= b ns n + + b 0. (s p i ), l r, A(p i) 0, i = 1,..., r. Y f (s) = G(s)U(s) = H(s) + n i=1. Parte dipendente dai poli di G(s) ( transitorio ).

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1 RISPOSTA FORZATA SISTEMI LINEARI STAZIONARI u(t) G(s) = B(s) A(s) = b ns n + + b 0 s n + + a 0 y f (t) Classe di funzioni di ingresso. U := l Q(s) u( ) : U(s) = P (s) = i= (s z i ) ri= (s p i ), l r, A(p i) 0, i =,..., r Forma di Y f (s) (caso p i distinti) Y f (s) = G(s)U(s) = H(s) + n i= k i s p i Scomposizione risposta forzata: y f (t) = y G f (t) + y U f (t). Parte dipendente dai poli di G(s) ( transitorio ). y G f (t) = L {H(s)} Parte dipendente dai poli di U(s) ( regime permanente ). y U f (t) = L n i= k i s p i

2 RAPPRESENTAZIONI FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Funzione di trasferimento razionale fratta G(s) = b ms m + b m s m + b s + b 0 a n s n + a n s n + a s + a 0 Forma poli-zeri G(s) = K (s z )(s z 2 ) (s z m ) (s p )(s p 2 ) (s p n ) K = b m a n Forma costanti di tempo o di Bode G(s) = K ( + τ B s) ( + τ zrs)( + 2ζ s ω n s h s ( + τ s) ( + τ pr s)( + 2ζ ω n ω 2 n ) ( + 2ζ zc ω 2 n ) ( + 2ζ pc s ω nzc s ω npc ω ) nzc 2 ω ) npc 2 K B = K τ τ pr ω n 2 ω n 2 zc τ τ zr ω 2 n ω 2 n pc guadagno di Bode τ i = σ i zeri reali z i = σ i ζ i = σ i[σ 2 i + ω 2 i ] /2 ; ω n i = σ 2 i + ω 2 i zeri complessi z i = σ i + jω i τ i = σ i poli reali p i = σ i ζ i = σ i [σ 2 i + ω 2 i ] /2 ; ω ni = σ 2 i + ω 2 i poli complessi p i = σ i + jω i

3 RISPOSTA AL GRADINO DEI SISTEMI DEL PRIMO ORDINE Sistema del primo ordine. G(s) = Risposta al gradino (K = ) g u (t) = L s( + τs) K + τs ; g(t) = K τ e t/τ = L Andamento nel tempo (τ > 0). τ ( + τs) + L { } = e t/τ + s

4 PARAMETRI CARATTERISTICI RISPOSTA AL GRADINO Massima sovraelongazione: ŝ Tempo di ritardo: t r Tempo di salita: t s% e t s Tempo di assestamento: t a Istante di massima sovraelongazione: t m

5 RISPOSTA AL GRADINO: SISTEMI SECONDO ORDINE Sistema del secondo ordine Risposta al gradino g u (t) = L + 2ζ s ω n ω 2 n G(s) = s + 2ζ s ω n ω 2 n = L 2ζ ω n + 2ζ s + s 2ζω n ω n +L = ζ 2 e ζω nt ζ 2 sin(ω n ζ2 t + arctan ) + ζ ω 2 n { } = s

6 RISPOSTA AL GRADINO: SISTEMI SECONDO ORDINE Massima sovraelongazione: ŝ = exp( πζ/ ζ 2 ) Tempo di salita: t s = ω n [ ζ 2 ] /2 [π arctan ζ ζ 2 ] Tempo di assestamento

7 RISPOSTA AL GRADINO: SISTEMI SECONDO ORDINE Aggiunta di uno zero G(s) = + τ s + 2ζ s ω n ω 2 n Aggiunta di un polo G(s) = ( + τs)( + 2ζ s ω n ω 2 n)

8 RISPOSTA AD UNA SINUSOIDE (RISPOSTA IN FREQUENZA) u(t) = A sin ωt G(s) y U f (t) = F (ω) sin(ωt + ϕ(ω)) Valutazione risposta forzata y(t) = L {G(s) Aω s 2 + ω 2 } = L {H(s)} + L } {{ } yf G(t) { k s jω + k + s + jω } } {{ } yf U (t) Teorema della risposta in frequenza (G(s) con poli a parte reale < 0) F (ω) = A G(jω) ; ϕ(ω) = arg G(jω) Risposta in frequenza risposta impulsiva G(jω) = 0 g(t)e jωt dt g(t) = 2π G(jω)ejωt dω

9 DIAGRAMMI DI BODE: PARAMETRI CARATTERISTICI Picco di risonanza: M r Pulsazione di risonanza: ω r Banda a 3dB: B 3 Pulsazione di attraversamento: ω a

10 DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema statico: G(s) = K Integratore: G(s) = s

11 DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema del primo ordine: G(s) = ( + τs), ( τ > 0 ). Elemento di ritardo: G(s) = e st, ( T > 0 ).

12 DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema del secondo ordine: G(s) = ( + 2ζ s ω n ω 2 n), (ω n > 0; 0 ζ < ). Banda a 3dB Pulsazione di risonanza B 3 = ω n 2ζ ζ 2 + 4ζ 4 ω r = ω n 2ζ 2 Picco di risonanza M r = 2ζ ζ 2

13 DIAGRAMMI DI BODE DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema del secondo ordine: G(s) = ( + 2ζ s ω n ω 2 n), (ω n > 0; 0 ζ < ).

14 RELAZIONI PARAMETRI SISTEMI SECONDO ORDINE Banda a 3dB in funzione di ζ Modulo alla risonanza in funzione di ζ Relazioni fra ŝ e M r e fra t s e B 3.

15 ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE G(s) = e st + s s( + 0s)( + 0.s) 2

16 ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE G(s) = 8(s 2 + s + 5) s 3 + 9s 2 + 5s + 20 Forma di Bode G(s) = + 2ζ z s ω nz ω 2 nz ( + sτ p )( + 2ζ p s ω np ω 2 np ) ω nz 3.873; ζ z 0.29; τ p 0.3; ω np 3.685; ζ p 0.022

17 DIAGRAMMI POLARI O DI NYQUIST DI G(jω) Il diagramma polare è la curva nel piano di complesso descritta da G(jω) al variare della pulsazione ω in [0, ].

18 DIAGRAMMI POLARI DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema statico: G(s) = K Integratore: G(s) = s

19 DIAGRAMMI POLARI DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema del primo ordine: G(s) = ( + τs), ( τ > 0 ). Elemento di ritardo: G(s) = e st, ( T > 0 ).

20 DIAGRAMMI POLARI DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema del secondo ordine: G(s) = ( + 2ζ s ω n ω 2 n), (ω n > 0; 0 ζ < ).

21 SINGOLARITÀ DEI DIAGRAMMI POLARI G(s) = s hg (s) Un polo in zero (h = ) asintoto verticale. G(s) = G o s + G + G 2s + G 3s G o. = G (0); G. = d ds G (s) s=0 ; G 2 d 2 =. (s) 2! ds 2G s=0 ; G 3 d 3 =. (s) 3! ds 3G s=0 Un polo doppio in zero (h = 2) genericamente asintoto parabolico. Esempi. G(s) = G o s 2 + G s + G 2 + G 3s... G(s) = s(s + ) G(s) = s 2 (s + )

22 SINGOLARITÀ DEI DIAGRAMMI POLARI Un polo per s = j ˆω asintoto obliquo. G o G(s) = G(s) =. = G (j ˆω); G s 2 + ˆω 2G (s) = s j ˆω 2G (s) G o s j ˆω + G + G 2(s j ˆω) = d ds G (s) s=j ˆω ; G 2 d 2 =. (s) 2! ds 2G s=j ˆω Esempio. G(s) = ( + s)( + s 2 )

23 ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI POLARI G(s) = e st + s s( + 0s)( + 0.s) 2

24 ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI POLARI G(s) = 8(s 2 + s + 5) s 3 + 9s 2 + 5s + 20 Forma di Bode G(s) = + 2ζ z s ω nz ω 2 nz ( + sτ p )( + 2ζ p s ω np ω 2 np ) ω nz 3.873; ζ z 0.29; τ p 0.3; ω np 3.685; ζ p 0.022

25 DIAGRAMMI DI NICHOLS DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema statico: G(s) = K Integratore: G(s) = s Elemento di ritardo: G(s) = e st

26 DIAGRAMMI DI NICHOLS DI SISTEMI ELEMENTARI Sistema del primo ordine: G(s) = ( + τs), ( τ > 0 ). Sistema del secondo ordine: G(s) = ( + 2ζ s ω n ω 2 n), (ω n > 0; 0 ζ < ).

27 RELAZIONI PARTE REALE E IMMAGINARIA DI G(jω) Ipotesi su G(s) (I) Analitica nel semipiano destro chiuso del piano complesso (II) Propria (lim s = G(s) = G ) (III) G(s ) = G (s) ( sta per coniugato) Relazione fra R(jω) := Re[G(jω)] e I(jω) := Im[G(jω)] (coppia di trasformate di Hilbert) R(jω o ) G = π + I(jω) ω ω o dω = I(jω o ) = π + R(jω) ω ω o dω =

28 TEOREMA DI BODE Parte reale e parte immaginaria di W (s) := lng(s) Re[W (jω)] = ln G(jω) Im[W (jω)] = arg G(jω) Ipotesi: G(s) razionale fratta, propria, con coefficienti reali, con poli e zeri a parte reale strettamente minore di zero (fase minima) Teorema di Bode Posizioni x := lnω; y(x) := ln G(jω) ; z(x) := arg G(jω) Formula (modulo fase) z(x o ) = π 2 dy dx x=xo + π Interpretazione formula + { dy dx dy } dx x=xo lncotgh x x o 2 dx

29 APPLICAZIONE TEOREMA DI BODE G(s) è a fase minima G(s) non a fase minima si può scrivere G(s) = G m (s)g u (s), G m (s) a fase minima, G u (jω) = Esempi G (s) = G 2 (s) = s ( + 2s) = + s s 2 ( + 2s) 2 + s s + s 2 = + s + s 2 + s + s 2 s + s 2