Richiami di segnali aleatori

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1 Richiami di segali aleatori Processi aleatori discreti (t): processo aleatorio tempo cotiuo: è ua v.a. fuzioe del tempo (T) è ua v.a. al variare di si ha processo aleatorio discreto: è dato da ua sequeza di v.a. {(T)}{()} Defiizioi: Distribuzioe di probabilità Desità di probabilità P ( ) Pr{ ( ) } d p d ( ) P ( )

2 Aalogamete dati due processi aleatori discreti si defiiscoo: Distribuzioe di probabilità cogiuta: P, y m (,y) Pr{ ( ) e y( m ) y} Desità di probabilità cogiuta: p,y m d ddy (,y) P (,y ), y m Proprietà INDIPENDENZA: Due v.a. () e (m) soo idipedeti se (,y) p ( )p ( y ) p,y m ovvero se il verificarsi dell ua o iflueza il verificarsi dell altra STAZIONARIETA : U processo si dice stazioario quado le fuzioi distribuzioe e desità di probabilità soo idipedeti rispetto a traslazioi temporali: p ( ) p + k ( ) y m k p,y (,y ) p + k, y + k (,y ) k (cogiutamete stazioari)

3 Parametri di u processo aleatorio Mometo di ordie (valor medio): [ ( )] ( ) m E p d p i i i Mometo di ordie: Variaza: + σ Autocorrelazioe: E [ ( )] p ( )d P E [( ) ( ) m ] E[ ( )] m r (,m ) E * [ ( ) ( m )] p ( ) ( ) piδ i + i Processo stazioario i seso lato (WSS) m E[ ( )] m cost Processi scorrelati: E r (, + m ) r ( m ) [ ( )] P cost σ cost [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] E m E E m Proc. INDIPENDENTI X Proc. SCORRELATI Processi ergodici: Le medie temporali del processo coicidoo co le medie d isieme 3

4 Desità spettrale di poteza Dato u processo stazioario i seso lato si defiisce la desità spettrale di poteza G (F) la trasformata di Fourier della fuzioe di autocorrelazioe: atitrasformata: G ( F) r ( m) e m jπ Fm jπ Fm r ( m) G ( F) e df Desità spettrale di poteza r (0) E ( ) P Se il processo è a valor medio ullo: P σ T jπ Fm T m 0 T P G ( F) e df G ( F) df G ( f ) df G (F) è la desità spettrale di poteza Se u processo è BIANCO: r ( m) r (0) δ ( m) G ( f) costate r (0) v.medio ullo 4

5 Campioameto di processi aleatori I processi aleatori soo caratterizzati dalla fuzioe desità di probabilità (t) p t (, ) (T) p ( ) I particolare a oi iteressao i processi stazioari i seso lato Il processo aleatorio è caratterizzato el domiio della frequeza dalla fuzioe desità spettrale di poteza. ( t ) r ( τ ) G ( f ) π τ τ τ r ( )e j f a d ( T ) Reale, o egativa e pari jπmf jπfmt r ( m ) G ( F ) r ( m )e r ( m )e G c c m m ( f ) ( t ) ( T ) r ( τ ) G a ( f ) r ( m ) G c ( F ) 5

6 Posso osservare che: r ( m) r ( τ ) c a τ mt L autocorrelazioe del processo discreto coicide co l autocorrelazioe del processo cotiuo compioata i τmt quidi si ha: G ( f) ( ) c G f kf a c T k Esempio e() è u processo aleatorio discreto: stazioario i seso lato campioi della sequeza scorrelati distribuzioe di probabilità uiforme E[ e( )] ep( e )de e de 0 p(e) / E[ e ( )] e p( e )de e de σ e -/ / e 0 m 0 * E[ e( )e ( + m )] m 0 re ( m ) δ( m ) Ge( f ) 6

7 I geerale: p() a /(b-a) b a + b E[ ( )] a + b b a σ p( )d Distribuzioe uiforme p() p( ) ( m ) σ e πσ Distribuzioe gaussiaa Rumore AWGN Additive White Gaussia Noise Rumore biaco [ ( )] 0 N σ 0 N0 N r ( m ) ( m ) G ( f ) 0 δ Distribuzioe gaussiaa ( ) p ( ) e σ πσ E Se le v.a. () e (m) soo scorrelate e gaussiae allora soo ache idipedeti 7

8 Esempio Siao () e y() due processi aleatori tempo discreto stazioari e icorrelati: determiare media e variaza del processo w()()+y() [ ( )] [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] Ew E + y E + E y m + m E w m E + y m m ( ( ) ) w ( ( ) ( ) y) ( ( ) ) ( ( ) ) y ( ( ) )( ( ) y) E m + E y m E m y m ( ) ( ) σ + σ y E ( ) m E y( ) m y [ ] [ ] σ + σ E ( ) m E y( ) m σ + σ y y y Perché icorrelati y Covariaza tra due processi 8