Sull'analisi funzionale lineare. nel campo delle funzioni analitiche

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1 ACCADEMIA NAZIONALE DEI LINCEI RENDICONTI DELLA CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MA TEMA TI CHE E NATURA LI JOSE SEBASTIÀO E SILVA Sull'aalisi fuzioale lieare el campo delle fuzioi aalitiche Estratto dal fase. 6, Serie VIII, vol. l, 1946 ROMA DOTT. GIOVANNI BARDI TIPOGRAFO DELL ' ACCADEMIA NAZIONALE DEI LINCE!

2 Dai «Redicoti dell'accademia N azioale dei Licei >> (Classe di Scieze fisiche, matematiche e aturali) serie VI II, vol. I, fase. 6 Matematica. - Sull'aalisi fuzioale lieare el campo delle fuzioi aalitiche. Nota di J osé S EBASTIAO e SrL v A (r), presetata <2). dal Socio M. PreONE. 1. Nella presete Nota mi propogo di esporre, i forma riassutiva e prescidedo dalle dimostrazioi, i pricipali risultati coteuti m ua mia Memoria, che spero vega prossimamete pubblicata, e co la quale mi lusigo di potere, i qualche modo, cotribuire alla chiarificazioe e allo sviluppo di u ramo particolarmete bello e importate della modera Aalisi: la teoria, cioè, dei fuzioali defiiti i isiemi di fuzioi aalitiche. È ormai a tutti oto come, i tale campo, si stiao svolgedo da parecchi ai le idagii del prof. Luigi Fatappiè. Nella sua piu recete sistemazioe della teoria dei fuzioali aalitici Cl), u cambiameto otevole si è verificato col passaggio dal cocetto di fuzioe. aalitica el seso classico (di Weierstrass) al cocetto di fuzioe localmete aalitica, tedete (r) Borsista dell'«istituto para a Alta Cultura» di Lisboa, presso l'istituto di Alta Matematica di Roma. (2) Nella seduta del 1 s giugo (3) L. FANTAPPIÈ, Nuovi fodameti della teoria dei fuzioali aalitici. «Atti dell'accad. d'italia, Scieze Fis. Mat. e Nat., vol. XII, 1941.

3 -710- o solo ad elimiare certe complicazioi proveieti dai fatti di polidromia, ma ache ad estedere le stesse possibilità d'applicazioe della teoria. (Per fissare le idee, mi limito alle fuzioi di ua sola variabile, dato che l'estesioe dei risultati al caso delle fuzioi di più variabili o preseta difficoltà sostaziali). Secodo il uovo puto di vista, il campo di esisteza di ua fuzioe f (z) - elemeto geerico dello spazio fuzioale aalitico - o è più il aturale domiio di regolarità, quello cioè determiato da tutti CIO i possibili prolugameti aalitici a partire da ua data serie a (z- Zo); =o ma bes\ u domiio aperto C4l D, del piao sfera,!1, soddisfacete la sola codizioe che la f (z) sia uivoca mete defiita e aalitica i ogi suo puto; sicchè, data ua fuzioe j* ( z), il cui domiio di esisteza, D*, cotega D, seza coicidere co questo, puo avveire che si abbia f* (z)=f(z)per ogi {ED, ma le fuzioi f (z),j* (z) o sarao allora cosiderate idetiehe. Nè sarà da escludersi che il domiio D sia scoesso, formato da compoeti (5) D,, D2, (il cui umero pu6 essere addirittura ifiito); e che siao idipedeti fra di loro quelle fuzioi f, ( z),j2 (z), che, sui domii D,, D2,, separatamete, defiiscoo la fuzioe f (z). Coviee ifie supporre (per ragioi che si palesao ello svolgimeto della teoria) che, se il domiio D cotiee il puto improprio, la f (Z) si aullerà i questo puto. Avvertiamo subito che, per quato bizzarro possa a prima vista sembrare u simile cocetto di fuzioe aalitica, esso si è già presetato, i modo aturale, seza per altro avere ricevuto essua deomiazioe specifica, el corso di importati ricerche di Ruge, Pailevé, Hilbert, Mote!, ecc., riguardati gli sviluppi di fuzioi aalitiche i serie di poliomi o di fuzioi razioali fratte (6). Ora, mi è sembrato che tale cocetto potesse acora essere modificato, i modo da cosetire ua più agevole trattazioe della teoria e stimolare l'ulteriore sviluppo. Cos\, per esempio, per poter parlare di somma o di prodotto di due fuzioi localmete aalitiche (seza cadere el puro arbitrio), bisoga ammettere che i loro domiì di esisteza abbiao puti comui, il che iduce aturalmete a idirizzare le ricerche sulle classi di fuzioi localmete aalitiche i cui domiì di esisteza cotegao uo stesso isieme. (4) Chiamo domiio aperto ogi isieme aperto, e domiio chiuso, la chiusura di ogi domiio aperto. Chiamo ioltre coesso ogi isieme tale che, dati comuque due suoi puti, sia sempre possibile uirli co u arco di curva cotiua iteramete coteuto ell'isieme stesso. (S) Si chiama compoete di u isieme A ogi sotto-isieme coesso massimo di A, cioè ogi sotto-isieme coesso di A che o possa più essere ampliato i essu altro sotto-isieme coesso di A. Le compoeti di u isieme soo, aturalmete, staccate fra di loro. (6) Vedi, per esempio, P. MoNTEL, Le os sur les series de polyomes a ue variable complesse, Paris, Gauthier-Villars, 1910, pp

4 - 7II- Sia allora C u isieme di puti di, chiuso, o vuoto e o coicidete co ; all'isieme di tutte le fuzioi localmete aalitiche defiite i domiì (aperti) coteeti C, dà il prof. Fatappiè il ome di regioe fuzioale lieare, e lo rappreseta co (C). (Per evitare iutili complicazioi, coviee escludere dall'isieme (C) quelle fuzioi, i cui domiì abbiao almeo ua compoete iteramete staccata da C; allora, per brevità, chiamo itoro aperto [chiuso J dell'isieme C, ogi domiio aperto [chiuso], tale che ciascua delle sue compoeti cotega almeo ua compoete di C el suo itero). È tutta via maifesto che, dovedo assegare alla somma (o al prodotto) di due date fuzioi apparteeti a (C) u determiato domiio di esisteza - per esempio, l'itersezioe dei domiì delle fuzioi date - l'isieme (C) o può, i essu modo, costituire u gruppo rispetto all'addizioe, e, quidi, o può eache costituire uo spazio lieare, rispetto all'addizioe e alla moltiplicazioe per umeri complessi oc,, C7l. Ma questa è, aturalmete, ua questioe piuttosto formale. U'altra difficoltà, meo trascurabile della precedete, si preseta ivece col problema della defiizioe di ua coveiete struttura topologica ell'isieme delle fuzioi localmete aalitiche. Ivero, il cocetto di itoro che vi ha itrodotto il prof. Fatappiè, essedo certamete il più adatto al cocetto di fuzioe localmete aalitica, o sembra tuttavia facilmete utilizzabile: i particolare, esso o cosete di stabilire u cocetto di limite, per le successioi di fuzioi. Ebbee, se ci vogliamo limitare ad ua data regioe fuzioale (C), ua soluzioe mi è parsa la più aturale, per superare le suddette difficoltà quella, cioè, di cosiderare come rappresetazioi di uo stesso ete (che chiamo fuzioe aalitica legata all'isieme C) tutte le fuzioi apparteeti a (C), che siao prolugameti di ua stessa fuzioe, ach'essa apparteete a (C) <8>. Co f [C] rappreseto l'isieme delle fuzioi aalitiche legate a C, e chiamo altresl. domiio di olomorfia di ua fuzioe cp apparteete a f [C] ogi itoro aperto o chiuso dell'isieme C, sul quale la cp riesca uivocamete defiita e aalitica. 2. È ora facile vedere come, ell'isieme f [C], si possao defiire, aturalmete, u'addizioe e ua moltiplicazioe; e come lo stesso isieme costituisca uo spazio lieare rispetto all'addizioe e al corpo di scalari (7) Sul cocetto di spazio lieare, vedi per esempio, J. v. NEUMANN, Matematische Grudlage der Quatemechaik, p. 19; M. PreoNE, Fodameti di aalisi fuzioale lieare, corso dell'istituto di Alta Matematica, 1943, p (8) Se, ivece di ua determiata regioe fuzioale (C), volessimo cosiderare la totalità delle fuzioi localmete aalitiche, la questioe o si potrebbe risolvere così facilmete. Bisogerebbe, per esempio, cosiderare soltato le fuzioi che soo defiite i tutto il piao sfera, trae su di u isieme seza puti iteri. Ma di questo mi occuperò più iazi.

5 rappresetato dai umeri complessi. I modo altrettato aturale vi si pu6 defiire u cocetto di limite: «Data ua successioe Cfl [ = o, 1, 2, J di elemeti di f[c], diremo che essa ha come limite u determiato elemeto cp di f [C], quado esista almeo u itoro di C che sia u comue domiio di olomorfia delle fuzioi cp, cp [ = o, I, ], e sul quale la fuzioe cp, C z) teda uiformemete alla cp (Z) per oo '' Co tali cocetti, l'isieme f [CJ diveta uo spazio (5?) vettoriale, che chiamo spazio vettoriale aalitico, determiato dall'isieme C (9l. Vie subito fatto di domadare se questi spazi siao metrizzabili. Ecco il massimo che, su tale questioe, mi è riuscito di stabilire: Gli spazi vettoriali aalitici soo spazi C&) separabili (wl. L'espressioe dello scarto, e: ( cp, ), tra due fuzioi cp,, pu6 essere data come segue : rappresetiaro co D l'isieme di tutti i puti di Q la cui distaza sferica da C. I [ sta - = o, I,, e pomamo : J. ( cp, )= Max l cp (z)- (z) l sul domiio chiuso D, - se questo è u domiio di olomorfia di cp - ; C cp, ) = oo - el caso opposto. Porremo e: (cp, ) = soddisfa la disuguagliaza triagolare e credo che o sia eache regolare (r r). I IT l (cp ' ) ];;-r Tuttavia questo scarto o I + ( cp =o ' ) 3 Cosideriamo due spazi (B) vettoriali, S, S*, e sia F ua trasformazioe uivoca di S i S*, u operatore, cioè, che ad ogi u E S, faccia corrispodere u Fu ES*. Diremo che l'operatore F è distributivo, se riesce, ideticamete: FCu +v)= F(u) + F(v), F(au) = af (v); e che è cotiuo, se si ha sempre: Lim Fu = F Li m u,. I particolare, S, S* possoo essere, tutt'e due, spazi vettoriali aalitici (distiti o coicideti), e F sarà allora u operatore che trasforma fuzioi i fuzioi. Se, ivece, il primo è uo spazio vettoriale aalitico, e il secodo è la retta euclidea complessa, S,, allora F sarà, ella termiologia del prof. Fatappiè, u fuzioale puro: trasforma, cioe, fuzioi i umeri complessi (r l. (9) Sul cocetto di spazio (,13) vedi FRÉCHET, Espaces abstraits, Paris, Gauthier Villars, 1928, p Chiamo spazio (,13) vettoriale ogi spazio (,13) lieare el quale siao cotiue le operazioi fodametali. (ro) Sul cocetto di spazio (19), vedi FRÉCHET, op. cit., p (r 1) Se fosse regolare, lo spazio sarebbe metrizzabile, secodo u teorema di CHrTTENDEN (vedi FRÉCHET, op. cit. p. 219). ( 1 2) Il prof. FANTAPPIÈ risale dai fuzioali puri agli operatori che trasformao fuzioi i fuzioi, mediate i fuzioali misti, ma seza riferimeto ad u secodo spazio.

6 - 7I3- Sia ora Ua u puto variabile dello S, spazio dipedete dalla variabile scalare complessa, r:t.; o, come diremo ache, ua puto-fuzioe di codomiio S, defiita i u sotto-isieme del piao-sfera,.. C 5l. I cocetti di limite, cotiuità, derivata, ecc., vi si estedoo agevolmete, a partire dal cocetto di limite di ua successioe; cosl. ache il cocetto di aaliticità, il quale, tuttavia, preferisco di itrodurre secodo l' idirizzo corrispodete a quello di Weierstrass (x4): «La puto-fuzioe u.. si dirà aalitica i u puto r:t.0, quado esista ua successioe U di elemeti di S, tale che, i ogi puto r:t. di u coveiete itoro di r:t.a, si abbia: u.. = Lim Ì (r:t. -r:t.o)' Ui, se IY.o è proprio; Ua =Limi --;- u ', se IY.o è t=o t=o OC improprio. Diremo altresi che la fuzioe u.. è aalitica i u isieme A, se lo è i tutti i puti di A )). È chiaro che, ache i questo caso, si potrà parlare di prolugameto aalitico, domiio di regolarità, uiformità, pluriformità, ecc. I particolare, si potrà itrodurre il cocetto di operatore aalitico : «Diremo che ua data trasformazioe F di S i S* è aalitica, se, e soltato se, trasforma le puti-fuzioi aalitiche di codomiio S, i puti fuzioi aalitiche di codomiio S*; cioè, usado u liguaggio ituiti vo: se, ad ogi puto Ua che si muova aaliticamete sopra S, fa corrispodere u puto Fu.. che si muove ach'esso aaliticamete sopra S* )). 4 Cosideriamo ora ua puto-fuzioe aalitica cp.. avete per codomiio uo spazio vettoriale aalitico, f [C]. Ho potuto dimostrare che: Dato comuque u isieme chiuso r coteuto el domiio di regolarità della puto-fuzioe cp.., esiste u itoro D di C che é u comue domiio di olomorfta di tutte le fuzioi di z, cp.. (z), quado r:t. descrive r. Sia allora D, u domiio chiuso di.. sul quale la puto-fuzioe Cfla riesca regolare, e sia D. u corrispodete itoro C, sul quale tutte le fuzioi cp.. (z) [ r:t. E D,] riescao olomorfe; poiamo ioltre: Cfla (z) = cp C r:t., z), per ogi ( r:t., Z) tale che r:t. E D,, z E D. Ebbee: Possiamo dire allora che la fuzioe di due variabili ip C r:t., z) e aalitica i tutta la parte itera del prodotto cartesiao D, X D. Reciprocamete, se la rp(r:t.,z) é aalitica ell'itero di D, X D., la cp.. sarà ua puto-fuzioe aalitica ell'itero di D,. 5. Siao dati uo spazio vettoriale aalitico f [C] e u sistema lieare S, che supporremo sia ormale < s) (per esempio, uo spazio euclideo S, ( 13) Se S rappreseta lo spazio ordiario (fissata u'origie), e se ivece della variabile complessa oc cosideriamo la variabile reale t (tempo), la puto-fuzioe Ut rappreseterà il moto di u puto. ( r 4) No è detto che i due idirizzi - quello basato sul cocetto di serie di poteze (WEIERSTRAss) e quello basato sul cocetto di derivata (CAUCHY) - siao equivaleti i qualsiasi spazio (,1:) vettoriale. ( 15) Sul cocetto di spazio lieare ormale, vedi p. es. PreoNE, op. ci t., p. 339

7 lo spazio hilbertiao H, ecc.) oppure u secodo spazio vettoriale aalitico f [C*]. Partedo da tali premesse, ho potuto dimostrare la seguete proposizioe, ua delle più importati qui euciate : Vi è idetità fra la classe delle trasformazioi distributive cotiue di f [C] i S e la classe delle trasformazioi distributive aalitiche di f [C) i S. Si ha ioltre quest'altro risultato, che geeralizza il teorema fodametale della teoria dei fuzioali aalitici : La totalità delle trasformazioi distributive aalitiche (e quidi cotiue) di f [C] i S è data dall'espressioe --+ F, [cp (z)] = fcp(oc)uadoc, 2 1tl --+ 'Y dove y rappreseta la frotiera di u coveiete domiio di olomorfia della cp, orietata i modo da lasciare a siistra i puti di C, e u" = Fz (--1-) oc-z rappreseta ua qualsiasi puto-fuzioe aalitica di codomiio S, uivocamete defiita e aalitica almeo el complemetare dell'isieme C, e che si aulla per oc = =, se C o cotiee questo puto. 6. Le co vezioi e i risultati precedeti cosetoo di semplificare otevolmete, e di presetare sotto forma che mi sembra particolarmete suggestiva, la giustificazioe del calcolo simbolico < 6). Teedo ferme le otazioi e le ipotesi del umero precedete, rappresetiamo co T s l ' isieme delle trasformazioi distributive dello spazio S i se stesso, e suppoiamo che C o cotega il puto improprio. Allora, dato F E T s, ci propoiamo di risolvere questo problema: Coordiare ad ogi cp E f [C] u'altro operatore cp (F) E T s, per guisa che si abbia: r ) Se cp (z) = ocz +, allora cp(f) = ocf + ; 2) (occp + )(F)=occp(F)+ (F); 3) (cp )(F) = =cp(f) (F); 4) (Lim cp) (F)= Lim cp (F) Cr1l, Ebbee: Codizioe ecessaria e sufficiete perché tale problema sia risolubi!e e che l'operatore ( oc- F)-' sia ua fuzioe di oc uivocamete defiita e aalitica el complemetare di C ; e la soluzioe del problema sarà data allora dalla formula cp (F) :_,_! cp ( oc ) = doc 27tl oc-f -+ 'Y (I 6) Su questo puto, vedi F ANTAPPIÈ, La giustificazioe del calcolo simbolico e le sue applicazioi all'itegrazioe dell'equazioe a derivate parziali. «Mem. Ace. Italia " vol. I, (17) Diremo che è Li m F =F, quado riesca Lim(Fu) =Fu, per ogi UES' Aalogamete si defiisce l'espressioe c<operatore Fa dipedete aaliticamete dal parametro 01:».

8 dove y rappreseta la frotiera debitamete orietata di u coveiete domiio di olomorfia della!'p 7. Altre categorie di spazi vettoriali aalitici si possoo presetare acora. Sia A u domiio aperto di, e rappresetiamo co f [A] l'isieme di tutte le fuzioi localmete aalitiche aveti A come domiio di esisteza. Date rp,rpef[a](=o,i, 2,.. ), diremo che si ha LimqJ=!p, se, comuque si preda u domiio chiuso D coteuto i A, la fuzioe!p (:O tede uiformemete alla rp (z) su D, per ---+=. D'altra parte, posto C = - A, diremo che lo spazio f [A J (il quale, ioltre, riesce metrizzabile) è il duale dello spazio f [C] (rs). Rappresetiamo ora co f* [A] l'isieme di tutte le fuzioi geeralmete aalitiche i A, dicedo che ua fuzioe è geeralmete aalitica i A, quado è uivocamete defiita e aalitica i questo isieme, trae i ua sua parte seza puti iteri. Allora, date rp 'tp E f* [A] c = o' I '2'...), diremo che si ha Lim rp = rp, quado, rappresetato co C l'isieme di tutte le sigolarità delle fuzioi rp, tjl, e preso comuque u domiio chiuso D coteuto i A- C, la rp (z) tede uiformemete alla rp (z) su D, per ---+=. Allo spazio f* [A], ach'esso metrizzabile, si possoo estedere i risultati esposti ei umeri precedeti. Altre estesioi si prospettao acora. (r8) U esempio è lo spazio delle fuzioi itere, el quale il prof. FRÉCHET ha itrodotto ua metrica che mi ha suggerito l'espressioe dello «scarto" precedetemete idicata (ved. FRÉCHET, op. cit., p. 87). Roma, Dott. G. Bardi, Tipografo dell'accademia Nazioale dei Licei.