SOLUZIONI - GARA DI MATEMATICA ON-LINE (18/11/2013)

Transcript

1 . VOLONTARI [0] SOLUZIONI - GARA DI MATEMATICA ON-LINE (8//0) Stiamo cercado i tre umeri aturali più piccoli e distiti x y z, tali che z xy, y xz e x yz. Ora x, i quato se fosse x, accadrebbe che z y, ma essedo z y ciò o può accadere. Cerchiamo ua soluzioe co x. Osserviamo che da yz si deduce che sia y che z devoo essere dispari. Il primo dispari utile è y. Le codizioe su z diveta z, cioè z 5 che è verificata già per z 5. La tera (,,5) verifica tutte e le codizioi del problema.. LA PRIMA SEGNALAZIONE [99] Ricostruiamo la moltiplicazioe x0 dove le ultime cifre di soo 0. Ora la cifra delle uità dovrà essere per forza u. Così facedo abbiamo u iformazioe sulla cifra delle decie. Procededo i questa maiera è possibile ricostruire iteramete la moltiplicazioe: 9 X 0 = ????? X 0 = () ??? 0. IL PRIMO INCONTRO [] Procediamo co u cambio di variabile per redere la fuzioe simmetrica diveta f y y y y y y y. ( ) ( )( 5)( )( 5) ( )( 5) Procediamo co u ulteriore cambio di variabile: ottiee y ( y f ( ) ( )( ) il cui valore miimo ( ) lo si ottiee per 0. y x ( x y ). La fuzioe limitadosi al caso positivo) da cui si. BRUTTE NOTIZIE [96] Dividiamo i dati per e costruiamo la figura usado i quadretti, sapedo che pari alla diagoale di u quadretto e è si ottie come diagoale di u rettagolo di lati e. Alterado lati di lughezza ed uo di si ottiee la figura riportata a lato. Si osserva che i puti di cotatto dei lati formao co il cetro della figura sempre segmeti lughi 5. L area è facilmete calcolabile scompoedo la figura i parti più semplici. L area cercata è A m 5. NUOVI GIOCATTOLI [60] ZUUL [88] Ricostruiamo u quadrato di biomio guardado ogi volta u termie diverso come doppio prodotto: 0 ( ) ( ) ( ) 6

2 7. SLIMER [800] Guardiamo il problema dall alto. No riusciremo a scorgere il rimbalzo sul soffitto, ma potremmo vedere gli altri. La situazioe sarà simile a quella rappresetata i figura, dove la lughezza del percorso equivale a due diagoali del rettagolo. Aalogamete accadrà per ciascua vista laterale. Riportado alla situazioe tridimesioale, la lughezza del percorso del raggio sarà pari a diagoali del parallelepipedo. d P 8. IL SUCCESSO [97] Prima soluzioe PRIMO COLPO SECONDO COLPO TERZO COLPO Prob STORDITO SI- 5 NO 5 SI 7 NO SI 7 NO Moltiplicado e sommado si ottiee: NO NO NO NO colpi a sego colpi a sego colpi a sego 8 s 6 s 6 s colpo a sego colpi a sego s 6 s colpo a sego s colpo a sego s 0 colpi a sego s0 0 Secoda soluzioe P(o stordire) P(essuo colpisce) P( colpisce) s P( colpiscoo) s P( colpiscoo) s P(stordire) P(o stordire)

3 9. LA CARICA DEI [0] S 8... lo possiamo riscrive i coloa el seguete modo: S raccogliedo sulle righe si ottiee: S (... ) (... ) 8(... )... ( ) ( ) 8( )... Dove ell ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che. S 8... (... ) ( ) ( ) Sostituedo si ottiee umero fiirà certamete co 0 resta da calcolare Sfruttado il fatto che 8 S 0 del quale dobbiamo calcolare le ultime cifre. Si osserva che il 096 mod0 mod0. possiamo scrivere ( ) 96 mod0 Il umero termia co 00.. UN NUOVO GHOSTBUSTER [] Aalizziamo mod() 58 mod() secodo le cogrueze mod( p ) a partire da p alla ricerca di u possibile divosore., cioè è sempre dispari, quidi o sarà mai u divisore., ora i residui quadratici mod() soo 0 e. I essu caso divide 58 ( ) mod(5) 58., ora i residui quadratici mod(5) soo 0, e, quidi i essu caso 5 divide il umero ( ) mod(7), ora i residui quadratici mod(7) soo 0,, e. 7 o va bee. 58 ( ) mod(), ora i residui quadratici mod() soo 0,,,,5 e 9. Nemmeo va bee ( ) mod(), ora i residui quadratici mod() soo 0,,,,9,, e. o va bee. Cotiuado allo stesso modo si può verificare che o troveremo soluzioe emmeo per 7, 9, e 9. La cogrueza modulo, ivece ci darà le segueti iformazioi: 58 ( 8) mod(). Tra i residui quadratici mod() c è 8, quidi u umero esiste. I particolare co 5, UNA VISITA INATTESA [556] 9a 7b c 86 è la scrittura i base 7 del umero cercato: Procededo co la divisioe per 7 si ottegoo le cifre abc dai resti: 86 : 7 7a b co resto c 6 0 : 7 a co resto b 5 a 5 Il umero cercato è 556 D C E X MASTRO DI CHIAVI [00] Dai dati del problema di osserva che se costruiamo il quadrato BCEF sul lato CD il prolugameto del segmeto DM fiisce esattamete el vertice F. Costruiamo ora la semicircofereza di cetro B e raggio AB. Essedo AXF u triagolo rettagolo, X deve apparteere alla circofereza. Ne segue che BX AB. A B M F

4 GUARDIA DI PORTA [8 888=*999] Prima soluzioe: Osserviamo cosa succede el moltiplicare 999 per u qualuque umero di cifra: x a 9-x 9 9 x Al cetro rimagoo comuque due cifre 9. Proviamo co cifre: x b a 9-x 9 9 x 9-y 9 9 y - 9 (9+y) x Nella cifra delle cetiaia rimarrò sempre ua cifra 9. Si deve passare a moltiplicare per u umero di cifre per veder scomparire la cifra 9 dal risulatato. Il primo valore utile è Secoda soluzioe: Cerchiamo il più piccolo itero positivo tale che 999 o cotega la cifra 9. Siccome possiamo procedere aalizzado la sottrazioe: d u Affiché il risultato o cotega la cifra 9 e sia miimo, la sua cifra delle uità deve essere u. Procededo i questa maiera si può calcolare: d u UN GRANDE GUAIO [5] Si osserva che x, cioè che x e x di cui solo la secoda è accettabile. Aalogamete per y che risolve l equazioe xy 5. y x 6 x. L equazioe di secodo grado ha per soluzioi 6 y che preseta come uica soluzioe accettabile y. 5 UN ANTENNA PER GOZER [5] Risolviamo il problema i geerale. Sia AB AC CB AE EF BF l il lato cercato e sia OE OC r il raggio della circofereza. l l l Si osserva che CK, OK r e OH l r. Ora applicado il Teorema di Pitagora al triagolo EOH si ottiee che A C K O B l l r l r l r l r l lr lr l l lr lr l 0 equazioe che può essere semplificata per l l r r l 0 e che può essere riscritta, raccogliedo ( l r)( ) 0 e quidi l r D E H F G

5 6. L INCONTRO FATALE [06] Riscriviamo la prima equazioe i t f (t ) g( t) t e scopriamo per quale valore di t accade che x t x. Risolvedo x t. Sostituiamo questo valore ell equazioe iiziale. x f x g x x x x x 5 g x x f x x x x x 5 5 x f f x x x x x x x5 x f x x. Cerchiamo per quale x si ha x 5 0 x Sostituedo si ha f (0) 06, eseguedo i calcoli ed esplicitado la fuzioe g si ottiee: che possiamo sostituire ell altra equazioe ottedo: eseguedo i calcoli otteiamo, equazioe che porta alla soluzioe 0 x DAL SINDACO [99] Idichiamo co secode due cifre del umero. il umero cercato e siao x e y, rispettivamete, i umeri formati dalle prime due e dalle 0 x y ( x y). x y per cui ella prima uguagliaza possiamo scrivere che Da cui l equazioe 99x che fattorizzata diveta ( ) 99x. 99x x y 99x Ua prima soluzioe la si ottiee poedo 99 ( 980). Tra e devoo comparire i fattori e 9, ioltre, visto che , 0 0. I multipli di 9 soo 6, 5, 5, 6, 7, 8 e 99, metre i multipli di soo,,55, 66, 77,88 e 99. I cosecutivi che compaioo elle due liste soo 5 e 5 55 Le altre due soluzioi possibili soo 5 ( 05 ) e 55 ( 05). La soluzioe richiesta è S IL GRANDE PORTALE [0] Prima soluzioe: Dividiamo per semplicità di calcolo tutti i valori per 0 : AD BC e AB 0 m e rappresetiamo il tutto su u piao cartesiao a tre dimesioi. Calcoliamo le equazioi dei piai ( ax by cz d 0 )che formao le quattro facce del tetraedro: piao ABC : z 0 piao ADB : y 0 piao ADC : xy 0 piao BCD : xz z D(0,0,) A(0,0,0) y B(,0,0) C(,,0) x

6 Ora cerchiamo u puto P( x, y, z ) equidistate da tutte e quattro le facce ( x, y, z 0 ). d( P, ABC) z d( P, ADB) y d( P, ADC) d( P, BCD) x y 5 xz 5 Il puto cercato verifica il seguete sistema di equazioi: z y x y z 5 x y z 5 z y 5y x y 5y x y Aalizziamo la secoda parte del sistema. Il caso egativo del primo valore assoluto deve essere scartato i quato 5y x y porta all equazioe y x che risulta impossibile essedo etrambe le icogite positive. Risolviamo i due casi dati dal secodo valore assoluto: 5y x y 5y x y x y y x 9 P ; ; 5y x y 5y x y x y y x P ; ; Solo P è ua soluzioe del problema i quato P è estero al tetraedro. Il diametro cercato è r 0 0 metri. Secoda soluzioe: Dividiamo tutti i valori per 0. Realizziamo le proiezioi ortogoali del solido (figura a lato). Sul Piao Verticale (PV) e sul Piao Orizzotale (PO) possiamo osservare il medesimo triagolo rettagolo di dimesioi AB, CB e di cosegueza AC 5. Ora la posizioe della sfera dovrà essere ecessariamete quella disegata, e dalla simmetria delle due rappresetazioi sul PV e sul PO segue che BM MA. Tracciamo i raggi OM ON x e prolughiamo OM fio ad icotrare i L l ipoteusa AC. Per Talete ML BC. Ora il triagolio LNO risulta essere simile, 5 5 per costruzioe, al triagolo ABC. Ne segue che LO ON x. 5 9 LM LO OM x x x. A questo puto possiamo impostare e risolvere l equazioe 9 x Il diametro cercato è x r 0 0 metri. B=C C B O M L N D A PV PO A=D

7 Terza soluzioe: I geerale, data ua qualuque piramide a base triagolare, il cetro della sfera iscritta uito co i vertici, divide il volume di parteza i piramidi di altezza il raggio r della sfera. Dette S, S, S e S le aree dei triagoli i cui è divisa la superficie estera della piramide e V, V, V e V i volumetti i cui è rimasta divisa, accade che: V V V V V ( ) Sr Sr Sr Sr r S S S S. Ricavado il raggio si V ottiee r S Tot Calcoliamo Il volume e la superficie totale el caso del ostro problema (dividedo le misure per 0): V 6 m STot m 6 r. Il diametro cercato è r 0 0 metri 7 ; da cui 9 GOZER [68] La legge oraria del primo ciclista è s at. Poiché si icotrao i A dopo aver effettuato u giro si avrà: vt, da cui segue che si scopre che a. v t v e s at vt, metre quella del secodo ciclista è dove sostituedo il tempo appea trovato Il primo icotro avviee i B, quado la somma delle ditaze percose dai due ciclisti è pari ad u giro di pista, quidi dove sostituedo quato appea scoperto otteiamo ( vt) vt at vt uica soluzioe accettabile 0 INCROCIARE I FLUSSI [0] Le radici complesse dell equazioe Ora dato u qualsiasi poliomio p() a a a a a... ; 0 p( ) a a a a a... 0 p( i) a a i a a i a... 0 p( i) a a i a a i a s 0,68 x soo, x e x, ( ) 0... i. p x a a x a x accade che: Se il poliomio ha grado, somma dei suoi coefficieti 0 8 S p() p( ) p( i) p( i) Calcoliamo i valori elle radici del ostro poliomio:, cioè S a a a... a è pari a s s che ha come 0, otteuta delle relazioi precedeti sommadole membro a membro. 0 p() p( ) i i i i i i pi () ( i) ( i) i i i i p( i) S 0