Analisi di Stabilità e Criterio di Nyquist
|
|
- Rita Olimpia Spina
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica Analisi di Stabilità e Criterio di Nyquist Analisi e Controllo dei Sistemi Dinamici Modulo: Controlli Automatici Dr. Ing. A. Pilloni
2 Sommario 1. Cenni sulle F.d.T. e sui Diagrammi di Bode 2.1 Controllo in retroazione. Perché? 2.2 Stabilità a ciclo chiuso 3.1 Criterio e Diagramma di Nyquist (DN) 3.2 Tecniche di Tracciamento del DN 3.3 Criterio di Nyquist 3.4 Esempi
3 Sommario 1. Cenni sulle F.d.T. e sui Diagrammi di Bode 2.1 Controllo in retroazione. Perché? 2.2 Stabilità a ciclo chiuso 3.1 Criterio e Diagramma di Nyquist (DN) 3.2 Tecniche di Tracciamento del DN 3.3 Criterio di Nyquist 3.4 Esempi
4 F.d.T. La F.d.T. di un sistema dinamico LTI è una funzione complessa che descrive il comportamento (in frequenza) del sistema Esistono diversi procedimenti per ottenere il modello della F.d.T. Modellazione Fisica Test Sperimentali F. di Trasferimento s = jω F. di Risposta Armonica F s?? F(jω) Dalla F(jω) è possibile valutare la distribuzione di poli/zeri della F s o per via grafica o con procedure numeriche
5 Tracciamento diagrammi di Bode La F.d.t. in forma di Bode contiene 4 tipi di fattori elementari F jω = K jω ν z Guadagno costante K m 1 z m i=1 1 + jωτ i 1 + 2ξ ω jω + jω 2 2 i=1 n ω n 2 jω ν p n 1 + jωτ p i 1 + 2ξ jω + jω 2 1 n 2 i=1 i=1 ω n Fattore monomio jω : Fattore binomio 1 + jωτ : ω n 2 Legato ad uno zero /polo in s = 0 Legato ad uno zero/polo reale in s = 1/τ Fattore Trinomio 1 + 2ξ ω n jω + jω 2 ω n 2 : = M ω ejφ ω Legato ad una coppia di zeri/poli complessi coniugati in s = a ± jb, con ω n = a 2 + b 2 e ξ = a/ω n
6 Guadagno costante K K db = 20 log 10 K φ ω = atan 0 K = 0 K > K < 0 Esempio: k 1 = 10, k 2 = 0.5, k 3 = 10
7 Fattore monomio jω Al numeratore: jω db = 20 log 10 ω 2 = 20 log ω +20dB/dec φ ω = atan ω 0 = +90 Al denominatore: 1 jω db = j ω db = 20 log 10 1 ω 2 = 20 log 1 ω = 20 log 10 ω 20dB/dec φ ω = atan 1 ω 0 = 90
8 Fattore binomio 1 + jωτ Al numeratore: 1 + jωτ db = 20 log (ωτ) 2 0 ω 1/ τ 0dB/dec 20 log 10 ω + 20 log 10 τ ω 1/ τ +20dB/dec Al denominatore: φ ω = atan ωτ 1 +0 ω 1/ τ +90 ω 1/ τ 1 = 1 jωτ 1 (1 + jωτ) db (1 + ω 2 τ 2 = 20 log ) 10 db 1 + ω 2 τ ωτ 1 + ω 2 τ 2 2 = 0 ω 1/ τ 0dB/dec 1 20 log log ωτ 10 ω 20 log 10 τ ω 1/ τ 20dB/dec φ ω = atan ωτ 1 0 ω 1/ τ 90 ω 1/ τ
9 Fattore binomio 1 + jωτ Al numeratore Al denominatore: +20dB/dec 20dB/dec τ > 0, +90 τ > 0, 90 τ < 0, 90 τ < 0, +90
10 Fattore trinomio 1 + 2ξ jω + jω 2 ω n ω2 n Al numeratore: 1 + 2ξ ω n jω + jω 2 ω n 2 = 1 ω2 ω n + j 2ξω ω n 1 + 2ξ jω + jω 2 ω 2 n ω n db 0 ω ω n 0dB/dec 20 log 10 ω log 10 ω n ω ω n +40dB/dec φ ω = atan 2ξω ω n 1 ω2 ω n 2 0 ω ω n +180 ( 180 ) ω ω n AND ξ > 0 (ξ < 0)
11 Fattore trinomio 1 + 2ξ jω + jω 2 ω n ω2 n Al numeratore: Modulo al variare di ξ Anti-risonanza per ξ < 0.7 Fase al variare di ξ 0 Fase al variare di ξ < 0
12 Fattore trinomio 1 + 2ξ jω + jω 2 ω n ω2 n Al denominatore: Modulo al variare di ξ Risonanza per ξ < 0.7 Fase al variare di ξ 0 Fase al variare di ξ < 0
13 Tracciare il DB della F.d.t. G s = Esempio 10 s 1 s(s + 1)(s 2 + 8s + 25) 1. Porre il sistema in forma di Bode F s = s s 1 + s s + s Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle singole componenti: K = 10 25, F 1 s = 1 s, F 3 s = 1 s, F 4 s = s, F 5 s = 3. Sommare i contributi delle singole componenti s + s2 25
14 Digramma dei moduli K = 10 25, F 1(s) = 1 s, F 3 s = 1 s, F 4 s = s, F 5 s = s + s2 25 ω n = 5 ξ = 0.8 Correggere il diagramma per considerare l andamento reale mediante l utilizzo degli abachi di tracciamento
15 Digramma delle Fasi K = 10 25, F 1(s) = 1 s, F 3 s = 1 s, F 4 s = ω s = ω n = ξ s, F 5 s = s + s2 25 ω d = 10 ξ ω n = 31.1 ω n = 5 ξ = 0.8 Correggere il diagramma per considerare l andamento reale mediante l utilizzo degli abachi di tracciamento
16 Sommario 1. Cenni sulle F.d.T. e sui Diagrammi di Bode 2.1 Controllo in retroazione. Perché? 2.2 Stabilità a ciclo chiuso 3.1 Criterio e Diagramma di Nyquist (DN) 3.2 Tecniche di Tracciamento del DN 3.3 Criterio di Nyquist 3.4 Esempi
17 Controllo in retroazione. Perché? [Def.] In fisica e automazione la retroazione è la capacità di un sistema dinamico di tenere conto dei risultati del sistema per modificare le caratteristiche del sistema stesso. Es. Progettare un amplificatore di guadagno k d = 2 con Passo 1: Analisi a ciclo aperto del processo
18 Controllo in retroazione. Perché? (2) L unico modo per progettare un amplificatore con guadagno d amplificazione controllato k d è sfruttare la retroazione!!!
19 Controllo in retroazione. Perché? (3) Qualsiasi sistema di controllo presenta la seguente struttura: L onere del progettista consiste nello scegliere la struttura del controllore e del trasduttore al fine di garantire le specifiche di progetto Tutto funzionerà IFF il sistema a ciclo chiuso sarà stabile!
20 Stabilità a ciclo chiuso. Perchè?(1) Dato sistema dinamico (circuito elettronico, motore, impianto industriale) u P(s) Il controllo automatico si prefigge di modificare il comportamento del sistema da controllare (uscite e stato) manipolando le grandezze d'ingresso (legge di controllo) y Esempi di sistemi di controllo P(s) SISTEMA DI REGOLAZIONE: uscita costante ad un valore prefissato al variare dell'ingresso (es. cruise control) SISTEMA DI ASSERVIMENTO: uscita deve seguire fedelmente la dinamica dell'ingresso stesso (es. tracking missile)
21 Stabilità a ciclo chiuso. Perchè?(2) La stabilità a c.c. può essere valutata con calcolando i poli della W(s) o studiando il segno della loro parte reale (Criterio di Routh) No percezione dell influenza delle scelte progettuali sulla stabilità No informazioni sulla robustezza del sistema del controllo Serve uno strumento in grado di: Fornire indicazioni utili per la sintesi del controllore C(s) Il Criterio di Nyquist
22 Sommario 1. Cenni sulle F.d.T. e sui Diagrammi di Bode 2.1 Controllo in retroazione. Perché? 2.2 Stabilità a ciclo chiuso 3.1 Criterio e Diagramma di Nyquist (DN) 3.2 Tecniche di Tracciamento del DN 3.3 Criterio di Nyquist 3.4 Esempi
23 Criterio di Nyquist (1) Il Criterio di Nyquist è uno dei metodi classici per valutare la stabilità di W s a partire dalla f.d.t. dell anello F s = = N w s D W (s) N F s D F (s) Riscrivere sempre il sistema come fosse a retroazione unitaria H 1 - F(s) Sistema a ciclo chiuso F s W s = N F s D F s = N w s D W (s) = = k C s P s H s F s = N F (s) 1+F s D F s 1+ N F s D F s Relazione che lega i poli a ciclo chiuso con quelli della funzione ad anello D W s D F (s) = 1 + F s
24 Criterio di Nyquist (2) Si dimostra che: Il legame tra il numero di radici a p.r.p. di D W (s) ed il numero di radici a pr.p. di D F (s) è dato dal numero di giri che il vettore 1 + F s da - a + attorno all origine (0,0) del piano complesso D W s D F (s) = 1 + F s Il numero di tali giri è pari a quello compiuto dal vettore F jω = M jω e jφ(jω) attorno al punto (-1,j0) del piano complesso I giri compiuti da tale vettore possono essere valutati agevolmente dal Diagramma di Nyquist della F jω
25 Diagramma di Nyquist (1) Sono una alternativa ai Diagrammi di Bode per la rappresentazione della risposta armonica di una f.d.t. in forma di Bode) m z i=1 1 + jωτ i F jω = jω ν (1 + jωτ p jφ ω = M ω e n ν i ) i=1 Es. per ω = ω 0 M ω 0 = Re F jω Im F jω 0 2 ω 1 < ω 2 < ω 3 φ ω 0 = atan Im F jω 0 Re F(jω 0 ) Margini di stabilità (secondo Bode): m g = 1/ F jω cr m φ = F jω c deg ω 3 ω 2 ω 1
26 Diagramma di Nyquist (2) L andamento del DN per ω (, 0] può essere ottenuto da quello per ω [0, + ) per simmetria rispetto all asse reale Partenza del diagramma di F jω per ω 0 + : Modulo: lim ω 0 + F(j(ω)) Fase: lim ω 0 + arg F jω = arg k (ν p ν z ) π 2 Arrivo del diagramma di F jω per ω + : Modulo: lim ω + Fase: lim arg F jω ω + Per sistemi a fase minima si può utilizzare la relazione semplificata: lim ω + arg F jω = arg k n m π 2
27 Criterio di Nyquist Con riferimento allo schema feedback standard a retroazione unitaria, - K F(s) Il sistema controllato è stabile se il numero di giri in senso antiorario N che la F(jω) compie intorno al punto ( 1, j0), quando ω varia da a +, è uguale al numero di poli p.r.p. (p F ) di F(jω) p W = p F N = 0
28 Criterio di Nyquist (2) Hp: Il DN non chiude al finito per via di discontinuità tra ω = 0 e ω = 0 + a causa di poli nell origine tra ω = ω n e ω = ω n + e ω = ω n e ω = ω n + a causa di una coppia di poli immaginari puri con molteplicità m Per l applicazione del criterio di Nyquist bisognerà considerare i poli a parte reale nulla come a parte reale negativa Eseguire una chiusura all infinito in verso orario di ν π [rad] nella discontinuità da ω = 0 a ω = 0 + di m π [rad] nelle discontinuità da ω = ω n a ω = ω n + e da ω = ω n e ω = ω n +
29 Criterio Ridotto di Nyquist Per tutti i sistemi stabili a ciclo aperto si ha p F = 0, per cui si può valutare la stabilità mediante il Criterio Ridotto: Criterio Ridotto di Nyquist: C.N.S. per la stabilità di un sistema di controllo a controreazione, stabile a ciclo aperto (p F = 0) è che il numero di giri in senso antiorario che la F(jω) attorno al punto 1, j0 sia nullo N = 0 p W = p F N = 0 In pratica il diagramma di Nyquist della F(jω) non deve circondare il punto ( 1, j0).
30 Esempio 1 F s = 1 1+ s 10 2
31 Esempio 1 F s = 1 p F = 0 Partenza 1+ s 10 lim F(j(ω)) = 1 ω 0 + lim arg F jω = 0 ω 0 + Arrivo lim F(j(ω)) = 1 = 0 ω 0 + lim arg F jω = ω 0 + = arg 1 2 π 2 = 2π 2
32 Esempio 2 F jω = k jω 2 1+jωτ, τ > 0, k > 0
33 F jω = k jω 2 1+jωτ p F = 0 Criterio Ridotto Partenza lim ω 0 + F(j(ω)) = k 0 = lim arg F jω = ω 0 + Esempio 2, τ > 0, k > 0 arg k 2 π 2 = π Il punto -1 sta a destra del diagramma quindi il sistema sarà instabile p W = p F N = 2 Inoltre, poiché N = 2 per qualsiasi valore di k > 0, esso non potrà essere stabilizzato Arrivo ω = 0 + lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 3 = 0 lim ω 0 + arg F jω = arg k 3 π 2 = 3π 2 ω = 0-1
34 Esempio 3 F jω = k jω 2 1+jωτ, τ < 0, k > 0
35 Esempio 3 F jω = p F = 1 Partenza k jω 2 1+jωτ, τ < 0, k > 0 Il sistema sarà sempre instabile in quanto N = 0 per qualsiasi valore di k > 0 p W = p F N = 1 lim ω 0 + F(j(ω)) = k 0 = lim arg F jω = ω 0 + arg k 2 π 2 = π Arrivo lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 3 = 0 lim ω 0 + arg F jω = arg k 2 π 2 + π 2 = π 2-1
36 Esempio 4 (1) F s = 1 1+ s2 ω n 2 = 1+ s jωn 1 1 s jωn
37 Esempio 4 (1) F jω = 1+ s jωn 1 1 s jωn s=jω
38 Esempio 4 (2) F jω = 1+ s jωn 1 s 1 jωn p F = 0 Criterio Ridotto s=jω Partenza lim F(j(ω)) = 1 ω 0 + lim arg F jω = 0 ω 0 + Arrivo ω = ω n + ω = ω n ω = ω n ω = ω n lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 = 0 lim arg F jω = ω 0 + arg 1 2 π 2 = π
39 Esempio 5 Modello dinamico del Pendolo inverso Linearizzazione attorno al punto di lavoro θ, θ = (0,0) Funzione di trasferimento Posizione-Coppia Motrice
40 F jω = 0.1 k 1 s 2 1+s 5 p F = 1 Partenza lim F(j(ω)) = 0.1 k ω 0 + Esempio 5 (2) lim arg F jω = arg 0.1 k = π ω 0 + Arrivo lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 2 = 0 lim arg F jω = ω arg 0.1 k π 2 + π 2 = π Il sistema sarà stabile k > k in quanto per tale condizione N = 1 per qualsiasi valore di p W = p F N = 1 1 = 0-0.1k
41 F s = s s 1 2 Esempio 6 (1)
42 F s = s s 1 2 p F = 2 Partenza lim ω 0 + F(j(ω)) = 0 lim arg F jω = ω 0 + Arrivo lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 2 = 0 Esempio 6 (1) arg 1 + π 2 = + π 2 = 3 2 π lim ω 0 + arg F jω = arg 1 + π π 2 = π 2 Il sistema sarà stabile k > k in quanto per tale condizione N =2 per qualsiasi valore di p W = p F N = 2 2 = 0-1
43 Esempio 7 (1) F s = 1+s 2 (s+4)(s+2)(s 2)
44 Esempio 7 (2) F s = 1+s 2 = 1+s 2 (s+4)(s+2)(s 2) s 4 1+s 2 1 s 2 p F = 1 Partenza lim ω 0 + F(j(ω)) = 1 16 lim ω 0 + arg F jω = arg 1 16 = π Arrivo 2 lim F(j(ω)) = = 0 ω lim ω 0 + arg F jω = arg π 2 2 π 2 + π 2 = π 2
45 Esempio 7 (3) III IV Per ω = ω z =1, il diagramma di Nyquist passerà per l origine essendo questa la frequenza naturale degli zeri /16 La presenza di tali zeri comporterà anche un cambiamento repentino di fase che porterà il diagramma dal III al I quadrante II I Il sistema sarà sempre instabile, k < 16, N = 0 p W = p F N = 1, k > 16, N = 1 p W = p F N = 2
Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione
Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione a G a (s) con guadagno variabile Applicazione a sistemi con retroazione positiva 2 Criterio di Nyquist
DettagliTracciamento dei Diagrammi di Bode
Tracciamento dei Diagrammi di Bode L. Lanari, G. Oriolo Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Sapienza Università di Roma October 24, 24 diagrammi di Bode rappresentazioni grafiche
DettagliStabilità dei sistemi in retroazione. Diagrammi polari e teorema di Nyquist
Stabilità dei sistemi in retroazione Diagrammi polari e teorema di Nyquist STABILITA DEI SISTEMI IN RETROAZIONE Vogliamo studiare la stabilità del sistema in retroazione a partire della conoscenza di L(s
DettagliDiagrammi asintotici di Bode: esercizi. Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della seguente funzione G(s): s 2. s(s 30)(1+ s
.. 3.2 1 Nyquist: Diagrammi asintotici di Bode: esercizi Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della seguente funzione G(s): 6(s2 +.8s+4) s(s 3)(1+ s 2 )2. Pendenza iniziale: -2 db/dec. Pulsazioni critiche:
DettagliTracciamento dei Diagrammi di Nyquist
Fondamenti di Automatica Tracciamento dei Diagrammi di Nyquist L. Lanari Dipartimento di Ingegneria Informatica Automatica e Gestionale Antonio Ruberti Università di Roma La Sapienza Ultima modifica November
DettagliSTABILITÀ DEI SISTEMI Metodo di Bode e Nyquist
I.T.I. Modesto PANETTI B A R I Via Re David, 186-70125 BARI 080-542.54.12 - Fax 080-542.64.32 Internet http://www.itispanetti.it email : BATF05000C@istruzione.it INTRODUZIONE STABILITÀ DEI SISTEMI Metodo
DettagliCorso di Fondamenti di Automatica. Università di Roma La Sapienza. Diagrammi di Bode. L. Lanari. Dipartimento di Informatica e Sistemistica
Corso di Fondamenti di Automatica Università di Roma La Sapienza Diagrammi di Bode L. Lanari Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Roma La Sapienza Roma, Italy Ultima modifica May 8,
DettagliDiagrammi di Nyquist o polari
0.0. 3.3 1 qualitativa Ampiezza Diagrammi di Nyquist o polari Esempio di diagramma polare senza poli nell origine: 40 20 G(s) = 100(1+ s 50 ) (1+ s 10 )2 (1+ s 20 )(1+ s 100 ) Imag 0 20 15 20 30 80 0.1
DettagliLezione 8: Diagramma di Nyquist
Fondamenti di Automatica 1 Lezione 8: Diagramma di Nyquist Regole per il tracciamento qualitativo Esercizi Fondamenti di Automatica 2 Diagrammi polari o di Nyquist Diagramma polare fornisce, al variare
DettagliStabilità dei sistemi di controllo. Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada
Stabilità dei sistemi di controllo Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada 1 Stabilità Nei sistemi dinamici LTI la stabilità non dipende dagli ingressi. Asintoticamente stabili tutte le FdT attraverso
DettagliCapitolo. Stabilità dei sistemi di controllo. 8.1 Generalità. 8.2 Criterio generale di stabilità. 8.3 Esercizi - Criterio generale di stabilità
Capitolo 7 Stabilità dei sistemi di controllo 8.1 Generalità 8. Criterio generale di stabilità 8.3 Esercizi - Criterio generale di stabilità 8.4 Criterio di stabilità di Nyquist 8.5 Esercizi - Criterio
DettagliStabilità dei sistemi di controllo in retroazione
Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Un esempio di analisi della stabilità Il caso di un sistema a non minima rotazione di fase Pendolo inverso su carrello Levitatore magnetico 7 Politecnico
DettagliControlli Automatici 2 22/06/05 Compito a
Controlli Automatici 2 22/6/5 Compito a a) Si consideri il diagramma di Bode (modulo e fase) di G(s) in figura 1. Si 5 Bode Diagram 5 15 45 9 135 18 3 2 1 1 2 3 Frequency (rad/sec) Figure 1: Diagrammi
DettagliANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO. Schema generale di controllo in retroazione
ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO Schema generale di controllo in retroazione Requisiti di un sistema di controllo Stabilità in condizioni nominali Margine di guadagno e margine di fase
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 26 Settembre 2008
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 26 Settembre 28 Esercizio 1. Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo descritto dalla seguente equazione differenziale: a d2 y(t) 2 con a parametro reale.
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Corso di Laurea in Ingegneria dell Informazione 6 Settembre 2013
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Corso di Laurea in Ingegneria dell Informazione 6 Settembre 213 Esercizio 1. [9. + 1 punti] Sia G(s) = (s 2 +1)(s+1) (s.1)(s 2 +.2s+1) la funzione di trasferimento di un
DettagliIl criterio di Nyquist
0.0. 4.5 1 Il criterio di Nyquist IlcriteriodiNyquistconsentedistabilireseunsistema,delqualesiconosce la risposta armonica ad anello aperto, sia stabile o meno una volta chiuso in retroazione: r(t) e(t)
DettagliSOLUZIONE. Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada Seconda prova intermedia 12 Febbraio 2015
Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.24-5 Prof. Silvia Strada Seconda prova intermedia 2 Febbraio 25 SOLUZIONE ESERCIZIO punti: 8 su 32 Si consideri un sistema dinamico,
DettagliStabilità dei sistemi di controllo in retroazione
Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Risposta in frequenza Rappresentazione grafica naturale Rappresentazione grafica modificata di fdt elementari Esempio 7 Politecnico di Torino 1 Risposta
DettagliANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO. Schema generale di controllo in retroazione. Margine di guadagno e margine di fase
ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO Schema generale di controllo in retroazione Requisiti di un sistema di controllo Stabilità in condizioni nominali Margine di guadagno e margine di fase
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Corso di Laurea in Ingegneria dell Informazione 22 Giugno 2012
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Corso di Laurea in Ingegneria dell Informazione 22 Giugno 2012 Esercizio 1. (punti 10) Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione
DettagliCOMPITO DI FONDAMENTI E APPLICAZIONI DI CONTROLLI AUTOMATICI 21 Febbraio 2012
COMPITO DI FONDAMENTI E APPLICAZIONI DI CONTROLLI AUTOMATICI 21 Febbraio 212 Esercizio 1. Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione di trasferimento: G(s) = 1
DettagliCONCETTO DI STABILITÀ NEI SISTEMI DI CONTROLLO. Sistema in condizioni di equilibrio a t = 0. d(t) = 0. u(t) = 0. y(t) = 0. Sistema
CONCETTO DI STABILITÀ NEI SISTEMI DI CONTROLLO Sistema in condizioni di equilibrio a t = 0. d(t) = 0 u(t) = 0 Sistema y(t) = 0 Tipi di perturbazione. Perturbazione di durata limitata: u(t) = 0, t > T u
Dettaglila fdt ha i poli: p 1 =-3; p 2 =+4; p 3 =-6. Essendo presente un polo positivo p 2 =+4 il sistema è instabile.
ESERCIZI SVOLTI SUL CRITERIO DI BODE GRUPPO A Stabilire in base ai valori dei poli, se le seguenti fdt riferite a sistemi controreazionati ad anello chiuso, caratterizzano sistemi stabili: ESERCIZIO 1
DettagliIl Criterio di Nyquist
Il Criterio di Nyquist (vedi Marro Par. 4.5 a 4.7 e 4.9 vedi Vitelli-Petternella Par. VIII., VIII.4 Num_Den9_n.vi realizzato con Labview) Come determinare la stabilità a ciclo chiuso dalle caratteristiche
DettagliCONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo. DIAGRAMMI DI BODE
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/controlliautomatici.html DIAGRAMMI DI BODE Ing. e-mail: luigi.biagiotti@unimore.it http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti
DettagliSISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO
Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 1/27 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma1.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento,
DettagliCompito di Fondamenti di Automatica - 13 luglio 2006 Versione A Esercizio 1A. Dato lo schema seguente (operazionali ideali)
Compito di Fondamenti di Automatica - 1 luglio 2006 Versione A Esercizio 1A. Dato lo schema seguente (operazionali ideali) C v in 2 vout é richiesto di calcolare la funzione di trasferimento G(s) tra v
DettagliLezione 8. Stabilità dei sistemi di controllo
Lezione 8 Stabilità dei sistemi di controllo Poli di un sistema di controllo Riprendiamo lo schema a blocchi di un sistema di controllo in retroazione: d y + + + y L(s) + + n Fig. 1 : Sistema di controllo
DettagliDiagrammi di Bode. Lezione 17 1
Diagrammi di Bode Lezione 17 1 Punti critici Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: H() s = s 2 + s 2 6 ( s+ 10)( s + 200s+ 10 ) Punti critici: punti
Dettagli2a(L) Sia dato un processo P(s) descrivibile mediante la funzione di trasferimento:
Esame di Fondamenti di Automatica Corsi di Laurea in Elettronica, Meccanica, Diploma di Elettronica giugno (L+D) Il sistema in figura è composto da un motore in c.c. controllato in corrente (inerzia Jm
DettagliStabilità dei sistemi di controllo in retroazione
Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Diagrammi di Bode Risposta in frequenza Rappresentazione grafica naturale Rappresentazione grafica modificata Diagrammi di Bode di fdt elementari Esempio
DettagliNome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro.
Controlli Automatici A 22 Giugno 11 - Esercizi Si risolvano i seguenti esercizi. Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali
DettagliDiagrammi di Bode. Esempio: j. 1+ s. 1+j ω. Diagrammi di Bode: ω Diagramma dei moduli. Ampiezza [db] Diagramma delle fasi.
.. 3.2 Diagrammi di Bode La funzione di risposta armonica F(ω) = G(jω) può essere rappresentata graficamente in tre modi diversi: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I
DettagliControlli Automatici L-A - Esercitazione
Controlli Automatici L-A - Esercitazione 1. Si consideri lo schema a blocchi di figura. d(t) K d x(t) e(t) R(s) u(t) G(s) y(t) - R(s) = K τs + 1 s + 1, G(s) = K d = 2 s(s 2 + 6s + ), a) Considerando gli
DettagliANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.casy.deis.unibo.it/care ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE Ing. Luca Gentili
DettagliTracciamento diagrammi di Nyquist
Appunti Tracciamento Nyquist Ing. E.arone www.gprix.it Tracciamento diagrammi di Nyquist Prerequisiti Due Amenità sui numeri complessi Formula di Eulero: Appunti Tracciamento Nyquist Ing. E.arone www.gprix.it
DettagliRegolazione e Controllo dei Sistemi Meccanici 9 Giugno 2005
Regolazione e Controllo dei Sistemi Meccanici 9 Giugno 25 Numero di matricola =1α 1 =1β 1 =1γ 1 Si consideri il sistema riportato in fig.1 costituito da un rotore interno di inerzia I i e attuato da una
DettagliNome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro.
Controlli Automatici - Prima parte 18 Aprile 216 - Esercizi Si risolvano i seguenti esercizi. Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti
Dettagliun sistema è stabile se, in conseguenza di una sollecitazione esterna limitata, la sua risposta (variazione dell uscita) è limitata (Bounded Input
un sistema è stabile se, in conseguenza di una sollecitazione esterna limitata, la sua risposta (variazione dell uscita) è limitata (Bounded Input Bounded Output) Un sistema si dice asintoticamente stabile
DettagliFAU - I compito e II compitino - Giugno Versione A. Esercizio 1A. (solo compito) Si consideri lo schema di figura (con RC = 1).
FAU - I compito e II compitino - Giugno 2005 - Versione A Esercizio A. (solo compito) Si consideri lo schema di figura (con C = ). É richiesto di: C u=v i + y=v o calcolare la funzione di trasferimento
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 7 Febbraio 2013
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 7 Febbraio 213 Esercizio 1. Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione di trasferimento: G(s) = 1 1 (s.1)(s + 1) 2 s(s +.1) 2 (s
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria dell Energia Elettrica e Aerospaziale 18 Luglio 2016
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria dell Energia Elettrica e Aerospaziale 18 Luglio 216 Esercizio 1. [1 punti] Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione
DettagliAnalisi dei sistemi in retroazione
Facoltà di Ingegneria di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici Corsi di laurea in Ingegneria Meccatronica ed in Ingegneria della Gestione Industriale Ing. Alessandro Macchelli e-mail: amacchelli@deis.unibo.it
DettagliFondamenti di Automatica Prof. Luca Bascetta. Soluzioni della seconda prova scritta intermedia 25 giugno 2018
Fondamenti di Automatica Prof. Luca Bascetta Soluzioni della seconda prova scritta intermedia 25 giugno 28 ESERCIZIO Si consideri il sistema di controllo di figura, con y variabile controllata e y o riferimento:
DettagliDiagrammi Di Bode. Prof. Laura Giarré https://giarre.wordpress.com/ca/
Diagrammi Di Bode Prof. Laura Giarré Laura.Giarre@UNIMORE.IT https://giarre.wordpress.com/ca/ Diagrammi di Bode e polari Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale
DettagliIl luogo delle radici
Il luogo delle radici Andrea Munafò Università di Pisa April 14, 2012 Luogo delle radici (Evans 1948) Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l analisi e la sintesi di sistemi di controllo a
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Corso di Laurea in Ingegneria dell Informazione 18 Settembre 2012
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Corso di Laurea in Ingegneria dell Informazione 8 Settembre Esercizio. (pt.) Sia G(s) = (s +.)(s s + ) s (s ) la funzione di trasferimento di un modello ingresso/uscita,
DettagliDiagrammi polari, di Nyquist e di Nichols
Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols Diagramma polare La risposta in frequenza si analizza tramite G(s) s jω G(jω) M( ω) e G(jω) jϕ( ω) e ω < Un altra rappresentazione grafica di G(jω) si ottiene
DettagliBrevi appunti di Fondamenti di Automatica 1. prof. Stefano Panzieri Dipartimento di Informatica e Automazione Universitï 1 degli Studi ROMA TRE
Brevi appunti di Fondamenti di Automatica 1 prof. Dipartimento di Informatica e Automazione Universitï 1 degli Studi ROMA TRE 2 ROMA TRE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI 4 marzo 215 1 Rev..2 INDICE Indice 1 Esercizi
DettagliNome: Nr. Mat. Firma:
Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 212/13 9 novembre 212 - Domande Teoriche Nome: Nr. Mat. Firma: Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni che si
Dettagliu = quantità di proteina B, y = misura dell attività della proteina A
Esercizio [0 punti] Si vuole descrivere con un sistema dinamico a tempo continuo l evoluzione nel tempo della quantità di una proteina A. La produzione di tale proteina dipende dalla quantità di RNA messaggero
DettagliFondamenti di automatica
Corso di laurea in Ingegneria dell Automazione - Anno accademico 04-05 Fondamenti di automatica Esercizio 21 Calcolare le funzioni di trasferimento da u a y e da d a e nel seguente schema a blocchi. d
DettagliEsercizi sulla discretizzazione
Controlli digitali Esercizi sulla discretizzazione - Progetta un controllore digitale per il seguente sistema con P(s) = 3 400 (2 s)(s + 200), s(s + 2) assumendo un tempo di campionamento pari a T = 0.0s.
DettagliMODELLO COMPLETO PER IL CONTROLLO. D r (s) U(s) Y (s) d m (t): disturbi misurabili. d r (t): disturbi non misurabili
MODELLO COMPLETO PER IL CONTROLLO D m (s) D r (s) Y o (s) U(s) P (s) Y (s) d m (t): disturbi misurabili d r (t): disturbi non misurabili y o (t): andamento desiderato della variabile controllata u(t):
DettagliCognome Nome Matricola Corso di Laurea
Fondamenti di Controlli Automatici A.A. 213/14 7 gennaio 215 Quiz di Teoria Cognome Nome Matricola Corso di Laurea Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni
DettagliEsame scritto di: Sistemi a Controreazione N.O.
Esercizi d esame Esame scritto di: Sistemi a Controreazione N.O. Esercizio N Per il seguente sistema: P s s.5 s( s ) s. Determinare i valori di K per i quali il sistema K P (s) in retroazione unitaria
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria dell Informazione 18 Luglio 2016
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria dell Informazione 18 Luglio 16 Esercizio 1. [9.5 punti] Dato il sistema a tempo-continuo di funzione di trasferimento s 2 ( s 2 + 2) G(s) = (s 2.2s + 1) (s +
DettagliEsercizio 1. (s 1) (s 0.5)(s 1) G(s) 28. p1 = -0.5 (sx) p2 = -1 (sx) Tipo: g=0. G(0) = 56 = 20log10(56) ~ 35 db
Esercizio 1 2 G(s) 28 (s 1) (s.5)(s 1) Poli: p1 = -.5 p2 = -1 zeri: z1 = 1 (dx) Tipo: g= Guadagno: G() = 56 = 2log1(56) ~ 35 db Bode del Modulo 3 Scala 4 6 5 4 3 Magnitude (db) 2 1-1 -2 1.1.2.3 1 1 Piazzamento
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria dell Energia Elettrica e Aerospaziale 1 Febbraio 2016
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria dell Energia Elettrica e Aerospaziale 1 Febbraio 16 Esercizio 1. [11 punti] Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione
DettagliEsercitazione 08: Analisi di stabilità dei sistemi di controllo
Esercitazione 8: Analisi di stabilità dei sistemi di controllo 6 maggio 219 (3h) Fondamenti di Automatica Prof. M. Farina Responsabile delle esercitazioni: Enrico Terzi Queste dispense sono state scritte
DettagliControlli Automatici 2 27 Settembre 2007 COGNOME...NOME... MATR...CDL (ELETTR, GEST, MECC)
Controlli Automatici 2 27 Settembre 27 COGNOME...NOME... MATR...CDL (ELETTR, GEST, MECC) Per il processo descritto dalla funzione di trasferimento P(s) = s + 4 (s + )(s +.) a.) Si tracci il diagramma di
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI - 7 CFU e 9 CFU 16 Febbraio 2010
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI - 7 CFU e 9 CFU 6 Febbraio Esercizio. Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo e causale descritto dalla seguente equazione differenziale: d 3 y(t) dt 3
DettagliFunzioni di trasferimento: esercizi sulla rappresentazione della risposta in frequenza
Funzioni di trasferimento: esercizi sulla rappresentazione della risposta in frequenza Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento: ( s + s ( s + s ( s) = ( s) = (s + )( s 9s + ) (s + )( s +.9s
DettagliCOMPITO DI FONDAMENTI E APPLICAZIONI DI CONTROLLI AUTOMATICI TEMA A - 2 Febbraio 2012
COMPITO DI FONDAMENTI E APPLICAZIONI DI CONTROLLI AUTOMATICI TEMA A - Febbraio 1 Esercizio 1. Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione di trasferimento: G(s)
DettagliLezione 6 7 Febbraio. 6.1 Progettazione nel dominio della frequenza
LabCont: Laboratorio di Controlli II Trim. 2007 Lezione 6 7 Febbraio Docente: Luca Schenato Stesori: Fiorio Giordano e Guiotto Roberto 6. Progettazione nel dominio della frequenza Il metodo più usato per
DettagliRegolazione e Controllo dei Sistemi Meccanici 1 Giugno 2006
Regolazione e Controllo dei Sistemi Meccanici 1 Giugno 26 Numero di matricola = 1α 1 = 1β 1 Si consideri lo schema di azionamento di una valvola rotativa riportato in fig1 Il sistema è costituito da tre
DettagliB = Si studi, giustificando sinteticamente le proprie affermazioni, la stabilità del sistema. si A = G(s) = Y f (s) U(s) = 1.
ESERCIZIO 1 Un sistema dinamico lineare invariante e a tempo continuo è descritto dall equazione differenziale che lega l ingresso all uscita:... y (t) + ÿ(t) + 4ẏ(t) + 4y(t) = u(t) 1. Si determinino le
DettagliSoluzione degli esercizi del Capitolo 9
Soluzione degli esercizi del Capitolo 9 Soluzione dell Esercizio 9.1 Il diagramma polare associato alla funzione L(s) = µ/s, µ > comprende l intero semiasse reale negativo. È quindi immediato concludere
DettagliRappresentazione grafica delle funzioni di trasferimento: diagramma di Nyquist
Capitolo 8 Rappresentazione grafica delle funzioni di trasferimento: diagramma di Nyquist 8. Proprietà generali del diagramma di Nyquist Il diagramma di Nyquist (o polare ) della funzione W (jω) è definito
DettagliDiagrammi di Bode. Lezione 16 1
Diagrammi di Bode Lezione 16 1 Funzione di trasferimento da considerare Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: H() s = Punti critici: ss ( + 500) ( s+
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 21 Febbraio 2013
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 21 Febbraio 213 Esercizio 1. [11 punti] Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione di trasferimento: G(s) = (s + 1)(s ) s 2 (s
DettagliControlli Automatici Compito del - Esercizi
Compito del - Esercizi. Data la funzione di trasferimento G(s) = s (s +),sicalcoli a) La risposta impulsiva g(t); b) L equazione differenziale associata al sistema G(s); c) Si commenti la stabilità del
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 20 Febbraio 2014
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Febbraio 14 Esercizio 1. [11 punti] Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione di trasferimento: G(s) = 1 3 s(s + 1)(s + 1) (s
DettagliFondamenti di Controlli Automatici
Cognome: Nome: N. Matr.: Fondamenti di Controlli Automatici Ingegneria Meccanica Compito del 11 settembre 215 - Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono
DettagliStabilità dei sistemi di controllo in retroazione
Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols Diagramma polare Diagramma di Nyquist Diagramma di Nichols Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols Diagramma
DettagliCognome Nome Matricola Corso
Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 212/13 6 novembre 213 - Quiz di Teoria Cognome Nome Matricola Corso Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni che
DettagliCognome Nome: Matricola: Corso di Laurea: Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 2011/12 20 settembre Domande Teoriche
Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. / settembre - Domande Teoriche Cognome Nome: Matricola: Corso di Laurea: Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni
DettagliCOMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Corso di Laurea in Ingegneria dell Informazione 1 Febbraio 2013
COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Corso di Laurea in Ingegneria dell Informazione 1 Febbraio 13 Esercizio 1. [11 punti] Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione
DettagliControlli automatici e controllo dei processi Docente: Davide M. Raimondo Prova scritta: 01/03/2013 Durata: 3h. Cognome Nome Matricola
Controlli automatici e controllo dei processi Docente: Davide M. Raimondo Prova scritta: 01/03/2013 Durata: 3h Cognome Nome Matricola Esercizio 3: Si determini, motivando brevemente, la corrispondenza
DettagliEsercitazione 09: Prestazioni dei sistemi di controllo
3 maggio 29 (3h) Fondamenti di Automatica Prof. M. Farina Responsabile delle esercitazioni: Enrico Terzi Queste dispense sono state scritte e redatte dal Prof. Alessandro Papadopoulos, Mälardalen University
DettagliSISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo. RETI CORRETTRICI
SISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/sistemicontrollo.html RETI CORRETTRICI Ing. Luigi Biagiotti e-mail: luigi.biagiotti@unimore.it http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti
Dettagli5. Per ω = 1/τ il diagramma reale di Bode delle ampiezze della funzione G(jω) =
Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 211/12 3 luglio 212 - Domande Teoriche Cognome Nome: Matricola: Corso di Laurea: Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni
DettagliSintesi Asservimenti
Sintesi Asservimenti Obiettivi del controllo Specifiche a Regime e al Transitorio Legami Globali Reiezione dei Disturbi Sintesi per Tentativi automatica ROMA TRE Stefano Panzieri- 1 Obiettivi del Controllo
DettagliControlli Automatici
Controlli Automatici (Prof. Casella) Prova in Itinere 8 Maggio 2014 SOLUZIONI Domanda 1 Con rifermento a sistemi lineari tempo-invarianti, dimostrare che la connessione in cascata preserva la stabilità
DettagliEsercitazione di Controlli Automatici 1 n 7
Esercitazione di ontrolli Automatici 1 n 7 a.a. 26/7 I risultati di 6 prove di risposta armonica di un sistema elettrico di caratteristiche non note sono riportati in allegato. I dati significativi sono
DettagliControlli Automatici LA Analisi di sistemi di controllo Funzioni di sensitività Stabilità e Prestazioni Errori a regime e tipo di sistema
Controlli Automatici LA Analisi di sistemi di controllo Funzioni di sensitività Stabilità e Prestazioni Errori a regime e tipo di sistema Prof. Carlo Rossi DEIS-Università di Bologna Tel. 51 2932 Email:
DettagliEsercitazione di Controlli Automatici 1 n 2
7 marzo 013 Esercitazione di Controlli Automatici 1 n a.a. 01/013 Riferendosi al sistema di controllo della temperatura in un locale di piccole dimensioni discusso nella esercitazione precedente, e di
DettagliK c s h. P(s) 1/K d. Esame di Elementi di Regolazione Corso di Laurea Nuovo Ordinamento in Ingegneria Meccanica 31 marzo 2003 Compito A.
Esame di Elementi di Regolazione Corso di Laurea Nuovo Ordinamento in Ingegneria Meccanica 31 marzo 3 Compito A 1. Dato il sistema di controllo raffigurato, con C(s)=/s, P(s)=1/[(s3)(s5)] e H(s)=.5, determinare:
DettagliControlli Automatici - Parte A
Cognome: Nome: N. Matr.: Ho seguito il corso con Prof Giarré Prof. Biagiotti Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 12 gennaio 218 - Quiz Per ciascuno
DettagliLa stabilità di un sistema non dipende dal segnale d ingresso, ma dipende solo dalla f.d.t. del sistema. Stabilità BIBO (Bound Input Bounded Output)
8.1 GENERALITÀ La stabilità di un sistema non dipende dal segnale d ingresso, ma dipende solo dalla f.d.t. del sistema f.d.t. = U(s) E(s) Stabilità BIBO (Bound Input Bounded Output) Un sistema lineare
DettagliDiagramma di Bode Modulo Imag Axis. Imag Axis
Esercitazione del 13 gennaio 24 In questo documento si descrive testo e soluzione dell esercitazione del 13 gennaio 24. Sono stati introdotti anche alcuni quesiti aggiuntivi (1.3, 1.5 ). Esercizio 1 In
Dettagli