1. DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE

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1 . DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE (SOLUZIONI) POTENZE E RADICI Siao m, N, a b 0, allora valgoo: a m b m, b m a m, e si ha l uguagliaza se e solo se a = b oppure m = 0. Esercizio. Dimostra che per ogi coppia di umeri reali a, b R si ha: a + b ( a + b ). () soluz. Poiché le quatità i gioco soo tutte o egative, dimostrare la (??) equivale a dimostrare che (a + b) (a + b ), che è vero i quato (a b) 0 per ogi a, b R. Per ogi umero reale a idichiamo co {a} + la sua parte positiva: {a} + = max{a, 0}. La parte itera di due o più umeri si defiisce i modo aalogo: {a, b} + = max{a, b, 0}. {a} + o x Esercizio. È vero che: (i) max{a, b} + max{c, d} max{a, b, c, d} per ogi a, b, c, d R? (ii) {a, b} + + {c, d} + {a, b, c, d} + per ogi a, b, c, d R? soluz. La (i) o è vera, basta predere a = b = e c = d =. Si ha allora max{a, b} + max{c, d} = + = 0 = max{a, b, c, d}. La (ii) è ivece vera. Siao ifatti m a,b, m c,d, m a,b,c,d le parti positive di {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} rispettivamete. Allora si ha m a,b,c,d = m a,b o m a,b,c,d = m c,d e ioltre m a,b, m c,d, m a,b,c,d soo tutte quatità o egative per defiizioe. Segue allora baalmete la (ii). Dato u umero reale a defiiamo il suo valore assoluto a i più modi equivaleti: { a se a 0, a = () a se a 0 = () max{a, a} = (3) {a, a} + = (4) distaza(a, 0) = (5) a. x x

2 Dimostra che per ogi a R si ha: a a a. Quado vale l uguale? soluz. Se a 0 allora a = a e ioltre a a i quato a 0. Aalogamete se a 0 si ha a = a e a a poiché a 0. Esercizio 3. Risolviamo: (i) x, x R; (ii) x + y, x, y R. soluz. (i) x. (ii) Il quadrato delimitato dalle rette y = x, y = x, y = x, y = + x. Sia c R +. x c se e solo se c x c. Sia c R +. x c se e solo se x c oppure x c. DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE Per ogi coppia di umeri reali a, b si ha: Quado vale l uguale? a + b a + b. () soluz. Dalla defiizioe segue che a = a, b = b, a + b = (a + b), quidi dimostrare la (??) equivale a dimostrare che a + b (a + b). Elevado etrambi i membri al quadrato (N.B.: ciò è lecito poiché le quatità i gioco soo tutte o egative!) si ottiee la disuguagliaza equivalete a + a b + b a + ab + b, (3) che è valida i quato abbiamo dimostrato che per ogi umero reale x vale x x e quidi a b ab. Cosideriamo il caso dell uguagliaza. Vale l uguale i (??) se e solo se vale l uguale i (??) cioè se e solo se ab = ab che vale se e solo se ab 0 cioè quado a e b hao lo stesso sego. Esercizio 4. Dimostra che: a, b R si ha: (i) a + b a b ; (ii) a b a b ; (iii) a + b a b. soluz. (i) Basta sostituire ella disuguagliaza triagolare al posto di b, b e ricordare che b = b. (ii) Sfruttiamo la disuguagliaza triagolare sostituedo a b al posto di a. Si ha: sostituiamo adesso b a al posto di b. Si ottiee: a b + b a. (4) a + a b b. (5) Combiado le (??), (??) segue a b a b e ioltre a b ( a b ) cioè la (ii).

3 (iii) È sufficiete sostituire ella (ii) b al posto di b. I casi dell uguagliaza seguoo dalla caratterizzazioe dell uguagliaza per la disuguagliaza triagolare. La disuguagliaza triagolare vale i ua versioe più geerale, e quidi ache le proprietà che da essa seguoo. Si può dimostrare ifatti: DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE: Siao u, v due vettori. Idichiamo co la loro orma (cioè la loro lughezza). Si ha: u + v u + v, e vale l uguale se e solo se i due vettori soo paralleli e hao lo stesso verso. Dati due umeri reali a, b defiiamo la loro media aritmetica: m arit (a, b) = a+b. Dati due umeri reali o egativi a, b defiiamo la loro media geometrica: m geom (a, b) = ab. DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARITMETICA E MEDIA GEOMET- RICA: per ogi a, b R + si ha e vale l uguale se e solo se a = b. a + b ab, (6) soluz. Poichè a, b soo umeri o egativi, si possoo cosiderare c = a e d = b. Quello che dobbiamo dimostrare è quidi: (a) Dimostrazioe aalitica. c + d cd. c + d cd se e solo se c cd + d 0, che è vero i quato (c d) 0. I particolare vale l uguale se e solo se vale (c d) = 0 cioè se e solo se c = d. (b) Due dimostrazioi geometriche. () I u riferimeto cartesiao xyo, cosideriamo la bisettrice del primo e terzo quadrate y = x. Siao S = (c, c) e T = (d, d) e chiamiamo P, Q, R i puti (c, 0), (0, d), (c, d) rispettivamete. S Q T R O Osserviamo che il rettagolo OP RQ è iteramete ricoperto dai due triagoli OTQ e OPS quidi se co A idichiamo l area, si ha A OPRQ A OTQ + A OPS. D altra parte A OPRQ = cd e A OTQ = d, A OPS = c, quidi segue P cioè la (??). cd c + d, 3

4 () Cosideriamo u triagolo rettagolo le cui proiezioi dei cateti sull ipoteusa misurao rispettivamete a e b. Iscriviamo tale triagolo i ua semicircofereza di diametro a + b. Sia h l altezza relativa all ipoteusa. Per costruzioe si ha h r dove r è il raggio della circofereza. Per il secodo Teorema di Euclide si ha che h = ab, e quidi h = ab, metre r = a+b, da cui segue la disuguagliaza (??). I particolare vale il sego di uguagliaza se e solo se l altezza h del triagolo coicide co il raggio r della semicircofereza e cioè quado il triagolo rettagolo cosiderato è isoscele e quidi le proiezioi dei cateti sull ipoteusa soo uguali. (c) U altra iterpretazioe geometrica. Si fissi i u sistema di assi cartesiai xoy la retta r : x+y = m. Si cosideri poi la famiglia di iperboli xy = c, dove c è u parametro reale positivo. Per opportui valori di c l iperbole corrispodete iterseca la retta r. I particolare esiste u valore massimo per c per il quale l iperbole corrispodete ha u puto i comue co la retta. Tale valore corrispode all iperbole tagete a r el puto (m, m) e vale m. Si ha duque ( x + y ), xy = c m = cioè la disuguagliaza tra media aritmetica e media geometrica. Dati due umeri reali positivi a, b defiiamo la loro media armoica m arm (a, b), quel umero c tale che c = a + b o, equivaletemete, m arm(a, b) = ab a+b. DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARITMETICA, MEDIA GEOMET- RICA E MEDIA ARMONICA: per ogi a, b R + si ha: e vale l uguale se e solo se a = b. a + b ab ab a + b Esercizio 5. Mario e Nicola viaggiao da Acoa a Bari (suppoiamo siao 000 km). - Mario matiee la velocità costate di 0 km/h durate la prima metà del percorso e poi prosegue co velocità 0 km/h. - Nicola, ivece, matiee la velocità di 0 km/h per metà del tempo e prosegue co velocità di 0 km/h per la restate metà del tempo. () Chi arriva primo? () Come posso modificare le due velocità i modo che il risultato della gara vega ribaltato? soluz. Risolviamo il problema cosiderado due velocità geeriche v e v e cofrotado le velocità medie di M e N che idicheremo co v M e v N. M arriva prima di N se e solo se v M v N. Sia t M il tempo totale che M impiega per adare da A a B. Se idichiamo co t M e co t M il tempo i cui M procede co velocità v e v, rispettivamete, si ha t M = t M +t M co t Mi = s. v i 4

5 Segue che t M = s ( v + v ), e quidi v M = v v v + v, cioè la velocità media di M, v M, è la media armoica delle velocità v, v. I modo aalogo sia t N il tempo totale che N impiega per adare da A a B e siao s N, s N le porzioi di spazio che N percorre a velocità v e v rispettivamete. Si ha s Ni = t N v i, e quidi cosiderado lo spazio totale s vale da cui segue s = s N + s N = t N (v + v ), v N = v + v, cioè la velocità media di N, v N, è la media aritmetica delle velocità v, v. Cofrotado le due velocità medie v N e v M è allora evidete che comuque si scelgao i valori per le velocità v e v, sarà sempre N a vicere la gara, i quato la media aritmetica di due umeri è sempre maggiore o uguale della loro media armoica (e quidi v N v M comuque si scelgao v, v ). Esercizio 6. Sia ABCD u trapezio qualuque le cui basi maggiore e miore misurao rispettivamete a e b. () Tracciare il segmeto GH parallelo alle basi e da esse equidistate. Quato misura GH? () Tracciare il segmeto KL parallelo alle basi e tale che divide il trapezio ABCD i due trapezi simili. Quato misura KL? (3) Tracciare il segmeto EF parallelo alle basi e passate per O il puto di icotro delle diagoali del trapezio ABCD. Quato misura EF? Fare ua figura del trapezio ABCD co i tre segmeti GH, KL, EF. soluz. () Il segmeto GH è diviso da ciascua diagoale AD e BC i due parti che misurao l ua a, l altra b, quidi si ha: () Per la similitudie dei trapezi si ha e quidi KL = ab, cioè KL = ab. GH = a + b. AB KL = KL CD, (3) Osserviamo che O divide i due segmeti uguali EF, cioè EO = OF. Si ha ifatti A ACD = A BCD, ma d altra parte e allo stesso tempo A ACD = A AEO + A EOC + A CDO, A BCD = A BOF + A FOD + A CDO, segue quidi A AEO + A EOC = A BOF + A FOD. 5

6 Siao h, H le altezze dei triagoli AEO e EOC rispettivamete. Soo quidi ache le altezze dei triagoli BOF e CDO. I particolare dall uguagliaza delle aree segue EO h + H = FO h + H, e quidi EO = OF. Vogliamo adesso calcolare EO i termii di a e b. Cosiderado il triagolo ACD segue EO CD = AE AC EC = = EC AC AC AC. D altra parte cosiderado il triagolo ABC si ha e quidi che equivale a EC AC = EO AB, EO CD = EO AB, ( EO AB + ) AB CD =, cioè EO = CD AB + CD, e quidi ricordado che EF = EO si ha EF = ab a + b. D C G E K O F L H A B Ma che cosa è ua media? Dati due umeri reali (suppoiamo o egativi) a e b, ua loro media è u umero c tale che mi{a, b} c max{a, b}. Ioltre la media tra a e b deve essere uguale alla media tra b ed a (la media è cioè simmetrica rispetto ad a e b). ESEMPI: Dei semplici esempi possoo essere: mi{a, b}, max{a, b}, o, più i geerale, possiamo cosiderare la p-media a + b ( a p + b p ) p m p (a, b) =, p R. Osserviamo che la -media altro o è che la media aritmetica, la ( )-media è ivece la media armoica. Si può ioltre dimostrare che ache le altre medie cosiderate soo esempi di p-medie per particolari valori di p. Facedo ifatti il limite di m p per p che tede a, +, 0 si ottegoo rispettivamete la media del miimo, quella del massimo e la media geometrica (attezioe: calcolare questi limiti o è ua cosa baale!!). 6

7 La disuguagliaza che lega la media aritmetica, geometrica e armoica può essere geeralizzata affermado che la p-media è mootoa rispetto al parametro p. Ma cosa vuol dire mootoa? Sigifica che, fissati a, b 0 la loro p-media cresce al crescere del valore p, cioè: per ogi coppia di umeri reali p, q tali che p q si ha ( a p + b p ) p m p = ( a q + b q ) q = m q. Quado prediamo i cosiderazioe ua o più medie, è perché ci iteressa sapere l adameto di u certo isieme di valori; ad esempio sapere il voto che avrò i pagella, aalizzare le temperature registrate i certo lasso di tempo. Cosiderare la media di soli due umeri può essere perciò riduttivo. Vediamo quidi come si geeralizzao il cocetto di media aritmetica e geometrica a più umeri. Dati tre umeri reali a, b, c defiiamo la loro media aritmetica: m aritm (a, b, c) = a+b+c 3. Dati tre umeri reali o egativi a, b, c defiiamo la loro media geometrica: m geom (a, b, c) = 3 abc. DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARITMETICA E GEOMETRICA DI TRE NUMERI: per ogi a, b, c R + si ha e vale l uguale se e solo se a = b = c. a + b + c 3 3 abc, (7) soluz. Siao x = 3 a, y = 3 b, z = 3 c. Vale allora la (??) se e solo se Osserviamo che x 3 + y 3 + z 3 3xyz, che equivale a x 3 + y 3 + z 3 3xyz 0. x 3 + y 3 + z 3 3xyz = (x + y + z)(x + y + z xy xz yz), e quidi, poiché x + y + z 0, è sufficiete provare che D altra parte si ha che x + y + z xy xz yz 0. (8) x + y xy 0 x + z xz 0 y + z yz 0, da cui, sommado le tre disuguagliaze, si ottiee che dimostra la (??) x + y + z xy xz zy 0, Ioltre vale l uguale se e solo tutte le disuguagliaze soo i realtà delle uguagliaze, e questo accade se e solo se x = y = z. DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARTIMETICA E MEDIA GEOMET- RICA DI PIÙ NUMERI: per ogi a,..., a R + si ha a a a... a, (9) e vale l uguale se e solo se a =... = a. Esercizio 7. Adrea gioca a dadi seguedo queste regole: se esce pari prede x puti, se esce dispari e prede y. Dopo laci ha otteuto m volte pari e m volte dispari. 7

8 Quali soo le medie aritmetica e geometrica dei risultati? Chiamiamo r = m. Come di riscrive la disuguagliaza tra media aritmetica e media geometrica i termii di r? E se chiamiamo p = r e q = r = p p? soluz. Idichiamo co a i quati puti A prede al lacio i. A meo di scambiare l ordie dei risultati si ha allora a =... = a m = x e a m+ =... = a = y, quidi le medie aritmetica e geometrica dei risultati soo: La disuguagliaza (??) diveta allora e quidi, se chiamiamo r = m, si ottiee a a mx + ( m)y = e a... a = x m y m = x m y m. m x + ( m ) m y x y m, rx + ( r)y x r y r, dove vale l uguale se e solo se x = y, comuque si scelga u umero razioale r, 0 r. Siao adesso p, q tali che p = r e q = r = p p. Quidi p, q soo geerici umeri razioali positivi per cui vale p + q =. La disuguagliaza tra media aritmetica e media geometrica si scrive allora come: x p + y q x p y q, dove vale l uguale se e solo se x = y. I realtà questa disuguagliaza cotiua a valere se cosideriamo p, q umeri reali positivi tali che p + q =. Più i geerale possiamo allora scegliere x e y della forma a p, b q, rispettivamete, co a, b due umeri reali positivi geerici. Si ottiee a p p + bq q ab, dove p, q R tali che p + q =, e si ha l uguagliaza se e solo se a = b. Dati a,..., a umeri reali e r,..., r umeri reali o egativi tali che r +r +...+r =, si dice media aritmetica pesata di a,..., a il umero Gli r i soo detti pesi. r a r a. Dati a,..., a umeri reali o egativi e r,..., r umeri reali o egativi tali che r + r r =, si dice media geometrica pesata di a,..., a il umero a r... ar. Esercizio 8. Calcolare la media aritmetica e geometrica pesate di, 3, 5, 7,, 3 co pesi 6, 3, 4, 0, 5, 0 rispettivamete. DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA ARITMETICA E GEOMETRICA PE- SATE: per ogi a,..., a R +, r,..., r R + tali che r r =, si ha r a r a a r... ar. Siao a,..., a R +, r,..., r R + tali che r r = e r =... = r. Che sigificato hao le medie aritmetica e geometrica pesate secodo i pesi r i? 8

9 soluz. Siao r,..., r i pesi. Poiché r r = e r =... = r, segue ecessariamete r =... = r =, da cui r a r a = a a e... ar = a... a, a r cioè la media aritmetica è la media soo rispettivamete la media aritmetica pesata e la media geometrica pesata i cui tutti i pesi soo uguali. 9