FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA TESI DI LAUREA DINAMICHE COMPLESSE IN CONVERTITORI DI POTENZA DC/DC

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA TESI DI LAUREA DINAMICHE COMPLESSE IN CONVERTITORI DI POTENZA DC/DC Relatore Ch. mo. Prof. Cadidato BARBATI MICHAEL MASSIMILIANO de MAGISTRIS matr. 5/8889 Correlatore Ch. mo. Prof. MARIO di BERNARDO ANNO ACCADEMICO

2 INTRODUZIONE I CAPITOLO I: CARATTERIZZAZIONE DEI SISTEMI NON LINEARI, BIFORCAZIONI E CAOS DETERMINISTICO.. INTRODUZIONE. ANALISI QUALITATIVA DI UN SISTEMA NON LINEARE 5.. Esempio di u modello matematico mal posto: circuito di polarizzazioe di u diodo tuel 6 3. NON LINEARITÀ E CAOS DETERMINISTICO 3.. Caratterizzazioi derivati dalle simulazioi umeriche Diagramma di biforcazioe Attrattori ei sistemi o lieari Caratterizzazioi aalitiche dello spazio di stato Isiemi ivariati e Maifolds Liearità a tratti 9 4. MAPPA DI POINCARÉ E SISTEMI TEMPO DISCRETI Esempi di Mappe smooth del primo ordie e biforcazioi stadard 3 CAPITOLO II: COMPORTAMENTO COMPLESSO DEI CONVERTITORI DI POTENZA DC/DC 37. INTRODUZIONE 37. CONVERTITORI DC/DC MODELLIZZAZIONI A CICLO APERTO Modello tempo cotiuo Diamiche di stato semplificate Buck-coverter Boost coverter 5 4. STRATEGIE DI CONTROLLO CURRENT E VOLTAGE MODE COMPORTAMENTO COMPLESSO DI UN BUCK CONVERTER 57

3 5.. Espressioe aalitica della soluzioe relativa alle topologie circuitali base Caratterizzazioe geometrica dello spazio di stato Modello tempo discreto e mappa di Poicarè Mappa i forma chiusa e biforcazioi stadard Aalisi di ua mappa o i forma chiusa Sistemi lieari a tratti e mappe piecewise smooth Aalisi locale delle biforcazioi o stadard Buck coverter forito di latch 75 CAPITOLO III: SIMULAZIONI NUMERICHE 77. SIMULAZIONI NUMERICHE ED APPROSSIMAZIONE. 77. STUDIO DELLE BIFORCAZIONI STANDARD IN MAPPE SMOOTH 80.. Buck coverter del primo ordie 80.. Buck coverter i coduzioe DCM Buck coverter i coduzioe CCM 89 APPENDICE: LISTATI MATLAB UTILIZZATI 95 BIBLIOGRAFIA 0

4 Itroduzioe Itroduzioe La o liearità appare caratterizzare uiversalmete, ache se i diversa misura, tutti i feomei fisici. Le diamiche espresse da sistemi spiccatamete o lieari ed il comportameto caotico come loro estrema cosegueza hao ricevuto egli ultimi ai l attezioe dei ricercatori i diversi settori grazie soprattutto alla straordiaria crescita della poteza di calcolo dispoibile Le diamiche o lieari posseggoo, di fatto, ua maggiore ricchezza rispetto a quelle lieari azitutto a causa del maggiore coteuto spettrale rispetto ai quello dei segali di sollecitazioe. A ciò va aggiuto poi che la o liearità è assolutamete idispesabili per la realizzazioe di fuzioi quali, moltiplicazioi e divisioi i frequeza, geerazioe e modulazioe di segali elettrici oscillati assai utili i svariate applicazioi pratiche. Accato a queste diamiche, o lieari ma regolari, vao cosiderate ache diamiche cosiddette caotiche per la loro apparete irregolarità. Va comuque sottolieato che diamiche o lieari e caos rappresetao due modalità di fuzioameto relative alla stessa tipologia di sistemi il cui maifestarsi è discrimiato solo dalle specifiche codizioi operative preseti. Val la pea ricordare che ua qualche correlazioe fra maifestazioi irregolari e codizioi operative di u sistema o lieare fu per la prima volta riportata da Va der Pol il quale segalò la preseza sistematica, per date codizioi operative, di u rumore irregolare i u semplice circuito oscillatore costituito da ua batteria, u capacitore, u resistore e da u geeratore di segale di khz realizzato per otteere oscillazioi sub armoiche. Prima di allora tali correlazioi erao igorate perché la preseza di variazioi irregolari erao attribuite a o meglio specificati feomei rumorosi. i

5 Itroduzioe Parlare di caos, quidi, o è solo oggetto esclusivo della ricerca pura, tato più se si tiee coto che esiste u ampia gamma di circuiti di applicazioe pratica, tra cui apputo i covertitori di poteza, oggetto di questa tesi, che possoo esibire diamiche o lieari e caotiche. Gli studi di tali diamiche codotti attraverso la simulazioe umerica dei modelli differeziali associati dao ua descrizioe del feomeo da cui è difficile adare oltre semplici osservazioi qualitative. Risulta pertato importate la possibilità di mettere a puto strumeti di aalisi utili alla compresioe di dette feomeologie, ma soprattutto alla idividuazioe degli ambiti, rispetto ad ua variazioe parametrica, i cui esse si maifestao. I covertitori di poteza soo circuiti dalla topologia commutate el tempo fra diverse cofigurazioi riteibili, i prima approssimazioe, lieari grazie alla preseza i esse di dispositivi a commutazioe quali iterruttori. Il loro modello matematico è pertato costituito da equazioi differeziali lieari, tempo variati, che comuque presetao ua struttura matematica lieare i sottospazi dello spazio di stato. Ciò che coferisce ad essi u carattere o lieare, quidi complesso, è la tipologia di cotrollo i retroazioe adottata per redere le codizioi operative di fuzioameto stabili rispetto a variazioi parametriche, di igresso o di carico supportato. Operativamete l aalisi e la sitesi di questi dispositivi avviee utilizzado metodogie approssimate la cui validità risulta utile ed efficace solo ei cotesti cosiderati covezioali, vale a dire co adameto periodico semplice. I suggerimeti di maggiore efficacia, per l approdo a metodogie di più ampio respiro, provegoo dalla modellizzazioe tempo discreta degli stessi, già presete i verità ell approccio tradizioale. La mediazioe temporale dei comportameti esibiti ha permesso, ifatti, il recupero di u classico strumeto di studio dei sistemi o lieari quali la mappa di Poicaré. La atura tempo autooma dei sistemi tempo discreti derivati grazie alla possibilità di esprimere aaliticamete l evoluzioe temporale esibita ei tratti di liearità, rede possibile applicare ad essi gli strumeti tradizioali della

6 Itroduzioe teoria delle biforcazioi. Tale teoria, che ell ultimo deceio ha otteuto u sufficiete cosolidameto, cosete l aalisi delle variazioi comportametali esibite i preseza di variazioi parametriche del modello e l idividuazioe dei valori i cui tali cambiameti avvegoo. La validità di questa modalità di aalisi è legata alla atura smooth del legame presetato dalla mappa rispetto alla variazioe parametrica i esame, cosa che data la atura discotiua del sistema di parteza o è sempre verificata. Ne deriva la possibilità di riscotrare variazioi di comportameto o iquadrabili ei criteri formulati dalla teoria delle biforcazioi tradizioale. A riguardo esistoo metodi oggetto di attuale ricerca cosisteti ella geeralizzazioe del cocetto di mappa smooth i piecewise smooth grazie proprio alla atura lieare a tratti dei dispositivi cosiderati. Il lavoro di tesi è cosistito ello studio dello stato attuale della ricerca a riguardo dei comportameti complessi ei covertitori di poteza. Per quato appea detto soo stati riportati el primo capitolo gli strumeti di aalisi dei sistemi o lieari a carattere geerale oché le valutazioi base della teoria delle biforcazioi. Per etrambi gli aspetti l attezioe maggiore è stata riservata alla mappa di Poicaré. I seo al secodo capitolo l attezioe si è spostata sulla tipologia dei covertitori di poteza dc/dc e, dopo ua breve caratterizzazioe geerale ed u richiamo alle schematizzazioi tradizioalmete adottate ella loro aalisi e sitesi, si è focalizzata l attezioe sulle diamiche complesse esibite da u buck coverter cotrollato i tesioe. Specificatamete ad esso soo stati evideziati gli ambiti di utilizzabilità delle mappe discrete sia smooth che piecewise smooth per lo studio delle diamiche esibite al variare della tesioe trattata i igresso. Ifie, el capitolo III, soo state codotte esperieze umeriche ello spirito di verificare esempi di studi codotti co alcui degli strumeti illustrati.

7 Capitolo I: Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos determiistico.. INTRODUZIONE L aalisi di u sistema fisico parte dalla sua modellizzazioe, vale a dire dall espressioe di relazioi matematiche itercorreti fra u certo umero di attributi misurabili riteuti sigificativi dei comportameti da esso maifestati. Tra questi si distigue ua particolare categoria, quella dei parametri di stato, il cui valore, i ogi istate, sitetizza l effetto della storia passata del sistema sul suo adameto futuro. I sistemi solitamete aalizzati i elettroica ed i pricipi fisici da cui soo caratterizzati coducoo all espressioe di legami tra la velocità di variazioe delle variabili di stato co i propri valori istataei oltre che co altri attributi su cui ci si riserva capacità di cotrollo estera riteuti segali di sollecitazioe al sistema. Il tutto viee sitetizzato, matematicamete, i u sistema di equazioi differeziali a derivate totali: - -

8 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos x = F(x, t) [I. ] dove F è, i geerale, u fuzioale o lieare. A questa va aggiuto, per completezza, la codizioe sul valore iiziale assuto dalle variabili di stato: x ( t 0 ) = x 0 [I. ] che isieme alla [I.] costituisce matematicamete il così detto problema di Cauchy. Geometricamete, l evoluzioe temporale esibita dal sistema è visualizzata i uo spazio di cui le variabili di stato idividuao le coordiate cartesiae; a partire dal puto iiziale il movimeto della traiettoria è completamete determiato dal sistema di equazioi [I.]. Questa appare, ifatti, come la defiizioe aalitica di u campo vettoriale delle velocità di variazioe delle variabili di stato ai cui la traiettoria, seguita dal sistema, risulta tagete.[rif.9] È la forma matematica della [I.] ad ifluire, più di ogi altra cosa, sulle deduzioi effettuabili i termii di compresioe e di cotrollabilità dei feomei modellizzati. La classe dei sistemi derivabili, ad esempio, dall ipotesi semplificativa di riteere il fuzioale F(x,t) lieare e tempo ivariate, ha permesso di sviluppare, el corso degli ai, strumeti di aalisi e sitesi dotati di grade maeggevolezza e semplicità. Si pesi alla possibilità, offerta dal Metodo Simbolico, di tradurre i modelli differeziali i forme poliomiali fratte, trattabili co più semplici teciche algebriche, oppure al Pricipio di Sovrapposizioe degli effetti grazie al quale è sufficiete aalizzare il comportameto del sistema i rapporto ad ua categoria ridotta di sollecitazioi per cooscere la reazioe ad u ampia tipologia di segali i igresso. --

9 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos Co ogua di queste teciche si arriva all esplicitazioe aalitica dell evoluzioe temporale espressa dal sistema, cosa che cosete di misurare quatitativamete u cocetto assai importate quale quello della stabilità del sistema rispetto a variazioi delle così dette codizioi omiali. Le possibilità di maipolazioe aalitica della stessa cosete di procedere ache i termii di sitesi offredo la possibilità di stabilire le codizioi iiziali, il dimesioameto dei parametri fisici del sistema e l igresso al fie di otteere u uscita desiderata, i altri termii, ciò che è detta la codizioe omiale di fuzioameto. Le codizioi operative causao, ievitabilmete, u discostameto da questa ultima, quidi, risulta assai preziosa la capacità di quatificare tale discostameto. Nell ambito dei sistemi lieari, ad esempio, è possibile ricooscere el modello aalitico associato la capacità di esibire variazioi coteute i relazioe a discostameti piccoli oppure addirittura u ritoro all uscita desiderata cosa che va sotto il ome di stabilità strutturale. La modellizzazioe co F(x,t) o lieare riveste u ampio ambito di feomei aturali ma, matematicamete, o cosete di adare oltre valutazioi di base quali l esisteza e l uicità della soluzioe, utili, i fase di modellizzazioe, ma che o dicoo ulla sulla caratterizzazioe del comportameto i rapporto alla preseza di disturbi esteri o variazioi parametriche del modello, tutte cose importati quado di u feomeo fisico si voglia fare u'implemetazioe tecica. No è pesabile evitare le o liearità, implemetado solo strutture che e siao immui, sia per la sua itriseca preseza ella atura sia per l utilità delle fuzioi o lieari, le operazioi di moltiplicazioe e di raddrizzameto di tesioi, solo per citare qualcua, soo tutte fuzioi utili ma strettamete o lieari. Tale approccio, però, cosete di aalizzare e sitetizzare circuiti elettroici ella misura i cui è verificata la codizioe di piccolo segale, la quale diveta u limite elle -3-

10 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos implemetazioi i cui l ampia variazioe di segale rappreseta ua peculiarità fodametale, come avviee ad esempio elle circuiterie di poteza. L aspetto pricipale dei sistemi o lieari appare la varietà di comportameti esprimibili, tato più ricchi di quelli esibiti dai sistemi lieari da o essere iquadrabili secodo i criteri di aalisi sviluppati per quest ultimi. Ua ricchezza che, come già detto, i alcui casi e favorisce l utilizzazioe ma che preseta ache altre peculiarità o altrettato appetibili. Nei sistemi, le cui diamiche coivolgoo appieo le o liearità preseti si osservao, ifatti, improvvisi passaggi da diamiche regolari a regimi irregolari, simili a feomei aleatori per i quali furoo iizialmete scambiati, oché ua critica dipedeza da variazioi, ache piccole, della codizioe iiziale. La macaza di u espressioe aalitica della soluzioe esibita dal sistema rede tali maifestazioi totalmete imprevedibili. [rif.7] Deduzioi sigificative iiziao ad esserci ei casi i cui il fuzioale F(x) è schematizzabile attraverso ua liearizzazioe a tratti. La cosa rede possibile il recupero di chiavi di lettura lieari seza che però l aalisi vega scambiata come ua decomposizioe del problema i ambiti lieari, a partire dai quali, caratterizzare il comportameto complessivo semplicemete come uioe di questi. La ricchezza delle diamiche o lieari asce dalla iterazioe delle diamiche preseti ei suddetti ambiti lieari, tat è che è possibile che si verifichio comportameti limitati i ampiezza ache dove dall aalisi dei sotto itervalli si deducoo adameti divergeti [rif.5] [rif.6]. U altra importate cosegueza di quest approccio è la possibilità di ricorrere ad uo strumeto di aalisi dei sistemi differeziali costituito dalla così detta mappa discreta. Strumeto quest ultimo, coosciuto già da tempo, che cosete di associare a sistemi differeziali o lieari, tempo cotiui, sistemi tempo discreti o lieari ma autoomi, quidi, maggiormete trattabili da u puto di vista matematico. -4-

11 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos Soo possibili, ad esempio, valutazioi quatitative sul comportameto teuto dal sistema rispetto alle variazioi parametriche del modello, idividuado i valori umerici del parametro variabile, per i quali il sistema preseta u brusco cambiameto di comportameto, deomiato biforcazioe. Tale metodo risulta u utile ausilio da affiacare alle simulazioi umeriche a cui, purtroppo, è acora affidata la maggior parte della caratterizzazioe delle diamiche esibite da u sistema o lieare, co oeri computazioali, spesso assai oerosi, soprattutto a riguardo delle variazioi parametriche. [rif.3]. Aalisi qualitativa di u sistema o lieare Come già lasciato itedere l iteresse è focalizzato sui circuiti elettroici le cui dimesioi fisiche redoo trascurabili gli effetti propagativi. I tale cotesto, se si ipotizza la sussisteza di particolari ipotesi sulle compoeti il circuito, è possibile fare alcue valutazioi a carattere geerale sulla forma che assumerà il modello associato. I particolare, se le caratteristiche di evetuali iduttori e capacitori o lieari soo rispettivamete cotrollabili i flusso e carica e la rete resistiva associata preseta soluzioe uica, i pricipi di Kirchoff, sulla cui base si costruiscoo i legami quatitativi fra correti e tesioi permettoo di approdare ad u sistema di equazioi differeziali i forma ormale.[rif.4] I testi di aalisi avviao l aalisi dei sistemi differeziali proprio co ua caratterizzazioe qualitativa di questi ella forma ormale: dx dx dt dt = = f (x,..., x, t) f (x,..., x, t) che esprime i maiera estesa la [I.]. [I. 3] -5-

12 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos I particolare si sacisce l esisteza ed uicità della soluzioe ell ipotesi i cui F(x,t) sia lipschitziao cioè se per F, defiita su u isieme D di R m, x,y D risulta che K tale che: f (x) f (y) K* x y [I. 4]. itededo co la simbologia Z la orma metrica euclidea. Tale criterio, come già detto, appare assai utile i fase di modellizzazioe i quato cosete di ricooscere ella struttura matematica u evetuale problema mal posto caratterizzato, ad esempio, da puti di impasse ma preseta ache diversi limiti. Uo tra questi è seza dubbio, la possibilità che il fuzioale F(x,t) possa essere lipschitziao solo localmete alla codizioe iiziale. Ua lipschitziaità locale a tale puto o è utile a caratterizzare il comportameto asitotico esibito dal sistema quado questo si allotaa, el tempo, dalla codizioe iiziale. Aspetto importate visto che ell ambito dei sistemi o lieari risulta difficile ricooscere u adameto asitotico, come si vedrà i seguito. Ioltre suddetto pricipio o da alcu iformazioe sull itervallo di esisteza della soluzioe.[rif.4].. Esempio di u modello matematico mal posto: circuito di polarizzazioe di u diodo tuel Il semplice circuito di polarizzazioe di u diodo tuel costituisce u esempio di come ua cosiderazioe isufficiete dei feomei fisici coivolti porta ad u modello matematico iadeguato alla descrizioe delle diamiche esibite dal sistema. [rif.4] -6-

13 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos figura I.. Circuito di polarizzazioe di u diodo tuel e caratteristica di quest ultimo Il circuito illustrato è alimetato da ua sorgete di tesioe tempo variate la cui ampiezza è esprimibile come sovrapposizioe di compoete cotiua e compoete alterata, e ( t) = E + e ~ ( t). Se o cosideriamo alcu parametro diamico i pricipi di Kirchoff ci cosetoo di scrivere il seguete sistema di equazioi o lieari ordiarie: i = g(u) i = G(e(t) u) [I. 5] Aalizzabile i maiera grafica, ifatti, la sua soluzioe, puto di fuzioameto stazioario del sistema, è l itersezioe tra la caratteristica del diodo e la retta di carico i(t)=g(e-u). L asseza di ulteriori parametri di aalisi, però, comporta subito la difficoltà a trattare il caso i cui la retta di carico sia tale da presetare ua tera di soluzioi. figura I..Caso di triplice itersezioe della retta di carico co la caratteristica del diodo tuel. -7-

14 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos L itroduzioe del solo effetto iduttivo dei collegameti evolve il modello ella forma differeziale: e = Ri + i = g(u) di L dt + u [I. 6] esprimibile siteticamete ell uica equazioe differeziale: d(i(t)) L dt i(t) = e(t) g (i(t)) [I. 7] G l impossibilità di ivertire la caratteristica del bipolo è superata attraverso l espediete matematico di derivare la caratteristica del diodo tuel e di raccogliere il modello differeziale [I. 5] ell equazioe: du(t) dt = *[ G *( e(t) u(t) ) g(u(t)) ] [I. 8] dg / du L aalisi Dc del modello coicide co la trattazioe grafica effettuata precedetemete metre il tetativo di caratterizzare la variazioe della tesioe sul diodo attraverso lo studio del sego del termie di siistra della [.7] coduce a valutazioi cotraddittorie. Formalizzado, ifatti, il discorso ella seguete forma: dg G(e u) > g(u) ed > 0 du du > 0 oppure [I. 9] dt G(e u) g(u) dg < ed < 0 du -8-

15 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos Abbiamo la seguete situazioe grafica: figura I. 3.Codizioi relative a valori cresceti della compoete alterata dell igresso L iadeguatezza del modello appare quado la compoete alterata dell igresso, spostado la retta di carico da P a P 3, porta il puto di fuzioameto oltre Q da cui, per le caratterizzazioi appea effettuate, o sarebbe possibile muoversi. Per risolvere l impasse del puto Q è ecessario itrodurre el modello l effetto capacitivo della giuzioe trasformado circuito e modello rispettivamete i: figura I. 4. Schema completo del circuito di polarizzazioe del diodo tuel e el sistema di equazioi differeziali: di = dt du C dt L [ e u R *i] = G *(e u) g(u) [I. 0] -9-

16 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos La cosiderazioe fisica che la capacità parassita di ua giuzioe è piccola, quidi i L =i d, ci permette di caratterizzare graficamete il campo vettoriale associato al modello differeziale facedo iterveire ache la caratteristica del diodo. Possiamo ifatti riteere: di > 0 dt du > 0 dt cioè graficamete: u < e Ri i > g(u) [I. ] figura I. 5. Caratterizzazioe geometrica del campo vettoriale delle traiettorie di stato Il puto di impasse viee superato co u salto di discotiuità della tesioe sul diodo, pertato, la traiettoria seguita dal sistema, al variare della retta di carico co la compoete alterata, è rappresetata i figura: -0-

17 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos figura I. 6. Traiettoria seguita dai parametri di stato al variare della compoete alterata dell igresso attoro al puto A di fuzioameto. La discotiuità subita dalla correte è rilevata ache sperimetalmete. Il uovo modello prevede ache il comportameto oscillatorio presetato el caso la retta di polarizzazioe illustrato i figura: figura I. 7. Ciclo di oscillazioe relativo alla retta di carico illustrata Vale a dire ua situazioe di polarizzazioe i cui la retta di carico preseta pedeza maggiore della caratteristica el puto di fuzioameto i cotiua. --

18 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos 3. No Liearità e Caos Determiistico La o liearità è u aspetto imprescidibile della realtà ache ell ambito delle implemetazioi teciche i cui è il progettista a dettare, etro certi limiti, le regole del gioco, questo sia per il suo carattere itriseco ella atura sia per l utilità di alcue fuzioi o lieari. Molti dispositivi reali, ifatti, basao il loro fuzioameto sulle o liearità di alcue compoeti i essi coteute al fie di esprimere regimi impesabili secodo le modellizzazioi lieari. Questo vale, ad esempio, per gli oscillatori elettroici dove si esprimoo oscillazioi auto-sosteute avedo i igresso sollecitazioi costati oppure per i divisori di frequeza, utilizzati elle comuicazioi elettriche, i cui è possibile otteere oscillazioi subarmoiche a partire da u uica sollecitazioe siusoidale. I etrambi i casi citati, il diverso coteuto spettrale dei segali i uscita, rispetto a quelli i igresso, o è assolutamete otteibile secodo i modelli lieari. Come ribadito ell itroduzioe, u grosso limite all aalisi quatitativa dei sistemi o lieari è stata l impossibilità di otteere u espressioe aalitica dell adameto temporale delle traiettorie di stato. Ciò ha impedito, per lugo tempo, di procedere oltre primordiali valutazioi base ma soprattutto o ha permesso di compredere a fodo molte maifestazioi irregolari maifestate da tali sistemi ed imputate iizialmete a o meglio specificati feomei aleatori o modellizzati. Solo l avveto degli strumeti di calcolo automatico ha permesso di otare che questi regimi derivao ache dalle simulazioi umeriche dei modelli matematici associati. Questo ha codotto alla formulazioe del cocetto di caos determiistico, ad idicare il fatto che tali maifestazioi dal carattere aleatorio risultavao espresse i maiera determiistica dalla simulazioe umerica dei modelli associati.[rif.7] --

19 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos I sistemi o lieari, ifatti, presetao trasizioi improvvise, a seguito di variazioi parametriche el modello, da regimi regolari armoici ad adameti irregolari, di ampiezza limitata ma dal coteuto spettrale molto ampio, a cui si aggiuge ua critica sesibilità a variazioi ache piccole della codizioe iiziale, differeze sulla codizioe iiziale di meo del 0.00% divetao differeze del 0% sulla traiettoria successiva come riportato da Hasler a riguardo del circuito ferrorisoate i [rif.4]. U aspetto assai critico, quest ultimo, se si pesa che basta u icertezza ache miima sulla codizioe iiziale per perdere i attedibilità sull evoluzioe temporale delle traiettorie calcolate dalle simulazioi umeriche, icertezza itriseca ella operazioe stessa di misura. Iutile dire che ciò ha seriamete messo i discussioe il preesistete dogma scietifico che tutti i sistemi determiistici fossero completamete prevedibili. [rif.39] I modelli o lieari appaioo, ifatti, come strutture estremamete sesibili a variazioi sia dei parametri costitutivi il modello che delle codizioi iiziali. Tale aspetto è riscotrabile, ella vita quotidiaa, el fatto che le previsioi meteorologiche, effettuate ricorredo a modelli fortemete o lieari, risultao essere tato più iattedibili quato più spite el futuro. Nell aalisi quatitativa del problema o lieare gli studiosi sembrao ricorrere sostazialmete a due strumeti. Il primo è costituito dalle simulazioi umeriche, acora lo strumeto pricipale di esplorazioe, attraverso gli strumeti di aalisi umerica delle equazioi differeziali ordiarie (pacchetti ODE-Ordiary Differetial Equatios) preseti i tutti gli applicativi matematici. Il secodo dai primi tetativi di caratterizzazioe aalitica ricorredo, ad esempio, all approssimazioe delle caratteristiche o lieari co ua spezzata lieare. Questo cosete di decomporre il problema i ambiti lieari a tratti, o meglio acora ricorredo al metodo della mappa discreta di Poicaré che permette di associare ad u sistema di equazioi -3-

20 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos differeziali, tempo cotiuo, u sistema alle ricorreze tempo discreto autoomo. 3.. Caratterizzazioi derivati dalle simulazioi umeriche 3... Diagramma di biforcazioe L impossibilità di esprimere aaliticamete, per i sistemi o lieari, l evoluzioe temporale delle variabili di stato impedisce di aalizzare quatitativamete la variazioe dei comportameti esibiti al variare di u parametro del feomeo i cosiderazioe. I bruschi cambiameti, deomiate biforcazioi, da essi esibiti possoo, tuttavia, essere illustrati graficamete attraverso u diagramma che prede ome da esse. La chiave di lettura su cui esso è basato parte dalle diamiche regolari esprimibili dai sistemi o lieari vale a dire le oscillazioi periodiche auto sosteute o quelle derivati da sollecitazioi armoiche. I tale diagramma, ifatti, si riportao sull asse delle ordiate i valori campioati di u parametro di stato, co itervallo pari al periodo dell armoica espressa, e sull asse delle ascisse il valore di u parametro variabile rispetto cui tali valori vegoo rilevati. I corrispodeza del regime armoico i puti campioati appaioo come sovrapposti; quado la variazioe del parametro geera, ad esempio, u raddoppio di periodo co la ascita di u regime sub armoico, vi sarao due puti distiti rappresetati el grafico da cui il ome di biforcazioe. Se il regime presete è irregolare, i valori si distribuirao co diversa uiformità sulla verticale al parametro di riferimeto come si può otare dalla seguete figura.[rif.3] -4-

21 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos figura I. 8. Esempio di grafico di biforcazioe Attrattori ei sistemi o lieari U altra caratterizzazioe riscotabile ell ambito lieare ma che o trova corrispodete el cotesto o lieare è quella relativa al comportameto asitotico. I sistemi lieari, ifatti, sottoposti a sollecitazioe armoica o poliomiale, presetao, trascorso u itervallo di tempo fiito, u evoluzioe temporale riproducete lo stesso carattere regolare dell igresso. Altrettato o può dirsi per i sistemi o lieari i quali possoo esprimere u adameto irregolare ache i corrispodeza di igressi periodici. I tale cotesto l evoluzioe temporale delle variabili appare diversificarsi, istate per istate, ache dopo u tempo otevole dall iizio dell evoluzioe. Noostate ciò, attraverso l utilizzo delle simulazioi umeriche, si è potuto idividuare u certo grado di regolarità ache i questi adameti. Acora ua volta la chiave di lettura parte dalle evoluzioi regolari esibite ache dai sistemi o lieari. Cosiderado, ad esempio, valori campioati delle variabili di stato di u sistema, caratterizzato per determiate codizioi operative da u adameto armoico di periodo T, si può otare che questi o -5-

22 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos si distribuiscoo uiformemete ello spazio di stato ma si addesao i particolari zoe a costituire i così detti attrattori strai. La figura I.9 è apputo relativa ad u attrattore di sistema del secodo ordie rappresetato da u buck coverter i cui i campioi delle variabili di stato appaioo addesarsi maggiormete i cique regioi dello spazio. figura I. 9. Esempio di attrattore strao relativo ad u covertitore di poteza di tipo buck. Talvolta può sussistere ua coesisteza di diversi attrattori di atura caotica o regolare. Ciò è idice di u molteplicità di comportameti del sistema rispetto alla codizioi iiziali, el seso che il sistema può tedere verso diversi comportameti asitotici a secoda dello stato iiziale da cui muove. I questo caso si procede ad ua ripartizioe dello spazio di stato i bacii di attrazioe, uo per ciascu attrattore presete, costituiti dagli stati a partire dei quali il sistema procede verso lo specifico attrattore di riferimeto [rif.3]. -6-

23 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos 3.. Caratterizzazioi aalitiche dello spazio di stato 3... Isiemi ivariati e Maifolds Come già visto ell esempio del circuito di polarizzazioe del diodo tuel u primordiale strumeto di caratterizzazioe di u sistema o lieare è la lettura del sistema di equazioi [I.] come defiizioe del campo vettoriale delle velocità di variazioi delle variabili di stato. Soo possibili ache altre caratterizzazioi geerali per la categoria di sistemi di forma: x = f (x) [I. ] il cui carattere tempo autoomo coferisce ai puti verificati la codizioe di comportameto stazioario, f ( x) = 0, quado essi esistao, la cootazioe di stato di equilibrio del sistema. [rif.0] Liearizzado il sistema attoro a siffatti puti possiamo caratterizzare localmete le traiettorie del sistema i questioe. I particolare possiamo classificare gli autovalori, distiguedo quelli stabili da quelli istabili, e caratterizzare l evoluzioe temporale dei parametri di stato rispetto ai sottospazi geerati dagli autovettori associati a ciascua delle suddette categorie. Cosiderado, ad esempio u sistema del secodo ordie, la teoria dei sistemi lieari permette di caratterizzare completamete i moti aturali espressi da u sistema lieare tempo autoomo. Questi soo rappresetabili ella seguete figura: -7-

24 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos figura I. 0. Moti aturali di u sistema del secodo ordie. Riferedoci alla figura I.0 possiamo distiguere i segueti casi: a) Nodo attrattivo: etrambi gli autovalori soo reali e egativi. b) Nodo repulsivo: etrambi gli autovalori soo reali e positivi c) Nodo a sella: etrambi gli autovalori soo reali, uo risulta positivo, l altro egativo. d) Nodo attrattivo a spirale: gli autovalori soo complessi coiugati co parte reale egativa. e) Nodo repulsivo a spirale: gli autovalori soo complessi coiugati co parte reale positiva. f) Cetro: autovalori puramete immagiari. Tutto questo, come già detto, caratterizza solo localmete dell evoluzioe temporale delle variabili di stato. Le loro traiettorie appaioo difficilmete caratterizzabili da u puto di vista geerale. Tuttavia, talvolta, le traiettorie di stato di u modello o lieare evideziao l esisteza di superfici deomiate i letteratura maifolds rispetto alle quali possoo presetare comportameti più o meo regolari come, ad esempio, u approssimazioe od u allotaameto asitotico da esse. -8-

25 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos Per alcue di esse, deomiate Ivariat Maifolds accade che la traiettoria ua volta che le abbia itersecate, i u istate, cotiua a rimaere cofiata su di essa da quel puto i poi. Quest ulimo aspetto appare iquadrabile i ua sorta di geeralizzazioe dei cocetti di autovalore ed autovettore soprattutto per quato riguarda la caratterizzazioe degli autovalori come base dello spazio di stato. Questi ultimi i casi particolari, come si potrà vedere agevolmete ell eempio relativo al circuito di Chua, caratterizzao otevolmete la traiettoria di stato evideziado particolari iperpiai su cui essa si porta i maiera asitotica Liearità a tratti U modo di affrotare il problema o lieare, assai semplice e diretto, è ovviamete l approssimazioe di ua fuzioe o lieare co ua spezzata lieare a tratti [rif.5-6], [rif.8], [rif8]. Ciò vuol dire che il problema differeziale [I.] può essere decomposto ei sistemi lieari: x( t) = f i ( x(t), t) per x [I. 3 ] S i dove S i rappresetao i sottospazi i cui lo spazio di stato risulta decomposto co f i fuzioale lieare [rif.]. Tale approssimazioe cosete di esprimere aaliticamete l evoluzioe temporale delle traiettorie i ciascuo di detti sottospazi ella forma: x t ( t) Φ i ( t t 0 )x0 + Φ i t x(t ) = x 0 = ( t τ)b dτ 0 0 i [I. 4 ] -9-

26 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos co Ait Φ i (t) = e [I. 5 ] fuzioe di trasizioe, espressioe compatta ad idicare la serie matriciale e At I + A t + A t +... [rif.0], ma soprattutto aumeta i margii di caratterizzazioe dei sistemi autoomi del tipo [I.]. Per questa particolare tipologie di sistemi, ifatti, i ciascuo dei sottospazi S i le traiettorie seguoo i moti aturali del modello lieare relativo e quidi risultao completamete caratterizzate dagli autovalori ed autovettori ricavabili. Tale approccio offre, ifie, ache u vataggio da u puto di vista umerico, ricorredo, ifatti, all espressioe esatta dell evoluzioe temporale della traiettoria la simulazioe umerica limita la sua imprecisioe alla sola tolleraza co cui viee determiato il passaggio da u sottospazio di liearità ad u altro. Esempio di aalisi qualitativa: Circuito di Chua A questo puto può essere utile rappresetare u esempio i cui l approssimazioe lieare a tratti di ua caratteristica o-lieare cosete di fare ua serie di valutazioi caratterizzati le diamiche espresse: il circuito di Chua. Tale circuito rappreseta ua topologia base pesata e realizzata ad hoc per presetare u ampia gamma di maifestazioi o lieari [rif.5-6]. -0-

27 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos Topologicamete è rappresetata dal circuito: figura I..schema del circuito di Chua. La cui modellizzazioe matematica è: di = v dt L dv G = i (v v) dt C C dv G = (v v) f (v) dt C C [I. 6]. Dove f(v ) rappreseta la caratteristica del bipolo o lieare approssimato co ua spezzata lieare a tratti di forma: f (v R G bv R + (G b G a ) * E se v R < E ) = G a v R se E < v R < E [I. 7] G bv R + (G a G b ) * E se v R > E --

28 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos graficamete rappresetabile da: figura I.. Caratt eristic a del bipolo o lieare presete el circuito di Chua. Al variare dei parametri G a e G b ovviamete variao le pedeze dei tratti di liearità ma la spezzata rimae sempre cotrollabile i v R per la defiizioe [I.7]. Il primo passo per u aalisi del circuito è l idividuazioe dei puti di equilibrio espressi matematicamete dall eguagliaza vettoriale F(x)=0, co F(x) il fuzioale vettoriale che raccogli i termii di destra della [I.6]. Detti puti soo ricavabili ache graficamete dalla itersezioe della caratteristica lieare a tratti del bipolo co la retta passate per l origie ed avete pedeza G=-/R. figura I. 3. Rappresetazioe grafica dei puti di equilibrio del circuito di Chua. Al variare della coduttaza G, per G b <G<G a, abbiamo tre puti di itersezioe, ciascuo relativo ad u sottospazio di liearità di figura I.4, metre per G a <G, uo solo ell origie apparteete alla spezzata lieare, --

29 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos metre, per l aalisi successiva, vao cosiderati ache i due che cadoo sui prolugameti delle rette laterali ello spazio itermedio. I limiti di liearità della caratteristica dividoo lo spazio di stato (v,v,i) i tre sottospazi D, D 0 e D - i ciascuo dei quali sistema risulta localmete lieare e quidi aalizzabile come tale. figura I. 4. Ripartizioe del piao di stato (v,v,i) ei sottospazi D, D 0 e D -. I ciascuo dei sottospazi evideziati i figura I.4. la traiettoria è relativa ad u sistema lieare, tempo autoomo, pertato caratterizzabile attraverso i moti aturali espressi dagli autovalori ed autovettori ricavabili. Voledo etrare el dettaglio dell evoluzioe della traiettoria di stato, possiamo otare che el caso i cui la tera di autovalori, relativa ai due sottospazi esteri, è costituita da ua coppia complessa coiugata ed uo reale egativo, parte reale e parte immagiaria dell autovettore complesso, associato alla coppia, idividuao u piao i suddetti sottospazi. -3-

30 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos figura I. 5. Spazio di stato co evideziati i piai geerati dagli autovettori complessi. I ciascuo dei sottospazi di liearità tali piai rappresetao gli ivariat maifolds cui si acceava el paragrafo precedete, ifatti, a partire da qualsiasi stato iiziale la traiettoria si porta asitoticamete su uo di essi per rimaevi cofiata fio a che o raggiuge i cofii del sottospazio di liearità di apparteeza.[rif.3] Quato detto ci permette di caratterizzare qualitativamete alcue tipologie di regime riscotrabili el circuito i esame. Cosiderado, ad esempio, il caso di u ciclo periodico, coivolgete l itero spazio di stato, esso può essere visto come relativo ad ua traiettoria circolare che, partedo dal sottospazio superiore, raggiuge i cofii di questo seza chiudere alcua spirale. Riteedo lo spazio itermedio caratterizzato da autovalori reali egativi e da puti di equilibrio esteri, i esso la traiettoria prosegue verso il semispazio iferiore dove evolve, per la simmetria della spezzata come el semispazio di parteza. Descrivedo, quidi, u uovo semiarco e riattraversado di uovo allo spazio itermedio, i seso opposto, la traiettoria si richiude su se stessa a costituire u ciclo periodico. -4-

31 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos figura I. 6. Traiettoria di stato relativa ad u orbita circolare. Possiamo acora caratterizzare il caso i cui la traiettoria, i uo degli spazi laterali descriva ua spirale divergete. Raggiuto il limite del sottospazio, essa può essere ripiegata idietro sul piao di parteza dagli autovalori del sottospazio itermedio come appare i figura: figura I. 7. Spirale divergete. oppure proseguire, attraversado detto sottospazio itermedio, fio a raggiugere l altro sottospazio dove acora per simmetria, sarà caratterizzato -5-

32 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos da moti aturali simili a quelli visti iizialmete descrivedo acora ua volta ua spirale divergete. Ripercorredo i sottospazi i verso opposto, ifie si richiude su se stessa a costituire il così detto attrattore a doppia spirale di Chua. figura I. 8.Attrattore a doppia spirale di Chua. -6-

33 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos 4. Mappa di Poicaré e sistemi tempo discreti I molte situazioi risulta coveiete aalizzare le diamiche di u sistema i istati discreti di tempo piuttosto che sul tempo cotiuo soprattutto quado è possibile esplicitare u legame matematico tra detti puti successivi. Tale approccio fu, per la prima volta, assuto ell aalisi dei sistemi differeziali tempo cotiui, da Heri Poicaré. Esso cosiste el cosiderare, ello spazio di stato, ua superficie deomiata sezioe di Poicaré relativamete alla quale costruire ua relazioe tempo discreta, deomiata mappa di Poicaré, che coivolge i puti di itersezioe che la traiettoria di stato preseta sempre rispetto ad uo stesso lato. figura I. 9. Sezioe di Poicaré i uo spazio di stato tridimesioale. Quato detto suggerisce che la forma aalitica della mappa: x + = F(x ) [I. 8] -7-

34 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos è u sistema tempo discreto defiito su uo spazio di stato dimesioalmete miore a quello origiario e ciò può essere cosiderato u primo vataggio offerto da questa tecica. ache se specifico alla sola classe di sistemi differeziali autoomi. La mappa discreta di Poicaré offre vataggi importati ache ello studio dei regimi periodici preseti ache i sistemi o lieari tempo variati sottoposti a sollecitazioi periodiche i igresso. I questo caso la caratterizzazioe dei puti, assuti ella mappa, come itersezioe della traiettoria di stato co la sezioe di Poicaré viee recuperata itroducedo uo spazio geeralizzato di forma (x,t). Nel caso di u sistema del secodo ordie, tale spazio geeralizzato sarà quello tridimesioale i cui i piai di riferimeto sarao quelli paralleli al piao di stato. figura I. 0. Osservazioi successive per u sistema o autoomo co sollecitazioe periodica di periodo T Le itersezioi co essi appaioo come puti della traiettoria di stato colti alla luce di ua lampada stroboscopica da cui l aggettivo solitamete associato alla mappa di Poicaré. Quato detto evidezia come il discorso sia limitato sostazialmete a due classi di sistemi o lieari quelli tempo -8-

35 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos autoomi già sul tempo cotiuo oppure quelli sottoposti a sollecitazioe periodica per i quali la cosiderazioe della traiettoria di stato, i istati discreti distaziati del periodo della sollecitazioe i igresso, rede il sistema discreto associato a questi tempo autoomo di forma [I.8]. È proprio questa forma che rede possibili molte deduzioi caratterizzati le traiettorie del sistema di parteza, prima fra tutte quella relativa agli evetuali puti fissi. L esisteza di puti verificati l idetità x * =F(x * ), ifatti è idice dell esisteza di cicli periodici di cui è possibile effettuare ache l aalisi della stabilità. Per quest ultimo aspetto bisoga passare attraverso la liearizzazioe del fuzioale F(x) attoro al puto di equilibrio di cui si vuole saggiare la stabilità. A tale scopo si ricorre allo Jacobiao di F(x): df df df... dx dx dx df df df... J = dx dx dx [I. 9]. F " "... " df df df... dx dx dx da cui possiamo ricavare gli autovalori dall idetità: det λi J = 0 [I. 0] F dal mometo che stiamo trattado co u sistema tempo discreto, la stabilità è verificata se quest ultimi presetao modulo miore di uo ed i preseza di piccoli discostameti rispetto ai puti di equilibrio. Acora più iteressati soo le deduzioi effettuabili i relazioe a variazioi parametriche che possoo iterveire el modello cosiderato. -9-

36 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos Idicato co α il parametro variate del sistema possiamo pesare di parametrizzare i esso tutto il discorso appea fatto. La mappa, ad esempio, assume la forma: x+ = F(x, α) [I. ]. * * da cui risultao parametrizzati i α ache i puti fissi x = F(x, α), così come lo Jacobiao calcolato i essi e gli autovalori di quest ultimo, deomiati i questo cotesto, moltiplicatori di Floquet [rif. ]. I questo modo è possibile fare tutta ua serie di valutazioi, rapportate ai valori assuti dal parametro α, come ad esempio il umero di puti fissi preseti o quatificare gli ambiti di variazioe di α per i quali questi risultao stabili o meo. Ituitivamete possiamo pesare, ifatti, che la mutazioe di u puto di equilibrio da stabile ad istabile è idice di u cambio di comportameto o, i altre parole, di ua biforcazioe. Ciò e registrato graficamete co la fuoriuscita dallo spazio di stabilità, costituito dal cerchio di raggio uitario, di ache uo solo degli autovalori del modello liearizzato. È possibile fare ifie u apputo relativamete alla biforcazioe raddoppio di periodo che viee rilevata quado u autovalore della mappa fuoriesce dal cerchio di stabilità passado per il puto. I corrispodeza di u autovalore pari a tale valore, ifatti, la mappa preseta u adameto oscillate fra due valori, quidi, la traiettoria tempo cotiua, da essa sitetizzata, preseta u adameto ciclico di periodo T.[rif. ] Passado all iterata secoda della mappa [I.], questa preseta u puto fisso per valori del parametro α maggiori di quello per cui la mappa semplice presetava u adameto oscillate, quidi, procededo ad u aalisi parametrizzata di X + =F(F(X,α)) è possibile effettuare tutte le deduzioi aalitiche, effettuate precedetemete per il ciclo di periodicità sigola, ache per quello a periodicità doppia. -30-

37 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos 4.. Esempi di Mappe smooth del primo ordie e biforcazioi stadard Quato detto, i maiera geerale, per lo studio delle biforcazioi esibite dalle mappe discrete vale solo per il caso i cui il legame [I.8] sia di tipo smooth, dove co tale ome si vuole idicare il fatto il termie di destra sia cotiuo e differeziabile, i ogi ordie, elle variabili (x,α) [rif.]. Può essere utile a questo puto illustrare alcui esempi di mappe smooth del primo ordie che cosetoo di applicare i maiera semplice i cocetti espressi ei paragrafi precedeti, oché, la classificazioe delle biforcazioi stadard. Per ciascua di esse si studierà la variazioe dei puti fissi presetati al variare di u parametro α del suo modello. Esempio : Biforcazioe a forcoe (Pitchfork Bifurcatio). Ua classica mappa utilizzata per illustrare la biforcazioe a forcoe è: x + = F(x, α) = ( + α)x x 3 [I. ]. Come illustrato, el paragrafo itroduttivo, la sua aalisi iizia co l idividuazioe dei puti fissi per cui dobbiamo distiguere il caso i cui α<0 per il quale abbiamo u uico puto fisso: x = 0 [I. 3] dal caso α>0, i cui si aggiuge la coppia di puti: x = ± α [I. 4] -3-

38 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos Per aalizzare la stabilità dobbiamo ricorrere alla derivata prima: F(x, α) x = ( + α) x [I. 5] rappreseta l autovalore associato al sistema liearizzato attoro ad u geerico puto x. La stessa valutata ell uico puto fisso presete dal caso α<0: F(x, α) x x= 0 = ( + α) [I. 6] restituisce u valore compreso ell itervallo [0,] per -<α<0 itervallo i cui il puto x=0 risulta, quidi stabile. Passado all aalisi dell itervallo α>0 abbiamo ua tera di puti fissi il puto x=0 la [I.5] questa volta risulta istabile metre i due puti [I.4] risultao stabili ifatti l autovalore: F(x, α) x x=± α = ( + α) α [I. 7] risulta icluso ell itervallo [0,] per 0<α<. Cocludedo possiamo sitetizzare la breve aalisi qui codotta ella cosiderazioe che, per il valore α=0 del parametro di variazioe, abbiamo registrato ua biforcazioe i cui u puto di equilibrio x=0, stabile fio ad esso, è diveuto istabile per lasciare il posto alla coppia x = ± α di puti di equilibrio. La cosa puo essere vista ache come la fuoriuscita dal cerchio di stabilità, el puto, dell autovalore relativo al puto di equilibrio x=0. Il tutto è rappresetabile ella figura: -3-

39 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos figura I.. Biforcazioe a forcoe. i cui soo rappresetati puti fissi esibiti dalla mappa al variare del parametro α e soo state evideziate qualitativamete ache le direzioi seguite dai puti successivi della mappa verso essi. Ifie dall adameto grafico esibito si ituisce la ragioe del ome attribuito a questo tipo di biforcazioe. Esempio : Biforcazioe a sella( Saddle-ode Bifucatio). Per questa tipologia utilizziamo la mappa: x + = α + x x [I. 8]. Ache i questo caso per determiare i puti fissi dobbiamo distiguere il caso α<0 da quello per α>0. Nel primo caso ifatti o esiste alcu puto di equilibrio metre per il secodo abbiamo la coppia x = ± α. Passado alla derivata prima del fuzioale F(x): -33-

40 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos F(x, α) x = x [I. 9]. che calcolata ei puti di equilibrio ci suggerisce che per α>0 il puto x = α risulta stabile metre x = α o lo è. Graficamete possiamo illustrare la cosa ella seguete maiera: figura I.. Biforcazioe a sella i cui acora ua volta abbiamo evideziato ache le direzioi seguite dai puti successivi della mappa [I.8]. A partire dal valore α=0, i u sistema che o presetava puti di equilibrio, la biforcazioe e ha prodotti due uo stabile ed uo metastabile. Talvolta i letteratura questa biforcazioe viee idicata ache co il ome di fold bifurcatio Esempio 3: Biforcazioe raddoppio di periodo (period doublig bifurcatio). Ifie u classico esempio di mappa utilizzata per illustrare la biforcazioe co raddoppio di periodo è: -34-

41 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos x + = αx ( x ) [I. 30]. Calcololado i puti fissi x = αx( x) [I. 3]. abbiamo x = 0 α x = α [I. 3]. La cui stabilità al solito è verificata passado alla derivata prima della fuzioe di destra della [I.30]: F(x, α) = α αx x [I. 33]. Da cui verifichiamo che l autovalore associato al puto x=0 risulta apparteete all itervallo di stabilità [-,] per -<α<, metre l altro puto di equilibrio x=(α-)/ α risulta stabile per <α<3. Nel puto α=3 l autovalore associato a quest ultimo diveta paria - quidi la mappa di parteza preseta u adameto asitotico oscillate fra due valori distiti, idice del fatto che è occorso u raddoppio del periodo del regime armoico presetato dal sistema, di cui la [I.30] è ua mappa di Poicaré. Tale adameto oscillate persiste fio ad diverso valore di α dove si riscotra ua uova duplicazioe di ciascuo dei puti tra cui la mappa oscilla. La cosa si potrebbe riscotrare aaliticamete ripetedo l aalisi fi qui codotta per l iterata secoda: -35-

42 Cap. I Caratterizzazioe dei sistemi o lieari, biforcazioi e caos [ α * x ( x )] x + = α x ( x ) = [I. 34] = α x ( x ) [ α * x + α * x )] per la quale il regime oscillate della mappa [I.30] viee rilevato come u puto fisso cofermado che si tratta di u regime periodico di periodo doppio. Questo tipo di biforcazioe viee talvolta idicata i letteratura co il termie di flip bifurcatio proprio i rapporto alla sua atura alterate. figura I. 3. Adameto dei puti di equilibrio per la mappa [I.30]. Da otare, ifie, che sia la figura [I.8] che [I.3] soo state tracciate ricorredo alla mappa [I.30] la quale esibisce all aumetare del parametro α ua serie di biforcazioi del tipo raddoppio di periodo che si ripetoo fio a che il comportameto o appare caotico come risulta evidete dal diagramma di biforcazioe di figura I

43 Capitolo II: Comportameto complesso dei covertitori di poteza Dc/Dc. Itroduzioe L elettroica di poteza si distigue da quella tradizioale giacché procede al trattameto dell eergia elettrica aziché operare sui segali elettrici utilizzati come veicolo di trasmissioe e maipolazioe delle iformazioi. Essa iterviee, quidi, i u cotesto tradizioalmete oggetto della teoria delle macchie e degli impiati elettrici apportadovi le teciche e la flessibilità dell elettroica tradizioale. I dispositivi prodotti dall elettroica di poteza o soo a se stati ma soo frapposti tra la rete di distribuzioe elettrica e le uteze di questa. Il loro scopo è di procedere al trattameto della sorgete elettrica forita dai primi, solitamete i forma alterata e stabilizzata etro determiati limiti, al fie di farle assumere le proprietà richieste dai secodi. Si parla, ifatti, i elettroica di poteza, di processori di eergia, classificati i relazioe alle forme assute da igresso ed uscita quidi operati coversioi ac/dc, dc/dc oppure dc/ac. -