Risposta Armonica (vedi Marro Par. 3.1 a 3.2) (vedi Vitelli-Petternella par.vii.2, VII.2.1)
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- Gabriella Carlini
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1 Risposta Armoica (vedi Marro Par. 3. a 3.) (vedi Vitelli-Petterella par.vii., VII..) Che Cosa e Come si calcola (Come si misura) Criteri di stabilita automatica ROMA TRE Stefao Pazieri-
2 Che Cosa è (vedi BodeUPolo_.vi relizzato co Labview) - ω=. u u Ti ( d) - y u y Sfasameto ϕ = ω t Modulo ω= Si Mux s+ Sistema Graph Risposta Armoica: M(ω) e ϕ(ω) di Y(j ω)/u(j ω) - u ω= y i ( d) i ( automatica ROMA TRE Stefao Pazieri-
3 Alcue frequeze soo efatizzate La Risoaza ω= Chirp Sigal s +.5s+ Sistema Mux - 5 ω= ω= Ti ( d) automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 3-4
4 Calcolo dalla FdT G(s) : asitoticamete stabile, Re [p i ]< p i RST t t ut () si Ω > t Us ()= s Ω + Ω Ω Ω Ys () = Gs () Us () = Gs () = Gs () s + Ω ( s+ jω ) ( s jω ) = Yt () s R R + + s j Ω s + j Ω * co Fattorizzazioe Ω R= lim ( s jω) Y( s) = lim G( s) = Gj ( Ω) s + j Ω j s jω permaete yt y t j Gj e jωt t G * j e jωt ( ) = ( ) + ( Ω) ( Ω) = = y () t + G( jω) si Ωt + G( jω) t Trasitorio permaete a f Gs () G( jω) s= jω = risposta armoica automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 4
5 Scomposizioe i termii semplici Per G(s) razioale: G( jω ) = tre tipi di termii ( e loro reciproci) quado j bs j Ns () Gs () = i = as i Ds () Per ogi poliomio le radici possoo essere: p i = s s p i : reale (s-p i ) +τs p i,p j coppia c.c. [s -σs+(σ +ω )] Termii della fattorizzazioe ζ s + s + ω ω Notazioe usuale τ : costate di tempo ω : pulsazioe di risoaza ζ : smorzameto, θ = si ζ = si automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 5 p i = τ σ ω * σ * ω θ ω
6 Scomposizioe i termii semplici - Comportameto asitotico G(jω): G ( s) = K s h F f s s + i s HG ζ τ + i + ω i ω F d s s + js G τ i ζ + i H + ω j ω a b s b a s a automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 6 i I KJ j I = J K jω t jω t Gj ( ω) R S K a f jω h b h = G( jω) = k = m b m se se < a a m. jω T h > Gj ( ω) Gj ( ω) h 9 b Gj ( ω) a m m m a f jω a f m m =. b m a * >m o può accadere * atura passa-basso dei sistemi fisici CAUSALITA -(-m)*9
7 Rappresetazioi di G(jω) (vedi es. realizzati i Scilab) Im[G] ω= ω=ω ω= Re[G] (vedi NumDePoli_.vi realizzato i LabView) Polare o Re-Im (parametro=ω) : NYQUIST (vedi Marro par. 3.5,vedi Vitelli-Petterella par.viii.3) Poco usato i pratica, utile i certe dimostrazioi. G db ω G Modulo-fase (parametro=ω) : NICHOLS (vedi Marro par. 3.6, vedi Vitelli-Petterella par.viii. ) U tempo usata la carta di Nichols ella progettazioe, oggi o più. G decade db = log G G (gradi) ω ω Modulo e fase separati : BODE (vedi Marro par. 3.3, vedi Vitelli-Petterella par.vii.3) Acora estremamete diffuso Usato ella strumetazioe, come output dei calcolatori Usato ella progettazioe mauale ed assistita automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 7
8 W Bell : B = log W A Decibel : db = log A DECIBEL Poiché W V, I.. Es.:W=RI W : poteza quado si usao le ampiezze : Decibel: A db= log A Vataggi: campo di valori maggiore a parità d igombro errore di rappresetazioe costate i percetuale alcui adameti si semplificao Alcui valori db 6. db = db = db 6 Gj ( ω) db = Gj ( ω) db db = = 4 db automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 8
9 Termie moomio jω h jω h λ - w. Modulo= h log ω = h λ Fase = 9 h 4dB h= h= 8 h= 9 h= -4 h=- -8 h=- automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 9
10 Termie biomio (+jωt) (vedi BodeUPolo_.vi realizzato i LabView). = + ω τ = + ω τ log log d i ω << log = τ ω >> logω τ = logτ + λ τ asitoti approx a f F I + jωt = H ωτ ta K ω << tg ( )= τ ω >> tg ( )= 9 τ ω = tg ()= 45 τ 9 3dB /τ / Gj ( ω) = Gj ( ω) db db./τ /τ /τ / G( jω) = G( jω) automatica ROMA TRE Stefao Pazieri-
11 Esempio o è K! fattore di guadago K - - K Polo ell origie τ Puto di rottura Polo reale Gs () = = ss ( + ) s( +. s) polo ell origie polo reale Sigificato di K lim s = s s s ( s + ) g - (t) -9-8 pedeza.. s. G(s) lim s s s ss ( + ) s = automatica ROMA TRE Stefao Pazieri-
12 s W3 s ζ ()= + s + ω ω ω, W3 () s = s = jω ω, - ω ω = db -4logω +4 λ (λ=logω) Il Termie Triomio Rappreseta modi pseudoperiodici RISONANZE (Deomiatore) e ANTIRISONANZE (Numeratore) ω Per ω=ω a f = W j 3 = + ζ ω ω = jζ W3 jω ζ ζ = ω ω = + 9 a f automatica ROMA TRE Stefao Pazieri-
13 (vedi BodeDuePoli_.vi realizzato i LabView) Risp. Armoica Termie Triomio Guadago (db) W 3 ω = Fase (gradi) W 3 ζ=.3 ζ=.5-9 ζ= ζ=.3 ζ=.5 - ζ= ζ=.7 ζ=.7-4 Frequeza (rad/sec) Frequeza (rad/sec) automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 3
14 Esempio a massa: Mx = f() t K( x x) a massa: mx = K( x x ) Trasformado : ( + = + ( ms + K i X() s = K X() s Ms K i X () s F() s K X () s L M N K X() sdms + Ki P = Fs () ms + K X() s ms K Fs () = + Ms + K ms + K K e je j O Q = ms + K mms + K( m + M) s f(t) K m M Attriti ulli x x N.B. ω di atirisoaza è il puto i cui si aulla il umeratore ω di risoaza è il puto i cui si aulla il deomiatore automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 4
15 Esempio (cotiua) Ms + K = ω r = K m per M = Kg ω r = 5 m = 5Kg K = 5. m -5-4bB/dec Risoaza Gudago db - Atirisoaza -5 automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 5 ω r
16 Risposta al gradio del Termie Triomio.4 ζ=.3 Risposta al Gradio. ζ=.5 Ampiezza.8.6 ζ= L s + ζ s ω + s ω Tempo (sec) automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 6
17 Tempo s ζ Frequeza B3/ ω ζ Parametri del T. Triomio i fuzioe di ζ Attezioe :B 3 = ω 3 /π i Hz ω i rad/sec ts*ω ζ Mr ζ.9 automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 7. k k-3 ts s. db ω 3 Mr
18 Sistemi co ritardo fiito (vedi Marro par.4.7) q i (t) sesore T T IN T U v L q u (t) L V T L q v =A. V = L q u ( t ) q i t = V L d mis ( t) d t V T U ( t) = T IN t L A q V automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 8
19 Teorema della traslazioe el tempo L Sistemi co ritardo fiito ft ( T) = e st L ft ( ) co T = cost. 3 3 st s T s T Possibili approssimazioi : e = st st st e = st + ϕ6 u() t = si( ωt) y() t siωt ωt Risposta i frequeza L = NM O QP (Taylor) (Padè) - -8 T T=s s.s automatica ROMA TRE Stefao Pazieri- 9
20 Risposta a gradio g(t) t = t = Sistemi a Fase No Miima Hao zeri a parte reale positiva: as Gs () = + Ns () = + bs + as lim s ± = ± + bs s ± as lim s = + bs s s s as bs a b (t) Ad uo stimolo positivo rispodoo iizialmete co uo spostameto egativo. Cofodoo il meccaismo della cotroreazioe! jωτ = + jωτ jωτ = + Come uo zero ormale /τ Come u polo jωτ /τ -9 automatica ROMA TRE Stefao Pazieri-
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