Università del Salento

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1 Uiversità del Saleto FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea i Fisica I N T R O D U Z I O N E A L L A F I S I C A M O D E R N A R O S A R I O A N T O N I O L E O Ao Accademico 2010/2011

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3 I N D I C E ozioi elemetari. richiami vii 1 Puto materiale vii 1.1 Esempio: pedolo semplice viii 2 Sistemi di particelle xi i meccaica aalitica 1 1 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Vicoli Defiizioi Classificazioe dei vicoli Gradi di libertà e coordiate lagragiae Pricipio di d Alembert ed equazioi di Lagrage Esempi el caso statico Esempio el caso diamico Poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe Poteziali geeralizzati Equazioi di Lagrage i preseza di forze o derivabili da u poteziale Trasformazioi di gauge e lagragiaa di ua particella immersa i u campo elettromagetico 12 2 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage Pricipio di Hamilto Applicazioi del calcolo delle variazioi Cammio più breve fra due puti i u piao Il problema della brachistòcroa Leggi di coservazioe Coordiate cicliche Fuzioe eergia 28 3 applicazioi delle equazioi di lagrage Problema dei due corpi Movimeto i u campo cetrale Il problema di Keplero Piccole oscillazioi Impostazioe del problema Riepilogo Osservazioi U particolare problema 45 4 formalismo hamiltoiao Equazioi di Hamilto 51 iii

4 Idice U esempio Notazioe simplettica Coordiate cicliche e metodo di Routh Pricipio variazioale di Hamilto modificato Paretesi di Poisso Trasformazioi caoiche Equazioi di Hamilto-Jacobi Variabili agolo-azioe el caso uidimesioale Esempio: l oscillatore armoico uidimesioale 76 Riferimeti bibliografici della parte i 79 ii relatività ristretta e itroduzioe alla meccaica quatistica 81 5 relatività speciale Trasformazioi di Loretz Premessa Cocetto di eveto Pricipio di ierzia Postulati della Relatività Ristretta e trasformazioi di Loretz Alcue cosegueze delle trasformazioi di Loretz Legge di trasformazioe delle velocità Cotrazioe delle lughezze Dilatazioe dei tempi Lo spazio di Mikowski Quadrivelocità e quadriaccelerazioe Diamica relativistica Eergia cietica e mometi Quadrimometo, tesore mometo agolare Equazioi del moto Meccaica aalitica relativistica (cei) Carica i moto i u campo elettromagetico *L iterferometro di Michelso e Morley itroduzioe alla meccaica quatistica *Il corpo ero Effetto fotoelettrico Effetto Compto Ode di materia di de Broglie 119 Riferimeti bibliografici della parte ii 123 iii appedici 125 a la successioe di fiboacci 127 b la trasformata di legedre 129 b.1 Defiizioe 129 c simbolo di levi-civita 133 iv

5 Idice d calcolo della costate di radiazioe 135 e ote sulle uità di misura 137 f costati fisiche fodametali 139 Riferimeti bibliografici delle appedici 141 Idice aalitico 143 v

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7 N O Z I O N I E L E M E N TA R I. R I C H I A M I 1 puto materiale L idea di puto materiale è uo dei cocetti di base della meccaica aalitica. Il puto materiale è caratterizzato dalla sua massa. La posizioe di u puto materiale i u sistema di riferimeto Oxyz, supposto ierziale salvo avviso cotrario, è determiata dal raggio vettore r = x ˆx + yŷ + zẑ. Defiiamo velocità v = dr dt quatità di moto p = mv, e accelerazioe a = dv dt = d2 r dt 2. = ẋ ˆx + ẏŷ + żẑ, Sappiamo che, i u sistema di riferimeto ierziale, valgoo i pricipi della diamica. Se F è la forza risultate agete sulla particella di massa m si ha che, per il secodo pricipio della diamica, F = dp dt = mdv = ma, (1) dt co m supposta costate rispetto al tempo. Suppoiamo che la particella sia libera. Allora x(t), y(t), z(t) soo tra loro idipedeti. Se F = F (r, v, t) = F (x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t) dalle (1) otteiamo: mẍ(t) = F x (x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t), mÿ(t) = F y (x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t), m z(t) = F z (x, y, z; ẋ, ẏ, ż; t). (2) Assegate le codizioi iiziali r(0) = r 0 e v(0) = v 0, se i u itoro di (r 0, v 0, 0) le fuzioi F x, F y e F z soo buoe (per esempio soo lisce, cioè soo di classe C ), allora il sistema di equazioi (2) per t > 0 ammette, almeo i u itoro di (r 0, v 0, 0), u uica soluzioe. Viee così soddisfatto, almeo localmete, il pricipio determiistico ewtoiao. Le equazioi (2) soo dette equazioi del moto. Osservazioe. La quatità di moto si coserva, cioè p è costate, se F = 0 ideticamete. vii

8 ozioi elemetari. richiami Defiiamo mometo agolare della particella rispetto a O L O = r p = mr v. (3) Defiiamo mometo della forza F (o mometo torcete) rispetto al puto O dl O dt = r dp dt = r F N O. (4) Dalla (4) si vede che il mometo agolare si coserva, cioè L O è costate, se N O = 0 ideticamete. Per esempio se cosideriamo F forza cetrale tale che il cetro della forza è O, allora N O = 0 e quidi L O è costate. Il mometo agolare della particella rispetto a u puto O idividuato rispetto a O dal vettore posizioe r O è dato da L O = (r r O ) p. Si vede facilmete che dl O dt = (r r O ) F dr O dt p = N O dr O dt p, dove N O è il mometo delle forze rispetto a O. Se F è ua forza coservativa allora F = U (r), dove U (r) è l eergia poteziale. Idichiamo co T = mv 2 /2 l eergia cietica della particella. Sappiamo che se F è ua forza coservativa vale il pricipio di coservazioe dell eergia meccaica: T + U = costate. Ricordiamo che vale, ache se la forza o è coservativa, il teorema dell eergia cietica: L = B A F dr = 1 2 mv2 B 1 2 mv2 A = T B T A. 1.1 Esempio: pedolo semplice Studiamo il moto del pedolo i figura 1. Le forze ageti su m soo T + P = ma. La compoete radiale della risultate è uguale a T mg cos θ = m v2 l, metre la compoete trasversa è mg si θ = ma T viii

9 1 puto materiale y U = 0 x θ l T m P Figura 1: Il pedolo semplice. dove a T è la compoete trasversa dell accelerazioe. I geerale, per u moto el piao abbiamo, i coordiate polari: r = rˆr, v = dr dt = ṙˆr + r dˆr dt = ṙˆr + r θ ˆ, a = dv dt = d dt (ṙˆr + r θ ˆ) = rˆr + ṙ θ ˆ + ṙ θ ˆ + r θ ˆ r θ 2ˆr = = ( r r θ 2 )ˆr + (r θ + 2ṙ θ) ˆ. Nel caso particolare del pedolo semplice r = l = costate, quidi l accelerazioe trasversa è data da: a T = l θ ˆ = g si θ ˆ, da cui ricaviamo θ + g l si θ = 0. (5) Questa è ua equazioe differeziale o lieare e la soluzioe è ua fuzioe ellittica. L equazioe diveta lieare se suppoiamo che le oscillazioi siao piccole i modo da poter porre si θ θ. I questo caso risulta: θ + g l θ = 0. La soluzioe di questa equazioe è θ = θ 0 cos(ωt ϕ 0 ) dove θ 0 e ϕ 0 soo determiati dalle codizioi iiziali, metre ω = g/l. pedolo oscilla co periodo T = 2π ω = 2π l g. Il ix

10 ozioi elemetari. richiami Nel caso i cui le oscillazioi o siao piccole, si dimostra che il periodo del pedolo è dato da T = 2π l g ( θ 2 2 si2 m θ ) si4 m 2 +, dove θ m è l ampiezza agolare delle oscillazioi. L equazioe del moto del pedolo può essere ricavata ache el modo seguete: { x = l cos θ y = l si θ = {ẋ(t) = l θ si θ ẏ(t) = l θ cos θ. (6) Allora v 2 (t) = ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) = l 2 θ 2. dell eergia abbiamo: Applicado il pricipio di coservazioe E = 1 2 mv2 (t) + mgl(1 cos θ(t)) = 1 2 ml2 θ 2 + mgl(1 cos θ(t)). Poiché E = costate deve risultare da cui de ( dt = ml2 θ θ + mgl θ si θ = ml 2 θ θ + g ) l si θ = 0 θ + g l si θ = 0, cioè la (5). I geerale θ = 0. Il moto del pedolo può acora essere dedotto i questo modo. Abbiamo L O = r mv = m(l cos θ ˆx + l si θŷ) ( l θ si θ ˆx + l θ cos θŷ) = = ml 2 θẑ. L uico cotributo al mometo torcete è quello della forza peso, quidi N O = r P = (l cos θ ˆx + l si θŷ) (mg ˆx) = lmg si θẑ. Duque, ricordado la (4), abbiamo: dl O dt = dl 0 dt ẑ = dml2 θ ẑ = ml 2 θẑ = lmg si θẑ dt da cui θ + g l si θ = 0, cioè di uovo la (5). x

11 2 sistemi di particelle Esercizi 1. Studiare il moto di ua particella di massa m soggetta alla forza F = kr αv (k, α > 0) dove r vettore posizioe della particella e v velocità, co le codizioi iiziali r(0) = r 0 = 0 e v(0) = v 0 r Studiare il moto di ua particella di massa m e carica q i u campo magetico B uiforme e costate. Siao r(0) = r 0 e v(0) = v 0 = Studiare il moto di ua particella di massa m e carica q i u campo elettrico E e i u campo magetico B, uiformi e costati e tra loro ortogoali. 2 sistemi di particelle Suppoiamo di avere u sistema di N particelle putiformi. Sia Oxyz il sistema di riferimeto (ierziale). Siao m i e r i rispettivamete la massa e il vettore posizioe dell i-esima particella. Defiiamo cetro di massa r CM = N i=1 m ir i M, co M = N i=1 m i. Detta ioltre v i = dr i /dt la velocità dell i-esima particella, la velocità del cetro di massa sarà: v CM = N i=1 m iv i M. Defiiamo ifie la quatità di moto p CM = N m i v i = Mv CM. i=1 Osserviamo che la quatità di moto è ua gradezza additiva. Ogi particella del sistema iteragisce co le altre particelle e co il modo estero. Sia F ji la forza che la j-esima particella (j = i) esercita sulla i-esima. Se vale la forma debole del pricipio di azioe e reazioe allora F ij + F ji = 0. Per la secoda legge della diamica dp i dt = F i = F (e) i + N j=1 j =i F ji, xi

12 ozioi elemetari. richiami dove F i è la forza totale agete sulla i-esima particella, F (e) i è la forza totale estera agete sulla i-esima particella e N j=1,j =i F ji è la forza totale itera agete sulla i-esima particella. Poiché i=1 N N j=1,j =i F ji = 0 allora dp CM dt = N dp i dt i=1 = N F (e) i = F (e), i=1 dove F (e) è la risultate delle forze estere. Se F (e) = 0 allora p CM è costate e quidi il cetro di massa si muove di moto rettilieo uiforme, assumedo che la massa M sia costate. Defiiamo mometo agolare del sistema di N particelle putiformi rispetto a O L O = N r i p i. i=1 Si ricava baalmete che dl O dt = N r i F i = N O. i=1 Osserviamo che se vale la forma forte del pricipio di azioe e reazioe, cioè se ( ri r j ) Fji = 0 i, j = i, allora N O = N r i F (e) i = N (e) O. i=1 Se N (e) O = 0 allora L O è costate. Sia r i il vettore posizioe dell i-esima particella rispetto al cetro di massa, cioè si ha r i = r i r CM. Allora L O = N (r CM + r i r CM ) p i = r CM p CM + L CM. i=1 Defiiamo eergia cietica del sistema di N particelle T = N 1 2 m iv 2 i. i=1 Vale acora il teorema dell eergia cietica: L = N 2 F i dr i = T 2 T 1, i=1 1 dove 1 e 2 soo rispettivamete le cofigurazioi iiziale e fiale del sistema. Osserviamo che N 2 N 2 F i dr i = F (e) i=1 1 i=1 1 i dr i + N i=1 N j=1 j =i 2 1 F ji dr i xii

13 2 sistemi di particelle e ioltre F ji dr i + F ij dr j = F ji (dr i dr j ) = Fji dr ji co F ji dr ji = 0 i geerale. Se tutte le forze soo coservative allora L = N ( i=1 U (e) i (1) U(e) i (2) ) N ) (U ij(1) U ij(2). i,j=1 j =i Vale il pricipio di coservazioe dell eergia meccaica: Esercizi T + U = T + N i=1 1. Dimostrare che U (e) i N i,j=1 i =j U ji = costate. dl CM dt = N CM, co L CM = N i=1 (r i r CM ) p i e N CM = N i=1 (r i r CM ) F i. 2. Dimostrare che L CM = N (r i r CM ) p i, i=1 co p i = m i (v i v CM ). xiii

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15 Parte I M E C C A N I C A A N A L I T I C A

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17 P R I N C I P I O D I D A L E M B E RT E D E Q U A Z I O N I D I L A G R A N G E vicoli Defiizioi Fissato u sistema di riferimeto ierziale, la posizioe di ua particella putiforme è, a ogi istate, idividuata dal vettore r(t). La particella è libera se o è soggetta ad alcua codizioe che e limiti la traiettoria; i caso cotrario si dice che essa è vicolata. Allo stesso modo per u sistema di N particelle, se tutte le particelle che costituiscoo il sistema soo libere, il sistema è detto libero; altrimeti si dice che è vicolato. La preseza di vicoli comporta l itroduzioe di forze che agiscoo sulle particelle limitadoe la mobilità. Queste forze soo dette forze vicolari o reazioi vicolari. Chiameremo attive le forze che o soo dovute a vicoli Classificazioe dei vicoli Classifichiamo i vicoli: I base alla forma delle relazioi che legao le coordiate delle particelle: vicoli olòomi: possoo essere espressi da relazioi del tipo f (r 1, r 2,..., r N, t) = 0. (1.1) Il sistema si dirà, i tal caso, oloomo. Per esempio: ua particella che si muove el piao xy lugo la retta y = mx + q; il corpo rigido: le reazioi vicolari soo del tipo r i r j 2 c 2 ij = 0 (la distaza tra due puti geerici del corpo rigido è costate); vicoli aolòomi: o possoo essere espressi da relazioi del tipo (1.1). Tali vicoli possoo essere espressi da vicoli di diseguagliaza o equivaletemete da vicoli di uguagliaza i cui compaioo ache le velocità. Esempio: particella vicolata a stare all itero di ua sfera di cetro O e raggio a. I tal caso il vicolo si esprime co r 2 a 2 < 0. I base alla dipedeza dal tempo: vicoli scleroomi: o dipedoo dal tempo; vicoli reoomi: dipedoo dal tempo. Per esempio: 3

18 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage ua particella che si muove su ua retta che ruota co velocità agolare ω avrà u equazioe del tipo y = ta(ωt)x + q. I base al tipo di reazioe vicolare vicoli lisci: la reazioe vicolare è sempre ormale al vicolo. Per esempio: se il vicolo oloomo è ua superficie di equazioe f (r, t), la reazioe vicolare ϕ sarà parallela al gradiete di f : ϕ = µ(t) f ; vicoli scabri: la reazioe vicolare ha ua compoete tageziale al vicolo (soo preseti forze di attrito). 1.2 gradi di libertà e coordiate lagragiae La cofigurazioe di u sistema libero formato da N particelle è defiita dagli N vettori posizioe r i (t), co i = 1,..., N, ed è quidi idividuata, i uo spazio tridimesioale, da 3N quatità scalari o coordiate idipedeti. Defiiamo umero di gradi di libertà del sistema il miimo umero di coordiate idipedeti i grado di idividuare la cofigurazioe. Secodo questa defiizioe u sistema libero di N particelle i uo spazio tridimesioale ha 3N gradi di libertà. I u sistema vicolato le coordiate o soo tra loro idipedeti. Se i vicoli soo oloomi e soo espressi mediate k equazioi del tipo (1.1), allora il umero di coordiate idipedeti sarà = 3N k e quidi si avrao gradi di libertà. Possiamo pertato itrodurre coordiate idipedeti che tegao coto dei vicoli. Siao q 1, q 2,..., q tali coordiate. Esse o hao i geerale le dimesioi di ua lughezza e o possoo essere raggruppate per formare le tre compoeti di u vettore. Per esempio, si cosideri u pedolo el piao. Il sistema avrebbe due gradi di libertà se o fosse vicolato; dato che la distaza tra la particella e l origie è fissata uguale a l si ha ivece u solo grado di libertà. Si può allora idividuare lo stato del sistema i ogi istate utilizzado ua sola coordiata quale, per esempio, l agolo θ. È possibile esprimere i vettori posizioe mediate le uove coordiate tramite le trasformazioi r i = r i (q 1, q 2,..., q, t) (i = 1,..., N). Le coordiate q i, co i = 1,...,, soo dette coordiate lagragiae o geeralizzate del sistema. Esse, ovviamete, o soo uiche. 1.3 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Defiiamo spostameto virtuale ifiitesimo di u sistema u cambiameto di cofigurazioe relativo a ua variazioe δr i delle coordiate, compatibile co le forze 4

19 1.3 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage e i vicoli a cui il sistema è sottoposto a u dato istate t. Chiamiamo tale spostameto virtuale per distiguerlo da uo spostameto reale dr i i cui si cosidera u itervallo dt el quale variao forze e vicoli. Cosideriamo u sistema di N particelle. Suppoiamo che il sistema sia i equilibrio, cioè che ogi particella del sistema è i equilibrio. Allora F i = 0 = F i δr i = 0 = δl = N F i δr i = 0, (1.2) i=1 co i = 1,..., N, dove δl è il lavoro virtuale ifiitesimo. Le F i soo le risultati di tutte le forze ageti sull i-esima particella (iterazioe co l Uiverso, co le altre particelle, forza vicolare). Se poiamo F i = F (a) i + Φ i, dove F (a) i e Φ i soo rispettivamete la forza attiva totale e la forza vicolare ageti sulla i-esima particella, la (1.2) diveta: δl = N F (a) i=1 i δr i + N i=1 Φ i δr i = 0. (1.3) Assumeremo d ora i avati che il lavoro virtuale delle forze vicolari sia ullo, cioè N i=1 Φ i δr i = 0, e che i vicoli siao oloomi bilaterali e lisci. Allora possiamo scrivere la (1.3) come N F (a) i δr i = 0, (1.4) i=1 che è il pricipio dei lavori virtuali. Osserviamo che i δr i, co i = 1,..., N, o soo i geerale liearmete idipedeti e quidi i F (a) i o soo automaticamete ulli. Siao q 1, q 2,..., q le coordiate lagragiae del sistema scelte. Allora r i = r i (q 1, q 2,..., q, t), δr i = r i δq q k, k=1 k (1.5a) (1.5b) co i = 1,..., N. Suppoedo che il lavoro virtuale delle forze vicolari sia ullo si ha dove δl = = N i=1 F (a) i δr i = Q (a) k δq k, k=1 N F (a) i=1 i k=1 r i q k δq k = ( N ) F (a) i r i δq q k = k=1 i=1 k Q (a) N k = F (a) i r i (k = 1,..., ) (1.6) q i=1 k 5

20 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage soo dette forze geeralizzate (attive). Poiché le δq k soo idipedeti si ha δl = 0 = Q (a) k = 0 (k = 1,..., ). Si può dimostrare che Q (a) k = 0 co k = 1,..., è codizioe ecessaria e sufficiete per l equilibrio, i preseza di vicoli oloomi bilaterali lisci. La relazioe (1.4) è applicabile solo al caso statico. Se si vuole applicare il pricipio dei lavori virtuali ache al caso di moto del sistema, bisoga partire dalle N equazioi del moto dp i /dt = F i F i dp i /dt = 0 per i = 1,..., N. Se cotiuiamo ad assumere che le forze vicolari o compioo lavoro virtuale, la (1.4) diveta: N ( F (a) i i=1 dp ) i δr i = 0. (Pricipio di d Alembert) (1.7) dt Osserviamo che le forze vicolari o compaioo esplicitamete. Idichiamo d ora i poi co F i la forza attiva totale agete sull i-esima particella, togliedo l apice (a). Come el caso statico occorre otteere u espressioe che cotega solo gli spostameti virtuali delle coordiate geeralizzate (che soo idipedeti). Partiamo, come el caso statico, dalle trasformazioi r i = r i (q 1,..., q, t) (i = 1,..., N) r δr i = i δq q k k=1 k v i = dr i dt = r i q q k + r i k=1 k t. (1.8) Come prima abbiamo N F i δr i = Q k δq k, i=1 k=1 dove Q k = i=1 N F i r i / q k. Osserviamo che le q k o hao ecessariamete le dimesioi di ua lughezza, così come le Q k o hao i geerale le dimesioi di ua forza. Cosideriamo ora N dp i dt δr i = i=1 = k=1 ( N i=1 k=1 { N i=1 dv i m i dt r i q k [ d dt Osserviamo che dalla (1.8) si ricava v i q k = ) ( m i v i r i q k δq k = ) m i v i d ] } r i δq dt q k. k (1.9) q k dr i dt = r i q k. (1.10) 6

21 1.3 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Ioltre, i aalogia co la (1.8) si ha v i q k = j=1 = d dt 2 r i q j + 2 ( ) r i q k q j q k t = ri q j=1 j q k ( ) ri. q k q j + ( ) ri = t q k (1.11) I base a queste osservazioi possiamo scrivere: N dp i dt δr i = i=1 = = k=1 { N i=1 k=1 k=1 [ d dt { [ d dt q k [ ( d T dt q k ( m i v i v i q k N i=1 ) m i v i v ] } i δq q k = k ( ) ] 1 2 m iv 2 i N q k i=1 ] δq k, ) T q k ( ) } 1 2 m iv 2 i δq k = dove T = i=1 N m iv 2 i /2. Allora il pricipio di d Alembert è el ostro caso equivalete alla relazioe k=1 {[ d dt ( T q k ) T ] } Q q k δq k = 0. k Dato che gli spostameti virtuali ifiitesimi δq k, co k = 1,...,, soo idipedeti, possiamo scrivere equazioi del moto ( ) d T T = Q dt q k q k. (1.12) k Se suppoiamo che le forze attive siao tutte coservative e derivio da u uico poteziale U, si ha F i = i U (co i = ( / x i, / y i, / z i )) e quidi Q k = N F i r i i=1 q k = N i=1 i U r i q k = U q k. Teedo presete che U dipede solo da q e o da q (cioè U/ q k = 0; k = 1,..., ), le equazioi del moto (1.12) possoo essere scritte el modo seguete: [ ] d (T U) (T U) = 0. dt q k q k Defiedo L = T U (1.13) lagragiaa del sistema, possiamo scrivere le equazioi di Lagrage: ( ) d L L = 0. (1.14) dt q k q k 7

22 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage Osservazioe. Se cosideriamo F = F(q, t) fuzioe di classe opportua, si può dimostrare che L (q, q, t) = L(q, q, t) + df/dt è u altra fuzioe lagragiaa che porta alle stesse equazioi del moto. 1 Osservazioe. Le equazioi di Lagrage possoo essere acora scritte ella forma usuale se U = U(q, q, t) e Q k = U + d ( ) U. (1.15) q k dt q k La fuzioe U è detta poteziale geeralizzato, o poteziale dipedete ache dalle velocità e dal tempo. La fuzioe lagragiaa può acora essere defiita come L = T U Esempi el caso statico Determiiamo le codizioi di equilibrio del pedolo semplice (vedi figura 1 a pagia ix). Il sistema ha u solo grado di libertà e l uica forza attiva è la forza peso P, quidi r = l cos θ ˆx + l si θŷ, ( ) δl = P δr = P (l cos θ) ˆx + (l si θ)ŷ δθ = θ θ = mg ˆx ( l si θ ˆx + l cos θŷ)δθ = mgl si θδθ Q = mgl si θ = 0 = si θ = 0 = θ = 0 oppure θ = π. Cosideriamo ora il puto materiale P di massa m i figura 1.1 vicolato seza attrito su ua circofereza di raggio R e cetro O, posto i u piao verticale. La particella è coessa al puto più alto mediate ua molla di costate elastica k e lughezza a riposo ulla. Ache questo sistema ha u solo grado di libertà. Abbiamo { xp = R si θ y P = R cos θ, ( xp δr P = θ ˆx + y ) p θ ŷ δθ = R(cos θ ˆx si θŷ). La forza peso è data da P = mgŷ. Ioltre r A = Rŷ, quidi r P r A = R si θ ˆx + R(1 + cos θ)ŷ. Pertato la forza elastica agete sulla particella è F el = k(r P r A ) = kr[si θ ˆx + (1 + cos θ)ŷ]. Duque: P δr P = mgr si θδθ, F el δr P = kr 2 [si θ cos θ si θ(1 + cos θ)]δθ = kr 2 si θδθ. 1 Si è qui utilizzata la otazioe, che ricorrerà per brevità i seguito, q = (q 1, q 2,..., q ) per idicare l eupla delle coordiate geeralizzate; tuttavia bisoga teere sempre presete che tale eupla o è, i geerale, u vettore (basti pesare che, come già osservato, le q i possoo avere ache dimesioi diverse). 8

23 1.3 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage A k O x θ R P y Figura 1.1: Pedolo collegato a ua molla. La forza geeralizzata attiva è: Q = mgr si θ + kr 2 si θ = R si θ(kr mg). La codizioe di equilibrio si ha per Q = 0 cioè: 1. si θ = 0, vale a dire θ = 0 oppure θ = π; 2. θ [0, 2π] se mg = kr Esempio el caso diamico Riprediamo i cosiderazioe il pedolo semplice (vedi figura 1 a pagia ix). Il sistema ha u grado di libertà, quidi sarà sufficiete scrivere ua sola equazioe di Lagrage. Valgoo sempre le (6), duque l eergia cietica è data da T = 1 2 mv2 = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 ml2 θ 2, metre l eergia poteziale è (fissado come puto a poteziale gravitazioale ullo il puto più basso del pedolo, come mostrato i figura) U = mgl(1 cos θ). Pertato la lagragiaa del sistema è L = T U = 1 2 ml2 θ 2 mgl(1 cos θ) e l equazioe di Lagrage ml 2 θ + mgl si θ = 0 che è equivalete alla (5). 9

24 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage 1.4 poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe Poteziali geeralizzati Cosideriamo ua particella putiforme di massa m e carica q i u campo elettromagetico E, B. Su di essa agisce la forza di Loretz: F = q (E + v ) c B. (1.16) Le equazioi del moto soo perciò m dv dt = md2 r dt 2 = q ( E + v c B ). Siao ora ϕ = ϕ(x, y, z, t) e A = A(x, y, z, t) i poteziali scalare e vettoriale rispettivamete i modo che E = ϕ 1 A c t, (1.17) B = A. (1.18) Riscriviamo la forza di Loretz mediate le precedeti: [ F = q ϕ 1 A c t + v ] ( A) = c [ = q ϕ 1 A c t + 1 c (A v) 1 ] (1.19) (v )A c dove si è teuto coto del fatto che v = 0 e quidi v ( A) = (A v) (v )A. Osserviamo ora che da/dt = A/ t + (v )A; ioltre dato che A o dipede da v, v (A v) d dt = da/dt; ifie v ϕ = 0 (dove v = ( / ẋ i, / ẏ i, / ż i )). Allora [ F = q (ϕ 1c ) A v 1 ] da = c dt { = q (ϕ 1c ) A v + d [ v (ϕ 1c )]} dt A v = (1.20) = U + d vu, dt dove U = qϕ qa v/c è u esempio di poteziale geeralizzato, ovvero poteziale dipedete dalle derivate rispetto al tempo delle coordiate geeralizzate (che qui corrispodoo co le solite coordiate cartesiae). La fuzioe lagragiaa è, allora, la seguete: L = T U = 1 2 mv2 qϕ + q c A v = = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) qϕ(x, y, z, t)+ + q c (ẋa x(x, y, z, t) + ẏa y (x, y, z, t) + ża z (x, y, z, t)). 10

25 1.4 poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe Esercizi 1. Scrivere le equazioi di Lagrage di ua carica putiforme i u campo elettromagetico. Dimostrare che esse coicidoo co le equazioi del moto di parteza. 2. Scrivere la lagragiaa e le equazioi di Lagrage per i segueti sistemi: a) pedolo piao semplice; b) pedolo piao doppio; c) pedolo piao il cui puto di sospesioe è libero di muoversi orizzotalmete su ua retta liscia. 3. Due puti materiali, uo di massa m 1 e l altro di massa m 2, soo collegati da ua fue (iestesibile e di massa trascurabile) che passa attraverso u foro i u tavolo perfettamete liscio, i modo che m 1, per t = 0, abbia u moto circolare uiforme sulla superficie del tavolo ed m 2 rimaga sospesa. Nell ipotesi che m 2 possa muoversi solo i direzioe verticale, si scriva la lagragiaa e si ricavio le equazioi di Lagrage. Discutere la preseza di itegrali primi del moto. Figura 1.2: Da siistra: problema 2b, problema 2c, problema Equazioi di Lagrage i preseza di forze o derivabili da u poteziale Suppoiamo che su ua particella putiforme agisca ache la seguete forza viscosa: F a = (α x v x î + α y v y ĵ + α z v z ˆk) dove i coefficieti α x, α y, α z soo caratteristici del mezzo 2 e î, ĵ, ˆk soo i versori degli assi coordiati. Osserviamo che, se itroduciamo la cosiddetta fuzioe di dissipazioe di Rayleigh F = 1 2 (α xv 2 x + α y v 2 y + α z v 2 z), 2 I realtà questi coefficieti dipedoo oltre che dal mezzo ache dalla forma e dalle dimesioi del corpo immerso el fluido. 11

26 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage abbiamo che F a = v F. Più i geerale se il sistema è formato da N particelle, la forza viscosa totale è data da: F a = N k=1 (α x v kx î + α y v ky ĵ + α z v kz ˆk), dove si itede v k = (v kx, v ky, v kz ) è la velocità della k-esima particella. La fuzioe di dissipazioe i questo caso è data da: F = 1 2 N k=1 (α x v 2 kx + α yv 2 ky + α zv 2 kz ). La forza viscosa agete sulla k-esima particella può ovviamete essere scritta come F a,k = vk F. Se il sistema ha gradi di libertà e q j co j = 1,..., soo le coordiate geeralizzate, le equazioi di Lagrage soo le segueti: ( ) d L L = Q dt q j (1.21) j q j dove le Q j soo le forze geeralizzate associate alle forze viscose e o derivabili da u poteziale, e L è la lagragiaa, scritta teedo coto di tutte le forze coservative. Sappiamo che: Q j = N F a,k r k k=1 = N k=1 q j = vk F v k N k=1 = F. q j q j vk F r k q j = Allora i coclusioe possiamo scrivere le equazioi di Lagrage (1.21) el modo seguete: ( ) d L L + F = 0. dt q j q j q j Evidetemete siamo i grado di scrivere esplicitamete le equazioi del moto cooscedo le due fuzioi scalari L e F Trasformazioi di gauge e lagragiaa di ua particella immersa i u campo elettromagetico Siao ϕ e A i poteziali scalare e vettoriale el campo elettromagetico. Sappiamo che la lagragiaa assume la forma: L = mv 2 /2 qϕ + qa v/c. Il sistema ha tre gradi di libertà. Operiamo le segueti trasformazioi di gauge: ϕ ϕ = ϕ 1 χ(r, t) ; c t A A = A + χ(r, t). 12

27 1.4 poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe Il campo elettromagetico è ivariate per trasformazioi di gauge. Sia ora L = mv 2 /2 qϕ + qa v/c la uova lagragiaa. Allora: L = mv2 2 qϕ + q χ c t + q c A v + q c χ v = = L + q χ c t + q c χ v = = L + q dχ c dt. Cocludedo, L ed L differiscoo per la derivata totale rispetto al tempo di ua fuzioe scalare di r e di t. Le equazioi di Lagrage soo, di cosegueza, ivariati per trasformazioi di gauge. Problemi 1. Se L = L(q, q, t) è ua lagragiaa per u sistema a gradi di libertà che verifica le equazioi di Lagrage, dimostrare che L = L + df(q, t)/dt, co F fuzioe arbitraria di classe opportua, verifica ach essa le equazioi di Lagrage. Dimostrazioe. Osserviamo che df(q, t) dt = F(q, t) q q k + k=1 k F(q, t). t Allora per j = 1,..., L (q, q, t) L(q, q, t) F(q, t) = + q j q j q j L (q, q, t) L(q, q, t) = + df(q, t). q j q j q j dt Suppoedo che df(q, t) = d F(q, t) q j dt dt q j abbiamo duque, sempre per j = 1,...,, che ( d L dt q j ( L d dt d dt q j ( L q j ) L = 0 q j ) d F(q, t) dt q j ) L q j = 0. L + df(q, t) = 0 q j q j dt 13

28 pricipio di d alembert ed equazioi di lagrage 2. Siao q 1,..., q u isieme di coordiate geeralizzate idipedeti di u sistema a gradi di libertà co lagragiaa L(q, q, t), dove q = (q 1,..., q ) e q = ( q 1,..., q ). Si suppoga di passare a u altro sistema di coordiate geeralizzate idipedeti s 1,..., s per mezzo di ua trasformazioe putuale q k = q k (s, t) co k = 1,..., ed s = (s 1,..., s ). Dimostrare che la forma delle equazioi di Lagrage è ivariate rispetto alle trasformazioi putuali. Dimostrazioe. Per j, k = 1,..., abbiamo q j = q j ṡ i + q j s i=1 i t = q j ṡ i = q j s i Ora, L = L(q(s, t), q(s, ṡ, t), t), duque ( d L dt ṡ k L s k = L = ṡ k ) = = L q j + q j=1 j s k j=1 j=1 j=1 L q j q j=1 j s k L q j = q j ṡ k j=1 ( ) d L qj + dt q j s k ( ) d L qj + dt q j s k L q j q j s k L q j=1 j ( d dt L q j. q j=1 j s k I coclusioe, per k = 1,...,, ricordado che ( ) d L L = 0 dt q j q j per j = 1,...,, ( d L dt ṡ k = j=1 j=1 ) L ( d L dt q j L q j q j s k = = s k ) qj + s k j=1 L q j q j=1 j s k [ d L L dt q j q j j=1 L q j q j s k + ] qj s k = 0. ) q j = s k 3. Dimostrare che vale la seguete forma di Nielse delle equazioi di Lagrage: Ṫ 2 T = Q j (j = 1,..., ) q j q j dove T = T(q, q, t) è l eergia cietica, Ṫ dt/dt e Q j è la j-esima forza geeralizzata. 14

29 1.4 poteziali geeralizzati e fuzioi di dissipazioe Dimostrazioe. Partiamo dalle equazioi di Lagrage (1.12), valide ache i preseza di forze attive geeralizzate o coservative. Osserviamo che: Allora dt(q, q, t) dt = ( T q j + T q j=1 j Ṫ = T + q k q k = T q k + j=1 j=1 = T q k + d dt ) + T t q j q j [ 2 T q j + q k q j [ ( ) T q j ( T q k ). q k = 2 T q k q j q j q j + q j ] + 2 T q k t = ( ) ] T q j + t q k ( ) T = q k Ṫ 2 T q k = Q q k k T + d ( T q k dt q ( k d T dt q k ) 2 T = Q q k k ) T q k = Q k. 15

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31 P R I N C I P I O VA R I A Z I O N A L E D I H A M I LT O N E D E Q U A Z I O N I D I L A G R A N G E pricipio di hamilto Prederemo ora i cosiderazioe solo quei sistemi di N particelle putiformi, co vicoli oloomi lisci, per i quali tutte le forze attive soo derivabili da u solo poteziale scalare geeralizzato (questa richiesta è fatta solo per semplicità e seza perdere i geeralità), fuzioe cioè delle coordiate e delle velocità delle particelle e del tempo. Questi sistemi soo detti moogeici. I particolare, se il poteziale è fuzioe esplicita solo delle coordiate di posizioe delle particelle il sistema è detto coservativo. Vedremo fra poco, come sia possibile otteere le equazioi di Lagrage relative a u sistema moogeico a partire da u pricipio itegrale (il pricipio variazioale di Hamilto), il quale prede i cosiderazioe l itero moto del sistema tra due istati t 0 e t 1 e le piccole variazioi di questo moto rispetto a quello reale. Per fare questo avremo bisogo di elemeti di calcolo delle variazioi, che cercheremo di esporre el modo più elemetare possibile, utilizzado soltato le teciche familiari del calcolo differeziale. La cofigurazioe del sistema (oloomo e moogeico), oggetto di studio, è supposta descritta dai valori di coordiate geeralizzate q 1, q 2,..., q e corrispode alla posizioe di u puto q = (q 1,..., q ) i uo spazio -dimesioale che, come sappiamo, è detto spazio delle cofigurazioi. Al variare del tempo il puto q(t), che rappreseta il sistema, si muove ello spazio delle cofigurazioi descrivedo ua curva che è, ovviamete, la traiettoria del moto del sistema. Come abbiamo già acceato, il pricipio variazioale prede i cosiderazioe solo quelle traiettorie che costituiscoo u isieme di traiettorie variate sicroe. I altre parole, si cosiderao tutti quei movimeti q = q(t) del sistema co t [t 0, t 1 ], itervallo base, tali che q(t 0 ) = q (0) e q(t 1 ) = q (1). Chiameremo ammissibile u movimeto q(t) che gode di questa proprietà. Noi supporremo sempre, salvo avviso cotrario, che le fuzioi siao di classe C. I figura 2.1 soo riportate, i uo spazio delle cofigurazioi bidimesioale, alcue traiettorie ammissibili, che partoo dalla cofigurazioe iiziale q (0) al tempo t 0 e arrivao alla cofigurazioe fiale q (1) al tempo t 1. Sappiamo che è possibile itrodurre per il ostro sistema (oloomo e moogeico) la fuzioe lagragiaa L = T V, (2.1) dove T è l eergia cietica del sistema e V è il poteziale geeralizzato. Naturalmete si avrà L = L (q, q, t). (2.2) 17

32 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage q 2 q (1) 2 q (0) 2 q (0) 1 q (0) 1 q 1 Figura 2.1: Alcue traiettorie ammissibili i uo spazio delle cofigurazioi bidimesioale Cosideriamo il fuzioale azioe S [q(t)] = t1 t 0 L (q(t), q(t), t) dt, (2.3) dove q(t) è u moto ammissibile (cioè q(t 0 ) = q (0) e q(t 1 ) = q (1) ). Osserviamo che S [q(t)] ha valori i R e o è ua fuzioe di fuzioe (o è ua fuzioe del tempo), ma u itegrale di liea che dipede dal moto q(t). Il valore che S [q(t)] assume dipede ovviamete dal moto ammissibile q(t) scelto. Itroduciamo il Pricipio (variazioale di Hamilto) - Tra i moti ammissibili del sistema compresi tra gli istati t 0 e t 1, il moto reale è quello che rede stazioaria l azioe. Ricordiamo cosa si itede per puto stazioario di ua fuzioe f : R R di classe opportua. Si dice che x 0 R è u puto stazioario di f se f (x 0 ) = 0. U puto stazioario (o critico) di ua fuzioe può allora essere u estremate relativo (di massimo o di miimo) o di flesso orizzotale oppure é estremate relativo é flesso orizzotale. Ioltre se x 0 è u puto stazioario si ha f (x 0 + ε) f (x 0 ) = f (x 0 )ε + O(ε 2 ) = O(ε 2 ). I modo aalogo diremo che l azioe è stazioaria lugo ua certa traiettoria se su di essa assume, a meo di ifiitesimi di ordie superiore al primo, lo stesso valore corrispodete a traiettorie che differiscoo da quella cosiderata per uo spostameto ifiitesimo. Più precisamete se idichiamo co q(t) u moto ammissibile che rede stazioaria l azioe e co q(t, ε) = q(t) + εh(t) ua traiettoria diversa, dipedete dal parametro ε R (assumiamo ε 1) e dalla fuzioe vettoriale h(t) = (h 1 (t),..., h (t)) soggetta alla codizioe h(t 0 ) = h(t 1 ) = 0 (2.4) 18

33 2.1 pricipio di hamilto (ifatti q(t, ε) deve essere u moto ammissibile e pertato q(t 0, ε) = q (0) e q(t 1, ε) = q (1) ), abbiamo che S [q(t, ε)] S [q(t)] = O(ε 2 ). (2.5) Vogliamo ora provare che ua traiettoria ammissibile q(t) che rede stazioaria l azioe soddisfa le equazioi di Lagrage ( ) d L(q, q, t) L(q, q, t) = 0 (k = 1,..., ). (2.6) dt q k q k Abbiamo ifatti: S [q(t, ε)] S [q(t)] = = = t 0 t1 [ ( L q(t) + εh(t), q(t) + ε ḣ(t), t ) L (q(t), q(t), t) ] dt = t 0 ( ) L (q(t), q(t), t) L (q(t), q(t), t) h i (t) + ḣ i (t) ε dt + O(ε 2 ). q i q i t1 t 0 i=1 Osserviamo che L ḣ i (t) = d ( ) L h i (t) q i dt q i t1 ( ) d L h i (t) dt = dt q i ( d dt [ L h i (t) q i L q i ] t1 ) h i (t); t 0 = 0 perché valgoo le (2.4). Allora la (2.7) può essere riscritta come S [q(t, ε)] S [q(t)] = t1 ( L (q(t), q(t), t) = d q i dt i=1 t 0 ) L (q(t), q(t), t) h i (t)ε dt + O(ε 2 ). q i (2.7) (2.8) Se impoiamo la codizioe che l azioe sia stazioaria lugo q(t), valga cioè la (2.5), e teiamo presete che h i (t), co i = 1,...,, soo fuzioi di classe C arbitrarie, soggette soltato alla codizioe h i (t 0 ) = h i (t 1 ) = 0, abbiamo t1 t 0 ( L (q(t), q(t), t) d q i dt L (q(t), q(t), t) q i ) h i (t) dt = 0 (i = 1,..., ). (2.9) Vogliamo ora provare che queste equazioi implicao che L (q(t), q(t), t) d ( ) L (q(t), q(t), t) = 0 (i = 1,..., ), q i dt q i cioè soo soddisfatte le equazioi di Lagrage. Vale il seguete Lemma (fodametale del calcolo variazioale) - Se ua fuzioe liscia f : [t 0, t 1 ] R verifica la proprietà t1 t 0 f (t)g(t) dt = 0 (2.10) per ogi fuzioe liscia g : [t 0, t 1 ] R, soggetta alla codizioe g(t 0 ) = g(t 1 ) = 0, allora f (t) = 0 t [t 0, t 1 ]. 19

34 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage Dimostrazioe. Ragioiamo per assurdo e suppoiamo che t (t 0, t 1 ) i cui f o si aulli. Seza perdere i geeralità possiamo supporre f (t ) > 0. Per cotiuità I(t ) (t 0, t 1 ), itoro di t, i cui f è sempre positiva, avedo idicato co I(t ) u itoro aperto di t. Possiamo sempre predere ua fuzioe liscia g, state la sua arbitrarietà, che sia positiva i I 1 (t ) I(t ) e ulla altrove. 1 Ne cosegue che t 1 t f (t)g(t) dt > 0. Questo è assurdo. Allora f (t) = 0 t (t 0, t 1 ) = f (t) = 0 t [t 0, t 1 ]. Se chiamiamo δq i (t) = εh i (t) la variazioe dell i-esima compoete di q(t) e co δs la corrispodete variazioe dell azioe, relativa all ifiitesimo δq, la relazioe (2.8) può essere scritta ella forma: δs = t1 ( L d i=1 t 0 q i dt L q i ) δq i (t) dt. Questo risultato ci dice, ache per il lemma precedete, che se l azioe è stazioaria lugo q(t), cioè se δs = 0, allora valgoo le equazioi di Lagrage. I modo sitetico possiamo scrivere: δs = 0 L(q, q, t) q i d ( ) L(q, q, t) = 0 (i = 1,..., ). dt q i Osservazioe. Abbiamo visto che le equazioi di Lagrage (o di Eulero-Lagrage) elle ipotesi fatte (sistemi, cioè, oloomi e moogeici) discedoo da ua legge geerale, il pricipio variazioale di Hamilto. No possiamo stabilire, a priori, se il moto reale q(t), che soddisfa le equazioi di Lagrage, ha la proprietà di miimizzare l azioe, ache se il pricipio di Hamilto è spesso detto pricipio della miima azioe. Osservazioe. Nel Capitolo 1 abbiamo visto che le equazioi di Lagrage soo ivariati per la trasformazioe L = L + df dt. Ache il pricipio variazioale di Hamilto è acora valido se alla lagragiaa aggiugiamo la derivata totale rispetto al tempo di u arbitraria fuzioe scalare F(q(t), t) di classe opportua, ifatti: S [q(t)] = t1 t 0 ( L(q(t), q(t), t) + ) df(q(t), t) dt = dt = S + F(q(t), t) t 1 t 0 = S + F(q(t 1 ), t 1 ) F(q(t 0 ), t 0 ), cioè S ed S differiscoo per u termie supplemetare che si aulla quado varia l azioe. Duque la codizioe δs = 0 coicide co la codizioe δs = 0 e la forma delle equazioi del moto resta immutata. 1 Osserviamo che la fuzioe g scelta si aulla, ovviamete, i t 0 e t 1. 20

35 2.2 applicazioi del calcolo delle variazioi 2.2 applicazioi del calcolo delle variazioi Possiamo utilizzare il pricipio variazioale per studiare le proprietà di stazioarietà o estremali di fuzioali diversi dall azioe. Suppoiamo i particolare di avere ua famiglia di curve i uo spazio - dimesioale, ogua descritta da ua fuzioe vettoriale liscia y(x) co x [x 0, x 1 ], tutte soggette alle codizioi y(x 0 ) = y (0) e y(x 1 ) = y (1), e ua fuzioe scalare liscia U = U (y(x), ẏ(x), x). Vogliamo determiare y(x) che rede stazioario il fuzioale J[y(x)] = x1 x 0 u (y(x), ẏ(x), x) dx. Notiamo che possoo esserci casi più complessi, i cui per esempio U è fuzioe ache di derivate di ordie superiore al primo di y(x), oppure x R m co m 2. La trattazioe del problema può ache essere portata avati esattamete come el caso dell azioe: si ricerca y(x) che rede stazioario il fuzioale J. No sempre è semplice stabilire poi se la fuzioe trovata abbia la proprietà di miimizzare o di massimizzare J. Ricordiamo che codizioe ecessaria perché y(x) sia u miimo o u massimo locale per J è che esso sia u puto stazioario. Si arriverà ovviamete a equazioi scalari che cotiueremo a chiamare di Lagrage o di Eulero-Lagrage: ( ) d u u = 0 dx ẏ k y k (k = 1,..., ) Cammio più breve fra due puti i u piao Siao dati A(x 0, y 0 ) e B(x 1, y 1 ) i u piao (vedi figura 2.2). Suppoiamo che x 0 < x 1. Se idichiamo 2 ua geerica curva regolare 3 co y = y(x) di estremi A e B e co s l ascissa curviliea, abbiamo che: ds = I questo caso allora J[y(x)] = (dx) 2 + (dy) 2 = 1 + ẏ 2 (x) dx. x1 x ẏ 2 (x) dx. Ovviamete u = u(ẏ) = 1 + ẏ 2 (x) e y(x) è el ostro caso ua fuzioe scalare. Adoperado le equazioi di Eulero-Lagrage: d dx ( ) u u ẏ y = 0. 2 Se x 0 = x 1 possiamo cosiderare fuzioi del tipo x = x(y). 3 I realtà possiamo sempre supporre che y sia liscia. 21

36 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage y y 1 B y 0 A x 0 x 1 x Figura 2.2: Cammii ammessi tra due puti el piao. Essedo u/ y = 0 risulta u ẏ = ẏ 1 + ẏ 2 = c, dove c è ua costate rispetto a x. Di cosegueza ẏ(x) = a, co a costate legata a c da a = c/ 1 c 2. Quidi y(x) = ax + b, cioè la curva che miimizza il fuzioale J è il segmeto di estremi A e B. Impoedo i particolare che y(x 0 ) = y 0 e y(x 1 ) = y 1 otteiamo le costati di itegrazioe a = y 1 y 0 x 1 x 0 b = x 1y 0 x 0 y 1 x 1 x 0. Si prova facilmete, i questo caso, che y(x), che rede stazioario J, miimizza il fuzioale. I altre parole possiamo dire che la curva che el piao xy cogiuge A e B e ha lughezza miima è il segmeto di estremi A e B. J[y(x) + εh(x)] J[y(x)] = ε2 2 x1 x 0 uẏẏ (ẏ(x))ḣ2 (x) dx + O(ε 3 ). Nel ostro caso uẏẏ (ẏ(x)) = 1/ (1 + ẏ 2 (x)) 3 > 0. Perciò, per ε 1, J[y(x) + εh(x)] J[y(x)], cioè la fuzioe trovata miimizza il fuzioale (se ḣ(x) o è ideticamete ulla). Esercizi 1. Verificare che il moto reale di ua particella libera e isolata rede miima l azioe. 2. Ua particella è soggetta al poteziale U(x) = Fx, co F costate. La particella si muove dal puto x = 0 al puto x = a ell itervallo di tempo [t 0, t 1 ]. Si assuma che il moto della particella si possa esprimere ella forma x(t) = A + Bt + Ct 2. Trovare i valori di A, B, C che redoo miima l azioe. 22

37 2.2 applicazioi del calcolo delle variazioi A x 1 x U = 0 y 1 B y Figura 2.3: Schema del problema della brachistocroa Il problema della brachistòcroa Il problema della brachistòcroa può essere espresso el modo seguete: Problema (della brachistòcroa) - Dati due puti A e B i u piao verticale, co A ad altezza maggiore di B, trovare tra tutti gli archi di curva che li cogiugoo, la traiettoria che ua particella putiforme di massa m, co velocità iiziale ulla, deve percorrere per adare da A a B i modo che il tempo di percorreza sia il miimo possibile. Per risolvere il problema poiamo l origie degli assi i A (0, 0) e orietiamo l asse delle ordiate verso il basso (vedi figura 2.3). Suppoiamo B (x 1, y 1 ) co x 1 > 0 e y 1 > 0 (se x 1 = 0, cioè se B appartiee all asse delle y il problema è baale: la soluzioe è data dal segmeto AB). Le equazioi della traiettoria (passate per i puti assegati): y = y(x) y(0) = 0 (x [0, x 1 ]) y(x 1 ) = y 1 Cosideriamo la solita ascissa curviliea s a partire da A: ds = (dx) 2 + (dy) 2 = 1 + ẏ 2 (x) dx. Suppoiamo i vicoli oloomi e lisci. Fissiamo i y = 0 il livello 0 dell eergia poteziale (relativa alla forza peso). Allora: 1 2 mv2 mgy = 0 = v = 2gy, dove g è l accelerazioe di gravità e v la velocità i y (otare che y > 0, v > 0 se x (0, x 1 ]). Poiamo dt = ds v = u(y(x), ẏ(x)) = 1 + ẏ 2 (x) dx (x (0, x 2gy(x) 1 ]). 1 + ẏ 2 (x) y(x) 23

38 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage quidi T 2g dt J[y(x)] = 0 x1 0 u(y(x), ẏ(x)) dx. Fra tutte le traiettorie, passati per A e B, quella che rede stazioario il fuzioale J (codizioe ecessaria per il miimo) soddisfa le equazioi di Lagrage co x (0, x 1 ]: Ora, d dx u ẏ = ( u(y, ẏ) ẏ ẏ y 1 + ẏ 2 ) u(y, ẏ) = 0. (2.11) y e duque d dx ( ) u(y, ẏ) ẏ = ẏ 2y y 1 + ẏ + ÿ 2 y (1 + ẏ2 ) ẏ 2 (2.12) 2y y. (2.13) u y = L equazioe (2.11), per le relazioi (2.12) e (2.13), diveta, x (0, x 1 ]: ẏ 2 2y y 1 + ẏ + ÿ 1 + ẏ 2 y (1 + ẏ2 ) y y ÿ(x) 1 + ẏ 2 (x) + 1 2y(x) = 0 Moltiplicado ambo i membri per ẏ(x) abbiamo Posto = 0 ẏ(x)ÿ(x) 1 + ẏ 2 (x) + ẏ(x) 2y(x) = 0 1 d 2 dx l ( 1 + ẏ 2 (x) ) + 1 d l y(x) = 0 2 dx 1 d 2 dx (l(1 + ẏ2 (x)) + l y(x)) = 0 (1 + ẏ 2 (x))y(x) = c y(x) c y(x) ẏ(x) = 1 = y(x) c y(x) dy = dx. (2.14) y = c 2 (1 cos τ) = dy = c si τ dτ 2 24

39 2.2 applicazioi del calcolo delle variazioi dove τ è u parametro (co y(τ = 0) = 0), dalla (2.14) abbiamo τ c 2 x = (1 cos τ ) c τ 0 c c 2 (1 cos τ ) 2 si τ dτ c si 2 τ 2 c = c 0 2 (1 + cos τ ) 2 si τ dτ = τ τ = c si2 2 c τ 0 c cos 2 τ 2 si τ dτ si τ 2 c = 0 2 cos τ 2 si τ dτ = 2 = τ 0 c si 2 τ 2 dτ = = c (τ si τ). 2 τ 0 c 2 (1 cos τ ) dτ = Nota che x(0) = 0. Cocludedo, le equazioi parametriche della traiettoria soo date da: x(τ) = c (τ si τ) 2 y(τ) = c (1 cos τ) 2 co τ [0, τ 1 ]. Le equazioi trovate soo quelle di ua cicloide. Sostituedo i valori delle coordiate di B si trovao dalle precedeti c e τ 1. Il sistema siffatto ammette sempre soluzioe. Rimae da provare (cosa o baale) che la soluzioe trovata miimizza il fuzioale. Possiamo tetare ua soluzioe del problema cambiado semplicemete puto di vista e cercado u espressioe del tipo x = x(y). I tal caso Posto risulta dt = ds v = ϕ = 1 + ẋ 2 y 1 + ẋ 2 2gy dy. T 2g dt = F[x(y)] = 0 Le equazioi di Lagrage soo ( ) d ϕ ϕ dy ẋ x = 0. y1 0 ϕ(x(y), ẋ(y), y) dy. Poiché ϕ/ x = 0, ϕ/ ẋ = costate, abbiamo ẋ y 1 + ẋ 2 = 1 a ẋ ẋ 2 = y a = ( ) dx 2 a y = 1 dy y 25

40 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage da cui si prosegue come i precedeza. Osserviamo però che i questo caso ϕ xx = ϕ xẋ = 0 e che ϕẋẋ = 1/ y(1 + ẋ 2 (y)) 3 > 0. Allora, se x(y) rede stazioario il fuzioale, abbiamo che F[x(y) + εh(y)] F[x(y)] = ε2 2 y1 0 ϕẋẋ ḣ 2 (y) dy + O(ε 3 ) 0 ovvero F[x(y) + εh(y)] F[x(y)], se ḣ(y) o ideticamete ulla, cioè x(y) è u miimo. 2.3 leggi di coservazioe Coordiate cicliche Abbiamo visto che il moto di u sistema di particelle oloomo e moogeico co gradi di libertà è goverato dalle equazioi di Lagrage d L (q, q, t) L (q, q, t) = 0 (k = 1,..., ) dt q q k dove L = T U e q k soo le coordiate geeralizzate. Apriamo ua piccola paretesi. Itrodotto u sistema di assi cartesiai solidale co u sistema di riferimeto ierziale, el caso di u puto materiale soggetto a ua forza coservativa abbiamo: Si vede che L = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2) U(x, y, z). L ẋ = mẋ p x, L ẏ = mẏ p y, L ż = mż p z, dove p x, p y e p z soo le compoeti rispettivamete lugo x, y e z della quatità di moto. I aalogia el caso più geerale possiamo chiamare p k = L (q, q, t) q k il mometo caoico o mometo coiugato alla coordiata geeralizzata q k. Osserviamo che se L/ q k = 0, cioè se la lagragiaa o dipede esplicitamete da q k, si ha d L = dp k dt q k dt = 0. Allora p k è costate rispetto al tempo. Diamo allora la seguete 26

41 2.3 leggi di coservazioe Defiizioe - Ua coordiata geeralizzata si dice ciclica o igorabile se la lagragiaa L, pur essedo fuzioe esplicita di q k, o dipede esplicitamete da q k. Possiamo pertato euciare la seguete proprietà: il mometo coiugato a ua coordiata geeralizzata ciclica si coserva. I modo equivalete possiamo dire che il mometo coiugato a ua coordiata ciclica è u itegrale primo del moto, i quato si traduce i ua relazioe del tipo f (q 1,..., q, q 1,..., q, t) = costate. Se q k è ua coordiata ciclica, allora L è ivariate rispetto a ua trasformazioe q k q k + α, co α costate. Ora, se q k, coordiata ciclica, è uo spostameto, si ha che ua traslazioe rigida lugo tale direzioe o ha effetto alcuo sul moto del sistema e il corrispodete mometo coiugato, che è ua quatità di moto, si coserva. Se ivece la coordiata ciclica q k è u agolo il sistema è ivariate per rotazioi itoro all asse corrispodete e il relativo mometo coiugato, che è u mometo agolare, si coserva. Troviamo per esempio i mometi geeralizzati el caso di ua particella i moto i u campo elettromagetico. Abbiamo visto che la lagragiaa di ua particella di massa m e carica 4 q i u campo elettromagetico è data da: L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) qϕ + q c A v dove v = ẋ ˆx + ẏŷ + żẑ è la velocità della particella, c è la velocità della luce el vuoto, ϕ, A soo il poteziale scalare e vettoriale rispettivamete. Il mometo coiugato a x è dato da P x = mẋ + q c A x = p x + q c A x dove p x = mẋ è la compoete lugo x dell usuale quatità di moto della particella. I maiera aaloga i mometi coiugati a y e z soo rispettivamete: P y = p y + q c A y, P z = p z + q c A z. Possiamo scrivere allora i forma vettoriale il mometo geeralizzato come P = p + q c A. Ora, se per ipotesi ϕ, A o dipedoo esplicitamete da x, cioè x è ua variabile ciclica, allora il mometo coiugato rispetto a x, cioè P x, è ua costate del moto. Esercizi Verificare l esisteza di ua coordiata ciclica ell esercizio 2c di pagia 11. Dare u iterpretazioe fisica del corrispodete mometo coiugato. 4 Qui co il simbolo q o idichiamo ua coordiata geeralizzata! 27

42 pricipio variazioale di hamilto ed equazioi di lagrage Verificare l esisteza di ua coordiata ciclica ell esercizio 3 di pagia 11. Dare u iterpretazioe fisica del corrispodete mometo coiugato. Si scriva i coordiate cilidriche la lagragiaa di ua particella di massa m e carica q i u campo magetico (costate) geerato da u filo rettilieo percorso da correte stazioaria I. Esistoo coordiate cicliche? (Piccolo suggerimeto: scrivere il poteziale vettore A impoedo che valga la gauge di Coulomb, div A = 0.) Fuzioe eergia Sia L = L (q, q, t) la lagragiaa di u sistema co gradi di libertà, dove q = (q 1,..., q ). Si ha che ( dl L dt = q q k + L ) q k=1 k q k + L k t. Poiché per k = 1,..., si ha, dalle equazioi di Lagrage, L q k = d dt L q k allora: [( ) dl d dt = L q dt q k + L ] q k=1 k q k + L ( ) k t = d L q dt q k + L k=1 k t ] d L q dt q k L + L = 0. (2.15) k t [ k=1 Chiamiamo fuzioe eergia la quatità h (q, q, t) = k=1 L q k q k L. Allora la relazioe (2.15) si scrive ache: dh dt = L t. Se L = L(q, q), cioè se L/ t = 0, h è ua costate del moto. Sotto opportue ipotesi h è proprio l eergia totale del sistema. Se l eergia cietica è ua fuzioe omogeea di secodo grado delle q k, cioè T = A jk (q, t) q k q j k,j=1 co A kj = A jk, e se il poteziale V o dipede da q, allora L = 2 q i k=1 A ik q k 28

43 2.3 leggi di coservazioe e quidi Allora L q i = 2T. q i=1 i h = L q i L = 2T T + V = T + V q i=1 i che è l eergia totale del sistema. Se la lagragiaa o dipede esplicitamete dal tempo abbiamo allora che l eergia del sistema è ua costate del moto. 29

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45 A P P L I C A Z I O N I D E L L E E Q U A Z I O N I D I L A G R A N G E problema dei due corpi Suppoiamo di avere u sistema isolato di due particelle di massa m 1 ed m 2, soggette alla mutua iterazioe di atura coservativa. Rispetto a u osservatore O ierziale idichiamo co r 1 ed r 2 i vettori posizioe delle due particelle. Il vettore posizioe del cetro di massa è: R = m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2, (3.1) metre il vettore posizioe relativa è dato da r = r 2 r 1. (3.2) Possiamo esprimere r 1 ed r 2 mediate i vettori appea itrodotti: r 1 = R m 2 m 1 + m 2 r, r 2 = R + m 1 m 1 + m 2 r. (3.3) Assumiamo che l eergia poteziale (relativa alla mutua iterazioe) abbia la seguete proprietà: U = U(r). (3.4) La forza agete sulla particella 2 è data da F 2 = r2 U(r) = r U(r), metre la forza agete sulla particella 1 è F 1 = r1 U(r) = r U(r). Abbiamo pertato F 1 + F 2 = 0 (forma debole del pricipio di azioe e reazioe). Notiamo che se U = U(r) allora F 2 = du/dr ˆr = F 1 (forma forte del pricipio di azioe e reazioe). La lagragiaa del sistema delle due particelle è L = 1 2 m 1 ṙ m 2 ṙ 2 2 U(r). (3.5) Sulla base delle relazioi (3.3), la (3.5) si può scrivere come L = m 1 + m 2 Ṙ m 1 m 2 ṙ 2 U(r) (3.6) 2 2 m 1 + m 2 La quatità µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ) è detta massa ridotta (si oti che 1/µ = 1/m 1 + 1/m 2 e che se m 2 m 1, allora r 1 R e µ m 2 ). Dall espressioe (3.6) si deduce che Ṙ = V è costate, essedo R ciclica. Il cetro di massa perciò è i quiete o si muove di moto rettilieo uiforme. Possiamo 31