Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols

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1 Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols

2 Diagramma polare La risposta in frequenza si analizza tramite G(s) s jω G(jω) M( ω) e G(jω) jϕ( ω) e ω < Un altra rappresentazione grafica di G(jω) si ottiene riportando M(ω) e ϕ(ω) su un riferimento polare del piano complesso, 0 j G( jω) Diagramma polare di G(jω) 2

3 3 Rappresentazione polare per ωω (1/2) Punto sul piano complesso * * * * j * ) ( j * ) G( j j * e M e ) M( e ) G(j ) G(j ϕ ω ϕ ω ωω ω ω ω

4 Rappresentazione polare per ωω (2/2) I M * ϕ * C R 4

5 Rappresentazione polare per ωω (2/2) I C R 5

6 Rappresentazione polare per ωω (2/2) I C ϕ * R 6

7 Rappresentazione polare per ω (0, ) (1/2) G(jω) G(jω) e j G( jω) M( ω) e jϕ( ω) per ω (0, ) Luogo di punti sul piano complesso 7

8 Rappresentazione polare per ω (0, ) (2/2) I ωω 4 ωω 3 C ωω 5 ωω 2 ωω 1 ωω 0 R 8

9 Proprietà importanti (1/4) Per sistemi senza poli nell origine il diagramma polare parte (ω 0 + ) da un punto sull asse reale; la fdt in BF è infatti approssimabile con una costante Per sistemi con i poli nell origine il diagramma polare parte da un punto infinitamente lontano dall origine, con fase 0 o ±π π ϕ + i + arg(k) ω 0 2 la fdt in BF è infatti approssimabile con K i s 9

10 Proprietà importanti (2/4) Per sistemi con poli nell origine: G a (jω) ω 0 + R( ω) ω 0 ji( ω) ω 0 con n 0, m > 0 oppure n > 0, m K ω R n + K j ω I m Il quadrante di partenza (ω 0 + ) dipende dai segni di K e di R K I 10

11 Proprietà importanti (3/4) Per sistemi con poli nell origine il diagramma polare per ω 0 + assume un particolare andamento asintotico. Esempi: n0, m>0 asintotoretta verticale, R K R n>0, m0 asintotoretta orizzontale, I K I n4, m2 asintotoparabola, R forma generale dell asintoto: R HI K K n /m R 2 I I 2 o I HR n /m 11

12 Proprietà importanti (4/4) Per sistemi strettamente propri il diagramma polare termina (ω ) nell origine (modulo nullo) con fase multipla di ±90 ; la fdt in AF è infatti approssimabile con H k s, k n.o poli n.o zeri > 0 Per sistemi non strettamente propri il diagramma polare termina (perpendicolarmente) in un punto sull asse reale diverso dall origine; in tal caso la fdt in AF è infatti approssimabile con una costante 12

13 Tracciamento qualitativo (1/3) È possibile tracciare qualitativamente l andamento del diagramma polare a partire dai DdB della funzione: Si determina il comportamento iniziale del diagramma polare per ω 0 + : tenendo conto dell eventuale presenza di poli nell origine calcolando la fase iniziale in caso di poli nell origine, determinando il quadrante di partenza (senza calcolare esplicitamente l asintoto) dal comportamento della fase in BF (crescente o decrescente rispetto al valore asintotico iniziale) 13

14 Tracciamento qualitativo (2/3) Si determina il comportamento finale del diagramma polare per ω per i sistemi strettamente propri il diagramma termina nell origine con fase corrispondente al valore per ω, calcolabile anche come: ω ω 0 + ove: n n # poli a parte reale 0 n p # poli a parte reale > 0 m n # zeri a parte reale 0 m p # zeri a parte reale > 0 o ( n p) ( p n) ϕ ϕ o 90 n + m + 90 n + m (esclusi poli nell origine) 14

15 Tracciamento qualitativo (3/3) Si completa l andamento qualitativo del diagramma polare da ω 0 + a ω, sulla base del comportamento di modulo e fase riportato nei DdB 15

16 Esempio 1 (1/5) G(s) 2 s(s 200(s + 0.1) + 0.2s + 1)(s + 10) G(s) BF 2 s 2 j ω G(s) AF s ( j) ω 16

17 Esempio 1 (2/5) G(s) BF 2 s 2 j ω n 0 m 1 K K R I asintoto retta verticale 17

18 Esempio 1 (3/5)

19 Esempio 1 (3/5)

20 Esempio 1 (4/5) E B C 50 Esempio1 - DdB Esempio1 - diagramma polare Modulo (db) A B C D E F 270 Fase ( ) F D A ω 20

21 Esempio 2 (1/5) (s) G 2 s 10(s + 1) (s + 2)(s + 4) G(s) BF s ( j) ω G(s) AF 10 3 s ( j) ω 21

22 Esempio 2 (2/5) G(s) BF s ( j) ω + 1 j 3.2ω n 2 m 1 K R 1.25 K I 1 / 3.2 asintoto parabola R 12.8 I 2 22

23 Esempio 2 (3/5)

24 Esempio 2 (4/5) Modulo (db) Esempio2 - DdB B A C D Fase ( ) ω 10 1 A B C D Esempio2 - diagramma polare 24

25 Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols

26 Dominio della variabile s (1/3) Il diagramma di Nyquist (DdN) di una fdt consiste nella rappresentazione grafica sul piano C di G(s) G(jω) per ω (, + ) s jω Variazione della variabile indipendente: C raggio R, R 26

27 Dominio della variabile s (2/3) Problema: presenza di poli sull asse immaginario Soluzione: C jω o raggio ρ, ρ 0 Naturalmente s lim j ρ 0 jα ( ω + ρe ), α ( π / 2, π / 2) G(s) o 27

28 Dominio della variabile s (3/3) s varia su un percorso chiuso Il DdN della G(s) consiste in un luogo di punti anche esso chiuso 28

29 Poli sull asse immaginario (1/3) Particolare attenzione ai punti in cui G(jω) (presenza di poli sull asse immaginario) + ω o ω o Se s varia da j a j percorrendo una semicirconferenza di raggio infinitesimo in verso antiorario, allora + G(s) varia da G(j ω o ) a G(j ω o ) percorrendo una semicirconferenza di raggio infinito in verso orario Se il polo in jω o ha molteplicità i allora da G(j ω o ) a + G(j ω o ) verranno percorse, sempre in verso orario, i semicirconferenze di raggio infinito 29

30 Poli sull asse immaginario (2/3) NB: il percorso orario di una semicirconferenza di + raggio infinito, per ω da ω o a ω o, equivale a una rotazione di fase di 180 in un intervallo infinitesimo di ω la fase di G(jω) presenta una discontinuità di 180 in ω o È facile dimostrare infatti che in presenza di fattori con poli sull asse immaginario, del tipo per ωo 0 oppure per ω 2 2 s s + ωo s + ωo la fase presenta una discontinuità di 180 da o 0, + ω o a ω o 30

31 Poli sull asse immaginario (3/3) Se il polo in jω o ha molteplicità i allora la fase presenterà una discontinuità di i180 in ω o Per ciò che è stato fin qui detto valgono ovviamente le seguenti eguaglianze: lim G(jω ) lim G(jω) + ω ωo ω ωo Esempio per i1 C I ω ωo 60 R ω ω + o 120 raggio R 31

32 Zeri sull asse immaginario La presenza di i zeri sull asse immaginario (in jω o ) induce in ωω o una discontinuità di +i180 nella fase e un modulo nullo ( db) il DdN attraversa l origine del piano complesso proprio per ωω o C I R ωω o 32

33 33 Costruzione del DdN (1/4) Risultato importante: ω ω ω ω ω ω ) G(j ) j G( ) G(j ) j G( ) G(j ) j G( G(s) G(s) G(s) coniugato(x) x definito sia

34 G(jω) per ω (,0) coincide con G( jω) per ω (,0) ovvero con G(jω) per ω (,0) Costruzione del DdN (2/4) Sia ω (0, ); il luogo dei punti G( jω) sul piano complesso C è il luogo simmetrico, rispetto all asse reale, a quello dei punti G(jω) NB: non è difficile dimostrare che G( j ) G(j ) 34

35 Costruzione del DdN (3/4) Per tracciare il DdN di una fdt G(s) è sufficiente seguire poche regole pratiche tracciare il diagramma polare di G(jω) tracciare il diagramma simmetrico al precedente rispetto all asse reale (basta ribaltare il diagramma polare rispetto all asse reale) nel caso siano presenti rami all infinito ovvero poli sull asse immaginario, congiungere i rami all infinito con un opportuno numero di semicirconferenze orarie di raggio R così come illustrato nelle diapositive precedenti 35

36 Costruzione del DdN (4/4) mettere in evidenza il verso di percorrenza (da ω0 + a ω+ / a ω0 ) verificare che il DdN sia costituito da una curva chiusa 36

37 G(s) 2 s(s 200(s + 0.1) + 0.2s + 1)(s + 10) Esempio 1 (1/2) ω ω ± ω

38 Esempio 1 in Matlab (1/3) Il DdN può essere tracciato in ambiente Matlab utilizzando il comando nyquist (per la sintassi consultare il relativo help) Nel caso della fdt precedente, ad esempio, i comandi Matlab che permettono di tracciare il DdN nel modo più semplice sono i seguenti: >> stf( s ) >> G200*(s+0.1)/s/(s^2+0.2*s+1)/(s+10) >> nyquist(g) >> axis equal 38

39 Esempio 1 in Matlab (2/3) 39

40 Esempio 1 in Matlab (3/3) Si noti che in ambiente Matlab i DdN possono non essere completi perché mancanti delle eventuali semicirconferenze all infinito I dettagli del DdN possono essere meglio analizzati con successive operazioni di zoom sul diagramma stesso 40

41 ω 0 10(s + 1) G(s) 2 s (s + 2)(s ) Esempio 2 (1/2) ω ω ± 41

42 Esempio 2 in Matlab (1/3) I comandi Matlab che permettono di tracciare il DdN nel modo più semplice sono i seguenti: >> stf( s ) >> G10*(s+1)/s^2/(s+2)/(s+4) >> nyquist(g) >> axis equal 42

43 Esempio 2 in Matlab (2/3) 43

44 Esempio 2 in Matlab (3/3) Anche in questo caso il DdN non è completo perché mancante delle semicirconferenze all infinito I dettagli del DdN possono essere meglio analizzati con successive operazioni di zoom sul diagramma stesso 44