D.F.T. Discrete Fourier Transform Trasformata discreta di Fourier

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1 D.F.. Discrete Fourier rasform rasformata discreta di Fourier Si cosideri ua fuzioe tempo-discreta periodica, cioè che esista solo i determiati istati di tempo *c co umero itero variabile da a - i u periodo : fig.. Si idichi co: c empo di campioameto umero dei campioi i u periodo Periodo della fuzioe fc Frequeza di campioameto *c fc /c Si ottiee ua sequeza di valori i fuzioe del tempo discreto *c. Per comodità di scrittura si può sottoitedere c i *c. Co questa covezioe la sequeza v[*c] si scrive i modo più semplice come v[]. Come si può passare da ua fuzioe tempo-cotiua ad ua tempo-discreta? Basta sostituire al tempo cotiuo t il tempo discreto *c e al periodo -> *c Come esempio si cosideri ua siusoide: ( ) se( ft) se ω t se π t se π c se π c

2 Esempio grafico di siusoide tempo-discreta (fig. ): campioi -.. v[] se(*π*/) SERIE ESPOEZIALE DI FOURIER Si vuole far vedere che ua fuzioe tempo-discreta periodica può essere scomposta i ua somma di espoeziali complessi del tipo: ) V k C e j α k K Co Per calcolare le icogite C k si moltiplichi a destra e a siistra per α e j α m V e j α m e j α m Co m umero itero tra zero e - k C e j α k K e j α m o dipede da k e può essere portato detro alla sommatoria co idice k V e j α m k C e j α ( k m) K Si esegue ora la somma S per che varia tra zero ed - ) S V e j α m k C e j α ( k m) K

3 Si scambio traloro le sommatorie S k C K e j α ( k m) La sommatoria di destra vale: e j α ( k m) j ( k m) e Se Se k m k m Per covicersi della secoda affermazioe basta associare all'espoeziale u vettore e pesare che la somma di vettori a simmetria radiale dà per risultato zero. Se e deduce che (m k): 3) S C e j α ( k m) K C e j α C K K Sostituedo m co k ella sommatoria a siistra della ) S Dalla 3) si ricava: V e j α k C K S V e j α k I coclusioe: Ua fuzioe EMPO-DISCREA PERIODICA ( sequeza di valori ) può essere scomposta i ua somma di espoeziali complessi V k j C e K k dove i coifficieti C k soo forito dalla

4 4) C K j V e k SERIE RIGOOMERICA DI FOURIER Posto Ck a K - jb K a k parte reale di c k, b k - Parte immagiaria di c(k) a k Re (c k ) b k Im (c k ) Dalla formula di Eulero : e jx cos( x) jse( x) Si ottiee: V k ( ) cos α k a jb k k ( ( ) jse( α k) ) Si osservi che ( si sottoiteda l'idice k per comodità di scrittura): ase( α) bcos( α) 5) V a cos π k k k k b si π k k Ua fuzioe periodica tempo-discreta formata da campioi può essere scomposta i ua somma di siusoidi tempo-discrete: 6) a k v cos π k 3

5 7) b k v se π k Esempio: Espadere i serie trigoometrica di Fourier l'oda quadra di figura: Periodo ms, frequea f / KHz, empo di campioameto c /6 ms, umero di campioi 6, frequeza di campioameto fc / c 6 KHz a 6 v cos π 6 6 ( ) 3 a v cos π 6 a v cos π a 3 v cos π 3 6 a 4 v cos π a 5 v cos π 5 6 a 6 v cos π Esempio: Espadere i serie trigoometrica di Fourier l'oda quadra di figura: 4

6 Periodo ms, frequea f / KHz, empo di campioameto c.ms, umero di campioi, frequeza di campioameto fc / c KHz a v cos π ( ) 5 a v cos π 4π cos cos cos( ) cos π cos 4 π 3.36 a v cos π Procededo i modo aalogo si ottegoo i dieci valori di a k. utti i b k sarao ulli dato che si tratta di ua fuzioe pari. Il termie a idica sempre il valore medio della fuzioe ifatti: 5

7 a v cos π ( v ) v U ' oda quadra tempo-discreta è formata da armoiche dispari. Le ampiezze vao calado ell'itervallo.. fc/ 3 Esempio: Espadere i serie trigoometrica di Fourier l'oda rettagolare di figura: Periodo 5us, frequea f / 6.67Khz, empo di campioameto c us, umero di campioi 5, frequeza di campioameto fc / c KHz 4) Esempio: Calcolare i coefficieti C K della serie espoeziale di Fourier di v, v, v. 6

8 Osservazioi: ) La sequeza delle armoiche risulta periodica co periodo fc. ) La ricostruzioe del segale origiario risulta perfetta dato il umero fiito di armoiche i fc/ 3) idica il tempo: è sottoiteso *c. k idica la frequeza: è sottoiteso k*f 4) L' uità di misura delle armoiche è la stessa del segale temporale. Se ad esempio il segale è i volt, ache le armoiche soo i volt 5) Le armoiche soo speculari rispetto a fc/. e cosegue che l'iformazioe è associata alle armoiche comprese tra zero e metà della frequeza di campioameto 6) a[k] è ua fuzioe pari, b[k] è ua fuzioe dispari Per dimostrare l'ultima affermazioe basta calcolare i coefficieti a -k e b -k : a v cos π ( k) K k v cos v cos k k v cos a K b v se π ( k) K 7

9 v se k v se k k v se b K Ragioado come el caso precedete si vede che a k a -K e b k -b -K Se v[] è ua fuzioe pari, i termii b k sarao tutti ulli, Se v[] è ua fuzioe dispari, i termii a k sarao tutti ulli. Basta osservare che il prodotto di due fuzioi pari è ua fuzioe pari e che il prodotto di ua fuzioe pari per ua dispari è ua fuzioe dispari. v[] pari --> v[]*se(α) fuzioe dispari --> ella somma i termii si aullerao a due a due. v[] dispari --> v[]*cos(α) fuzioe dispari --> ella somma i termii si aullerao a due a due eorema di Shao A quale frequeza si deve campioare u segale a bada limitata per o avere perdita di iformazioe? Si cosideri la cosiusoide corrispodete alla massima frequeza del segale da campioare ( ) V() t cos ω max t Il campioameto può essere pesato come il prodotto del segale per ua sequeza di impulsi uitari V[t] come i figura 3 8

10 ulla cambia se al posto di cosiderare ua cosiusoide si cosidera ua siusoide. V[]..cos(π)cos(4π)cos(6π).. V[] cos(π*fc*c)cos(4π*fc*c)cos(6π*fc*c).. V3[]cos(π*fmax*c)(cos(π*fc*c)cos(4π*fc*c)..) Dalle cos α ( ) cos( β) cos α β ( ) cos α β ( ) V3[] ( ) cos cf max cos π fc f max ( ) cos π fc f max ( ) cos π ( ) fc f max cos π fc f max ( ) Lo spettro del segale campioato risulta: Per poter ricostruire il segale origiario, co il filtro passa-basso, si vede che: 9

11 f f > f max max f > *fmax La frequeza del segale campioate deve essere maggiore del doppio della massima frequeza del segale da campioare. Come si deve operare per trattare i segali PERIODICI EMPO-COIUI? Si osservi che a[k]*cos b[k]*se soo fuzioe pari. Si possoo pertato riuire le armoiche a due a due, mettere i evideza il termie a, teere presete che b e cosiderare u umero dispari i modo che - sia pari. L'ultima cosiderazioe si capisce teedo coto che u segale cotiuo è formato da ifiiti puti. empo-discreta c --> empo-cotiua Diveta u ifiitesimo dt --> ifiito *c t V[] V(t) c c t ft 8) v[] a a cos π k k k k b si π k k 9) a c v cos π k ) a k c v cos π k ) b k c v se π k Le 8,9,, divetao:

12 Vt () a k ( ( )) a( k) cos fkt k ( ( )) b( k) se fkt a Vt () dt a( k) ( ) Vt ()cos fkt dt b( k) ( ) Vt ()se fkt dt Serie trigoometrica di Fourier per segali PERIODICI EMPO-COIUI Se si parte dalle ) e 4) si ottiee: ) Vt () k C e j π ftk K 3) C k Vt ()e j π ftk dt Serie espoeziale di Fourier per segali PERIODICI EMPO-COIUI Come si deve operare per trattare i segali O PERIODICI EMPO-DISCREI? Si può fare tedere all'ifiito e quidi ache. I questo caso però le armoiche tedoo a zero e o si riesce più a maipolarle. Coviee pertato moltiplicare le armoiche per il periodo i modo che / c risulti u valore costate. I segali o periodici tempo-discreti si possoo ricavare da quelli periodici tempo-discreti quado tede all'ifiito teedo costate il tempo di campioameto c. Le cosegueze soo che: Le Diveterao La frequeza discreta k*f diveterà frequeza cotiua f k Diveterà ck c ck c --> kf cf Coviee ragioare sulla forma espoeziale perchè è più compatta

13 Pogo 4) D C K K c v e j π cf 5) Df () c v e j π cf rasformata di Fourier per fuzioi O PERIODICHE EMPO-DISCREE Esempio: Ricavare lo spettro dell' impulso rettagolare tempo-discreto di fig. 4 Df () c ( ) e j c f e j ( ) cf e j π ( ) cf e j π ( ) cf 3 e j ( ) cf e j π ( ) cf 3 ( ( ) cos( 3 f) ) cos 4 π 3 3 f Osservazioe: ) Si ottiee u segale periodico frequeza-cotiuo di periodo fc.

14 ) Le uità di misura di D(f) soo quelle del segale origiario motiplicate per u tempo. Ad esempio, se il segale è i volt, la trasformata D(f) sarà i volt*secodi. 3) L'iformazioe è '' cocetrata '' i.. fc/ Per eseguire l'atitrasformata, per passare cioè dalla frequeza al tempo, basta osservare che: ) Ck ( ) D( k) ) Quado tede all'ifiito vegoo coperti tutti i puti del periodo fc 3) / ede a zero e si può sostituire co df 4) Le sommatorie di aree divetao itegrali da zero a fc. I geerale : 6) V[] fc Df ()e j π cf df Atitrasformata di Fourier per fuzioi O PERIODICHE EMPO-DISCREE Data la otevole lughezza dei calcoli si è preferita l'itegrazioe umerica usado il Mathcad. Si vede che si riottiee la fuzioe origiale tempo-discreta o periodica. ( ( ) ( ) ) Af (): 3 cos 4π 3 f cos 3 f fc 3 c v( ) fc Af ()e j π cf df v v( ) v 7 v 6 v 5 v 4 v 3 v v v v v v 3 v 4 Se, oltre a far tedere all'ifiito, si fa tedere c a zero si ottiee ua fuzioe o periodica tempo-cotiua: *c -->t 3

15 c-->dt 7) 8) Df () Vt () v()e t j π ft dt Df ()e j π ft df rasformata di Fourier per fuzioi O PERIODICHE EMPO-COIUE Atitrasformata di Fourier per fuzioi O PERIODICHE EMPO-COIUE Domade e Risposte su alcui dubbi D. Cosa succede ella ) se sostituisco α co -α? R. o cambia ulla purchè el calcolo delle armoiche Ck metta j al posto di -j D. Cosa succede se el calcolo di V moltiplico Ck per ua costate β? R. o cambia ulla purchè el calcolo delle armoiche Ck sostituica co *β D3. o capisco perchè ella 6) l'itegrale si estede da a fc? R3. La trasformata risulta periodica co periodo fc ed idica il umero di campioi i u periodo D4. o capisco perchè ella ) la sommatoria si estede da - a metre ella ) k parte da zero R4. I questo modo si cosidera che il segale V possa esistere ache per tempi egativi ( trasformata bilatera ). ulla vieta di cosiderare il segale solo per tempi positivi ( trasformata uilatera ). U discorso aalogo vale per la 5) ricavata dalla 4) D5) o mi è chiaro come si modifica R5) Caso --> co c costate : Kf diveta cotiua ( ua armoica ' attaccata all'altra ' ) Kf --> f cioè ua frequeza cotiua k ei vari casi k ck ckf --> fc Caso --> e cotemporaeamete c --> : Kf diveta cotiua ( ua armoica ' attaccata all'altra ' ) Kf --> f *c diveta cotiua ( u campioe ' attaccato all'altro ' ). *c -->t cioè u tempo cotiuo 4

16 k ck ckf --> ft 3 Caso c --> co costate: *c diveta cotiua ( u campioe ' attaccato all'altro ' ). *c -->t cioè u tempo cotiuo k ck ckf --> fkt 5