ( e) ( e) ( e) ( e) ( e) v v v3 0 he 8 0 v ( e) ( e) ( e) ( e) v v ( e) ( e) ( e) 3 he La soluzioe del sistema o riduce la ciematica dell elemeto ad u moto rigido.

22 Programma Maple

23 Si ota che per h che tede a zero lo spostameto v tede ad u valore fiito metre v 3 e o dipedoo da h. 3

24 Dalla stazioarietà dell eergia poteziale totale si determiao le 5 equazioi di equilibrio e di cosegueza la matrice di rigidezza ed il vettore delle forze: ( e) v qh e / Q ( e) 0 S ( e) v qh / e Q ( e) 0 S ( e) 3 qhe / v Q 3 3 4

25 Il sistema di equazioi viee partizioato come segue: dove K K u F K u K s F K K s F K u K s F uu us u uu us u su ss s su ss s K uu K us K su K ss 5

26 Codesazioe statica di s sk F K u ovvero e quidi Ku * * ss s su K u K K F K u F uu us ss s su u K K K K uf K K F F uu us ss su u us ss s K K K K K * uu us ss su * u us ss s F F K K F K * F * 6