Stage Senior Pisa 2006 Test Iniziale

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1 Stage Seior Pisa 006 Test Iiziale Tempo cocesso: 10 miuti Valutazioe: risposta errata 0, macate, esatta 5 1. Sia ABC u triagolo scaleo, e siao K, L, M, rispettivamete, i piedi dell altezza, della bisettrice e della mediaa usceti dal vertice A. Alberto afferma: L sta tra K ed M. Barbara afferma: K sta tra L ed M. Cristia afferma: M sta tra K ed L. Determiare chi ha ragioe. (A) Alberto (B) Barbara (C) Cristia (D) Dipede dal triagolo. Determiare quati soo gli iteri positivi tali che 6 6 divide ed divide (A) 36 (B) 4 (C) 49 (D) Sia M = max{abc : a + b + 3c = 1, a 0, b 0, c 0}. Allora (A) M 1 1 (B) < M 1 1 (C) < M Sia k il umero di coppie (a, b) di iteri (relativi) tali che ( ) ( ) = 100. a b (D) M > Allora (A) k 5 (B) 6 k 11 (C) 1 k 17 (D) k Sia θ l agolo compreso tra facce di u tetraedro regolare. Determiare ta θ. (A) 3 (B) (C) (D) 3 6. Determiare la più piccola costate k tale che per ogi tera di umeri reali a, b, c. a + 3b 8c k a + b + c (A) 1 (B) 3 (C) 4 3 (D) I u triagolo ABC si ha che AB = 35, BC = 36, CA = 38. Sia D il puto i cui il lato AB è tagete alla circofereza iscritta. Sia E il puto i cui la circofereza ex-iscritta tagete ai prolugameti dei lati BC e AC è tagete al lato AB. Determiare DE. (A) 1 (B) (C) 3 (D) 4 8. Sia p(x) u poliomio a coefficieti iteri tale che p(13) = 31 e p(15) = 51. Determiare quale dei segueti valori o può essere p(17). (A) 7 (B) 771 (C) 71 (D) 711 Stage Seior Pisa 006 Pag. 1 di 6

2 9. Sia 4 u itero. U grafo ha vertici, da ciascuo dei quali partoo 3 lati. Tutto ciò è possibile... (A) sempre (B) se e solo se è pari (C) se e solo se è multiplo di 4 (D) se e solo se 1 (mod 3) 10. Sia A = {1,,..., }. Determiare quate soo le fuzioi f : A A tali che f(a) = 1. ( ) ( ) ( ) (A) ( 1)! (B)! (C) ( 1)! (D)! 11. Dato u primo p > 3, idichiamo co R (p) l isieme dei residui quadratici modulo p, e co R 4 (p) l isieme dei residui delle quarte poteze modulo p. Allora (A) per qualche p esistoo elemeti i R 4 (p) che o stao i R (p). (B) di sicuro R 4 (p) R (p) e o si ha mai uguagliaza. (C) di sicuro R 4 (p) R (p) e si ha uguagliaza per u umero fiito (o ullo) di primi. (D) di sicuro R 4 (p) R (p) e si ha uguagliaza per ifiiti primi. 1. Sia f : R R. Alberto afferma: Se f(x) è surgettiva, allora f(x 3 ) è surgettiva. Barbara afferma: Se f(x) è surgettiva, allora f(x ) è surgettiva. Cristia afferma: Se f(x 3 ) è surgettiva, allora f(x) è surgettiva. Dario afferma: Se f(x ) è surgettiva, allora f(x) è surgettiva. Determiare chi ha ragioe. (A) Tutti (B) Tutti trae Barbara (C) Solo Alberto e Cristia (D) Solo Barbara e Dario 13. Si defiisce ordie di ua permutazioe il più piccolo itero positivo co la proprietà che la permutazioe, composta co se stessa volte, dà la permutazioe idetica. Determiare il massimo ordie possibile per ua permutazioe su 10 elemeti. (A) 10 (B) 1 (C) 30 (D) Simoe frettolosamete afferma che La differeza tra l iverso di 3 modulo p e l iverso di 1 modulo p è sempre uguale all iverso di 4 modulo p. Sottitededo che p è u primo, questo euciato è vero (A) se e solo se 3 < p < 1. (B) per ogi p > 3. (C) se e solo se 3 < p < 1 oppure p 1 (mod 1). (D) se e solo se p > 3 e p 1 (mod 1). 15. Due rette distite si itersecao i u puto O. Sia Γ ua circofereza tagete ad etrambe le rette, e sia A uo dei puti di tageza. Applichiamo l iversioe co cetro i O e raggio OA, e sia Γ l immagie di Γ. Allora... (A) Γ e Γ hao (esattamete) puti i comue. (B) Γ = Γ perché tutti i puti di Γ restao fissi. (C) Γ = Γ, o tutti i puti di Γ restao fissi, il cetro di Γ resta fisso. (D) Γ = Γ, o tutti i puti di Γ restao fissi, il cetro di Γ o resta fisso. 16. Sia p il più piccolo primo dispari co questa proprietà: esiste u itero a tale che a è multiplo di p. Allora (A) p < 50 (B) 50 < p < 150 (C) 150 < p < 50 (D) p > 50 Stage Seior Pisa 006 Pag. di 6

3 Stage Seior Pisa 006 Test Fiale Problemi a risposta secca 1. U itero dà resto 1 quado viee diviso per 35, e resto 13 quado viee diviso per 4. Determiare il resto che si ottiee dividedo per 15.. U triagolo ha i vertici ei puti (6, 0), (4, 4), (1, 5) del piao cartesiao. Determiare le coordiate del suo ortocetro. 3. Sia p(x) u poliomio a coefficieti iteri tale che p(0) = 0, p(1) = 1, p() = e p(3) > 3. Determiare il miimo valore possibile per p(3). 4. Determiare quati soo gli aagrammi della parola STAGISTI i cui o ci soo vocali tra la prima e l ultima cosoate (ed i cui pertato le cosoati appaioo tutte cosecutivamete). 5. Determiare quale resto si ottiee dividedo per Sia ABC u triagolo acutagolo, sia AH ua sua altezza ed O il suo circocetro. Sapedo che BÂH = 47 e BÂC = 57, determiare l ampiezza dell agolo HÂO. 7. Sia A = {1,, 3, 4, 5, 6}. Determiare quate soo le fuzioi f : A A tali che f(x) x per ogi x A; f(f(f(x))) = x per ogi x A. 8. Determiare la più piccola costate M tale che x y + y z + z x M x 4 + y 4 + z 4 per ogi tera di umeri reali x, y e z tali che x + y + z = Determiare tutte le fuzioi f : R R tali che per ogi coppia di umeri reali x e y. Problemi dimostrativi f(x f(y)) = y f(x) 10. Determiare tutti i rettagoli m che si possoo tassellare avedo a disposizioe pezzi e Due circofereze Γ 1 e Γ si itersecao i due puti distiti A e B. La retta passate per A e parallela alla cogiugete i cetri iterseca uovamete Γ 1 e Γ i C e D, rispettivamete. La circofereza di diametro CD iterseca uovamete Γ 1 e Γ i P e Q, rispettivamete. (a) Dimostrare che P, B, D soo allieati. (b) Dimostrare che le rette CP, AB, DQ soo cocorreti. 1. (a) Determiare se esistoo tere (x, y, z) di umeri iteri tali che z = (x 1)(y + 1) (b) Determiare se esistoo tere (x, y, z) di umeri iteri tali che z = (x 1)(y + 1) Stage Seior Pisa 006 Pag. 3 di 6

4 Test Iiziale Risposte A C A C C D B B B D D B C B D D Test Iiziale Aiutii 1. Supposto wlog AB < AC abbiamo che BK < BL (basta guardare gli agoli i A) e BL < BM (per le formule che dao queste lughezze).. Deve essere = a 3 b 37 c, co a = 6, 6 b 1, 0 c Applicado GM AM si ricava che 3 6abc 1/3, da cui M = 1/ Svolgedo i calcoli si trova 99a + b + 1 = ab da cui Attezioe: o può essere a = 0. b = 99a + 1 a 1 = a Pesiamo il tetraedro co base ABC e vertice V. Sia M il puto medio di BC. Allora el triagolo AMV coosciamo tutti i lati, ed ioltre V MA = θ. 6. Cauchy-Schwarz. Risulta k = Si ha uguagliaza se e solo se (a, b, c) = λ(1, 3, 8), co λ Grazie a ote formule (che si dimostrao dado dei omi ai vari segmeti di tageza e scrivedo dei sistemi di equazioi per ricavarli) si ha che AD = BE = (b + c a)/. 8. Itato deve essere p(x) = 31 + (x 13)q(x). Sostituedo x = 15 si trova che q(15) = 10, da cui q(x) = 10 + (x 15)r(x) e p(x) = (x 13) + (x 13)(x 15)r(x). Sostituedo x = 17 si ricava che i valori ammissibili di p(17) soo tutti e soli quelli cogrui a 7 modulo I u grafo è impossibile avere u umero dispari di vertici da ciascuo dei quali parte u umero dispari di lati (double coutig: la somma del umero dei lati che partoo da ciascu vertice è uguale al doppio del umero totale dei lati). Se è pari basta mettere puti lugo ua circofereza e cogiugere ciascu puto co i vicii e l opposto. 10. Ci soo modi di scegliere il puto dell isieme di arrivo che o sta ell immagie, poi ci soo ( ) modi di scegliere i puti dell isieme di parteza co la stessa immagie (che d ora i poi si possoo cosiderare u elemeto solo). Ifie bisoga scegliere ua fuzioe surgettiva tra isiemi di 1 elemeti. 11. È chiaro che le poteze quarte soo i particolare dei quadrati, da cui R 4 (p) R (p). I isiemi coicidoo se e solo se p 3 (mod 4). Detto ifatti g u geeratore della struttura moltiplicativa modulo p, gli elemeti di R (p) soo le poteze di g co espoete cogruo ad u pari modulo p 1, gli elemeti di R 4 (p) soo le poteze di g co espoete cogruo ad u multiplo di 4 modulo p 1. No è difficile vedere che tali isiemi di espoeti coicidoo se e solo se p 1 (mod 4). 1. La composizioe di fuzioi surgettive è surgettiva. Se ua composizioe è surgettiva, allora la fuzioe più estera (l ultima che si applica) è surgettiva. Per l implicazioe falsa basta trovare u cotroesempio. 13. Scritta la permutazioe come prodotto di cicli, l ordie è il miimo comue multiplo delle lughezze dei cicli. No è difficile covicersi che l ordie risulta massimo quado la permutazioe è prodotto di 3 cicli di lughezza, 3, 5. Stage Seior Pisa 006 Pag. 4 di 6

5 14. Moltiplicado tutto per 1 (che è u elemeto ivertibile se p > 3) ci si riduce a (mod p). 15. L immagie di Γ è ua circofereza passate per A e tagete alle rette, duque è Γ stessa. Gli uici puti che restao fissi soo quelli la cui distaza da O è uguale ad OA: i particolare gli uici puti di γ che restao fissi soo i puti di tageza. Il cetro di Γ dista da O più di OA, duque o resta fisso, ma viee madato i u altro puto itero a Γ. 16. Deve essere ord p (a) = 18 (perché o può essere più piccolo?). Di cosegueza 18 (p 1). Il più piccolo primo co questa proprietà è 57. Usado il geeratore, si può verificare che effettivamete per p = 57 esiste u a come richiesto (cosa che comuque o serve per rispodere alla domada). Test Fiale Risposte (9, 9) L equazioe fuzioale o ha soluzioi. 10. Posti i vicoli ovvi m ed, i rettagoli tassellabili soo tutti e soli quelli che rietrao i ua di queste 3 categorie: (a) Sì lati di lughezza pari; lati di lughezza dispari ma multipla di 3; u lato di lughezza dispari e l altro di lughezza multipla di 6. (b) No Test Fiale Aiutii 1. Dalla prima iformazioe si deduce che (mod 5), dalla secoda che 1 (mod 3).. I 3 puti stao sulla circofereza co cetro i (1, 0) e raggio 5. Spostado quidi i (1, 0) l origie delle coordiate si ha che i tale sistema di riferimeto l ortocetro è la somma dei vettori che idividuao i 3 vertici. No resta quidi che torare el riferimeto iiziale. Stage Seior Pisa 006 Pag. 5 di 6

6 3. Deve essere p(x) = x + x(x 1)(x )q(x). 4. Il gruppo di cosoati può iiziare i prima, secoda, terza o quarta posizioe. Ua volta scelta la posizioe delle cosoati ci soo 3 modi di aagrammare le vocali e 5! modi di aagrammare le cosoati. 5. Posto = si ha che 0 (mod ), 1 (mod 5) ed ( 1) (mod 9), da cui facilmete la tesi (voledo si può usare il teorema ciese). 6. I ogi triagolo si ha che BÂH = OÂC = 90 β (da cui segue che l ortoceto è il coiugato isogoale del circocetro) e pertato l agolo richiesto è Vi soo almeo approcci. Si tratta di ua permutazioe (perché?) composta da cicli di lughezza 3. Gli elemeti che costituiscoo i cicli si possoo scegliere i 1 (6 3) modi (scelti gli elemeti del primo ciclo, gli altri soo determiati, e bisoga dividere per perché... ). Ioltre ogi ciclo può essere percorso i modi diversi. U elemeto x può essere madato i 5 possibili y; y può essere madato i 4 possibili z; z deve essere madato i x. E poi uo dei restati r può essere madato i possibili s; s deve essere madato el restate t e t deve essere madato i r. 8. Per Cauchy-Schwarz x y + y z + z x x 4 + y 4 + z 4 x + y + z. 9. Poiamo f(0) = a. Sostituedo x = 0 otteiamo che f( f(y)) = y a, da cui segue che f è iiettiva e surgettiva. A questo puto vi soo almeo modi di procedere. Sostituedo x = 0 otteiamo che f(x a) = f(x). Se a = 0, questa ci dice che f deve essere ideticamete ulla; se a 0 reiterado si ottiee che f(x a) = f(x) che o può essere perché... Detto b il umero reale tale che f(b) = 0 (esiste? è uico?) e posto y = b si ottiee che f è costate, ma allora Suppoiamo che ci sia u lato dispari e l altro o multiplo di 3. Colorado a striscie parallele al lato o multiplo di 3 ci avaza u umero... di caselle di u colore. Tuttavia i ogi mattoella la differeza tra i quadratii dello stesso colore è multipla di 3... Per le restati cofigurazioi occorre e basta esibire u esempio di tassellazioe. 11. (a) I puti B e D stao etrambi sulla perpedicolare a CP passate per P. (b) Vi soo almeo approcci le rette date soo 3 assi radicali; le rette date soo le altezze di CBD. 1. (a) Porre z = xy oppure y = 0 e poi usare che ogi dispari è differeza di quadrati. (b) Ragioare modulo 8. Stage Seior Pisa 006 Pag. 6 di 6