Analisi armonica. Angelo Bisceglia

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1 Aalisi armoica Agelo Bisceglia Teorema: U sistema lieare stazioario co fuzioe di trasferimeto (f.d.t.) razioale fratta co poli a parte reale egativa, soggetto ad u forzameto siusoidale, a regime, ha ua risposta siusoidale avete la stessa frequeza (isofrequeziale).

2 X(s) G(s) Y(s) Dato u sistema lieare stazioario asitoticamete stabile (poli a parte reale egativa) G(s) ; applicato il gale di igresso (forzameto) siusoidale : x(t) X ( t) Dopo esaurito il trasitorio (a regime) l uscita è: y(t) Y( ) t ( ) Si defiisce fuzioe risposta armoica (f. r. a.) F() di variabile reale 0 a valori complessi : Y( ) F( ) e X j( ) Si può dimostrare che: F( ) G(s) s j L aalisi di u sistema co la f.r.a. è molto agevole perché collegata alla strumetazioe di laboratorio, i.e. geeratori di gali siusoidali co frequeza e ampiezza variabili. I questo modo si può ricavare sperimetalmete la sua f.r.a e quidi la sua f.d.t. L aalisi i frequeza o permette però di collegare i risultati della f.r.a. co quelli dell aalisi temporale, eccezio fatta per i sistemi di grado. F() è detta Trasformata (uilatera) di Fourier.

3 RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE PER LA TRASFORMATA DI FOURIER: I DIAGRAMMI DI BODE Soo le rappretazioi grafiche parate del modulo F(j) e della fa / F(j) del umero complesso F(j) al variare di є (0 + ) F() / F() Si otio le gueti proprietà per le fasi: / 1 / F(j) = - / F(j) / F 1(j) * F (j) = / F1(j) + / F (j) Se si esprime il modulo i db i.e. F(j) db = 0 log 10 F(j) si ottegoo le gueti proprietà per i moduli: 1 / F(j) db = - F(j) db F 1 (j) * F (j) db = F 1 (j) db + F (j) db

4 Le pulsazioi vegoo riportate sull as delle ascis usado ua scala logaritmica i ba 10 log 10 Co tale scala, i diagrammi di alcue fuzioi elemetari (fattori moomio, biomio e triomio) assumoo ua forma particolarmete mplice. Ioltre, u altro vataggio è la possibilità di rappretare ampi itervalli di variazioe delle gradezze ,001 0,001 0,01 0,01 0,1 0, Carta milogaritmica

5 Ua f. r. a. può esre messa sotto forma di prodotti: F j costate moomi moomi che quidi cotiee 4 tipologie di termii: 1. Costate k biomi biomi triomi triomi. Moomio j proveiete o da uo zero ( a umeratore) o da u polo ( a deomiatore) i s = 0 3. Biomio 1 + j τ proveiete da uo zero ( a umeratore) e/o da u polo ( a deomiatore) reale i s = -1/τ 4. Triomio 1 + δj/ + ( j) / proveiete da ua coppia di zeri ( a umeratore) e/o di poli ( a deomiatore) complessi coiugati a ± j b co : a b δ - a 1. Fattore costate k modulo k db 0 log10 k

6 .a Fattore moomio a umeratore j Per il modulo si ha: j db = 0 log 10 Pedeza 0 db/dec molteplicità zero è 1; Pedeza 0 q db/dec molteplicità zero è q. Per la fa.b Fattore moomio a deomiatore 1/j Da: / 1 / F(j) = - / F(j) 1 / F(j) db = - F(j) db Pedeza -0 db/dec molteplicità polo è 1; Pedeza -0 q db/dec molteplicità polo è q.

7 3.a Fattore biomio a umeratore (1+j) Modulo: 1 j db 0 log10 1 τ Approssimado: Si ha: 1 τ 1 db τ 0 log log 10 1/ 1/ Queste mirette rappretao il diagramma asitotico del modulo 1/ 1/ NB: lo scostameto max tra diagramma reale ed asitotico si ha i corrispodeza della pulsazioe di rottura 1/ e vale 1 j / db 0 log10 3 db 3.a Fattore biomio a umeratore (1+j) Modulo Pedeza 0 db/dec molteplicità zero è 1; Pedeza 0 q db/dec molteplicità zero è q.

8 3.a Fattore biomio a umeratore (1+j) Fa: Approssimado si ha: 1 τ 0 90 [-90] 1/ 1/ e 0 [e 0] Questi asitoti soo raccordati da u gmeto che parte da 0,1/ e termia i 10/. Il diagramma asitotico delle fasi è costituito da ua spezzata a 3 lati. NB: lo scostameto max tra diagramma reale ed asitotico si ha i corrispodeza delle pulsazioi 0,1/ e 10/ e vale circa ± 6 3.a Fattore biomio a umeratore (1+j) Per > 0 (Sistema asitoticamete stabile) Per < 0

9 3.b Fattore biomio a deomiatore 1/(1+j) Modulo: Da: 1 / F(j) db = - F(j) db 3.b Fattore biomio a deomiatore 1/(1+j) Fa: Da: / 1 / F(j) = - / F(j) Per > 0 Per < 0

10 4.a Fattore triomio a umeratore [1 + δj/ + ( j) / ] Modulo: δ j 1 j 1 jδ 1 4δ Approssimado: 1 δ j j 1 4.a Fattore triomio a umeratore [1 + δj/ + ( j) / ] Approssimado: 1 δ j j 40 log log 10 queste due mirette costituiscoo il diagramma asitotico del modulo NB: lo scostameto tra il diagramma reale e quello asitotico i corrispodeza del puto di rottura (pulsazioe aturale) vale 0 log 10 δ i.e. dipede da δ: per δ = 0 lo scostameto vale - i db per δ = 0,5 lo scostameto vale 0 i db per δ = 1 lo scostameto vale 6 i db per δ < 1/ = 0,707 il modulo di u fattore triomio a umeratore ha u picco egativo (atirisoaza) i prossimità della pulsazioe aturale, tato più accetuato quato miore è δ (coefficiete di smorzameto).

11 4.a Fattore triomio a umeratore [1 + δj/ + ( j) / ] 4.a Fattore triomio a umeratore [1 + δj/ + ( j) / ] Fa: Procededo i modo aalogo si ha: 1 δ j j [-180] e δ 0 [ δ 0] La trasizioe tra questi due valori avviee i modo simmetrico rispetto alla pulsazioe aturale e tato più bruscamete quato miore è ; i particolare per δ = 0 si ha ua discotiuità el diagramma delle fasi i corrispodeza a. NB: o esiste u diagramma asitotico per la fa del termie triomio.

12 4.a Fattore triomio a umeratore [1 + δj/ + ( j) / ] 4.b Fattore triomio a deomiatore 1/[1 + δj/ + ( j) / ] Modulo: Da: 1 / F(j) db = - F(j) db

13 4.b Fattore triomio a deomiatore 1/[1 + δj/ + ( j) / ] Fa: Da: / 1 / F(j) = - / F(j) TRACCIAMENTO DEI DIAGRAMMI ASINTOTICI DI BODE Tracciameto del diagramma asitotico dei moduli PASSO 0: Mettere la fuzioe ella forma fattorizzata. PASSO 1: Si gio le ascis dei puti di rottura: 1/τ i (termie biomio umeratore) 1/τ i (termie biomio deomiatore) h (termie triomio umeratore) h (termie triomio deomiatore) Si associo ad ogi puto di rottura le pedeze l r così defiite: +0mi per i termii biomi di molteplicità m i al umeratore l r +40m h per i termii triomi di molteplicità m h al umeratore -0 i per i termii biomi di molteplicità i al deomiatore -40m h per i termii triomi di molteplicità h al deomiatore

14 F() db (l 1 ) (l ) 0,1 1 log 10 Puto di rottura 1 Puto di rottura PASSO : Si tracci il primo lato (da log 10 - ) del diagramma asitotico che è ua miretta di pedeza l 0 data da: +0 m 0 db/dec vi è uo zero ell origie di molteplicità m db/dec vi è u polo ell origie di molteplicità 0 la miretta (o evetualmete il suo prolugameto) iterca l as delle ordiate (log 10 = 0 => = 1) el puto 0 log 10 k

15 PASSO 3: Si traccio i lati successivi del diagramma asitotico. Ogi volta che la retta icotra u puto di rottura cambia la sua pedeza: alla pedeza che la retta aveva prima del puto di rottura ora si aggiuge (algebricamete) la pedeza del puto di rottura raggiuto. Così, dopo il terzo puto di rottura, la pedeza è l 0 +l 1 +l +l 3 db/dec Si può verificare che l ultimo lato (log 10 + ) risulta icliato di: 0 (m-) db/dec [m umero degli zeri umero dei poli]