Classificazione dei Segnali

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1 Classificazioe dei Segali Segali Determiati: Si dice di u segale del quale coosciamo esattamete l adameto el tempo. Del segale sappiamo tutto. Ad esempio s(t)si(4πt) è u segale determiato u segale biomedico acquisito e memorizzato è u segale determiato

2 Classificazioe dei Segali Segali Aleatori: Si dice di u segale del quale o coosciamo a priori l adameto el tempo. Possiamo cooscere alcue proprietà statistiche, quidi possiamo aspettarci u certo tipo di adameto. La trattazioe dei segali aleatori è importate per la progettazioe di algoritmi e sistemi per l elaborazioe del segale Ad esempio s(t)si(4πt+θ) dove θ è ua variabile aleatoria è u segale aleatorio u ecg che dobbiamo acora acquisire è u segale aleatorio: possiamo dire qualcosa a priori su questo segale?

3 Classificazioe dei Segali All itero delle precedeti classificazioi, possiamo distiguere i: Segali aalogici: la variabile temporale è cotiua così come l ampiezza del segale. È la forma ella quale vegoo acquisiti i segali biomedici prima di essere covertiti Segali quatizzati: L ampiezza è defiita per valori discreti e può essere rappresetata utilizzado u umero fiito di simboli Segali campioati (sequeze): la variabile temporale è discreta. Abbiamo u valore Segali digitali: Sia la variabile temporale che l ampiezza soo discrete. Soo i segali che possoo essere trattati da u sistema umerico.

4 Architettura di u sistema per le misure biomediche

5 ANALISI DI FOURIER Segali a tempo cotiuo: Segali periodici Segali aperiodici Sviluppo i serie di Fourier Itroduzioe alla rasformata Cotiua di Fourier Estesioe della CF a segali periodici Segali a empo Discreto: - rasformata di Fourier di ua sequeza - rasformata Discreta di Fourier - Aalisi tramite DF di sequeze fiite

6 Classificazioe dei Segali Classificazioe i base all eergia Defiizioe. Si dice eergia del segale s(t) ell itervallo la gradezza "!, % $ ' # &

7 Classificazioe dei Segali Classificazioe i base all eergia U segale si dice ad eergia fiita se esiste fiito e diverso da zero il seguete limite

8 Classificazioe dei Segali Classificazioe i base all eergia Quali di questi segali è ad eergia fiita?

9 Classificazioe dei Segali Defiizioe. Si defiisce poteza media del segale s(t) ell itervallo la gradezza "!, % $ ' # &

10 Classificazioe dei Segali U segale si dice ad poteza media fiita se esiste fiito e diverso da zero il seguete limite Si cofroti co la defiizioe di eergia Si evice che: U segale a poteza media fiita ha eergia ifiita U segale a eergia fiita ha poteza media ulla

11 Classificazioe dei Segali Classificazioe i base alla poteza Quali di questi segali soo a poteza media ulla? Quali a poteza media fiita?

12 Segali periodici U segale si dice periodico se Segale siusoidale s t Classificazioe dei Segali! ( ) si#! t "!t, " : s t $ & % ( ) s( t + ) U segale periodico è a poteza media fiita e la poteza media equivale a quella i u periodo

13 ANALISI DI FOURIER Segali tempo cotiui: Segali periodici Sviluppo i serie di Fourier - Criteri di Covergeza - Breve Itroduzioe sui Fasori - Spettro di Ampiezza e Fase - Spettro per i Segali Reali - Esempi

14 ANALISI DI FOURIER Itroduciamo l argometo co l esempio di u segale reale: questo può essere espresso come la somma di oscillazioi siuosidali opportuamete pesate Ricostruzioe aumetado il umero di compoeti L esempio mostra u oda quadra scomposta i quattro compoeti. Il umero di compoeti è, i geerale, ifiito

15 Serie di Fourier Lo sviluppo i Serie di Fourier viee impiegato el caso di segali periodici: s(t)s(t+ ) per ogi t U segale s(t), periodico di periodo, può essere espresso come la somma pesata di ifiite fuzioi siusoidali del tipo e j πt periodiche di periodo e frequeza s( t ) S e, ± 1, ±,... f Per i segali a poteza media fiita è possibile scrivere j π t

16 Serie di Fourier Vediamo i quali codizioi vale e che sigificato ha l uguagliaza appea idicata. Cosideriamo la combiazioe lieare di N+1 fuzioi periodiche s N ( t ) N N S e j π t E defiiamo l errore tra s N (t) e il segale origiario s(t) ε N ( t) s( t) s ( t) N

17 Serie di Fourier È possibile dimostrare che i coefficieti che miimizzao l errore quadratico medio tra s(t) e s N (t) soo dati da S t + 1 j π t s( t ) e dt t Dove gli estremi di itegrazioe così idicati idicao che l itegrale può essere calcolato per qualsiasi itervallo di ampiezza. I queste codizioi l errore quadratico medio si può scrivere come (abbiamo posto t ) 1 N ε N s( t ) dt S N Per N, el caso di segale a poteza media fiita, l errore quadratico medio tede a zero

18 Serie di Fourier Co questa scelta dei coefficieti si ritrova l uguagliaza di Parseval 1 s( t ) dt S Che esprime la poteza media del segale i fuzioe dei coefficieti dello sviluppo i serie di Fourier

19 Serie di Fourier Abbiamo quidi due equazioi La prima di aalisi che idividua il valore dei coefficieti dello Sviluppo i Serie di Fourier S t + 1 j π t s( t ) e dt t La secoda di sitesi, che rappreseta lo sviluppo i serie di Fourier del segale a tempo cotiuo periodico s( t ) S e j π t

20 Serie di Fourier Criterio di Dirichlet Il criterio di Dirichlet stabilisce i quali codizioi u segale periodico è rappresetabile come sviluppo i serie di Fourier -s(t) deve essere assolutamete itegrabile sul periodo ; -s(t) deve essere cotiuo o presetare al più, i u periodo, u umero fiito di discotiuità di prima specie; -s(t) deve essere derivabile rispetto al tempo el periodo, escluso al più u umero fiito di puti ei quali, però, devoo esistere fiite le derivate destra e siistra. Soddisfatte queste codizioi la serie di Fourier coverge a s(t). Nei puti di discotiuità di prima specie di s(t), la serie coverge alla semisomma del limite destro e siistro ei suddetti puti

21 Serie di Fourier: breve itroduzioe ai fasori Cosideriamo il segale complesso s( t) Ae j ( π ft+θ ) Questo viee detto fasore rotate: la posizioe del fasore sul piao di Gauss può essere idividuata da u vettore ruotate alla velocità agolare ωπf e al tempo t forma u agolo pari a θ co l asse reale Nel seguito si visualizza u esempio di rotazioe co velocità agolare maggiore di zero A1 e θπ6 radiati

22 Dalla formula di Eulero discede Ae Per cui il segale reale del fasore j Serie di Fourier: breve itroduzioe sui fasori ( πft+ θ ) Acos( πft + θ ) + jasi( πft + θ ) Acos( π ft +θ) può essere trovato come parte

23 Serie di Fourier: breve itroduzioe sui fasori La parte reale si può otteere ache come somma del fasore co il complesso coiugato divisa per due Re { s( t) } s j( ) ( ) ( ) ( ) π ft+ θ j πft+ t + s t Ae + Ae θ Da questa aimazioe si ituisce il sigificato da attribuire alle frequeze egative: esse soo associate a fasori che ruotao el piao di Gauss i seso orario.

24 Serie di Fourier I coefficieti della serie di Fourier S formao lo spettro del segale s(t). Soo umeri complessi e soo rappresetabili come - modulo e fase S S e co θ S jθ - parte reale e parte immagiaria S R +j I I Im S θ R Re Il grafico del modulo di S, al variare di, si dice spettro di ampiezza metre il grafico della fase di S si dice spettro di fase di s(t)

25 Serie di Fourier Ciascu coefficiete di Fourier S ella formula dello sviluppo va a moltiplicare la fuzioe oscillate jπt e La sommatoria diviee quidi ua sommatoria di fasori S e ( πt ) jθ j πt j + θ e S e di ampiezza S e fase θ

26 Serie di Fourier Se cosideriamo l aimazioe precedete possiamo dedurre che ogi segale reale è costituito da fasori tali per cui, per ogi fasore a frequeza positiva, deve esistere ache il corrispettivo a frequeza egativa tale per cui S S - e fase θ e la fase iiziale θ deve essere opposta

27 Serie di Fourier Rappresetazioi della Serie di Fourier per segali reali Ricaviamo la forma trigoometrica Si parte da S R +j I " s(t) S e j! t " # ( R + ji ) ej! t #!"!" " # ( R + ji )( cos (! t ) + jsi (! t ))!" " R cos(!t )! " # # I si (!t ) +!"!" " " + j # R si(!t ) + j # I cos(!t )!"!"

28 Serie di Fourier Se il segale è reale vale la relazioe (si verifica immediatamete dalla formula del coefficiete di Fourier) S * S Come cosegueza abbiamo R R - e I - I - forma trigoometrica segale reale s( t ) + 1 [ ] R cos πt I si πt R Abbiamo ache la forma polare: s( t ) S + S πt + cos θ 1

29 Serie di Fourier Esempi di Sviluppo i serie di Fourier: ) cos( ) ( t f a t s π ) cos( ) cos( ) ( t f S S t f a t s ϑ π π Dal cofroto co la forma polare dello sviluppo i serie di Fourier di u segale reale periodico si ricavao i coefficieti della Serie di Fourier Da questo cofroto si ricava e 1, 1 ϑ a S 1,, S ϑ 1 1 a S e a S S S * Visto che il segale è reale si ha

30 Altro caso: Serie di Fourier s ( t ) a si( πf t ) Il segale si può scrivere come Dal cofroto co la forma polare si ottiee Dalla relazioe s( t) a cos πf t π a π S, ϑ S, ϑ, S S 1 * S si ottiee π π a j e a j S e 1

31 Serie di Fourier Nelle figure che seguoo si vede lo spettro del coseo e del seo per a1 Coefficieti di Fourier coseo Coefficieti di Fourier seo Nel caso del coseo è sufficiete u grafico visto che i coefficieti soo reali. I coefficieti el caso del seo soo complessi e possoo essere visualizzati i modulo e fase, oppure tramite u uico grafico della parte immagiaria.

32 Serie di Fourier A s(t) Sviluppo i serie di Fourier del treo di impulsi rettagolari s(t) di periodo e duty cycle δ ) ( t j t j t j t t t j dt Ae Adt dt Ae dt Ae dt e t s S altrimeti per π π π π

33 Serie di Fourier A Adt S - ± ± co k pari,...,, ) ( ) ( ) si( ) si( k- k A j j A j j e j e A j t j e A dt t j Ae S k π π π π π π π π π π π È il valore medio del segale.

34 Serie di Fourier Sviluppo i serie di Fourier del treo di impulsi rettagolari s(t) di periodo e duty cycle δ1 s(t) A Di seguito vegoo mostrati i coefficieti compresi ell itervallo [-1:1]

35 Serie di Fourier Le compoeti per 1 e -1 possiedoo lo stesso periodo del segale di parteza e soo dette fodametali Le compoeti per >1 soo dette armoiche e le frequeze soo corrispodeti a f f Di seguito vegoo mostrati i coefficieti compresi ell itervallo [-1:1]

36 Serie di Fourier Sviluppo i serie di Fourier dell oda triagolare Il segale è pari e reale. I questo caso è possibile dimostrare che: t + S 1 s(t)e! j!t dt 1 " s(t)e! j!t " dt " s(t)cos(!t )dt t +! + I coefficieti soo quidi reali. I questo caso possoo essere calcolati come S R + ( " A 1! t % $ 'cos(!t )dt # &

37 Serie di Fourier Il termie per si calcola facilmete come: R + ( " A 1! t % " 1 $ 'dt # & A % $ ' A # & Per si risolve l itegrale per parti e si ottiee S R A! si! $ # & " %!! $ # & " % A destra l adameto per A1

38 Cofroto coeff. Serie di Fourier Cofrotiamo l adameto dei coefficieti per l oda quadra e l oda triagolare: S R A! si! $ # & " %! S R A! si! $ # & " %!! $ # & " % Si vede che l adameto del modulo dei coefficieti per crescete Dipede da u fattore 1 per l oda quadra e 1 per l oda triagolare

39 Cofroto coeff. Serie di Fourier Quidi i coefficieti dello sviluppo i serie dell oda triagolare, tedoo a zero più velocemete di quelli dell oda quadra Questo feomeo è legato alle diverse caratteristiche temporali dell oda quadra Che preseta forti discotiuità, ovvero variazioi brusche, veloci, tali da richiedere u cotributo maggiore delle alte frequeze, quidi da oscillazioi rapide.

40 Fuzioe Sic(x) Itroduciamo ua fuzioe fodametale ell aalisi dei segali sic x ( ) si (! x )! x Quidi i coefficieti precedeti possoo essere visti come: S R A! si! $ # & " %! quadra A sic! $ # & " %! S R A si! $ # & " % A! $!! $ sic # & " % # & " % triagolare