SUCCESSIONI NUMERICHE

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1 SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste il ite allora esiste ache il ite e i valori dei due iti coicidoo. a + a, b + b a, b Dimostrazioe. Se idichiamo co l il valore del ite di (a + a )/(b + b ), dalla defiizioe di ite otteiamo che per ogi ε > 0, esiste u idice ε tale che per ogi ε risulti l ε < a + a b + b < l + ε. Sfruttado il fatto che b + > b, possiamo moltiplicare la disuguagliaza precedete per il fattore (b + b ), otteedo quidi (l ε)(b + b ) < a + a < (l + ε)(b + b ), per ogi ε. Se adesso sommiamo questi termii, per che va da ε ad u certo idice k > ε, otteiamo (l ε) k = ε (b + b ) < k = ε (a + a ) < (l + ε) k = ε (b + b ), ovvero, osservado che le somme che abbiamo fatto comparire soo telescopiche, questa può essere riscritta ache come () (l ε)(b k b ε ) < a k a ε < (l + ε)(b k b ε ), che è valida per ogi k > ε. A questo puto dividiamo la () per b k, otteedo quidi ( (l ε) b ) ε < a k a ( ε < (l + ε) b ) ε, b k b k b k b k ovvero acora ( (2) (l ε) b ) ε + a ε < a ( k < (l + ε) b ) ε + a ε, per ogi k > ε. b k b k b k b k b k Osserviamo che a questo puto siamo molto vicii alla coclusioe della dimostrazioe, dal mometo che siamo riusciti a stimare il termie geerico della successioe che ci iteressa, ovvero a /b, sia

2 2 LORENZO BRASCO dal basso che dall alto, co qualcosa che è molto vicio al valore ite l. Ifatti, osserviamo che i termii b ε b k e a ε, b k che compaioo i (2) divetao sempre più piccoli, al crescere dell idice k, dal mometo che soo dei rapporti tra ua quatità fissa (i umeri b ε e a ε, rispettivamete) e ua successioe di umeri ilitata (qui gioca u ruolo fodametale l ipotesi di o itatezza su {b } N ). Detto rigorosamete, abbiamo che esiste u idice k ε > ε tale che per ogi k k ε si abbia b ε b k < ε e a ε b k < ε, ovvero sfruttado questa iformazioe i (2), otteiamo che per ogi k k ε, si ha (l ε)( ε) < a k b k < (l + ε)( + ε), e dal mometo che possiamo supporre che sia ε <, la precedete implica che l ε(2 + l) < a k < l + ε(2 + l), per ogi k k ε, b k ovvero a k l b k < ε(2 + l), per ogi k k ε, che coclude quidi la dimostrazioe. Euciamo quidi i cosidetti Teoremi di Cesaro, che come vedremo o soo altro che semplici cosegueze del Teorema di Stolz-Cesaro. I Teorema di Cesaro. Data ua successioe {a } N, cosideriamo la successioe {α } N delle sue medie, ovvero la successioe defiita da α = a k, N. Se {a } N coverge al valore l, allora ache {α } N coverge allo stesso ite, ovvero (3) a = l = α = l. Dimostrazioe. Sfruttiamo il Teorema di Stolz-Cesaro, el modo seguete: cosideriamo le successioi {c } N e {b } N defiite tramite c = a k, e b =, per ogi N, allora possiamo ache riscrivere Basta svolgere u po di coti: dove abbiamo usato ε 2 < ε, dal mometo che ε <. α c =. b (l ε)( ε) = l ε εl + ε 2 > l 2ε εl, (l + ε)( + ε) = l + εl + ε + ε 2 < l + lε + 2ε,

3 SUCCESSIONI NUMERICHE 3 D altrode le due successioi {c } N e {b } N soddisfao le ipotesi del Teorema di Stolz-Cesaro, dal mometo che b è strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata ed esiste il ite a k e quidi i coclusioe si ottiee c + c = b + b a k + α c = = l. b = a = l, Osservazioe. Ovviamete o vale il viceversa di (3). Ad esempio, prededo la successioe {a } N defiita da a = ( ), N, si vede facilmete che la successioe delle medie coverge a 0, metre {a } N o ammette ite. II Teorema di Cesaro. Suppoiamo che la successioe {a } N sia tale che Allora vale ache (a + a ) = l. a = l. Dimostrazioe. Ache questa è ua facile cosegueza del Teorema di Stolz-Cesaro, ifatti se come {b } N cosideriamo uovamete la successioe b =, per ogi N, osservado che b + b =, abbiamo che l ipotesi implica a + a = b + b a + a = l, e quidi a = a = l. b di uovo grazie al Teorema di Stolz-Cesaro. III Teorema di Cesaro. Suppoiamo che la successioe {a } N abbia ite l e che si abbia a > 0, per ogi N. Allora a k = l. Dimostrazioe. Si defiisca la successioe {b } N come b = log a, N, ovviamete questa successioe tede a log l, per ipotesi. D altrode la successioe delle sue medie {β } N è data da ( β = b k = log a k = ) log a k = log a k,

4 4 LORENZO BRASCO e per il I Teorema di Cesaro si avrà che β = b = log l, ovvero = log l, che implica la tesi. log IV Teorema di Cesaro. Sia {a } N ua successioe tale che a > 0 per ogi N. Vale la seguete implicazioe: a + (4) = l = a = l. a Dimostrazioe. Si defiisca la successioe {b } N poedo b = a + e b 0 = a 0. a Applicado il III Teorema di Cesaro sappiamo che e d altrode si vede subito che Possiamo quidi cocludere, osservado che a k b k = b = l, b k = a k = a a k. a0 k= a = a. a0 Il seguete è u Teorercizio 2, ovvero u Esercizio che è ache u Teorema, vista l importaza del risultato che ivi si dimostra. Teorercizio (Criterio della radice esima). Sia {a } N R ua successioe di umeri reali, tali che: (i) a 0, per ogi N; (ii) a <. Dimostrare che allora Soluzioe. Sia l = a = 0. a, poichè per ipotesi l <, si avrà che 0 < l 2. Dalla defiizioe di ite, prededo ε = l 2, sappiamo che esiste 0 N tale che per ogi 0, risulta a l < ε, 2 Che è ua parola che o esiste, beiteso.

5 SUCCESSIONI NUMERICHE 5 e quidi, i particolare, per ogi 0 si ha a < l + ε = l + l 2 = l + 2. Abbiamo quidi provato che esiste 0 N tale che per ogi 0 ( ) l + 0 a <, 2 e quidi la tesi segue dal Teorema dei Carabiieri, osservado che il termie a destra, ella precedete disuguagliaza, tede a 0, per che tede a. Osservazioe 2. Nel caso che la successioe dell Esercizio precedete verifichi ivece a >, se e può cocludere che deve aversi a = +. È ifatti sufficiete cosiderare la successioe defiita da b = a, la quale verifica le ipotesi del Teorercizio, per cui = a b = 0, ovvero {a } N deve tedere a +. Niete si può ivece cocludere sulla successioe, el caso che a =. Ioltre, si osservi che grazie al IV Teorema di Cesaro, le stesse coclusioi dell Esercizio, cotiuao a valere ache per la successioe a + /a, ovvero { a + < = a 0 a > = a +. Nel seguito ci riferiremo a questo risultato chiamadolo Criterio del rapporto. 2. Successioi defiite per iduzioe Il seguete Teorercizio forisce u criterio molto utile per stabilire la covergeza per ua classe particolare di successioi defiite per iduzioe. Teorercizio 2. Sia f : R R ua fuzioe mootoa crescete, ovvero tale che x x 2 = f(x ) f(x 2 ). Cosideriamo la seguete successioe defiita per iduzioe { a0 = α a + = f(a ). Provare che se a α, allora la successioe è mootoa crescete, metre se a α la successioe è mootoa decrescete. I particolare quidi, la successioe ammette ite. Soluzioe. Ovviamete dovremo usare il pricipio di iduzioe. Proviamo soltato la prima affermazioe: la secoda si prova esattamete ello stesso modo ed è lasciata alla buoa volotà dello studete. Suppoiamo quidi di essere el caso a α, vogliamo provare che (5) a + a, per ogi N. La (5) è ovviamete vera per = 0, visto che corrispode a a a 0 = α. Suppoiamo adesso che la (5) sia vera per u certo aturale 0, ovvero che risulti a 0 + a 0, vogliamo provare che questo

6 6 LORENZO BRASCO implica ecessariamete a 0+2 a 0+. Ifatti dalla defiizioe della successioe e sfruttado la mootoia di f si ottiee a 0 +2 = f(a 0 +) f(a 0 ) = a 0 +, che rappreseta la (5) per 0 + e possiamo quidi cocludere la dimostrazioe. Nel caso che la fuzioe f che compariva el Teorercizio precedete sia mootoa decrescete, possiamo acora dire qualcosa, ma le cose si fao decisamete più itricate: i particolare, quello che diremo è legato all aalisi dei primi 4 termii. Teorercizio 3. Sia f : R R ua fuzioe mootoa decrescete, ovvero tale che x x 2 = f(x ) f(x 2 ). Cosideriamo la seguete successioe defiita per iduzioe { a0 = α a + = f(a ). Provare che se a 2 α e a 3 a, allora la sottosuccessioe {a 2 } N è mootoa crescete e la sottosuccessioe {a 2+ } N è mootoa decrescete. Al cotrario se a 2 α e a 3 a, la sottosuccessioe {a 2 } N è mootoa decrescete e la sottosuccessioe {a 2+ } N è mootoa crescete. I particolare, sotto queste ipotesi la sottosuccessioe idicizzata dai umeri pari e quella idicizzata dai umeri dispari covergoo etrambe 3. Soluzioe. Nuovamete, utilizziamo il pricipio di iduzioe: stavolta sarà ecessaria u po di cautela. Suppoiamo ifatti di voler dimostrare la prima affermazioe, dobbiamo provare che se a 2 α e a 3 a, allora la seguete affermazioe è vera (6) a 2 a 2+2 e a 2+ a 2+3, per ogi N. Ovviamete la (6) è verificata per = 0, ifatti stiamo assumedo che a 2 α = a 0 e a 3 a. Suppoiamo quidi di sapere che la (6) sia verificata per u certo umero aturale 0, quidi la ostra ipotesi iduttiva adesso sarà la seguete a 20 a e a 20 + a Vogliamo dimostrare che questa ipotesi implica la validità di (6) ache per 0 + : ifatti, teedo presete la mootoia di f si ha ed ache, sfruttado quato appea otteuto, a 20+4 = f(a 20+3) f(a 20+) = a 20+2, a = f(a 20 +4) f(a 20 +2) = a 20 +3, ovvero abbiamo provato che la (6) è vera ache per 0 + e quidi per il pricipio di iduzioe essa è vera per ogi N. Osservazioe 3. Nel Teorercizio precedete, i casi evideziati, ovvero (i) a 2 a 0 e a 3 a (ii) a 2 a 0 e a 3 a soo gli uici per cui è possibile trarre delle coclusioi sulla successioe. 3 No ecessariamete allo stesso ite!

7 SUCCESSIONI NUMERICHE 7 Esercizio. Calcolare 3. Esercizi log(!) Soluzioe. Cosideriamo la successioe {a } N defiita da a = log,, la quale, per che tede a, tede a. Se formiamo la successioe {α } N delle sue medie, ovvero α = a k, ci accorgiamo subito, per le proprietà dei logaritmi, che si ha α = log k = (log + log log ) = k= k= = log( 2 ) = log(!) ovvero {α } N è proprio la successioe di cui vogliamo calcolare il ite. Per il I Teorema di Cesaro, abbiamo quidi che ovvero Esercizio 2. Calcolare il ite α = a, log(!) =. π ( + )!. Soluzioe. La successioe di cui dobbiamo calcolare il ite sembra prestarsi perfettamete per poter applicare il Criterio del rapporto, cosegueza del IV Teorema di Cesaro e del Teorercizio. Poedo a = π /( + )! si ha a + = a π + ( + )! ( + 2)! π = π ( + )! ( + 2)( + )! = π + 2 = 0, e quidi, apputo grazie al Criterio del rapporto, la ostra successioe deve essere ifiitesima, ovvero π ( + )! = 0. Esercizio 3. Calcolare il ite 2 +.

8 8 LORENZO BRASCO Soluzioe. L Esercizio è abbastaza semplice, ua volta che ci si accorga che per gradi, il termie domiate sotto la radice è il fattore 2 (è u ordie di ifiito superiore rispetto al termie ), ovvero che i sostaza = 2, quidi ci aspettiamo che il valore del ite sia apputo 2. Formalizzado u po questo ragioameto, potremmo osservare che , dal mometo che 2 per ogi N (lo si provi per iduzioe...), quidi = 2 2, e possiamo cocludere grazie dal Teorema dei Carabiieri, usado il fatto che 2. Esercizio 4. Calcolare il ite Soluzioe. Ricordiamo che vale a = Usado questa espressioe, osserviamo che k = k= e quidi per il IV Teorema di Cesaro, otteiamo Esercizio 5. Calcolare il ite dove k N \ {0}. k. k= ( + ). 2 a + ( + )( + 2) = =, a ( + ) k= k = a + a = =. a k+ i k, Soluzioe. Vogliamo sfruttare il Teorema di Stolz-Cesaro, usado le successioi {a } N e {b } N defiite da a = i k e b = k+, per ogi k N. i= Co questa otazioe ifatti, l Esercizio ci richiede di calcolare il ite a. b Osserviamo quidi che {b } N è strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata; ioltre i= a + a ( + ) k = b + b ( + ) k+ k+,

9 SUCCESSIONI NUMERICHE 9 quidi se questo ite esiste e lo sappiamo calcolare, possiamo cocludere grazie al Teorema di Stolz-Cesaro, ifatti i tal caso avremo a a + a ( + ) k = = b b + b ( + ) k+ k+. D altrode, dalla formula del Biomio di Newto, otteiamo 4 da cui quidi ( + ) k+ k+ = k+ + (k + ) k k+ + O( k ) = (k + ) k + O( k ), cocludedo così l Esercizio. Esercizio 6. Calcolare ( + ) k ( + ) k+ = k+! k + O( k ) (k + ) k + O( k ) = k +, Soluzioe. Vogliamo usare il IV Teorema di Cesaro, poiamo quidi e calcoliamo a =!, N, a + ( + ) +! = a ( + )! = ( + ) ( + )! = ( + )! = ( + ) = = Per il IV Teorema di Cesaro abbiamo quidi! = Esercizio 7. Calcolare dove k N \ {0}. ( + ) = e. a + a = = e. a k (k)!, Soluzioe. Chiamiamo per semplicità a la successioe di cui vogliamo calcolare il ite ed osserviamo che a + = ( + )k+k (k)! a k (k + k)! ( + ) k ( = + ) k [( k (k + k)... (k + ) (k) k + ) ] k, 4 Ricordo che co O( k O( ) si itede che k ) = l 0, ± k

10 0 LORENZO BRASCO dove co il simbolo si itede che le quatità a destra ed a siistra asitoticamete (ovvero per gradi) soo equivaleti. Possiamo quidi ricavare che a + k [( = a (k) k + ) ] k ( = ek e ) k k k =. k Abbiamo quidi otteuto, usado il IV Teorema di Cesaro, che (7) a ( + e ) k a = =. a k Osserviamo ifie che ( e k ) k > per k =, 2, metre ) k < per k 3, ( e k quidi utilizzado quato provato ell Esercizio, da (7) segue che { +, per k =, 2, a = 0, per k 3. Esercizio 8. Dimostrare che la successioe {a } N defiita da a = 2 k=+ ammette ite l e tale ite verifica 7/2 l 5/6. k, N, Soluzioe. Verifichiamo che la successioe i questioe è mootoa crescete: si ha ifatti a + = 2+2 k=+2 k = dove abbiamo usato il fatto che 2 k=+ k k=+ k = a, Ua volta otteuta la mootoia della successioe, possiamo affermare che essa ammette sicuramete ite e vale l = a = sup a. Cerchiamo di mostrare la stima richiesta sul umero l: osserviamo iazitutto che deve sicuramete essere l, dal mometo che a = 2 k=+ N k = = +, ed ovviamete /( + ) tede ad per che tede a. Cosideriamo adesso la sottosuccessioe {a 2 } N fatta prededo solo gli elemeti aveti idice pari: sappiamo che ach essa tede a l,

11 SUCCESSIONI NUMERICHE ioltre a 2 = 4 k=2+ ( k = ) ( ) , da cui si ha l = a = 5 6. Per otteere la stima dal basso su l, si procede esattamete ello stesso modo, stimado però dal basso stavolta i termii ella sommatoria precedete, ovvero ( a 2 = ) = = 7 2, e quidi l deve essere compreso tra 7/2 e 5/6. ( Osservazioe 4. Osserviamo che ello stesso modo, si potrebbe raffiare la stima precedete prededo opportue sottosuccessioi di {a } N : ad esempio, prededo {a 3 } N si ottiee che deve aversi ovvero a 3 = ( ) ( ) ( ) , ( l = a ) ) = = 47 60, che rappreseta u piccolo migliorameto rispetto alla stima precedete. Aalogamete, si dimostra che l = 37 60, che è leggermete più grade di 7/2. Esercizio 9. Sia data la successioe defiita per iduzioe da { a = 0 a + = 2 + a Dire se esiste il ite per che tede a e calcolarlo. Soluzioe. Si vede subito che la successioe è tutta positiva (dimostrarlo per iduzioe). Proviamo che è crescete, procededo per iduzioe: il primo passo è mostrare che la proposizioe (8) a + a, è vera per =. Questo è immediato, dal mometo che a 2 = 2 + a = 2 = a.

12 2 LORENZO BRASCO Suppoiamo adesso che la proposizioe (8) sia vera per u certo 0 N, ovvero suppoiamo di sapere che a 0 + a 0, allora otteiamo a 0+2 = 2 + a a 0 = a 0+, ovvero la (8) è vera ache per il aturale successivo 0 + e quidi (8) è vera per ogi. Abbiamo quidi che {a } N ammette sicuramete ite l e deve risultare l = a = sup a. Calcoliamo l: la sottosuccessioe {a + } N covergerà allo stesso ite ed ioltre dalla defiizioe di a si ottiee che l deve verificare l = a + = 2 + a = 2 + a = 2 + l, ovvero deve risultare l 2 = 2 + l, quidi abbiamo tre possibilità per l, ovvero l = + oppure l = 2 oppure l =. Possiamo subito escludere la terza perchè abbiamo detto che a 0, per ogi N, quidi dovrà essere ache l 0; se sapessimo che la successioe {a } N è itata, potremmo escludere ache la prima e cocludere quidi che deve essere l = 2. D altra parte, si vede facilmete che deve risultare (9) a 2, per ogi : la dimostrazioe si fa di uovo per iduzioe, dal mometo che (9) è sicuramete verificata per = ; ioltre, assumedo che (9) valga per u certo 0 N, si ottiee a 0 + = 2 + a 0 4 = 2, ovvero (9) è valida ache per il aturale successivo 0 + e quidi è vera per ogi. defiitiva a = 2, cocludedo così l esercizio. Esercizio 0. Studiare il comportameto della successioe defiita per iduzioe a 0 = a + = a + 2 3a + 2 Soluzioe. È immediato osservare che la successioe deve essere tutta positiva e miore di. Ioltre l ( + ) esimo termie è della forma a + = f(a ), co la fuzioe f defiita da f(x) = x + 2 3x + 2, x 0. No è difficile covicersi che f è mootoa decrescete 5, quidi potremmo tetare di utilizzare il Teorercizio 3 per cocludere qualcosa sulla ostra successioe: i effetti, calcolado i primi 4 termii della successioe otteiamo a 0 = 3 9 = a 2, 5 No è ecessario usare le derivate per vederlo. I

13 SUCCESSIONI NUMERICHE 3 metre a = = a 3, quidi per quato visto ell Esercizio precedete, otteiamo che {a 2 } N è mootoa decrescete, metre {a 2+ } N è mootoa crescete, i particolare esistoo l ed l 2 tali che a 2 = l e a 2+ = l 2. Cerchiamo di calcolare i iti l ed l 2 : dalla defiizioe, abbiamo a 2+2 = f(a 2+ ) = a a = f(a 2) + 2 3f(a 2 ) + 2 = 7a a 2 + 0, e dal mometo che {a 2+2 } N è ua sottosuccessioe di {a 2 } N, si avrà ache a 2+2 l, ovvero l = a 7a = 9a = 7l + 6 9l + 0, abbiamo quidi trovato che il cadidato ite l deve soddisfare la precedete relazioe, ovvero l = 7l + 6 9l + 0. D altra parte tale relazioe è soddisfatta solamete per l = oppure l = 2 3 : dal mometo che la successioe è tutta a termii positivi, dovremo scartare il primo valore e cocludere quidi che a 2 = 2 3. Co calcoli completamete aaloghi si prova che deve valere ache a 2+ = 2 3, da cui se e coclude 6 che la successioe di parteza ammette ite e questo è dato da Attezioe! Si ricordi che i geerale, se ua successioe {a} N possiede due sotto-successioi covergeti allo stesso ite l, questo o implica che ache a l. Quello che stiamo usado i questo caso, è che le due sotto-successioi i esame soo complemetari, el seso che {a 2+ } N {a 2 } N = {a } N, per cui dal comportameto delle due sotto-successioi, possiamo ricavare il comportameto di tutta la successioe.

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