Circuiti a tempo discreto Raffaele Parisi

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1 Uiversità di Roma La Sapiea Laurea specialistica i Igegeria Elettroica Circuiti a tempo discreto Raffaele Parisi : Trasformata Defiiioi geerali, legami co la DTFT, regioe di covergea (ROC), proprietà, trasformata iversa, risoluioe dell equaioe alle differee tramite la trasformata.

2 LA TRASFORMATA Corrispode alla trasformata di Laplace per i circuiti a tempo-cotiuo (TC) Rappreseta ua geeraliaioe della trasformata di Fourier per i circuito a tempo discreto (TD). Motivaioi per l itroduioe della trasformata ei circuiti TD:. Cosete ua otaioe più semplice.. Semplifica l aalisi. 3. Ha validità più geerale della trasformata di Fourier (che o coverge per tutte le sequee). 4. Cosete di utiliare la teoria delle variabili complesse.

3 Defiiioe Si defiisce trasformata bilatera della sequea x[] la seguete fuioe (ovvero operatore): Z { [ ]} [ ] x = X = # x =" " metre la trasformata moolatera è: Z { [ ]} [ ] è ua variabile complessa. x = X = # x = N.B. Per sequee causali (x[]= per <) ha iteresse la trasformata uilatera. " 3

4 Legame co la trasformata di Fourier (DTFT) La trasformata di Fourier di ua sequea x[] è data da: I base alla defiiioe di trasformata, esprimedo i j forma polare si può scrivere: = re ( j ) [ ]( j ) j X = X re = x re = Im X(e j" ) = = re = +$ % =#$ # x[]e # j" # ( [ ] x r ) e " " j (DTFT) " Piao = " j = e Re = Cerchio uitario la trasformata calcolata sulla circoferea uitaria (r =) coicide co la DTFT 4

5 Regioe di covergea della trasformata ( Regio of covergece, ROC) La trasformata coverge per quei valori di tali che la sequea è assolutamete sommabile: [ ] x r [ ] $ x r " c < # I valori di per cui X() coverge, defiiscoo ua regioe del piao complesso che viee detta Regioe di covergea (ROC). r N.B. a causa della moltiplicaioe per l espoeiale è possibile che la trasformata coverga quado la DTFT o coverge. 5

6 I geerale la serie X() coverge solo per certi valori di. Ifatti: " [ ] " [ ] % % x r # x < $ X < =" cioè la covergea (assoluta) dipede da. I altre parole se X() coverge per =, allora coverge per tutti i valori tali che = e quidi la ROC è i geerale ua coroa circolare del piao. I particolare se la ROC comprede la circoferea di raggio uitario, allora esiste la trasformata di Fourier (cioè coverge assolutamete). 6

7 Esempi x [] Coverge [ ] [ ] [ ] K [ ] = x x " 6 =, x " 5 =,, x = X trae che per il valore = x [] [ ] [ ] [ ] K [ ] = x " x 3 =, x =,, x 3 = X = = Coverge trae che per i valori e 7

8 x 3 [] [ ] [ ] [ ] K [ ] = x " x =, x =,, x 6 = X 3 Coverge trae che per il valore = 8

9 Esempio: gradio uitario x[] = u[] x[] L u[] o è assolutamete sommabile. Ifatti: [ ] # =" [ ] u = r u ivece è assolutamete sommabile se r >. Ciò sigifica che per il gradio uitario la trasformata esiste, co ua ROC data da >. 9

10 Esempi di calcolo. Sequea espoeiale destra [ ] = a u[ ] x Im [ ] X " ( = # a ) = = " " a " a = " = a u = # =" a Re Si ha covergea se: a < " > a ROC

11 . Sequea espoeiale siistra [ ] = [ ] x a u " " " [ ] X = " a u " " = " a = " " = "# a = " #( a ) = " = " " a = = = = " " # # =" =" " a a Im a Re Si ha covergea se: a < < a ROC

12 3. " " x $ % u $ % u & ' & 3 ' [ ] = [ ] + # [ ] # $ % " & # " $ # " $ X = ' ( )% & + )% " & = + = 3 = ' ( = ' ( " " " + # $# $ " + 3 % &% & ' (' 3 ( " " < > # # ROC : % $ % $ > # < # > #& 3 #& 3 4. [ ] = + K+ ( ) x a a a = + K + ROC : > max ( a, K, an ) X N a N

13 Trasformate otevoli [ ] [ ] # $ u[ ] # > " " a u[ ] # > a " " a " a a u # > a ( " " a ) 3

14 Rappresetaioi della trasformata X() - U caso importate è quello i cui X() è ua fuioe raioale reale ella ROC: ' N N ( ) X = = ' D D ( ) N(), D() soo poliomi i e N'( - ), D'( - ) soo poliomi i -. - X() può essere cosiderata fuioe di o -. Esempio X ( ) ( ) ( )( ) = = Per sequee causali coviee usare la forma i -. Le due rappresetaioi soo equivaleti. N.B. X() è ua fuioe raioale se x[] è ua combiaioe di espoeiali (reali o complessi). 4

15 Forma raioale di X() X M M " k N M k ( b ) k " bk b # ck = = = k = k = k = N N N " k M N k ( a ) k " ak a # dk k = k = k = M I valori di tali che X() = soo gli eri. I valori di tali che X() soo i poli. I particolare i poli di valore fiito e diverso da ero soo le radici del deomiatore di X() e i più si possoo avere ache poli i = e =. 5

16 Proprietà della ROC. X() è ua fuioe aalitica ella ROC: X() e tutte le sue derivate soo fuioi cotiue di.. La Trasformata di Fourier di x[] (DTFT) coverge assolutamete se e solo se la ROC di X() cotiee la circoferea uitaria. 3. La ROC o può coteere poli. 4. La ROC è coessa. 5. Se x[] ha durata fiita (" < # # < " ) la ROC comprede tutto il piao, trae evetualmete i puti = e =. 6

17 " 6. Per sequee uilatere destre ( x, # ) la ROC è del tipo più grade. > $ = [ ], dove è il polo di modulo Moolatera destra: Polo = > 7. Per sequee uilatere siistre ( x, < ) la ROC è del tipo più piccolo. < # =" [ ], dove è il polo di modulo Moolatera siistra: 3 < 3 Polo =3 8. Per sequee bilatere la ROC è del tipo < <, cioè è u aello delimitato da poli. 3 Bilatera: < < 3 7

18 Proprietà della trasformata Liearità [ ] + [ ] + ax bx ax bx ROC = ROC X I ROC X Traslaioe el tempo [ ] " x X = ROC = ROC ( X ) eccetto evetualmete " $ = # 8

19 Moltiplicaioe per ua sequea espoeiale [ ] " # $ % & ' x X ROC = ROC X = costate (complessa) Si itroduce u fattore di scala ella ROC d k è u polo di X() d k è u polo X(/ ) reale positivo j = e = a + jb poli e eri ruotao di poli e eri si muovoo radialmete spostameto radiale + rotaioe (traslaioe i frequea) 9

20 Derivaioe rispetto a [ ] x " dx d Coiugaioe di ua sequea complessa [ ] = x * X * * ROC ROC X Rovesciameto el tempo " x[ # ] $ X % & ROC = ' ( ROC X Covoluioe di sequee x[ ] y[ ] " X Y Teorema del valore iiiale ROC = ROC ( X ) eccetto ev. = e = I ROC cotiee ROC X ROC Y [ ] = # < [ ] = Se x allora x lim X "

21 Trasformata iversa. Metodo per ispeioe I questo caso l atitrasformata è immediata (si usao tabelle). Esempio k X = > a " ka u a [ ] N.B. Nel caso di trasformata bilatera occorre specificare ache la ROC. Ifatti si ha: k X = < a " ka u a [ ]

22 . Metodo dell espasioe i serie Si cerca di scrivere uo sviluppo i serie di potee di o -. Esempio: X =, > a a Si può fare la divisioe tra poliomi: a a a a a a + a + a +... Si ha: X a a a = = e quidi: x[ ] = a u[ ] N.B. Nel caso X =, < a a si cosidera uo sviluppo i serie di (<).

23 3. Metodo dello sviluppo i fraioi pariali Si usa per fuioi X() raioali: X M M M k N M k " bk " bk b# ( ck ) = = = k = k = k = N N N k M N k " ak " ak a# ( dk ) k = k = k = c k : eri o ulli d k : poli o ulli X() ha M eri e N poli o ulli e i aggiuta M-N poli i = se M>N oppure N-M eri i = se N>M. Si possoo avere ache poli o eri per =. Il procedimeto è simile a quello usato per l atitrasformata di Laplace. 3

24 Se M<N e i poli soo semplici si ha: N k = X " k = A d i cui i residui A k si ottegoo dalla formula: k k ( k ) A = d X Se M N bisoga aggiugere u poliomio di grado M-N (si fa la divisioe tra poliomi): M N N Se ci soo poli multipli di molteplicità m k, si ha: = d r k = Br + X " " r= k = k k A d X M N N " A A A # = + $ % poli r k k kmk ( Br ( K r k ( dk = = ) ( dk ) ( dk ) mk $ % & ' 4

25 Esempio ROC > a X Si trova: Esempio 3 5 C C = = = ROC > a X C " # C = 3 = = = = 3+ [ ] = + u[ ] x # $ % $ % 3 " # & '. #, * + * 3 + #- [ ] = " 3 [ ] + 3# [ ] x u 5

26 Esercii sulle atitrasformate A) H = ) Si esprime H() i fuioe delle potee positive di : H = N.B. i termii elemetari che si voglioo idividuare soo del tipo: k " a [ ] ka u 6

27 H Coviee allora cosiderare la fuioe : H + + = 3 " $ # + % & 4 8 ' ) Calcolo dei poli = Si ha:, = 3 3 " 4 + ± $ % # 4 & 4 ' 8 4 H A B C H A B C = + + = + + " " " " 4 4 7

28 3) Calcolo dei residui di H A = = = 8 = 8 " H + + B = $ # % = = 8 & ' " = $ # % & 4 ' H = " H + + C = $ # % = = # 5 & 4 ' " = 4 $ # % & ' 4) Calcolo di h[] = 4 H 8 5 = " $ % & % & # $ h ( * + * + ) u $., -, 4 - $ / [ ] = 8 [ ] + 8 ' 5 [ ] 8

29 B) H H a = ( 3) = = b b = ( 3)( 5) ( 5) = 3 = 5 ( 5) = 5 = 3 H = ( 5) = = 4 3 ( 3)( 5) d " H # = $ ( 5) % = = d & ' ( 3) = 5 = 3 poli : " # = 5 H a b b = = = 5 semplice doppio H 4 4 = + = ( 5) ( 5 ) 4 " h[ ] = + u = + u 5 (3 5 5 ) [ ] ( ) [ ] N.B. Ipotesi: h[] causale) 9

30 C) Atitrasformata mediate sviluppo i serie di potee X a + a + a + L+ a = = b b b b N N M L+ N [ ] [ ] [ ] = x + x + x + L Esempio X + + = " +.3 Divisioe luga co potee positive o egative 3

31 Potee egative Potee positive L M L 3

32 N.B. La divisioe luga può essere calcolata i modo ricorsivo: [ ] x = a / b [ ] = # [ ] x $ a x b "% / b [ ] = # [ ] # [ ] x $ a x b x b "% / b [ ] = # [ ] # [ ] # [ ] x 3 $ a x b x b x b "% / b

33 D) Esercii o svolti Calcolare l atitrasformata delle segueti fuioi H + = +.5. (Ipotesi: x[] causale) ( + )( ) =. (Ipotesi: x[] causale) H =, (Calcolare x[] per le varie possibili ROC) H 33

34 Risoluioe di equaioi alle differee fiite lieari tramite la trasformata (ovvero calcolo della risposta di u circuito TD) Si fa riferimeto all equaioe: N M " " [ ] = [ ] a y k b x k k k = k = co (x[] causale) e codiioi iiiali y[-],, y[-n] ote. Si può ache scrivere (ormaliado rispetto a a ): N k [ ] [ ] y[ ] = a y k + b x k M " " k k = k = Si applica ora la trasformata uilatera: # $ # $ N M " " " ) y[ ] = ")%) ak y[ " k] & + )%) bk x[ " k] & = = k = = k = Y ' ( ' ( k 34

35 Si ottiee: N M # " $ # " $ Y = ") ak %) y[ " k] & + ) bk %) x[ " k] & k = ' = ( k = ' = ( Poedo -k=l si può scrivere: N M # " k " l $ # " k " l $ Y = ") ak % ) y[ l] & + ) bk %) x[ l] & k = ' l=" k ( k = ' l= ( dove si è teuto coto del fatto che x[]= per <. Raccogliedo -k : N M " k # " l $ " k # " l $ Y = ") ak % ) y[ l] & + ) bk %) x[ l] & k = ' l=" k ( k = ' l= ( " l l # y[ l] + # y[ l] l= k l= Y X 35

36 Si ha: N k M k " # k Y = ( ak $ ( y[ ] + Y % + ( bk X k = & = ' k = # # [ ] # # N k N M k k k k k k k = = k = k = Y = a y Y " a + X " b Isolado Y(): M N k k k " bk " ak " y[ ] k = k = = X N N k k " ak " ak k = k = Y = + + dipede dall igresso x[] dipede dalle codiioi iiiali 36

37 I forma compatta: Atitrasformado: Y = H X + y[ ] = y [ ] + y [ ] for. lib. N A Y Y. for. Osservaioe. I poli di Y() soo l uioe dei poli di H() (cioè le radici di A(), idicati co p k ) e dei poli di X() (idicati co q k e supposti i umero di L). L uscita avrà quidi la seguete forma: N L k k k k k = k = y[ ] = A p u[ ] + B q u[ ] lib risposta a stato ero o risposta forata risposta a igresso ero o risposta libera 37

38 Risposta trasitoria e risposta permaete Suppoedo ulle le codiioi iiiali si ha: Y = H X I tal caso l uscita avrà l espressioe: N L k k k k k = k = y[ ] = C p u[ ] + D q u[ ] Se per i poli p k di H() si ha p k <, allora: N tras. " k k k = y [ ] = C p u[ ] risposta trasitoria Se ioltre l igresso è ua sequea siusoidale, allora ache: L y [ ] = D q u[ ] perm. k k k = sarà siusoidale co la stessa pulsaioe. risposta permaete 38

39 Eserciio Calcolare la risposta al gradio uitario del circuito rappresetato dalla seguete equaioe: y[ ] = y[ " ] + x[ ] co la codiioe iiiale y[-]=. Soluioe. Calcolado la trasformata uilatera di etrambi i membri dell equaioe si ottiee: { } Y = " Y + y[ " ] + X Y y X " ( " ) = [" ] + y[ " ] Y = + # " " " Atitrasformado si ottiee: " " " " " y[ ] = u[ ] + u[ ] = u[ ] " " Trasformata del gradio uitario: 39