Titolo della lezione. Dal campione alla popolazione: stima puntuale e per intervalli

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1 Titolo della lezioe Dal campioe alla popolazioe: stima putuale e per itervalli

2 Itroduzioe Itrodurre il cocetto di itervallo di cofideza Stima di parametri per piccoli e gradi campioi Stimare la proporzioe di idividui che possiedoo u determiato attributo

3 Alcui elemeti di base Popolazioe Campioe Parametri Statistiche campioarie µ X S N

4 V.C. Media Campioaria Variabile casuale Media Campioaria è quella variabile casuale costruita prededo i cosiderazioe tutte le possibili medie che possiamo calcolare a partire da tutti i possibili campioi di ua certa umerosità estraibili da ua determiata popolazioe. Si distribuisce come la curva ormale Ha media pari alla media vera della popolazioe Ha variaza pari alla variaza vera della popolazioe diviso la umerosità campioaria E( X) = µ VAR s.q.m. ( X) ( X) = =

5 Media Campioaria e Curva Normale E( X) = µ 0,95 α = 0,05 + 0,05 = 0,05 s.q.m. ( X) = -1,96 +1,96 x µ P = ( 1,96 z + 1,96 ) = P 1,96 + 1,96 0, 95 X µ P 1,96 + 1,96 = 0,95 P µ 1,96 X µ + 1,96 = 0,95

6 Itervallo di probabilità P µ 1,96 X µ + 1,96 = 0,95 0,95 α/ = 0,05 α/ = 0,05 µ 1,96 µ µ + 1,96

7 Media Campioaria e Curva Normale - X i i P(X i ) , , , , , , , , , , ,04 5 1,00 µ = 150 = 0 P µ 1,96 X µ + 1,96 = 0, P 150 1,96 X ,96 = 0,95 ( 150 7,7 X ,7) 0, 95 P = ( 1,8 X 177,7) 0, 95 P = 3 ( 1,8 X 177,7) = 0, 9 P = 5

8 Itervalli di probabilità e di cofideza µ z X µ + z α = P 1 α α 0,90 (90%) al quale corrispode u valore di z pari a ± 1,65 0,95 (95%) al quale corrispode u valore di z pari a ± 1,96 0,99 (99%) al quale corrispode u valore di z pari a ±,58 Itervallo di probabilità o utile ella realtà (o coosciamo µ!) Dobbiamo rovesciare il ragioameto X z µ X + z α α INTERVALLO DI CONFIDENZA

9 Itervallo di Cofideza X z µ X + z α α µ =150 = 0 ( 1 α ) = 0,95 z = 1, 96 α = AC x = ,96 µ , ,7 µ ,7 DD x = ,96 µ ,96 13,8 µ 187, ,8 µ 16,7 BD x = ,96 µ ,96 14,8 µ 197,7 0

10 Itervallo di Cofideza - µ = ,8 X = ,7 13,8 X = ,7 14,8 X = ,7 10,8 X = ,7 15,8 X = ,7 9,8 X =10 147,7

11 Itervallo di Cofideza per Gradi Campioi I realtà, il modello itrodotto i precedeza è valido sotto opportue codizioi: il campioe viee estratto da popolazioi elle quali il carattere cosiderato si distribuisce come ua Normale coosciamo lo scarto quadratico medio della popolazioe (ricordate? Nella formula precedete abbiamo utilizzato ) Teorema del limite cetrale > s X z µ X + z α α s

12 Itervallo di Cofideza per Gradi Campioi - Esercizio Vogliamo cooscere l età media di u gruppo di idividui; estraiamo u campioe casuale semplice di 100 soggetti da tale popolazioe, e calcoliamo u età media del campioe pari a 1,6 ai. Da ua precedete idagie cesuaria, sappiamo che lo scarto quadratico medio della popolazioe è pari a 5,1. Si costruisca u itervallo di cofideza ad u livello di fiducia del 95% per la stima dell età media della popolazioe. X z µ X + z α α 5,1 1,6 1,96 µ 1,6 + 1, ,6 1 µ 1, ,6 µ,6 5,1 100 = 100 x = 1,6 = 5, 1 1 α = 0,95 z = 1, ( ) 96 α

13 Itervallo di Cofideza per Gradi Campioi - Esercizio ( 1 α) = 0,99 z =, 58 X z µ X + z α α 5,1 1,6,58 µ 1,6 +, ,6 1,31 µ 1,6 + 1,31 0,9 µ,91 α 5, % 0,6 µ,6 99% 0,9 µ, 91 0% = 100 x = 1,6 = 5, 1 1,47 µ 1,73 ( 1 α) = 0,0 z = 0, 54 1,47 µ α 1,73

14 Esercizio Si vuole stimare il tempo medio di risposta ad u test psicoattitudiale al quale soo stati sottoposti gli studeti di ua certa Facoltà. Per tale motivo, viee estratto u campioe casuale di 150 studeti, dai quali risulta u tempo medio di risposta pari a 4 miuti, co uo scarto quadratico medio di 3 miuti. Costruire u itervallo di cofideza, ad u livello di fiducia del 95% per il tempo medio di risposta al test. s s X z µ X + z α α 3 4 1,96 µ 4 + 1, ,96 µ 4 + 1,96 1,5 1,5 4 0,48 µ 4 + 0,48 3,5 µ 4,48 3 = 150 ; x = 4 ; s = 3 ( 1 α) = 0,95 z = 1, 96 = ,96 µ 4 + 1, ,81 µ α 4,

15 Esercizio 3 Si vuole stimare il coteuto di colesterolo el sague i u gruppo di cai che soo stati sottoposti ad u alimetazioe ad alto coteuto di grassi. Viee estratto u campioe di 64 cai, dal quale risulta ua quatità media pari a 350 mg per 100 ml di sague. Da precedeti studi, si sa che lo scarto quadratico medio è pari a 100 mg. Rispodere alle segueti domade: 1) Calcolare u itervallo di cofideza al livello di fiducia del 95% per la preseza media di colesterolo el sague; ) Possoo i medici affermare che la quatità media di colesterolo è pari a 400 mg? X z µ X + z α α ,96 µ , ,5 µ 374, = 64 ; x = 350 ; = 100 ( 1 α ) = 0,95 z = 1, 96 α

16 Itervallo di Cofideza per Piccoli Campioi Quado abbiamo a che fare co campioi di bassa umerosità, e dal mometo che, ella maggior parte dei casi, la variaza della popolazioe è u parametro scoosciuto, o sarà possibile fare riferimeto alla curva ormale come modello geeratore del feomeo che stiamo cosiderado (ossia, la stima per itervallo della media aritmetica della popolazioe) X µ S T-STUDENT co (-1) Gradi di Libertà X µ t + t = 1 α α / α / S P s X t µ X + t α α s

17 Curva Normale e Curva T-Studet Normale t-studet

18 Valori critici della T-Studet Area ella coda destra Gradi di libertà 0,50 0,100 0,050 0,05 0,010 0, ,0000 3,0777 6,3137 1,706 31,810 63,6559 0,8165 1,8856,900 4,307 6,9645 9, ,7649 1,6377,3534 3,184 4,5407 5, ,7407 1,533,1318,7765 3,7469 4, ,767 1,4759,0150,5706 3,3649 4, ,7176 1,4398 1,943,4469 3,147 3, ,7111 1,4149 1,8946,3646,9979 3, ,7064 1,3968 1,8595,3060,8965 3, ,707 1,3830 1,8331,6,814 3, ,6998 1,37 1,815,81,7638 3, ,6794 1,987 1,6759,0086,4033, ,6780 1,938 1,6669 1,9944,3808, ,6776 1,9 1,6641 1,9901,3739, ,6770 1,901 1,660 1,9840,364, ,6767 1,893 1,6588 1,9818,3607, ,6765 1,886 1,6576 1,9799,3578, ,6761 1,87 1,6551 1,9759,3515, ,6757 1,858 1,655 1,9719,3451, ,6745 1,816 1,6449 1,9600,364,5758 ( 1 α) = 0, 95 α = 0,05 α / = 0,05

19 Itervallo di Cofideza per Piccoli Campioi - Esercizio Si vuole cooscere il peso medio dei eoati veuti alla luce i u certo ospedale. Si estrae u campioe casuale di 16 elemeti, e si riscotra u peso medio di 3,4 kg, co ua variaza campioaria pari a 0,464. Costruire u itervallo di cofideza ad u livello di fiducia del 99% per la stima del peso medio della popolazioe di eoati. = 16 x = 3, 4 s = 0, 464 s = s = 0,464 = 0, 68 Area ella coda destra Gradi di libertà 0,5 0,10 0,05 0,05 0,01 0, ,0000 3,0777 6,3137 1,706 31,810 63,6559 0,8165 1,8856,900 4,307 6,9645 9, ,7649 1,6377,3534 3,184 4,5407 5, ,7407 1,533,1318,7765 3,7469 4, ,6955 1,356 1,783,1788,6810 3, ,6938 1,350 1,7709,1604,6503 3, ,694 1,3450 1,7613,1448,645, ,691 1,3406 1,7531,1315,605, ,6901 1,3368 1,7459,1199,5835, ,689 1,3334 1,7396,1098,5669,898 ( 1 α) = 0, 99 α / = 0,005 g.d.l. = 16 1 = 15

20 Itervallo di Cofideza per Piccoli Campioi Esercizio = 16 x = 3, 4 s = 0, 464 s = s = 0,464 = 0, 68 ( α) = 0,99 t, = α ; 15 s X t µ X + t α α 0,68 0,68 3,4,947 µ 3,4 +, ,4 0,5 µ 3,4 + 0,5,9 µ 3,9 s

21 Itervallo di Cofideza per la stima di ua proporzioe Quado vogliamo stimare ua proporzioe (o, i altre parole, la percetuale di uità statistiche che presetao u determiato attributo) è possibile estrarre u campioe dalla popolazioe di riferimeto e calcolare tale proporzioe all itero del campioe E possibile dimostrare che, se potessimo calcolare tutte le proporzioi all itero di tutti i campioi di ua certa umerosità estraibili da ua determiata popolazioe, tali proporzioi dao origie ad ua variabile casuale che si distribuisce come ua curva ormale co valore atteso pari a π e variaza pari a π(1-π)/ p π π ( 1 π) per sufficietemete grade [almeo pari a 5 sia il prodotto π, sia il prodotto (1-π)] si distribuisce come ua V.C Normale stadardizzata

22 Stima di ua proporzioe - Esercizio Si vuole cooscere la proporzioe di gatti che soo stati sottoposti a tutte le vacciazioi previste dalla ormativa. A tale scopo, viee effettuata u idagie su 80 felii, 60 dei quali risultao i regola. Si determii l itervallo di cofideza, ad u livello di fiducia del 95%, per la stima della proporzioe di gatti che soo i regola co le vacciazioi obbligatorie. ( p) p( 1 p) p 1 p z π p + z α α 0,75 0,5 0,75 0,5 0,75 1,96 π 0,75 + 1, ,75 1,96 0,048 π 0,75 + 1,96 0,048 0,75 0,09 π 0,75 + 0,09 0,66 π 0,84 = 80 ; 60 p = = 0, ( 1 p) = 1 0,75 = 0, 5 p = 80 0,75 = 60 ( 1 p) = 80 0,5 0 = z 0, 05 = 1,96

23 Esercizio I u campioe di 400 persoe alle quali è stato sommiistrato u vaccio, 136 di esse hao avuto effetti collaterali di u certo rilievo. Determiare u itervallo di cofideza co u livello di fiducia del 95%, della proporzioe della popolazioe che soffre di tali effetti collaterali. ( p) p( 1 p) p 1 p z π p + z α α 0,34 1,96 0,34 0, π 0,34 + 1,96 0,34 0, ,34 1,96 0,037 π 0,34 + 1,96 0,037 0,34 0,046 π 0,34 + 0,046 0,94 π 0,386 = 400 p = = 0,34 ( 1- p) = 1 0,34 = 0, 66 p = 400 0,34 = 136 ( 1 p) = 400 0,66 64 = ( 1 α ) = 0,95 z = 1, 96 α

24 Esercizio 3 U certo farmaco è usato ella cura dell ipertesioe. I u test cliico, il 3,% di 1 cosumatori del farmaco ha lametato vertigii. a) si costruisca u itervallo di cofideza al 99% per la stima della percetuale di cosumatori di ZIAC che hao avuto vertigii. b) Nella popolazioe di riferimeto, i soggetti (che o assumevao il farmaco) soffroo di vertigii ell 1,8% dei casi; sulla base di risultati relativi al puto (a), che cosa si può cocludere circa le vertigii come effetto collaterale del farmaco? ( p) p( 1 p) p 1 p z π p + z α α ( 0,968) 0,03( 0,968) 0,03 0,03,58 π 0,03 +,58 1 0,0014 π 0,065 0,14% π 1 6,5% = 1 p = 0,03 (1-p) = 0,968 p = 1 x 0,03 = 7,07 (1-p) = 1 x 0,968 = 13,98 ( α) = 0,99 z,58 1 α =

25 Esercizio U azieda farmaceutica vuole stimare la quatità di pricipio attivo presete i u certo mediciale. Viee estratto u campioe casuale di 5 flacoi del farmaco, e si trova ua quatità media di pricipio attivo el campioe pari a 0,8 mg, co ua variaza pari a 1,44. Costruire u itervallo di cofideza ad u livello di fiducia del 95% per la stima della quatità di pricipio attivo presete el mediciale. Area ella coda destra Gradi di libertà 0,5 0,10 0,05 0,05 0,01 0, ,0000 3,0777 6,3137 1,706 31,810 63,6559 0,8165 1,8856,900 4,307 6,9645 9, ,7649 1,6377,3534 3,184 4,5407 5, ,7407 1,533,1318,7765 3,7469 4, ,6864 1,33 1,707,0796,5176,8314 0,6858 1,31 1,7171,0739,5083, ,6853 1,3195 1,7139,0687,4999, ,6848 1,3178 1,7109,0639,49, ,6844 1,3163 1,7081,0595,4851, ,6840 1,3150 1,7056,0555,4786,7787 = 5 x = 0,8 s = 1,44 s = s ( 1 α) = 0, 95 α = 0,05 α / = 0,05 = 1, g.d.l. = 5 1 = 4

26 Esercizio s s X t µ X + t α α ( α) = 0,95 t, = α ; 4 1, 1, 0,8,0639 µ 0,8 +, ,8,0639 0,4 µ 0,8 +,0639 0,4 0,8 0,49 µ 0,8 + 0,49 = 5 x = 0,8 s = 1,44 s = s = 1, 0,31 µ 1,9

27 Determiazioe della umerosità campioaria per la stima della media x ± z α/ ε = z α/ Moltiplicado etrambi i membri per la quatità: ε = z α/ Dividedo etrambi i membri per la quatità: ε = z α/ ε z = α ε

28 Determiazioe della umerosità campioaria per la stima della media L età degli studeti di ua certa Facoltà si distribuisce come la v.c. ormale, co variaza pari a 45. Quale umerosità campioaria miima è ecessaria per stimare u itervallo di cofideza dell età della popolazioe, utilizzado u livello di fiducia pari al 95% ed accettado u errore massimo ammissibile pari a 0,7 ai? z ε ( 1,96 ) ( 0,7) 45 3, ,49 = α/ = = = 35,8

29 Determiazioe della umerosità campioaria per la stima della proporzioe z z π( 1 π) = α = α ε ε Si vuole stimare la percetuale di idividui affetti da ua certa patologia. Determiare la umerosità campioaria miima ecessaria affiché la proporzioe della popolazioe cada i u itervallo di livello di fiducia pari al 90% ed accettado u errore massimo ammissibile pari al 4% z π ( 1 π) ( 1,65) = α = ε 0,5 (1 0,5) ( 0,04) =,7 0,5 0,0016 = 45

30 Riferimeti sul testo di Triola M. M., Triola M. F. Statistica per le disciplie biosaitarie, Pearso-Addiso Wesley Paragrafi da studiare: 6.1, 6., 6.3, 6.4. Esercizi alla fie dei paragrafi.