UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO. Corso di Risk Management

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Facoltà di Igegeria Corso di Risk Maagemet Prof. Filippo Stefaii Matrice di variaze-covariaze A.A. 009/00 Corso 600 Corso di Laurea Specialistica i Igegeria Edile Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria

2 Covariaza Covariaza = è ua misura di quato due strumeti fiaziari variao assieme. Se due strumeti fiaziari tedo a variare isieme (se il redimeto di uo è sopra il suo valore atteso allora ache il redimeto dell altro tede ad essere sopra il proprio valore atteso allora la covariaza sarà positiva. I formule: cov( y y ( i ( yi y i y y dove: y = covariaza tra lo strumeto fiaziario e lo strumeto fiaziario y = media aritmetica dello strumeto fiaziario X y = media aritmetica dello strumeto fiaziario Y Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria

3 Matrice di variaze-covariaze Dato u portafoglio co strumeti fiaziari la matrice variazecovariaze è ua matrice. I valori della covariaza tra ciascua delle coppie di strumeti fiaziari possoo essere scritti i forma compatta i ua matrice detta di variaze-covariaze: diversified var( cov( cov( cov( var( cov( cov( cov( var( Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag 3 Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria

4 Proprietà La matrice di covariaza è quadrata e simmetrica essedo cov(y = cov(y cov( y cov( y Preseta lugo la diagoale pricipale i valori delle variaze dato che: cov( Le uità di misura della covariaza soo quelle di ed y. Ivece la cov( y correlazioe è ua misura adimesioale della dipedeza lieare. Se calcoliamo la covariaza sulla base dei redimeti percetuali dei due strumeti fiaziari ed y è adimesioale. Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag 4 Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria

5 Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag 5 Matrice di variaze-covariaze diversified Riscriviamo la matrice variaze-covariaze scompoedo la covariaza: diversified

6 Variaza e-ate Cosideriamo u portafoglio composto da strumeti fiaziari. La variaza e-ate del portafoglio è il prodotto matriciale tra il vettore dei pesi e la matrice variaze-covariaze. Quale matrice variaze-covariaze usare? Si etra el problema della stima della matrice: il modo più grezzo è quello di utilizzare i dati storici u modo arbitrario è quello di quatificare le ostre aspettative su variaze e covariaze per u modo più sofisticato si veda il capitolo Covariace matri estimatio di Giorgio de Satis Bob Litterma Adrie Vesval e Kurt Vikelma el libro Moder ivestmet maagemet: a equilibrium approach di Robert B. Litterma Goldma Sachs Asset Maagemet. Quatitative Resources Group E-post la variaza del portafoglio sarà quella osservata ella realtà. Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag 6 Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria

7 Calcolo della deviazioe stadard e-ate co la matrice di variazecovariaze Sia w il vettore coloa ( dei pesi degli strumeti fiaziari i portafoglio Sia w il vettore trasposto ( Sia S la matrice di variaze-covariaze matrice ( Sia T l orizzote temporale di riferimeto La deviazioe stadard del portafoglio è: e ate del portafoglio T w' w Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag 7 Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria

8 Calcolo del VaR co la matrice di variaze-covariaze Sia N la fuzioe di desità di probabilità ormale stadardizzata. Sia (-a% l itervallo di cofideza e sia T l orizzote temporale di riferimeto Su orizzoti temporali di riferimeto brevi (di solito T= gioro possiamo approssimare il Value at Risk co la seguete formula: VaR N ( N ( T w' w Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag 8 Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria

9 Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag 9 Matrice di variaze-covariaze udiversified I ua situazioe di crisi di mercato le correlazioi tedoo a salire. Si assume allora che i redimeti dei titoli i portafoglio siao perfettamete correlati e che si muovao cotemporaeamete ella peggior direzioe Possiamo modificare la matrice di variaze-covariaze per studiare che cosa può succedere al portafoglio i situazioi i cui le correlazioi tra i titoli salgoo fio a divetare tutte uguali ad. Per il calcolo dell udiversified VaR bisoga modificare la matrice di variaze-covariaze el seguete modo: udiversified

10 Esempio di Matrice di Variaze-Covariaze Storica Matrice di variaze-covariaze tra i tassi di cambio di alcue divise cotro USD (periodo dal 3//007 al 6/04/00 EUR Curcy JPY Curcy GBP Curcy SEK Curcy NOK Curcy CHF Curcy MXN Curcy HUF Curcy ZAR Curcy BRL Curcy PLN Curcy TRY Curcy EUR Curcy JPY Curcy GBP Curcy SEK Curcy NOK Curcy CHF Curcy MXN Curcy HUF Curcy ZAR Curcy BRL Curcy PLN Curcy TRY Curcy 000% -000% 000% -0004% -0004% -000% -000% -0005% -0003% -000% -0004% -000% -000% 0007% 0000% 0000% 0000% 000% -0003% -000% -0003% -0003% -000% -000% 000% 0000% 0003% -0003% -0003% -000% -000% -0004% -0003% -000% -0004% -000% -0004% 0000% -0003% 000% 0008% 0003% 0004% 00% 0008% 0005% 0008% 0004% -0004% 0000% -0003% 0008% 000% 0003% 0004% 000% 0008% 0005% 0008% 0004% -000% 000% -000% 0003% 0003% 000% 000% 0004% 000% 000% 0003% 000% -000% -0003% -000% 0004% 0004% 000% 0009% 0006% 0007% 0006% 0005% 0004% -0005% -000% -0004% 00% 000% 0004% 0006% 009% 00% 0007% 00% 0007% -0003% -0003% -0003% 0008% 0008% 000% 0007% 00% 007% 0008% 0008% 0007% -000% -0003% -000% 0005% 0005% 000% 0006% 0007% 0008% 000% 0005% 0005% -0004% -000% -0004% 0008% 0008% 0003% 0005% 00% 0008% 0005% 00% 0005% -000% -000% -000% 0004% 0004% 000% 0004% 0007% 0007% 0005% 0005% 0005% Risk Maagemet 009/00 Matrice di variaze-covariaze pag 0 Uiversità degli Studi di Bergamo Facoltà di Igegeria