Risposta Armonica (vedi Marro Par. 3.1 a 3.2) (vedi Vitelli-Petternella par.vii.2, VII.2.1)

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1 Risposta Armoica (vedi Marro Par. 3. a 3.) (vedi Vitelli-Petterella par.vii., VII..) Che Cosa e Come si calcola (Come si misura) Criteri di stabilita G.U -FdA- Risp.Armoica

2 Che Cosa è (vedi BodeUPolo_.vi relizzato co Labview) Time (secod) y ω=. u u Time (secod) u y Sfasameto ϕ = ω t Modulo ω= Si s+ Sistema Risposta Armoica: Mux M(ω) e ϕ(ω) di Y(j ω)/u(j ω) - u y Time (secod) Graph ω= G.U -FdA- Risp.Armoica

3 Alcue frequeze soo efatizzate La Risoaza ω= Chirp Sigal s +.5s+ Sistema Mux - 5 ω=. Graph Time (secod) 4 ω= Time (secod) Time (secod) G.U -FdA- Risp.Armoica 3

4 Calcolo dalla FdT G(s) : asitoticamete stabile, Re [p i ]< p i RST t t ut () siω > t Us ()= s Ω + Ω Ω Ω Ys () = Gs () Us () = Gs () = Gs () s + Ω ( s+ jω ) ( s jω ) = Yt () s * R R + + s j Ω s + j Ω co Fattorizzazioe Ω R= lim ( s jω) Y( s) = lim G( s) = Gj ( Ω) s + j Ω j s jω permaete yt y t j G j e jωt t G * j e jωt () = () + ( Ω) ( Ω) = = y () t + G( jω) si Ωt + G( jω) t Trasitorio permaete a f Gs () G( jω) s= jω = risposta armoica G.U -FdA- Risp.Armoica 4

5 Per G(s) razioale: Scomposizioe i termii semplici G( jω ) = tre tipi di termii ( e loro reciproci) quado j bs j Ns () Gs () = i = as Ds () Per ogi poliomio le radici possoo essere: p i = s s p i : reale (s-p i ) +τs p i,p j coppia c.c. [s -σs+(σ +ω )] i Termii della fattorizzazioe ζ s + s + ω ω Notazioe usuale τ : costate di tempo ω : pulsazioe di risoaza ζ : smorzameto, θ = si ζ = si = τ G.U -FdA- Risp.Armoica 5 p i σ ω * σ * ω θ ω

6 Comportameto asitotico G(jω): G ( s) = K s h Scomposizioe i termii semplici - F f s s + i s HG ζ τ + i + ω i ω F d s s + js G τ i ζ + i H + ω j ω a i b m s b a s a G.U -FdA- Risp.Armoica 6 I KJ j I = J K jω t jω t Gj ( ω) R K a f jω h b Gj ( ω) a b h = G j = k = S ( ω) m b m se se < a a a jωf m. -(-m)*9 Gj ( ω) T h > m = *. b m, Gj ( ω) h 9 a >m o può accadere * atura passa-basso dei sistemi fisici CAUSALITA m a f jω m m

7 Rappresetazioi di G(jω) (vedi es. realizzati i Scilab) Im[G] ω= ω=ω ω= Re[G] (vedi NumDePoli_.vi realizzato i LabView) Polare o Re-Im (parametro=ω) : NYQUIST (vedi Marro par. 3.5,vedi Vitelli-Petterella par.viii.3) Poco usato i pratica, utile i certe dimostrazioi. G ω G Modulo-fase (parametro=ω) : NICHOLS (vedi Marro par. 3.6, vedi Vitelli-Petterella par.viii. ) U tempo usata la carta di Nichols ella progettazioe, oggi o più. G G (gradi) decade = log G ω ω Modulo e fase separati : BODE (vedi Marro par. 3.3, vedi Vitelli-Petterella par.vii.3) Acora estremamete diffuso Usato ella strumetazioe, come output dei calcolatori Usato ella progettazioe mauale ed assistita G.U -FdA- Risp.Armoica 7

8 W Bell : B = log W A Decibel : = log A DECIBEL Poiché W V, I.. Es.:W=RI W : poteza quado si usao le ampiezze : Decibel: A = log A Vataggi: campo di valori maggiore a parità d igombro errore di rappresetazioe costate i percetuale alcui adameti si semplificao Alcui valori 6. = = 6 Gj ( ω) = Gj ( ω) = = 4 G.U -FdA- Risp.Armoica 8

9 jω h λ - w. Termie moomio jω h Modulo= h log ω = h λ Fase = 9 h 4 h= h= 8 h= 9 h= -4 h=- -8 h=- G.U -FdA- Risp.Armoica 9

10 (vedi BodeUPolo_.vi realizzato i LabView). = + ω τ = + ω τ log log d i Termie biomio (+jωt) a f F I + jωt = H ωτ ta K ω << log = τ ω >> logω τ = logτ + λ τ asitoti approx ω << tg ( )= τ ω >> tg ( )= 9 τ ω = tg ()= 45 τ 9 3 /τ / Gj ( ω) = Gj ( ω)./τ /τ /τ / Gj ( ω) = Gj ( ω) G.U -FdA- Risp.Armoica

11 Esempio o è K! fattore di guadago K - - K Polo ell origie τ Puto di rottura Polo reale Gs () = = ss ( + ) s( +. s) polo ell origie polo reale Sigificato di K lim s = s s ( s + ) s g - (t) -9-8 pedeza.. s. G(s) lim s s s ss ( + ) s = G.U -FdA- Risp.Armoica

12 s W3 s ζ ()= + s + ω ω ω, W3 () s = s = jω ω, - ω ω = -4logω +4 λ (λ=logω) Il Termie Triomio Rappreseta modi pseudoperiodici RISONANZE (Deomiatore) e ANTIRISONANZE (Numeratore) ω Per ω=ω W j 3 = + ζ ω ω = jζ ω ω a f W3 jω = ζ ζ = = + 9 a f G.U -FdA- Risp.Armoica

13 (vedi BodeDuePoli_.vi realizzato i LabView) Risp. Armoica Termie Triomio Guadago () W 3 ω = Fase (gradi) W 3 ζ=.3 ζ=.5-9 ζ= ζ=.3 ζ=.5 - ζ= ζ=.7 ζ=.7-4 Frequeza (rad/sec) Frequeza (rad/sec) G.U -FdA- Risp.Armoica 3

14 Esempio a massa: a massa: Mx = f () t K( x x) mx = K( x x ) Trasformado : ( Ms + K i X () s = F() s + K X () s L M N K X() sdms + Ki P = Fs () ms + K X() s ms K Fs () = + Ms + K ms + K K e je j ( ms + K i X () s = K X () s O Q = ms + K mms + K( m + M) s f(t) K m M Attriti ulli x x N.B. ω di atirisoaza è il puto i cui si aulla il umeratore ω di risoaza è il puto i cui si aulla il deomiatore G.U -FdA- Risp.Armoica 4

15 Esempio (cotiua) Ms + K = ω r = K m per M = Kg ω r = 5 m = 5Kg K = 5. m -5-4bB/dec Risoaza Gudago - Atirisoaza -5 G.U -FdA- Risp.Armoica 5 ω r

16 Risposta al gradio del Termie Triomio.4 ζ=.3 Risposta al Gradio. ζ=.5 Ampiezza.8.6 ζ= L s ζ + s ω + s ω Tempo (sec) G.U -FdA- Risp.Armoica 6

17 Tempo s Parametri del T. Triomio i fuzioe di ζ ζ Frequeza B3/ ω ts*ω ζ Mr ζ Attezioe :B 3 = ω 3 /π i Hz ζ ω i rad/sec.9 G.U -FdA- Risp.Armoica 7. k k-3 ts s. ω 3 Mr

18 Sistemi co ritardo fiito (vedi Marro par.4.7) q i (t) sesore T T IN T U v L q u (t) L V T L q v = A. V = L q u ( t ) q i t = V L d mis ( t) d t V T U ( t) = T IN t L A q V G.U -FdA- Risp.Armoica 8

19 Teorema della traslazioe el tempo Sistemi co ritardo fiito L ft ( T) = e st L ft ( ) co T = cost. 3 3 st s T s T Possibili approssimazioi : e = st st st e = st + ϕ6 Risposta i frequeza ut () = si( ωt) y() t siωt ωt L = NM O QP (Taylor) (Padè) - -8 T T=s s.s G.U -FdA- Risp.Armoica 9

20 Hao zeri a parte reale positiva: Risposta a gradio g(t) (t) Sistemi a Fase No Miima as Gs () = + Ns () = + bs + t = t = as bs as lim s ± =± + bs s ± as lim s = + bs s s s Ad uo stimolo positivo rispodoo iizialmete co uo spostameto egativo. Cofodoo il meccaismo della cotroreazioe! a b j = + j Come uo zero ormale jωτ Come u polo ωτ ωτ = + /τ jωτ /τ -9 G.U -FdA- Risp.Armoica