Capitolo 6 - Autocorrelazione

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1 pputi di eoria dei Segali Capitolo 6 - utocorrelazioe utocorrelazioe per segali di eergia... Spettro di eergia e fuzioe di autocorrelazioe per segali cotiui... Proprietà della fuzioe di autocorrelazioe... Esempio... 4 Esempio: rettagolo traslato... 6 Importaza della fuzioe di autocorrelazioe per i sistemi cotiui... 7 Esempio... 8 Fuzioe di autocorrelazioe per i sistemi discreti... Fuzioe di cross-correlazioe... utocorrelazioe per segali di poteza... Itroduzioe... utocorrelazioe temporale e poteza di u segale... 3 autocorrelazioe temporale e sistemi lieari tempo-ivariati... 4 utocorrelazioe temporale come desità di poteza... 6 utocorrelazioe per segali periodici... 7 Defiizioe... 7 Poteza di u segale periodico... 8 Segale periodici di poteza e sistemi lieari tempo-ivariati... Esempio: autocorrelazioe per il Coseo... Esempio: autocorrelazioe per il Seo... 5 Esempio... 6 utocorrelazioe per segali di eergia SPEO DI ENEGI E FUNZIONE DI UOCOELZIONE PE SEGNLI CONINUI Cosideriamo u segale tempo-cotiuo x(t) e la sua trasformata di Fourier (f) (ell ipotesi, ovviamete, che la ammetta). Sappiamo che, per defiizioe, l eergia associata a questo segale è E x( t) e abbiamo ache dimostrato che è la stessa eergia associata a (f), ossia che E ( f) df

2 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 Chiaramete, la quatità ( f) è ua fuzioe della frequeza: essa prede il ome di spettro di eergia del segale x(t) (metre ricordiamo che (f) è lo spettro di ampiezza di x(t)). Vogliamo trovare la rappresetazioe el domiio del tempo di questo spettro di eergia, ossia, i defiitiva, l atitrasformata di Fourier della fuzioe ( f). Itato, possiamo scrivere che titrasformado, abbiamo ( ) ( f) ( f) ( f) [ ( ) ] [ ( )( ( )) ] [ ( )] [( ( )) ] Fourier f Fourier f f Fourier f Fourier f L atitrasformata del complesso coiugato di (f) è x(-t), per cui [ ] ( ) Fourier ( f) x( t) x( t) Chiamado co (τ) l atitrasformata dello spettro di eergia e applicado la semplice defiizioe di prodotto di covoluzioe tra due segali, abbiamo duque trovato che ( τ ) ( τ ) x ( t ) x ( t + ) La fuzioe (τ) prede il ome di fuzioe di autocorrelazioe del segale x(t) cosiderato. Il motivo di questo ome sarà chiaro più avati, quado applicheremo questo cocetto ai sistemi. Vediamo ivece adesso qualche proprietà di questa fuzioe. POPIEÀ DELL FUNZIONE DI UOCOELZIONE La prima proprietà è che () rappreseta l eergia del segale x(t), ossia E ( τ ) Ifatti, semplicemete dalla defiizioe si ha che ( ) ( τ ) x ( t ) x ( t ) x ( t ) U altra proprietà si verifica quado il segale x(t) è reale: per x(t) reale, (τ) è ua fuzioe pari, ossia, i formule, si ha che ( τ) x(t) ( x(t + τ) ) x(t) ( x(t τ) ) utore: Sadro Petrizzelli

3 utocorrelazioe Si tratta di ua importate proprietà, che spesso utilizzeremo per i ostri calcoli. Vediamo di dimostrarla. I base alla defiizioe, abbiamo che ( τ ) ( τ) x( t) x( t + ) Effettuado il cambio di variabile st+τ, abbiamo che ( ) ( τ ) x ( s τ ) x ( s ) ds Essedo per ipotesi x(t) reale, l operatore complesso coiugato o ha seso, per cui ( τ) x( s τ) x( s) ds L itegrale così otteuto o è altro che (-τ), come volevamo far vedere. L ultima proprietà, sempre per x(t) reale, è la seguete: ( τ) ( ) Essa dice che il valore massimo di questa fuzioe si ha per t. Per dimostrarla, dobbiamo far vedere che ( ) ( τ) ( τ) ( ) Facciamo vedere la prima relazioe. Itato, è evidete che, a prescidere da come è fatta x(t), sussiste la seguete relazioe: Sviluppado il quadrato, abbiamo che che può essere ache riscritta ella forma ( x( t) x( t )) + + τ x ( t) + x ( t + τ) + x( t) x( t + τ) x ( t) + x ( t + τ) x( t) x( t + τ) Itegrado ambo i membri tra - e otteiamo x ( t) + x ( t + τ) x( t) x( t + τ) 3 utore: Sadro Petrizzelli

4 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 bbiamo visto prima che ( ) x( t) per cui quella relazioe diveta ( ) + x ( t + τ ) x ( t ) x ( t + τ ) E ache evidete che ( ) x( t + τ) per cui possiamo acora scrivere che ( ) x ( t ) x ( t + τ ) L itegrale a secodo membro è proprio (t) (i quato x(t) è supposto reale), per cui ( ) ( τ ), ed era quello che volevamo dimostrare. Per dimostrare l altra disuguagliaza, ci basta effettuare gli stessi calcoli, ma questa volta a partire dalla relazioe ( x( t) x( t )) + τ ESEMPIO Sia dato il segale g( t) sic( wt). Di questo segale vogliamo la fuzioe di correlazioe g ( τ ), lo spettro di eergia G( f ) e l eergia E S. Vediamo itato come dovremmo procedere applicado semplicemete le defiizioi: la formula per il calcolo della fuzioe di autocorrelazioe è ( τ ) ( g τ ) g ( t ) g ( t + ) Per calcolare lo spettro di eergia dobbiamo trasformare secodo Fourier la fuzioe g (τ) e, ifie, per calcolare l eergia dobbiamo usare la formula E g g( t) o, i alterativa, la formula E G( f ) df g utore: Sadro Petrizzelli 4

5 utocorrelazioe Seguedo, duque, questa strada, ci troviamo a dover risolvere be due itegrali i cui la fuzioe itegrada è la fuzioe sic. E allora decisamete cosigliabile seguire u altra strada. Quella più coveiete cosiste el valutare prima lo spettro di eergia G( f ) : da esso, otteiamo l eergia E S come area sottesa e la fuzioe di autocorrelazioe come atitrasformata di Fourier. Vediamo i calcoli el dettaglio. Dato che g(t) è ua fuzioe sic, coosciamo bee la sua trasformata, che i questo caso è G( f ) w rect fw Lo spettro di eergia è duque G( f ) w rect fw w rect fw Esso è il prodotto di due rettagoli uguali, per cui è uguale a sua volta ad u rettagolo: w G(f) -/w +/w f L area sottesa da questo rettagolo, i base alla formula E G( f ) df g è proprio l eergia del ostro segale g(t), la quale quidi è w. Ifie, atitrasformado G(f) otteiamo la fuzioe di autocorrelazioe: [ ] ( τ ) Fourier G ( f ) Fourier ( w) sic( wτ) w w sic ( w τ) w rect fw w Fourier rect fw Si ota, ovviamete, che E S (τ). 5 utore: Sadro Petrizzelli

6 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 ESEMPIO: ENGOLO SLO Calcoliamo la fuzioe di correlazioe per il seguete segale: t t rect D t -D/ t +D/ t pplicado la ormale defiizioe, abbiamo che ( τ ) ( τ) x( t) x( t + ) Il ostro x(τ) è u segale reale, per cui il complesso coiugato o ha alcu effetto: ( ) x ( t t t ) x ( t ) rect D rect τ + ( t t ) τ + τ D La fuzioe itegrada è il prodotto di due rettagoli uguali (uo traslato rispetto all altro di u tratto t), per cui è a sua volta u rettagolo. uttavia, questo rettagolo dipede da come soo disposti gli altri due uo rispetto all altro: suppoedo per il mometo t>, la situazioe è t t -D/ t +D/ t Si ota, duque, che (τ) è ulla quado t < τ < D si ha che D D + τ > t +, ossia quado τ>d, metre, quado utore: Sadro Petrizzelli 6

7 utocorrelazioe D t + D D ( τ) t + + τ t + ( D + τ) 3 D < τ< D t + t Quidi l adameto di (τ) per τ> è il seguete: D D t uttavia, ci ricordiamo che la fuzioe di correlazioe per segali reali è ua fuzioe pari, cioè è simmetrica rispetto all asse delle ordiate, per cui possiamo subito disegare la parte per τ<: D -D D t IMPONZ DELL FUNZIONE DI UOCOELZIONE PE I SISEMI CONINUI Cosideriamo u geerico sistema cotiuo, caratterizzato da ua risposta all impulso h(t): sappiamo che l uscita y(t) del sistema i corrispodeza del geerico igresso x(t) si può ricavare mediate la relazioe y( t) x( t) h( t). Sappiamo che sia x(t) sia y(t), ell ipotesi di essere etrambi ad eergia fiita, ammettoo la trasformata di Fourier: trasformado secodo Fourier quella relazioe, otteiamo ( f) ( f) H( f), dove sappiamo che H(f) è la cosiddetta risposta i frequeza del sistema. L eergia associata al segale y(t) è E y(t) (f ) df Se al posto di (f) sostituiamo l espressioe trovata prima, otteiamo E (f )H(f ) df (f ) H(f ) df La fuzioe H f ( ) prede il ome di fuzioe di trasferimeto dell eergia del sistema cosiderato. 7 utore: Sadro Petrizzelli

8 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 Per quato riguarda l uscita y(t), la sua fuzioe di autocorrelazioe (t) è evidetemete l atitrasformata della fuzioe ( f). Ma, essedo ( f) ( f) H( f), l atitrasformata vale [ ] ( τ ) Fourier ( f ) H ( f ) icordado che l atitrasformata di u prodotto è pari al prodotto di covoluzioe delle atitrasformate, possiamo scrivere che [ ] [ ] ( τ ) Fourier ( f ) Fourier H ( f ) Il primo termie a secodo membro o è altro che (τ), per cui [ H(f ] ( τ) ( τ) Fourier ) icordado che il modulo quadro di ua qualsiasi quatità è pari al prodotto tra la quatità stessa ed il suo complesso coiugato, abbiamo poi che [ H(f )( H(f )) ] ( τ) Fourier [ H(f )] Fourier ( H(f ) [ ] ( τ) ( τ) Fourier ) icordado ifie che l atitrasformata di Fourier del complesso coiugato di ua fuzioe è pari all atitrasformata della fuzioe stessa, calcolata però i -t, cocludiamo che [ ( ) ] ( τ) ( τ) h( τ) h( τ) Nel caso i cui la fuzioe di risposta all impulso h(t) sia reale (il che sigifica che il sistema è almeo idealmete realizzabile), possiamo fare qualche ulteriore calcolo: ifatti, i questo caso, l operatore di complesso coiugato o ha alcu effetto su h(t), per cui ( τ) ( τ) h( t) h( τ) Esempio Cosideriamo il seguete sistema: x(t) y(t) utore: Sadro Petrizzelli 8

9 utocorrelazioe bbiamo i precedeza già visto che questo è u sistema lieare tempo-ivariate: l espressioe aalitica dell uscita i corrispodeza del geerico x(t) è y( t) x( t) x( t ) Vogliamo calcolare, i corrispodeza del geerico igresso x(t), la fuzioe di autocorrelazioe (t) dell uscita y(t). La prima cosa da fare, quado si ha a che fare co u sistema lieare tempo-ivariate, è sempre il calcolo della sua risposta all impulso: h( t) δ( t) δ( t ) questo puto, per il calcolo della (), possiamo fare il seguete ragioameto: dato che o coosciamo l espressioe aalitica di y(t), è ovvio che o possiamo applicare la defiizioe di fuzioe di autocorrelazioe, ossia ( ) ( t ) y ( τ ) y ( t + τ ) dτ L uica possibilità è duque quella di applicare la relazioe [ ] [ ] ( t) Fourier S ( f ) Fourier ( f ) Ci serve duque ( f ). icordado che per i sistemi lieari sussiste la relazioe y( t) x( t) h( t), che el domiio della frequeza equivale a ( f ) ( f ) H( f ), possiamo scrivere che (f ) (f )H(f ) (f ) H(f ) S (f ) H(f ) pplicado adesso la proprietà di covoluzioe el tempo, abbiamo che [ ] ( t) Fourier S ( f ) H( f ) [ ] [ ] [ ] ( t) Fourier S ( f ) Fourier H( f ) ( t) Fourier H( f ) Quidi, per trovare la fuzioe di autocorrelazioe dell uscita y(t), dobbiamo effettuare i segueti passaggi: calcolo della fuzioe di autocorrelazioe (t) dell igresso x(t); calcolo della fuzioe di trasferimeto dell eergia del sistema H( f ), il che sigifica, i defiitiva, calcolo della risposta i frequeza H(f) del sistema; atitrasformazioe di H( f ) ; covoluzioe tra (t) e l atitrasformata di H( f ). Dato che stiamo suppoedo x(t) geerico, il primo passo possiamo riteerlo fatto. diamo ivece a calcolare quato vale la fuzioe di trasferimeto dell eergia: avedo trovato che h( t) δ( t) δ ( t ), è chiaro che 9 utore: Sadro Petrizzelli

10 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 jπf [ δ δ ] ( ( π ) ( π )) ( cos( πf) jsi( πf) ) ( cos( πf) ) jsi( πf) H( f ) Fourier ( t) ( t ) e cos f + jsi f e quidi ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H( f ) cos πf jsi πf cos πf + si πf cos πf desso dobbiamo atitrasformare questa fuzioe: i calcoli o soo tato agevoli, per cui proviamo a seguire u altra strada. bbiamo trovato prima che [ ] ( t) ( t) Fourier H( f ) L atitrasformata presete a secodo membro o è altro che la fuzioe di autocorrelazioe della risposta all impulso h(t), per cui possiamo scrivere che ( t) ( t) ( t) h Calcoliamo allora h (t) applicado la defiizioe: ( ) h ( t) h( τ) h( t + τ) dτ l posto di h(t) dobbiamo sostituire h( t) δ( t) δ ( t ). Essedo l impulso ua fuzioe reale, possiamo subito elimiare l operatore complesso coiugato e scrivere quato segue: ( )( ) ( t ) h δ( τ) δ( τ ) δ( t + τ) δ( t + τ ) d τ Sviluppado il prodotto, abbiamo [ ] ( t ) h δ ( τ ) δ ( t + τ ) δ ( τ ) δ ( t + τ ) δ ( τ ) δ ( t + τ ) + δ ( τ ) δ ( t + τ ) dτ [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] δ τ δ t + τ dτ δ τ δ t + τ dτ δ τ δ t + τ dτ + δ τ δ t + τ dτ desso dobbiamo applicare la proprietà di setaccio: l applicazioe è immediata per il primo itegrale, che vale δ(t), e per il secodo, che δ(t-), per cui [ ] [ ] ( t ) δ( t ) δ( h t ) δ( τ ) δ( t + τ) d τ + δ( τ ) δ( t + τ ) d τ che per l ultimo itegrale, basta porre sτ- per otteere che esso vale δ(t), per cui [ ] ( t ) h δ ( t ) δ ( t ) δ ( τ ) δ ( t + τ ) dτ utore: Sadro Petrizzelli

11 utocorrelazioe Per l ultimo itegrale rimasto, possiamo fare quato segue: [ ] [ ] [ (( ) ( ))] δ( τ ) δ( t + τ) dτ δ( τ ) δ( t + τ + ) dτ δ( τ ) δ t + τ + dτ δ( t + ) I coclusioe, abbiamo trovato che desso, possiamo scrivere che ( t ) δ( h t ) δ( t ) δ( t + ) [ δ δ δ ] ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t ) ( t + ) h icordado che il prodotto di covoluzioe di u segale per l impulso è pari al segale stesso calcolato el puto di applicazioe dell impulso, abbiamo duque che ( t) ( t) ( t ) ( t + ) FUNZIONE DI UOCOELZIONE PE I SISEMI DISCEI Le defiizioi e le proprietà date fio ad ora circa i segali cotiui valgoo pari pari ache per i segali discreti. Evitiamo perciò di scedere ei dettagli. FUNZIONE DI COSS-COELZIONE Cosideriamo due segali geerici cotiui x(t) e y(t) (per esempio igresso e uscita di u sistema). Si defiisce fuzioe di cross-correlazioe tra x(t) e y(t) la fuzioe, ( t) x( τ + t) y( τ) dτ Si defiisce ivece fuzioe di cross-correlazioe tra y(t) e x(t) la fuzioe, ( t) y( τ t) x( τ) dτ Si può facilmete verificare che queste fuzioi soo legate dalla relazioe ( t) ( t),, utore: Sadro Petrizzelli

12 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 Le stesse defiizioi sussistoo ache per i segali discreti: si defiisce fuzioe di crosscorrelazioe tra x() e y() la fuzioe, ( ) x( m) y( m ) m Si defiisce ivece fuzioe di cross-correlazioe tra y() e x() la fuzioe, ( ) x( m + ) y( m) m Si verifica ache qui che ( ) ( ),, utocorrelazioe per segali di poteza INODUZIONE Sia dato u segale x(t) geerico: sappiamo che questo segale sarà u segale di poteza o ache segale a poteza fiita se risulta fiita e o ulla la quatità P + / lim x( t) / Sappiamo ache che u segale di poteza è sempre u segale ad eergia ulla, per cui ci troviamo i ua situazioe diversa da quella esamiata i precedeza, dove ivece era E fiito o ullo e P. Nel caso dei segali di eergia, abbiamo chiamato fuzioe di autocorrelazioe la fuzioe ( ) ( t) x( τ) x( t + τ) dτ otteuta come atitrasformata di Fourier dello spettro di eergia ( f). Qualcosa di molto simile si ha ache per i segali di poteza: i particolare, dato x(t) segale di poteza, si defiisce fuzioe di autocorrelazioe temporale la fuzioe + / ( τ) lim x( t) ( x( t τ) ) / utore: Sadro Petrizzelli

13 utocorrelazioe La trasformata di Fourier di questa fuzioe si idica col simbolo S (f) e prede il ome di spettro di poteza del segale x(t). Vediamo qualche proprietà di (τ) e della sua trasformata S (f). UOCOELZIONE EMPOLE E POENZ DI UN SEGNLE La prima proprietà che vogliamo far vedere è che l area sottesa dal segale S (f) è pari esattamete alla poteza associata al segale x(t), ossia che S ( f) df P Per defiizioe, abbiamo detto che + / ( τ) lim x( t) ( x( t τ) ) Calcolado (τ) i τ otteiamo + / / ( ) lim x( t) ( x( t) ) lim x( t) P / Ioltre, avedo detto che S (f) è la trasformata di Fourier di (τ), possiamo applicare la formula di atitrasformazioe di Fourier e scrivere che Calcolado ache queste per τ, si ottiee che jπfτ ( τ) S ( f) e df ( ) S ( f) df e quidi, avedo trovato prima che ()P, cocludiamo che S ( f) df P + / / N.B. Facciamo osservare come questo risultato è assolutamete aalogo a quello trovato per i segale ad eergia: i quel caso, l area sottesa dallo spettro di eergia, cioè dalla trasformata di Fourier della fuzioe di autocorrelazioe, era l eergia del segale 3 utore: Sadro Petrizzelli

14 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 UOCOELZIONE EMPOLE E SISEMI LINEI EMPO-INVINI Sia dato sempre x(t) segale di poteza: suppoiamo che esso etri i igresso ad u sistema lieare tempo-ivariate, il quale produce di cosegueza ua uscita y(t). Vogliamo ricavare la fuzioe di autocorrelazioe dell uscita y(t). Data la liearità e la tempo-ivariaza del sistema, sappiamo che esso può essere caratterizzato dalla fuzioe h(t) di risposta all impulso, la quale ci cosete di scrivere la relazioe y( t) x( t) h( t) h( τ) x( t τ) dτ Ci mettiamo ell ipotesi che quell itegrale coverga, il che equivale a dire che certamete y(t) risulta essere ua fuzioe reale. E facile dimostrare, per esempio, che questo certamete accade quado il sistema è stabile. U altro problema che si poe è il seguete: y(t), risposta del sistema al segale di poteza x(t), è a sua volta u segale di poteza? Suppoiamo che lo sia. Per defiizioe, la fuzioe di autocorrelazioe temporale di y(t) è allora + / ( τ) lim y( t) ( y( t τ) ) / l posto di y(t) sostituiamo proprio l itegrale di covoluzioe di prima, co l accortezza di cambiare i omi alle variabili ode evitare cofusioe: + / ( τ) lim h( u) x( t u) du h( v) x(( t τ) v) dv / Nell ultimo itegrale, possiamo portar detro l operatore di complesso coiugato: + / ( τ) lim h( u) x( t u) du h ( v) ( x(( t τ) v) ) dv / desso mettiamo tutti i termii sotto u solo itegrale, ricordado, ovviamete, di rispettare il corretto ordie di itegrazioe: + / ( τ) lim h( u) x( t u) h ( v) ( x(( t τ) v) ) dudv / bbiamo duque da risolvere u itegrale triplo, i cui l ordie di itegrazioe è, du e dv. L itegrale più itero è i, per cui possiamo portar fuori i termii h(u) e h (v): + / ( τ) lim h( u) h ( v) x( t u) ( x(( t τ) v) ) dudv / utore: Sadro Petrizzelli 4

15 utocorrelazioe cora, dato che l itegrale itermedio è i du, possiamo spostare ulteriormete il termie h ( v) : + / ( τ) lim h ( v) h( u) x( t u) ( x(( t τ) v) ) dudv / desso, portiamo il sego di limite ed il termie / davati all itegrale più itero: + / ( τ) h ( v) h( u) lim x( t u) ( x(( t τ) v) ) dudv / I questo itegrale più itero, se facciamo il cambio di variabile st-u, otteiamo + / ( τ) h ( v) h( u) lim x( s) ( x( s+ u τ v) ) dudv / Dato che s+u-τ-v s - (τ+v-u), si può osservare come tutto il termie tra paretesi quadre sia, per defiizioe, (τ+v-u), per cui ( τ) h ( v) h( u) ( τ + v u) dudv + / / Ora, l itegrale più itero o è altro che il prodotto di covoluzioe tra h(τ+v) e (τ+v), per cui ache il secodo itegrale se e va e resta [ ] ( τ) h ( v) h( τ + v) ( τ + v) dv + / / Ma questo itegrale o è altro che il prodotto di covoluzioe tra la fuzioe h(-τ) e la fuzioe h( τ) ( τ ), per cui possiamo cocludere che [ ] ( τ) h ( τ) h( τ) ( τ) I coclusioe, l autocorrelazioe dell uscita y(t) del ostro sistema (lieare tempo-ivariate) è legata all autocorrelazioe dell igresso x(t) dalla relazioe ( τ) ( τ) h ( τ) h( τ) (si ricordi che il prodotto di covoluzioe è commutativo e associativo). N.B. cora ua volta, facciamo osservare che il risultato appea otteuto è idetico a quello otteuto el caso dei segali ad eergia 5 utore: Sadro Petrizzelli

16 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 Questa stessa relazioe può essere espressa ache el domiio della frequeza: ifatti, trasformado ambo i membri secodo Fourier e ricordado che [ τ ] [ τ ] Fourier ( ) S ( f) Fourier ( ) S ( f) [ τ ] Fourier h ( ) H ( f) abbiamo che S ( f) S ( f) H( f) UOCOELZIONE EMPOLE COME DENSIÀ DI POENZ bbiamo detto che la fuzioe S (f), trasformata di Fourier della fuzioe di autocorrelazioe temporale (τ) del segale x(t) (a poteza fiita), prede il ome di spettro di poteza del segale x(t). Questa stessa fuzioe ha ache il sigificato di ua desità di poteza relativamete al segale x(t) e vogliamo adesso vedere da che cosa discede questo ome. Ua spiegazioe matematica di questo fatto sarà data quado si parlerà, ell ambito della probabilità, di processi stocastici stazioari applicati ai sistemi lieari; ivece, ua spiegazioe ituitiva più che matematica cosiste el far vedere che, dato il segale x(t) i igresso al sistema e data la sua trasformata (f), i u itervallo di frequeza [f,f + f], la poteza associata ad x(t) è data da proprio da S ( f) f. Cosideriamo u sistema lieare tempo-ivariate, la cui fuzioe di trasferimeto (o fuzioe di risposta i frequeza) abbia il seguete adameto: H(f) f f + f L effetto di questo sistema sull igresso x(t) è duque quello di lasciar passare, ialterata, solo quella parte di segale compresa ell itervallo di frequeza [f,f + f]. bbiamo prima trovato che sussiste la relazioe S ( f) S ( f) H( f). I questo caso particolare, essa equivale a S ( f) S ( f) f f, f + f [ ] utore: Sadro Petrizzelli 6

17 utocorrelazioe Vediamo quato vale la poteza associata all uscita y(t): i base alla prima proprietà della fuzioe di correlazioe temporale, abbiamo che P S ( f) df I base adesso alla relazioe quell itegrale diveta [ ] S ( f) S ( f) f f, f + f f + f P S ( f) df f questo puto, ricordado che P S ( f) df è evidete che l itegrale di prima è la poteza dp associata al segale x(t) ell itervallo [f,f + f], per cui, sfruttado ua ota proprietà degli itegrali defiiti, possiamo scrivere che dp S ( f) f, da cui apputo il sigificato di desità di poteza per la fuzioe S (f). utocorrelazioe per segali periodici DEFINIZIONE Sappiamo che i segali periodici soo dei segali ad eergia ulla, ma, i geerale, o sappiamo molto sulla loro poteza, salvo il fatto che la possiamo calcolare mediate la formula P t + t x( t) Nel seguito, però, facciamo l ipotesi di trattare solo segali periodici a poteza fiita. bbiamo visto prima che si defiisce fuzioe di autocorrelazioe temporale per u segale x(t) a poteza fiita la fuzioe + / ( τ) lim x( t) ( x( t τ) ) / Ci propoiamo adesso di trovare ua espressioe più semplice di (τ) i cosegueza della periodicità di x(t). 7 utore: Sadro Petrizzelli

18 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 Itato, suppoiamo che il periodo del segale x(t) sia : allora il termie + / / ( τ ) x( t) x( t ) può essere riscritto ella forma i modo da avere k + k / k / ( τ ) x( t) x( t ) + k / ( τ) lim x( t) ( x( t τ) ) k k k / Ora, i base ad ua proprietà degli itegrali, l itegrale oggetto di quel limite può essere calcolato come k volte l itegrale stesso esteso, però, ad solo periodo: quidi + k / ( ) lim x( t) ( x( t )) lim ( ) k k k x ( t ) x ( t τ τ τ) k k + / k / + / / lim x( t) ( x( t τ) ) x( t) ( x( t τ) ) k / + / / Possiamo duque cocludere che la fuzioe di correlazioe temporale per u segale periodico, di periodo, è data da + / ( τ) x( t) ( x( t τ) ) / Ovviamete, ache per questi segali, la trasformata di Fourier di (τ) è lo spettro di poteza. POENZ DI UN SEGNLE PEIODICO Sulla base della defiizioe appea data, vediamo quato vale la poteza P del ostro segale x(t) periodico a poteza fiita. bbiamo i precedeza dato per buoa la seguete formula: P t + t x( t) (dove era il periodo del segale). Ioltre, quado abbiamo itrodotto il cocetto di sviluppo i serie di Fourier di u segale periodico, abbiamo dimostrato la validità di quest altra relazioe: utore: Sadro Petrizzelli 8

19 utocorrelazioe P x dove gli x soo apputo i coefficieti dello sviluppo. desso, itediamo dimostrare questa relazioe, facedo uso del cocetto di fuzioe di autocorrelazioe. Essedo x(t) periodico, possiamo esprimerlo sotto forma di sviluppo i serie di Fourier: usado la forma espoeziale del suddetto sviluppo, abbiamo perciò che x( t) x e jπf t dove ricordiamo che f / e dove è il periodo di x(t). Usado questa espressioe di x(t), vediamo quato vale (τ): ( τ) + / / jπf t jπf ( t τ) x e x e Per comodità, chiamiamo m l idice della secoda sommatoria: ( τ) + / / jπf t jπfm ( t τ) x e x me m Portado detro il sego di sommatoria l operatore complesso coiugato abbiamo ( τ) + / / jπf t jπfm ( t τ) x e x me m Portado adesso fuori i due segi di sommatoria abbiamo ( τ) + / m / jπft jπfm ( t τ) x e x e m Portado fuori dal sego di itegrale i termii costati ( τ) + / jπfmτ jπft jπfmt x x e e e m m / 9 utore: Sadro Petrizzelli

20 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 L itegrale rimasto è stato risolto già i precedeza: esso vale quado m e altrimeti, per cui possiamo cocludere che ( τ) x e jπf τ Questa è u altra espressioe acora di (τ) per segali periodici. I particolare, essa è molto comoda ai fii della valutazioe della poteza associata ad x(t): si ha ifatti che P ( τ ) x Questo è u risultato che avevamo già trovato per altra via, parlado proprio dello sviluppo i serie di Fourier e sfruttado le sue proprietà. Come ultima osservazioe, calcoliamo la trasformata di Fourier di (τ) espressa i quel modo: ricordado che la trasformata del termie espoeziale o è altro che u impulso traslato, abbiamo evidetemete che δ S ( f) x ( f f ) ossia che lo spettro di poteza di u segale periodico a poteza fiita è ua successioe di impulsi. SEGNLE PEIODICI DI POENZ E SISEMI LINEI EMPO-INVINI Sia dato u segale x(t) periodico a poteza fiita. Suppoiamo di applicare questo segale i igresso ad u sistema lieare tempo-ivariate la cui fuzioe di trasferimeto sia H(f). Se suppoiamo ache che sia l igresso x(t) sia la corrispodete uscita y(t) ammettao trasformata di Fourier, abbiamo i precedeza trovato che sussiste la relazioe S ( f ) S ( f ) H( f ), la quale si ottiee trasformado secodo Fourier la relazioe ( τ) ( τ) h( τ) h ( τ). bbiamo ache trovato che, se x(t) è periodico, il suo spettro di poteza S (f) è esprimibile mediate la formula δ S ( f ) x ( f f ) dove gli x soo i coefficieti del suo sviluppo i serie di Fourier (e quidi f /). dado a sostituire questa espressioe i quella dello spettro di poteza di y(t), otteiamo quidi che S ( f ) H( f ) x δ( f f ) Portado detro la sommatoria la fuzioe di trasferimeto dell eergia H( f), otteiamo utore: Sadro Petrizzelli

21 utocorrelazioe S ( f ) H( f ) x δ( f f ) Ma il prodotto di ua fuzioe (i questo caso H( f) ) per u impulso traslato è a sua volta u impulso di area pari al valore che la fuzioe assume el puto di applicazioe dell impulso, per cui possiamo cocludere che S ( f ) H( f ) x δ( f ) ESEMPIO: UOCOELZIONE PE IL COSENO Cosideriamo il segale x( t) cos( πf t + ) ϕ (dove ovviamete la frequeza del segale è f / ). Calcoliamo la fuzioe di correlazioe, la poteza e lo spettro di eergia di questo segale. Il puto di parteza, trattadosi di u segale periodico, è la determiazioe del suo sviluppo i serie di Fourier: questa determiazioe, i questo caso particolare, è semplice e o implica alcu calcolo i quato, applicado le formule di Eulero, abbiamo che x t e e e ( ) + e jϕ πf t jϕ πf t Questo sigifica che i coefficieti dello sviluppo soo x x x e jϕ e jϕ ± llora, per calcolare lo spettro di eergia, ci basta applicare la formula che i questo caso dà δ S ( f ) x ( f f ) S ( f ) x ( f f ) + x ( f f ) f + δ δ δ + δ f 4 4 Per quato riguarda la poteza, possiamo calcolarla i vari modi: il primo è ovviamete la defiizioe, che, per segali periodici, è P x t ( ) utore: Sadro Petrizzelli

22 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 Sostituedo ad x(t) la sua espressioe otteiamo P ( f t + ) cos π ϕ e quidi basta risolvere quell itegrale. U secodo modo è quello di cosiderare che la poteza associata ad x(t) è pari all area sottesa dal suo spettro di poteza, ossia Nel ostro caso, abbiamo perciò che P S ( f ) df P f + f df f df f df δ δ δ δ U altro modo acora è quello di utilizzare la relazioe P x Nel ostro caso abbiamo che P x x e jϕ e jϕ U altro modo acora sarebbe quello di calcolarci la fuzioe di correlazioe (τ) e di valutarla i τ. diamo proprio a valutare la fuzioe di autocorrelazioe; ache qui i metodi possibili soo due: il primo è ovviamete quello di applicare la defiizioe; il secodo è ivece quello di atitrasformare lo spettro di poteza S (f). pplichiamo etrambi i metodi, comiciado dalla defiizioe: essa dice itato che + / ( τ) x( t) ( x( t τ) ) / Sostituedo ad x(t) la sua espressioe e, cosiderado che si tratta di u segale reale, elimiado l operatore di complesso coiugato, possiamo scrivere che + / ( τ) cos( πf t + ϕ) cos ( πf ( t τ) + ϕ) / utore: Sadro Petrizzelli

23 utocorrelazioe irado fuori dall itegrale le costati e sviluppado meglio l argometo del secodo Coseo abbiamo + / ( τ) cos( πf t + ϕ) cos( πf t πf τ + ϕ) / questo puto, l uico modo di semplificare l argometo dell itegrale è quello di applicare ua delle formule di prostaferesi e precisamete α + β α β cos cos cosα + cosβ Dobbiamo perciò trovare quato valgoo α e β el ostro caso: per esempio, impoedo che π π τ ϕ α + f t f + β πf t + ϕ α β si trova che 4πf t 4πf τ + ϕ α + β 4πf t + ϕ α β e, sottraedo membro a membro, si ottiee β πf τ α 4πf t πf τ + ϕ La formula dice quidi che 4πf t 4πf τ + ϕ 4πf t + ϕ cos cos cos + + cos per cui il ostro itegrale diveta + / ( 4πf t πf τ ϕ) ( πf τ) ( τ) cos( πf t πf τ + ϕ) + cos( πf τ) 4 / + / + / cos + + / ( 4πf t πf τ ϕ) cos( πf τ) / icordado che il Coseo è ua fuzioe pari, abbiamo che + / + / ( τ) cos( πf t πf τ + ϕ) + cos( πf τ) 4 / / 3 utore: Sadro Petrizzelli

24 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 Ma l argometo dell ultimo itegrale o dipede dalla variabile di itegrazioe, per cui + / ( τ) cos π π τ + ϕ + cos π τ / ( 4 f t f ) ( f ) Ci rimae da calcolare u solo itegrale: tuttavia, la fuzioe itegrada è u Coseo itegrato su u periodo, per cui l itegrale vale otoriamete : i coclusioe, la fuzioe di correlazioe per il ostro segale x(t) è ( τ) cos ( πf τ) ed è evidetemete u altro coseo. L altro metodo per calcolare questa fuzioe era quello di atitrasformare la fuzioe S ( f ) f + δ δ f Questa operazioe o è difficile, i quato basta ricordarsi di alcue proprietà della trasformata di Fourier: i particolare, i base alla liearità possiamo scrivere che ( τ) Fourier δ f + + Fourier f δ 4 4 L atitrasformata di u impulso uitario è pari ad (questo risultato è stato otteuto usado la proprietà di dualità e cosiderado che la trasformata dell impulso uitario è pari ach essa ad ); i questo caso, abbiamo impulsi traslati, per cui, i base alla proprietà di traslazioe i frequeza, dobbiamo itrodurre u termie espoeziale che tiee coto della traslazioe: quidi ( τ) π τ jπ τ j e + e 4 4 questo puto, applicado le formule di Eulero, otteiamo Naturalmete, si trova che ()P. jπ τ jπ τ e + e ( τ) cos π τ ( f ) utore: Sadro Petrizzelli 4

25 utocorrelazioe ESEMPIO: UOCOELZIONE PE IL SENO Calcoliamo adesso la fuzioe di correlazioe del segale (t) si( πf t + ϕ) La defiizioe dice che + / ( τ) x( t) ( x( t τ) ) / x. per cui, sostituedo ad x(t) la sua espressioe e cosiderado che si tratta di u segale reale (per cui si può elimiare l operatore di complesso coiugato), possiamo scrivere che + / ( τ) si( πf t + ϕ) si( πf ( t τ) + ϕ) / Sviluppado l argometo del secodo Seo, abbiamo + / ( τ) si( πf t + ϕ) si( ( πf t + ϕ) πf τ) + / / si( πf t + ϕ) [ si( πf t + ϕ) cos( πf τ) si( πf τ) cos( πf t + ϕ) ] / Scompoedo adesso la fuzioe itegrada, abbiamo + / ( τ) si( πf t + ϕ) si( πf t + ϕ) cos( πf τ) si( πf t + ϕ) si( πf τ) cos( πf t + ϕ) / Nel primo itegrale il Coseo o dipede dalla variabile di itegrazioe, per cui può essere portato fuori dall itegrale; lo stesso si può fare co il secodo Seo el secodo itegrale. Quidi + / + / / ( τ) cos( πf τ) si ( πf t + ϕ) si( πf τ) si( πf t + ϕ) cos( πf t + ϕ) / Verifichiamo adesso come il secodo itegrale sia ullo: + / / ( π ϕ) cos( π ϕ) si f t + f t + ( πf t + ϕ) ( πf t + ϕ) [ si( πf t ϕ) ] + / + / ( πf t + ϕ) ( πf t + ϕ) + / / + / / [ ] ( π ϕ) ( π ϕ) si f t + D si f t + [ si( πf t) cosϕ siϕ cos( πf t) ] [ si( π) cosϕ siϕ cos( π) si( π) cosϕ siϕ cos( π) ] + / + / + ( ) [ siϕ siϕ ] πf t + ϕ 5 utore: Sadro Petrizzelli

26 pputi di eoria dei Segali - Capitolo 6 Quidi, possiamo scrivere che + / ( τ) cos( πf τ) si ( πf t + ϕ) Questo itegrale si può risolvere sfruttado la relazioe si α cos( α) : i base ad essa, abbiamo ifatti che / + / ( τ) cos( πf τ) cos( πf t + ϕ) cos( πf τ) + cos( πf t + ϕ) 4 4 / + / / + / / Il secodo itegrale è ullo i quato la fuzioe itegrada è u Coseo e l itervallo di itegrazioe è u periodo: resta perciò + / ( τ) cos π τ cos π τ cos π τ ( f ) ( f ) ( f ) / Quidi, la fuzioe di correlazioe per il segale x( t) cos( πf t + ) ( τ) cos π τ ( f ) Osserviamo subito come si tratti dello stesso idetico risultato trovato per il segale x( t) si πf t + ϕ. ( ) ϕ è ESEMPIO Sia dato il seguete segale (reale periodico): / x(t) t 4 4 Ne vogliamo lo spettro di poteza, la fuzioe di correlazioe e la poteza. vedo a che fare co u segale periodico, il puto di parteza è sempre il suo sviluppo i serie di Fourier: x( t) x e jπf t utore: Sadro Petrizzelli 6

27 utocorrelazioe Questo sviluppo è stato calcolato già i precedeza e si era trovato che x(t) sic πf t e j Noto questo sviluppo, possiamo subito calcolarci quato vale lo spettro di poteza del segale x(t): applicado la formula geerale, abbiamo ifatti che S ( f ) sic ( f f ) δ Essedo il Seo cardiale ua fuzioe reale, possiamo ache scrivere che S ( f ) sic ( f f ) 4 δ Per il calcolo della fuzioe di autocorrelazioe, abbiamo sempre due modi e cioè applicare la defiizioe oppure atitrasformare S (f). Usado questo secodo metodo, dobbiamo acora ua volta applicare ua serie di proprietà della trasformata di Fourier: i base alla liearità, abbiamo che ( τ) sic Fourier ( f f ) 4 L atitrasformata di u impulso traslato δ(f-f ) è e j π f t [ δ ], per cui cocludiamo che ( τ) sic e 4 jπfτ L altro metodo era quello di applicare la defiizioe, ossia + / ( τ) x( t) ( x( t τ) ) / uttavia, per applicare questo metodo ci servoo evidetemete le espressioi di x(t) e di x(t-τ) ell itervallo [- /, /] e la cosa o risulta molto coveiete. Per cocludere, la poteza P è P ( ) sic 4 utore: SNDO PEIZZELLI sadry@iol.it sito persoale: succursale: 7 utore: Sadro Petrizzelli