Ipotesi: il sistema ha f.d.t. G(s)=N(s)/D(s) e la corrispondente g(t) e` combinazione lineare di funzioni infinitesime per

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1 Risposta armonica Analisi nel dominio del tempo: caratterizzazione del sistema osservando la sua risposta (forzata) ad ingressi significativi Ipotesi: il sistema ha f.d.t. G(s)=N(s)/D(s) e la corrispondente g(t) e` combinazione lineare di funzioni infinitesime per t U(s)=L[u(t)] e` razionale, U(s)=B(s)/A(s) (N,D), (B,A), (N,A) sono coppie di polinomi coprimi 1

2 Risposta armonica Risposta forzata: Y(s) = G(s)U(s) = N(s) B(s) D(s) A(s) = N g (s) D(s) + N u (s) A(s) y(t) = y g (t) + y u (t) Per l ipotesi su g(t): lim y(t) = lim (y g (t) + y u (t)) = lim y u (t) t t t componente di regime permanente (u persistente limitato) o asintotica (u persistente non limitato) 2

3 Risposta armonica Caso particolare di ingresso persistente limitato: sinusoidi u(t) = Asin(ω 0 t) U(s) = A ω 0 s 2 + ω 0 2 Aω Y(s) = G(s)U(s) = G(s) 0 s 2 + ω = G(s) Aω (s + jω 0 )(s jω 0 ) Antitrasformando (N.B.: D(s) e A(s) necessariamente coprimi...) y(t) = y g (t) + α 0 e jω 0 t + α0 e jω 0 t 3

4 Risposta armonica Residui: α 0 = lim s jω (s jω 0 )G(s) Aω 0 (s + jω 0 )(s jω 0 ) = Aω 0 G( jω 0 ) 2 jω 0 = A 2 j G( jω 0) α0 = A 2 j G( jω 0 ) Poiche G*(s)=G(s*) e definito φ(ω) = argg( jω) G(s) = G(s)e j argg(s) G( jω) = G( jω)e jφ(ω ) G( jω) = G(( jω) ) = G ( jω) = G( jω)e jφ(ω ) 4

5 Risposta armonica Essendo y g (t) infinitesima, per t grande y(t) α 0 e jω 0 t + α0 e jω 0 t = A 2 j G( jω 0 )e j(φ(ω 0 )+ω 0 t) A 2 j G( jω 0 )e j(φ(ω 0 )+ω 0 t) = AG( jω 0 ) e j(φ(ω 0 )+ω 0 t) e j(φ(ω 0 )+ω 0 t) 2 j = G( jω 0 ) Asin(ω 0 t + φ(ω 0 )) 5

6 Risposta armonica In regime permanente: u(t) = Asin(ω 0 t + ϕ 0 ) y(t) = G( jω 0 ) Asin(ω 0 t + ϕ 0 + φ(ω 0 )) y(t) a regime e` ancora una sinusoide con stessa frequenza ω 0 ampiezza amplificata/attenuata di un fattore G(jω 0 ) fase aumentata/diminuita di un fattore ϕ(ω 0 ) 6

7 Risposta armonica G(jω): funzione di RISPOSTA ARMONICA o RISPOSTA IN FREQUENZA Si ottiene valutando la funzione di trasferimento in s=jω (muovendosi lungo l asse immaginario), con ω 0 Legame con la risposta impulsiva g(t): g(t) L G(s) s= jω G( jω) Nelle ipotesi fatte, l ascissa di convergenza e` σ 0 <0 g(t) = 1 2πj j j G(s)e st ds = 1 2πj j j G( jω)e jωt d( jω) G( jω) = G *(jω) 7

8 Risposta armonica Quindi G(jω) e` determinabile univocamente da G(s) e viceversa Forniscono caratterizzazioni equivalenti del sistema La risposta armonica puo` essere calcolata sperimentalmente applico u(t)=asin(ω 0 t+ϕ) lascio esaurirsi il transitorio misuro y(t)=a sin(ω 0 t+ϕ ) assumo G(jω 0 ) =A /A e ϕ(ω 0 )= ϕ - ϕ ripeto per altre frequenze costruisco per punti G(jω) 8

9 Risposta armonica Significato della funzione di risposta armonica: descrizione frequenziale dei segnali (spettro) sviluppo in serie di Fourier di un segnale u(t) periodico di periodo T u(t) = C 0 + C n sin(nωt + ϕ n ) n=1 = 1 Un T e jnωt Ω= 2π n= T ogni componente del segnale transita indipendentemente attraverso il sistema e a regime y(t) = C 0 G(0) + C n G( jnω) sin(nωt + ϕ n + ϕ(nω)) n=1 9

10 Risposta armonica u(t) = sin(t) + 0.2sin(10t) +1.2sin(20t) G(s) = 1 s 2 + s G( jω) = 1 ω 2 + jω G( j1) =1 G( j10) = 0.01 G( j20) =

11 Risposta armonica Per segnali non periodici: trasformata di Fourier u(t) = 1 + 2π U( jω)e jωt dω 1 T Un e jnωt n= + U( jω) = u(t)e jωt dt La trasformata di Fourier coincide con la trasformata di Laplace valutata sull asse immaginario (sotto opportune ipotesi) Descrizione del contenuto frequenziale di un segnale 11

12 sin(ω 2 t) Risposta armonica sin(ω 3 t) sin(ω 1 t) 12

13 Risposta armonica Quando il segnale transita attraverso il sistema Y(s) = G(s)U(s) Y( jω) = G( jω)u( jω) Il contenuto spettrale del segnale di uscita (ad ogni frequenza) si ottiene sagomando lo spettro del segnale di ingresso tramite la funzione di risposta armonica del sistema Nel dominio del tempo: rappresentazione grafica naturale La funzione di risposta armonica e` una funzione complessa di variabile reale (ω) Quali rappresentazioni grafiche? 13

14 Risposta armonica G( jω) = G( jω)e j argg( jω ) Due diagrammi separati: G(jω) in funzione di ω Diagrammi di Bode argg(jω) in funzione di ω Unica curva nel piano complesso parametrizzata in ω : ImG(jω) in funzione di ReG(jω) Diagramma di Nyquist 14

15 Diagrammi di di Bode Si consideri la f.d.t. in forma fattorizzata (di Evans) G(s) = K (s z 1 )(s z 2 )K(s z m ) (s p 1 )(s p 2 )K(s p n ) Con opportune posizioni si ottiene la forma con costanti di tempo (forma di Bode) m1 (1 + τ i s) µ m2 i 1+ 2 s ζ i i=1 i=1 ω ni G(s) = K 0 s h n 1 (1 + τ i s) µ n 2 s i 1+ 2ζ i i=1 i=1 ωni + s2 2 ω ni + s2 2 ω ni ν i ν i K0 = K τ 1τ 2 K n1 2 2 ω n 2 τ 1 τ 2 2 K n1 ω K 2 ω K ω n 2 guadagno di Bode 15

16 Diagrammi di di Bode Ponendo s=jω, si ottiene la funzione di risposta armonica m1 (1+ j τ i ω) µ m2 i 1+ 2 jω ζ i ω 2 ω 2 i=1 i=1 ni ω ni G( jω) = K 0 ( jω) h n (1 + jτ i ω) µ jω i 1+ 2ζ i ω 2 1 n 2 2 i=1 i=1 ω ni ωni ν i ν i Quando h=0, K 0 rappresenta il guadagno statico (G(0)= K 0 K 0 e` il valore a cui tende la risposta al gradino) Quando h=1, K 0 e` la costante di velocita` Quando h=2, K 0 e` la costante di accelerazione 16

17 Diagrammi di di Bode Diagrammi logaritmici e semilogaritmici necessita` di rappresentare compattamente un ampio intervallo di pulsazioni ω (alte e basse frequenze, segnali lenti e segnali veloci ) operare facilmente su prodotti di termini (forma fattorizzata di G(s), calcolo della risposta Y(s)= G(s)U(s),...) descrivere variazioni relative ad un valore di riferimento (amplificazione, attenuazione) Diagramma dei moduli: ascissa logω, ordinata 20log 10 G(jω) [db] Diagramma delle fasi: ascissa logω, ordinata argg(jω) [deg,rad] 17

18 Diagrammi di di Bode G( jω) = G( jω)e j argg( jω ) ( j argg( jω ) ) lng( jω) = ln G( jω)e = ln ( G( jω) )+ j argg( jω) La raffigurazione di ln( G(jω) ) e di argg(jω) corrisponde alla rappresentazione della parte reale ed immaginaria di lng(jω) Il passaggio dal logaritmo naturale al logaritmo in base 10 comporta solo l introduzione di un fattore di scala 18

19 Diagrammi di di Bode A = A e j arga B = B e j argb log=log 10 log A B ( )= log A ( )+ log B ( ) log A B = log A ( ) log B ( ) arg(ab) = arg A e j arga B e j argb ( )= arg e j(arga+argb) ( )= arg A + argb arg A = arg A e j arga B B e j argb = arg ( e j(arga argb) )= arg A argb 19

20 Diagrammi di di Bode Riferendosi alla risposta armonica: 20logG( jω) = 20logK log(1+ j τ i ω) i µ i jω +20 ν i log 1+ 2 ζ i ω 2 i ω 2 20h logω ni ω ni 20 log(1+ jτ i ω) i µ i jω 20 ν i log 1+ 2ζ i ω 2 2 i ω ni ωni 20

21 Diagrammi di di Bode argg( jω) = argk B + arg(1+ j τ i ω) i µ i jω + ν i arg 1+ 2 ζ i ω 2 i ω 2 20harg( jω) ni ω ni jω µ i arg(1+ jτ i ω) ν i arg 1+ 2ζ i ω 2 2 i i ω ni ωni A partire da una forma fattorizzata della funzione di risposta armonica, posso ottenere i diagrammi di modulo e fase come somma dei grafici delle componenti elementari 21

22 Diagrammi di di Bode decibel: unita` logaritmica convenzionale Tradizionalmente usata in radiotecnica per caratterizzare il guadagno di amplificatori, potenze,... v v u i A AdB =20log 10 A v u =Av i grandezza adimensionale (se indica il rapporto tra grandezze della stessa natura) o dimensionale (nel qual caso vanno specificate le unita` di misura) 22

23 Diagrammi di di Bode G( jω 1 ) =10G( jω 2 ) G( jω 1 ) G( jω 2 ) =10 20log G( jω 1 ) G( jω 2 ) = 20log10 = 20 20logG( jω 1 ) 20logG( jω 2 ) = G( jω 1 ) db G( jω 2 ) db = 20 db G( jω 1 ) db = G( jω 2 ) db + 20 db 23

24 Diagrammi di di Bode Qualsiasi grandezza si puo` pensare rapportata ad 1: G( jω) =10 =10 1 G( jω) 1 =10 20log G( jω) 1 = 20log10 = 20 20logG( jω) 20log1= G( jω 1 ) db 0 db = 20 db G( jω) db = 20 db 24

25 Attenuazione Amplificazione G(jω) db G(jω) /2=0.5 1/3.16= /10=0.1 1/ log 2 3 log log =10 log( A )<0 quando A <1 G(jω) db < 0 attenuazione G(jω) db > 0 amplificazione A =r. 10 n, 1 r<10 A db = 20log10 n +20logr=(20n+s) db, 0 s<20 Diagrammi di di Bode 25

26 Diagrammi di di Bode Rappresentazione logaritmica delle pulsazioni ω Tipicamente si usa la scala in logω (meno usati ln, log 2 ) Si riportano pero` i valori effettivi di ω (la spaziatura e` logaritmica) decade log3 0.5 a meta` decade (tra log1=0 e log10=1) [ω] [x=logω] 26

27 Frequency [rad/s] 15 rad/s Magnitude [db] G(0) =15=23 db Esempio di diagramma dei moduli Diagrammi di di Bode 27

28 Frequency [rad/s] Phase [deg] Esempio di diagramma delle fasi Diagrammi di di Bode 28

29 Diagrammi di di Bode Regole per il tracciamento dei diagrammi di Bode dei termini elementari: K0 ( jω) ±1 costante zero (polo) nell origine (1 + jτω) ±1 zero (polo) reale 1+ 2ζ jω ω 2 ω n 2 ωn ±1 coppia di zeri (poli) complessi coniugati 29

30 Fattore costante Fattore costante K 0 : diagramma dei moduli: retta parallela all asse delle ascisse di altezza K 0 db con K 0 >1 K 0 db >0 K 0 =1 K 0 db =0 K 0 <1 K 0 db <0 diagramma delle fasi: retta parallela all asse delle ascisse di altezza K 0 >0 arg K 0 =0 K 0 <0 arg K 0 =-π (oppure +π) 30

31 Phase (deg); Magnitude (db) Fattore costante Bode Diagrams TextEnd Frequency (rad/sec) K0 <0 K0 >0 31

32 Zero (polo) nell origine Fattore (jω) ±1 : jω db = 20log jω = 20logω, ω > 0 arg( jω) = π 2, ω > 0 1 jω db = 20log 1 jω = 20logω, ω > 0 arg( 1 jω ) = π 2, ω > 0 32

33 Zero (polo) nell origine log1=0, log10 = 1, log100 = log10 2 = 2log10 = 2, log1000 = log10 3 = 3log10=3 il guadagno di jω si accresce di 20dB per decade il guadagno di (jω) 1 diminuisce di 20dB per decade la fase e` costante a π/2 (jω) ο π/2 (jω) 1 33

34 Phase (deg); Magnitude (db) Zero (polo) nell origine Bode Diagrams /jω jω TextEnd jω /jω Frequency (rad/sec) 34

35 Zero (polo) reale Fattore (1+jωτ) (zero reale): diagramma dei moduli 1+ jωτ db = 20log1+ jωτ = 20log 1+ ω 2 τ 2 =10log 1+ ω 2 τ 2 ( ) Analizzando il comportamento per ω 0, ω : 1 1+ jωτ db db = 0 ω 0 + (logω ) jωτ db = 20logωτ ω + (logω + ) Approssimazione con una spezzata (diagramma asintotico dei moduli) 35

36 Zero (polo) reale (a) retta y=0 (coincide con l asse delle ascisse) (b) retta y=20log(ωτ)=20logω+20log τ =20x+ 20log τ (pendenza 20 db per decade) le rette (a) e (b) si intersecano nel punto x = 20logτ = 20log 1 τ ω = 1 punto di spezzamento τ 36

37 Magnitude [db] Zero (polo) reale 1/τ 10 1/τ [ω] log 1/τ log 1/τ +1 [x=logω] 37

38 Zero (polo) reale Errore di approssimazione: ω = ω = 1 τ : 1+ jω τ db = 20log1± j = 20log 2 3 db 0 db ω = 2ω = 2 τ : 1+ j2ω τ db = 20log1± 2 j = 20log 5 7 db j2ω τ db = 20log±2 j = 20log2 6 db ω = ω 2 = 1 2τ : 1+ j ω τ 2 db = 20log1± j 2 = 20log db 0 db 38

39 Magnitude [db] Zero (polo) reale 1 db 1 db 3 db 1/2τ 1/τ 10 1/τ [ω] 2 1/τ 39

40 Zero (polo) reale Fattore (1+jωτ) (zero reale): diagramma delle fasi arg(1+ jωτ) = arctan(ωτ) Analizzando il comportamento per ω 0, ω : arctan(ωτ) 0 ω 0 + (logω ) π ω = ω = 1 4 τ π ω + (logω + ) 2 Approssimazione con una spezzata (diagramma asintotico delle fasi) 40

41 Phase [deg] Zero (polo) reale 1/(10 τ ) 1/τ 10 1/τ [ω] 41

42 Zero (polo) reale Fattore 1/(1+jωτ) (polo reale): 1 1+ jωτ db = 20log1+ jωτ = 1+ jωτ db 1 arg = arg(1+ jωτ) 1+ jωτ I diagrammi si ottengono per simmetria rispetto all asse delle ascisse da quelli relativi allo zero 42

43 Phase (deg); Magnitude (db) Zero (polo) reale Bode Diagrams TextEnd Frequency (rad/sec) 43

44 Zero (polo) reale Osservazione: zeri e poli possono anche trovarsi nel semipiano destro costanti di tempo negative C s+p s-p 1+s τ 1-s τ σ =-1/ τ σ =1/ τ 1+s τ 1+s(- τ ) Nel caso di costanti di tempo negative, non cambiano i diagrammi dei moduli, mentre cambiano quelli delle fasi arg(1 jωτ) = arctan(ωτ) Si ottengono ancora per simmetria rispetto all asse reale dai corrispondenti diagrammi per τ>0 44

45 Phase (deg); Magnitude (db) Zero (polo) reale Bode Diagrams Bode Diagrams TextEnd τ<0 50 TextEnd τ> τ> τ< Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) 1/(1+sτ) 1+sτ 45

46 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati 1+ 2ζ jω ω 2 Fattore (coppia di zeri comp. con.) ωn ω n 2 Diagramma dei moduli: sia 0 δ 1 e ω n >0 1+ 2ζ jω ω 2 = 20log 1 ω jζ ω ωn ω n 2 db ω n 2 ω n = 20log 1 ω ζ 2 ω 2 ω n 2 ωn 2 =10log 1 ω ζ 2 ω 2 ω n 2 2 ωn 46

47 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati Analizzando il comportamento per ω 0, ω : ω ζ jω ω 2 1 db = 0 (logω ) ωn ω n 2 db ω 2 ω + = 40logω 40logω ω n 2 n (logω + ) db Approssimazione con spezzata (diagramma asintotico) (a) retta y=0 (coincide con l asse delle ascisse) (b) retta y=40log(ω)- 40log(ω n )=40x- 40log(ω n ) (pendenza 40 db per decade) le rette (a) e (b) si intersecano nel punto di spezzamento x = logω n ω = ω n 47

48 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati ωn 10ω n [ω] 48

49 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati Il diagramma asintotico dipende solo da ω n. L errore di approssimazione dipende da ζ. Nel punto di spezzamento 1+ 2ζ jω n ωn ω n2 2 ω n db = 20log2ζ 6 db ζ =1 3 db ζ = db ζ = 1 2 ζ = 0 L errore di approssimazione aumenta per ζ 0 Per cercare il massimo scostamento, si determina il punto di minimo della curva 49

50 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati d dω 1 ω 2 ω n ζ 2 ω 2 ω n 2 = 21 ω 2 ω n 2 2 ω ω 2 n + 8ζ 2 ω = 0 2 ω n ω = ω n 1 2ζ 2 Si ha un minimo solo per ζ < 2/2 Valore del minimo: 1+ 2ζ jω ωn 2 ω 2 ω n db = 20 log2ζ 1 ζ 2 ( ) = logζ +10log 1 ζ 2 ( ) 50

51 Frequency [rad/s] Magnitude [db] Per 1/ 2 < ζ <1 la curva e` monotona crescente Per ζ =0 (coppia di zeri puramente immaginari) si ha un asintoto a - per ω ω n Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati 51

52 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati 1+ 2ζ jω ωn ω 2 ω n 2 Fattore (coppia di zeri comp. con.) Diagramma delle fasi: sia 0 ζ 1 e ω n 2 >0 arg 1 ω jζ ω ζ ω = arctan ω n ω n 2 ω n 1 ω 2 ω n 2 Analizzando il comportamento per ω 0, ω : arg 1 ω jζ ω 0 ω 0 + π = ω = ω ω n 2 n,ζ 0 ω n 2 π ω + 52

53 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati Il diagramma asintotico e` una spezzata e dipende solo da ωn ωn [ω] 53

54 Frequency [rad/s] Phase [deg] L errore dipende da ζ. Per ζ 0 il diagramma vero tende all asintotico Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati 54

55 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati 1+ 2ζ jω ω 2 Fattore (coppia di poli comp. con.) ω n 2 ωn 1 Anche in questo caso i diagrammi si ottengono per simmetria rispetto all asse delle ascisse dai corrispondenti derivati per la coppia di zeri. Quando ζ =0 (coppia di poli immaginari puri), in ω n il diagramma dei moduli presenta un asintoto a +. 55

56 Frequency (rad/sec) Phase (deg); Magnitude (db) TextEnd Bode Diagrams Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati 56

57 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati Osservazione: zeri e poli possono anche trovarsi nel semipiano destro ω σ σ ωn = σ 2 + ω 2 > 0 σ ζ = σ > 0 se σ < 0 σ 2 + ω 2 < 0 se σ > 0 Si hanno zeri (poli) complessi coniugati nel semipiano destro quando -1 ζ 0 57

58 Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati In tal caso si puo` scrivere il fattore trinomio come 1 2ζ jω ω 2 ω n 2 ωn ±1 = 1 ω 2 2ζ jω ω n 2 ωn ±1 Non cambia pertanto il diagramma dei moduli, mentre per la fase: arg 1 2ζ jω ω 2 ω n 2 ωn ±1 = arg 1 ω 2 + 2ζ jω ω n 2 ωn ±1 Si ottengono ancora per simmetria rispetto all asse reale dai corrispondenti diagrammi per ζ>0 58

59 Phase (deg); Magnitude (db) Coppia di di zeri (poli) complessi coniugati Bode Diagrams Bode Diagrams TextEnd ζ < TextEnd ζ > ζ > ζ < Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) 59

60 Regole per il il tracciamento dei diagrammi Per la generica G(s) i diagrammi di Bode si ottengono per sovrapposizione (somma) dei diagrammi elementari Regole pratiche per il tracciamento m1 (1+ j τ i ω) µ m2 i 1+ 2 jω ζ i ω 2 ω 2 i=1 i=1 ni ω ni G( jω) = K 0 ( jω) h n (1 + jτ i ω) µ jω i 1+ 2ζ i ω 2 1 n 2 2 i=1 i=1 ω ni ωni ν i ν i Si individuano i punti di spezzamento 1 1 ωn ω n log 1 τ τ log 1 logω τ τ n log ω n 60

61 Regole per il il tracciamento dei diagrammi Per il diagramma dei moduli: pendenza iniziale: retta a h. (-20 db /decade) che interseca l asse delle ordinate nel punto K 0 db partendo dal punto di spezzamento piu` a sx, ad ogni punto di spezzamento si varia la pendenza di µ. (20 db /decade) zero reale, molteplicita` µ µ. (-20 db /decade) polo reale, molteplicita µ ν. (40 db /decade) zeri comp.conj., moltep. ν ν. (-40 db /decade) poli comp.conj., moltep. ν 61

62 Regole per il il tracciamento dei diagrammi Per il diagramma delle fasi: inizialmente, retta orizzontale a -h. π/2 piu` un contributo di -π se K 0 <0 partendo dal punto di spezzamento piu` a sx, ad ogni punto di spezzamento si varia la fase di: µ. π/2 zero reale, molteplicita` µ τ >0 µ. π/2 zero reale, molteplicita` µ τ <0 µ. π/2 polo reale, molteplicita` µ τ>0 µ. π/2 polo reale, molteplicita` µ τ<0 ν. π zeri comp. conj. moltep. ν δ >0 ν. π zeri comp. conj. moltep. ν δ <0 ν. π poli comp. conj. moltep. ν δ>0 ν. π poli comp. conj. moltep. ν δ<0 62

63 Frequency (rad/sec) Phase (deg); Magnitude (db) TextEnd 0 50 Bode Diagrams Il diagramma vero si puo` ottenere a partire dall asintotico sommando dei termini di correzione Regole per il il tracciamento dei diagrammi 63

64 Regole per il il tracciamento dei diagrammi Determinazione delle costanti di posizione e velocita`: a basse frequenze (ω 0) KG( jω) K 0 1 jω ( ) n se n=0: l asintoto per ω 0 e` una retta orizzontale di ordinata K 0 =K p se n=1: K v =K 0 ed avendo l asintoto equazione A(ω) = K 0 ω leggo il valore di K 0 determinando il valore dell asintoto per ω=1 64

65 Frequency (rad/sec) Magnitude (db) Kp =20db=10 30 Regole per il il tracciamento dei diagrammi 65

66 Magnitude (db) Regole per il il tracciamento dei diagrammi Kv =40db= Frequency (rad/sec) 66

67 Specifiche nel dominio della frequenza Caratterizzazione della risposta al gradino nel dominio del tempo Permette di formulare delle specifiche di controllo in termini di M p, t r,t s Caratterizzazione della risposta armonica: si suppone che il sistema abbia comportamento simile a quello di un sistema del secondo ordine Pulsazione di risonanza ω r : pulsazione in cui si ha max G(jω) Picco di risonanza M r : G(jω r ) / G(j0) Banda passante ω BW =2πB: pulsazione in cui G(jω) e` diminuito di 3 db rispetto a G(j0) 67

68 G(j0) db G(j0) db -3 db Specifiche nel dominio della frequenza Mr ωr 2πB= ω f 68

69 Specifiche nel dominio della frequenza Correlazione tra specifiche nel dominio del tempo e specifiche nel dominio della frequenza Relazioni approssimate t r piccolo sistema pronto passano frequenze elevate B elevata t r B 0.4 Sistema poco smorzato (ζ piccolo) M p grande M r grande Mp (M r / G(0) )-1 69

70 Time (sec.) Amplitude TextEnd 5 30 Step Response Time (sec.) Amplitude TextEnd Step Response Specifiche nel dominio della frequenza 70