3. Fondamenti sui segnali numerici

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1 INFO-COM Dpt. Dipartimeto di Scieza e Tecica dell Iformazioe e della Comuicazioe Uiversità degli Studi di Roma La Sapieza 3. Fodameti sui segali umerici TELECOMUNICAZIONI per Igegeria Iformatica (secodo ao) caale A-LA Prof. Roberto Cusai

2 Sequeza umerica- Defiizioe 2 { } Ua sequeza umerica x, = 0, ±, ± 2,... è ua striga ordiata di umero reali o complessi il cui idice di posizioe può assumere solo i valori iteri (positivi e/o egativi) Esempio: La sequeza { x0 =, x =, x = 2} può essere rappresetata graficamete Ua sequeza umerica è detta di durata fiita N>0 se ammette valori diversi da zero solo i corrispodeza di N valori dell idice. R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

3 Campioameto 3 Segale aalogico: Sequeza dei suoi campioi: x(t) t x ( ) = x( t) t= T x(0) T T 2T x().... t T itervallo di campioameto (sec) f c = frequeza di campioameto (Hz) T Campioatore: x (t) x() Trasmissioe a distaza, o immagazziameto R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

4 Ricostruzioe (/3) 4 Ricostruzioe, co treo di impulsi matematici: + x'( t) = x( T ) δ( t T ) = x( ) x'( t) x(0) T 2T T t x' ( t) Filtro LP: H ( f ) x R (t) Segale ricostruito x() R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

5 Ricostruzioe (2/3) 5 Ricostruzioe ideale, co treo di impulsi matematici: = x( ) δ ( t x '( t) T ) H( f ) = T rect ( f ) T / T h( t) = sic( πt / T ) 2 T 2 T f 2T 2T T T t R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

6 Ricostruzioe (3/3) 6 x(0) x( ) + x ( ) ( )sic( ( ) / ) R t = x T π t T T x() = x(2) x(3) R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

7 Teorema del campioameto (/4) 7 x(t) Se è limitato i bada, co bada ± W itoro all origie, e se f c 2W (criterio di Nyquist), allora il segale ricostruito risulta uguale all origiale, ossia: x R ( t) = x( t) c 2 per f W x R (t) x(t) Spiegazioe ituitiva: se varia letamete, e se la si osserva abbastaza frequetemete, allora il suo adameto completo è perfettamete ricostruibile tramite iterpolazioe delle osservazioi { x( T ), = 0, ±, ± 2,...} R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

8 Teorema del campioameto (2/4) 8 x(t) x' ( t) Filtro LP: H ( f ) x R (t) Segale ricostruito + δ( t T ) è u segale periodico. La sua Serie di Fourier è: = + + j2π t T δ( t T ) = e = = T + da cui risulta che la trasformata di Fourier di δ( t T ) è: = + + FT δ( t T ) = δ( f ) = T = T R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

9 Teorema del campioameto (3/4) 9 Per la trasformata di Fourier del segale campioato si ottiee: FT { x '( t) } = FT x( ) δ ( t T ) = FT x( t) i δ ( t T ) = = FT { x( t) } FT δ ( t T ) = X ( f )* δ f = T T = X f T T Lo spettro del segale campioato è dato da ifiite repliche dello spettro del segale di parteza per ogi multiplo itero della frequeza di campioameto /T R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

10 Teorema del campioameto (4/4) 0 X(f) 2W X '( f ) = X( f k / T) T k f 2 f c f c H ( f ) = T rect ( f ) 2W X R ( f ) = X( f ) f c 2 fc f c 2W f f c 2 W W f c 2 = 2 T f R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

11 Aliasig da sotto-campioameto (/2) Sotto-campioameto: X(f ) f c < 2W Distorsioi: Maca ua parte dello spettro La parte macate si ripiega e si somma al resto c è dell altro ( alias ) ello spettro ricostruito f c f c 2 2W X' ( f ) X R (f ) f c 2 f c f f f R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

12 Aliasig da sotto-campioameto (2/2) 2 x R Su l alias si maifesta come ua distorsioe più o meo evidete (t ) Esempio: campioameto di ua siusoide Siusoide origiale T Ricostruzioe co il sotto-campioameto R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

13 Campioameto reale circuito sample & hold (/2) 3 Gli impulsi i uscita dal campioatore reale o soo impulsi matematici, soo realizzati tramite u circuito sample & hold (S&H), soo rettagoli di durata fiita τ x(t) S&H xh '( t) ( ) ( ) x '( t) = x( T ) rect t T = rect t * x( T ) δ( t T ) H + + = X '( f ) = τ sic( f τ) X '( f ) H τ τ = Lo spettro del segale campioato è distorto secodo u fattore dipedete dalla frequeza τ sic(fτ) R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

14 Campioameto reale circuito sample & hold (2/2) 4 Per ricostruire il segale ella realtà oltre al filtraggio passa-basso è ecessaria u equalizzazioe /[τ sic(fτ)] che compesi la distorsioe dovuta alla durata o ulla degli impulsi Fuzioe di trasferimeto del filtro i ricezioe: T rect2 W ( f ) H ( f ) = τ sic( f τ ) Il segale ricostruito risulta i questo modo uguale al segale di parteza: ( ) ( ) X f = X ' f H ( f ) = R H T rect ( f ) sic( f ) X f T T sic( f ) τ τ = X ( f ) 2W = τ τ = R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

15 Campioameto e quatizzazioe (coversioe A/D) 5 I realtà si hao distorsioi ache se si evita il sottocampioameto, e si equalizza per compesare le distorsioi del circuito S&H. Il processo di coversioe A/D itroduce errore di quatizzazioe x(t) x() Q Samplig Quatizer ADC: Aalog-to-Digital Coverter xˆ ( 0 ) = b bits, che rappresetao: xˆ () x( ) + q( x() ) x( ) q(): errore di quatizzazioe si riduce all aumetare di b, ovvero del umero di bit impiegati ella coversioe A/D R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

16 Relazioe igresso-uscito di u quatizzatore uiforme 6 x max = x q (L-) xˆ( ) -x max x max x q (2) x q (i) L x() Passo di quatizzazioe Livello di restituzioe rappresetato co b digits Numero dei livelli di quatizzazioe x q () -x max =x q (0) R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

17 Ricostruzioe (coversioe D/A) 7 b bits Geeratore di livelli di restituzioe xˆ ( ) Geeratore di forma d oda xˆ ( )rect T ( t T ) xˆ ( ) DAC: Digital-to-Aalog Coverter T T t R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

18 Schema completo di campioameto e ricostruzioe 8 x(t) f c = 2W Campioatore + quatizzatore b bits P/S Covertitore parallelo/serie flusso biario f b = bf c (bits/sec) Trasmissioe flusso biario, bit/sec f b S/P b bits f c = 2W Covertitore aalogicodigitale Filtro LP Co bada [-W,W] x R (t) Covertitore serie/parallelo R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

19 Segale Telefoico Digitale PCM 9 Digitalizzazioe del segale telefoico (PCM, Pulse Code Modulatio) x(t) C A S t Itervallo di stazioarietà T 20 msec No compoeti alle basse frequeze, eergia cocetrata fio a 4-5 khz Filtro telefoico (GSM, telefoia fissa): fc = 2 campioi 4kHz = 8000 campioi/s 8 digit/campioe bit rate 64 kbps H(f) 300 Hz - 4 khz 300 Hz 4 khz f R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

20 Rumore di quatizzazioe el PCM (/3) 20 x(t) + x MAX t x MAX L 0 L itervalli di quatizzazioe, L valori ( livelli ) di quatizz. x (0) ( L ) q,..., x q b bit per campioe L=2 b livelli di quatizzazioe Ampiezza di itervallo =2 x MAX / L = (2 x MAX )2 -b L i-esimo livello di quatizzazioe x (i) q è posto al cetro dell i-esimo itervallo R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

21 Rumore di quatizzazioe el PCM prestazioi del quatizzatore (2/3) 2 xˆ campioe quatizzato = x campioe origiale + q errore di quatizzazioe L errore di quatizzazioe può assumere tutti i valori da a / 2 Modello probabilistico: q è ua variabile aleatoria co distribuzioe (desità di probabilità) uiforme tra e, e a media ulla Il valore massimo del modulo dell errore q è: MAX b, e va a zero al crescere di b /2 / 2 Sul segale ricostruito l errore di quatizzazioe viee percepito 2 (2x = 2 2 come u disturbo (rumore) sommato al segale origiale R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009 /2 p(q) ) 2 2 q

22 Rumore di quatizzazioe el PCM prestazioi del quatizzatore (3/3) 22 xˆ = x + q Suppoiamo che x possa assumere solo valori i [-x MAX, x MAX ]. Suppoiamo che l itervallo [-x MAX, x MAX ] sia suddiviso i L=2 b itervalli di quatizzazioe di estesioe = 2 x / L = 2 x / 2 b MAX MAX Si può dimostrare che il valore medio E{q 2 } del quadrato dell errore di quatizzazioe q vale ( x ) 2 E{q } = = max 2b Quidi E{q 2 } va a zero i maiera espoeziale al crescere di 2b R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009 R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

23 Musica ad Alta Fedeltà 23 L orecchio umao o percepisce suoi oltre i 20KHz Co u campioameto miimo a campioi al secodo o si avvertoo differeze e sigificative tra segale musicale di parteza e segale ricostruito dal segale campioato Distorsioi percepite dovute uicamete da errori di quatizzazioe che possoo essere ridotti a piacere aumetado il umero di digit per campioe Dimesioe di u brao di 3 miuti filtro ± 20kHz f = 40 khz c 2 digit/campioe 480 kbps 3 miuti 480 kbps = k = 86,4 Mbit = 0,8 Mbyte (byte=8 bit) R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

24 Trattameto delle sequeze umeriche 24 Sequeza umerica: { x, = 0, ±, ± 2,.. } Può essere quatizzata oppure o Può essere la sequeza dei campioi x( t = t = T x( t) = x( Tc ) di u segale aalogico campioato, oppure può ascere proprio come sequeza (esempio: caratteri iviati tramite tastiera ad u PC) Ci cocetriamo su sequeze umeriche di durata fiita (N elemeti): { x = N }, 0,,..., ) x x 0, x c,..., x N R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

25 Trasformata discreta di Fourier per sequeze di durata fiita (DFT) 25 Per ua sequeza discreta di può defiire ua rappresetazioe el domiio della frequeza, tramite ua trasformazioe, Discrete Fourier Trasform (DFT), sequeza di campioi el domiio discreto della frequeza Defiita come X k k = N xe = 0 N = 0,,..., N j 2π N k { X X } 0,,..., X N X k 0 N k R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

26 Trasformata discreta di Fourier per sequeze di durata fiita (DFT) 26 La DFT {X k, k=0,,n-} costituisce ua rappresetazioe di el domiio k delle frequeze discrete. Ifatti vale la seguete formula di ricostruzioe, atitrasformata discreta di Fourier { } x - DFT k= 0 k + j2π N N x = Xke = 0,..., N N { } x ovvero la sequeza è data dallo somma di N compoeti el domiio della frequeza k R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

27 Proprietà elemetari della DFT 27 Liearità: DFT{ ax + by } = ax + by k k { x, = 0,...,( N )} Simmetria: se è a valori reali, allora N k * 2 X N k = X k, dove N k 2 per N pari per N dispari R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

28 Algoritmi FFT (Fast Fourier Trasform) 28 Il calcolo di ua DFT è spesso oeroso dal puto di vista computazioale. Vi soo algoritmi per il calcolo veloce della DFT co complessità ridottissima, dell ordie di aziché N 2 N log2 Gli FFT sfruttao le proprietà di simmetria degli espoeziali N e 2 π j k N Complessità di calcolo 2 N (DFT) N log 2 N (FFT) N (lughezza della sequeza) R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

29 Impulso discreto 29 Defiiamo come impulso discreto { δ, = 0, ±, ± 2,... } umerica che vale i =0 ed è ulla altrove, ossia la sequeza, = 0 δ = 0, 0 δ NB: Da o cofodere co l impulso matematico defiito per i segali aalogici R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

30 Covoluzioe discreta (/3) 30 Def: + z = x y = x * y, = 0, ±, ± 2,... m m m=. Graficare le due sequeze da covolvere come fuzioi di m, otteedo {x m } e {y m }. 2. Ribaltare la sequeza {y m } rispetto all asse delle ascisse, otteedo quidi la sequeza {h -m } 3. Traslare la sequeza {y -m } della quatità lugo l asse m, otteedo così {y -m, m=0, ±, ±2, }. 3.. quado 0, allora {y -m } va traslata di verso destra 3.2. quado <0, allora {y -m } va traslata di verso siistra 4. Calcolare per ogi valore di m il prodotto x m y -m, m=0, ±, ±2 5. Sommare rispetto all idice m tutti i prodotti {x m y -m, m=0, ±, ±2 } otteedo il valore z delle sequeza covoluta al passo. R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

31 Calcolo della covoluzioe Discreta (2/3) 3 2 x m y m m y -m m y -m m y -m - m -+ m z R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

32 Proprietà della covoluzioe discreta (3/3) 32 La covoluzioe discreta è commutativa, ossia: x *h =h *x La covoluzioe discreta è associativa, ossia [x *h ]*z =x *[h *z ] La covoluzioe discreta è distributiva rispetto alla somma, ossia [x +y ]*h =(x *h )+(y *h ) Se {x m, m=0,..,m-} è ua sequeza luga M e {h, =0,,L-} è ua sequeza luga L, allora la covoluzioe discreta y =x *h è ua sequeza luga L+M- R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

33 Filtraggio digitale (/3) 33 U sistema umerico S è u sistema che trasforma ua sequeza di igresso { x, = 0, ±, ± 2,.. } i ua di uscita { y, = 0, ±, ± 2,.. } i accordo ad ua specifica relazioe igresso-uscita y = f ( x ). x y = f ( x ) S U sistema umerico è lieare se vale il pricipio di sovrapposizioe degli effetti, ossia U sistema umerico è permaete se il suo comportameto o varia el tempo, ossia x x y ax + bx ay + by y () () (2) (2) x y allora x y () (2) () (2) = 0, ±, ± 2,.. 0 0, R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

34 Filtraggio digitale (2/3) 34 U sistema umerico lieare e permaete è u filtro umerico Si defiisce come risposta impulsiva del filtro umerico la sequeza di uscita dal filtro quado all igresso è applicata la sequeza impulso discreto{ δ, = 0, ±, ± 2,..} { h, = 0, ±, ± 2,..} δ Filtro Numerico h U filtro umerico è causale se h =0 per ogi <0 U filtro umerico è FIR (Fiite Impulse Respose) se {h } è diversa da zero solo per u umero fiito di valori di. U filtro umerico è IIR (Ifiite Impulse Respose) se {h } è diversa da zero per u umero ifiito di valori di R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

35 Filtraggio digitale (3/3) 35 x Filtro h y Dato u filtro umerico co risposta impulsiva {h }, la sequeza di uscita {y } otteuta i corrispodeza di ua geerica sequeza di igresso {x } si ottiee mediate la covoluzioe discreta di {x } e {h }, ossia + y = x h = x * h, = 0, ±, ± 2,... m m m= R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

36 Filtri FIR (Fiite Impulse Respose) (/2) 36 Def: u filtro umerico è detto FIR se la sua risposta impulsiva {h, =0,,L-} ha lughezza fiita L<+ x x x L Ritardo di passo (delay) Ritardo di passo (delay) Ritardo di passo (delay) Liea di ritardo digitale h 0 h.. h L y = L m= 0 h m x m L uscita all istate è pari alla combiazioe lieare di L valori di igresso y x x L,..., immagazziati ella liea di ritardo digitale R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

37 Filtri FIR (Fiite Impulse Respose) (2/2) 37 Esempio di filtro FIR media mobile su 2 istati: y x y x + x = = x + x h = , 2 2 R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009

38 Filtri IIR (Ifiite Impulse Respose) 38 U filtro è detto IIR (Ifiite Impulse Respose) se la sua risposta impulsiva {h } è o ulla i u umero ifiito di istati. Ha almeo u ramo di cotroreazioe h = a a < 0 x y = x + ay a y D R. Cusai - Fodameti sui segali umerici, Roma, Marzo 2009