STATISTICA INFERENZIALE

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1 STATISTICA INFERENZIALE 6

2 INFERENZA STATISTICA Isieme di metodi che cercao di raggiugere coclusioi sulla popolazioe, sulla base delle iformazioi coteute i u campioe estratto da quella popolazioe. INFERENZA STATISTICA CAMPIONE POPOLAZIONE 7

3 LA STIMA Processo che cosiste ell utilizzare i dati campioari per calcolare ua data statistica (media, proporzioe, ), che verrà cosiderata u approssimazioe del corrispodete parametro ella popolazioe. POPOLAZIONE Parametri µ; σ;... CAMPIONE Statistiche (stime di parametri) x ; s;... STIMA PUNTUALE Il parametro di iteresse è stimato attraverso u uico valore (putuale). Esempio: la media campioaria è ua stima putuale della media di popolazioe. STIMA INTERVALLARE Viee calcolato u itervallo di valori etro cui è probabile che rietri il vero valore del parametro. 8

4 STIMA E STIMATORI STIMA: valore calcolato dai dati campioari. STIMATORE: regola, formula, che idica come calcolare questo valore o stima. Esempio: Si vuole stimare la media µ della popolazioe. Stima putuale: x media campioaria Stimatore: x xi = formula per il calcolo di x STIMATORE NON DISTORTO Uo stimatore è buoo se è o distorto, cioè se il valore atteso* dello stimatore è uguale al valore del parametro. *valore atteso: valore medio dello stimatore, calcolato su tutti i possibili campioi da ua data popolazioe. 9

5 POPOLAZIONE CAMPIONATA E POPOLAZIONE DI RIFERIMENTO (O TARGET) POPOLAZIONE CAMPIONATA È la popolazioe campioata da cui si estrae realmete il campioe. POPOLAZIONE DI RIFERIMENTO (o TARGET) È la popolazioe a cui si vuole estedere l ifereza. Le due popolazioi o sempre coicidoo. Se coicidoo si possoo trarre coclusioi sulla popolazioe target, usado le teciche di ifereza statistica. Se o coicidoo si possoo trarre coclusioi sulla popolazioe target, solo sulla base di cosiderazioi o statistiche. 30

6 Esempio Si vuole valutare l efficacia di u certo metodo per il trattameto dell artrite reumatoide. Popolazioe target: tutti i pazieti affetti da artrite reumatoide. Popolazioe campioata: i pazieti affetti da artrite reumatoide visti i u certo ospedale. Le due popolazioi o coicidoo: si possoo trarre coclusioi sulla popolazioe target, solo sulla base di cosiderazioi o statistiche. N.B.: quato più le due popolazioi soo simili, tato più il ricercatore è portato ad estrapolare i risultati alla popolazioe target. Attezioe a o fare cosiderazioi arbitrarie. 31

7 INTERVALLI DI CONFIDENZA 3

8 INTERVALLO DI CONFIDENZA PER UNA MEDIA Scopo della ricerca Stima dell altezza media di tutti gli studeti dell Uiversità di Pavia. Attuazioe della ricerca Estrazioe di u campioe casuale di 35 studeti; x = 168, 9 cm ), calcolo della media campioaria ( usata come stima putuale della media µ della popolazioe. x (168,9 cm) STIMA PUNTUALE µ (168,9 cm) Domada. L altezza media calcolata sul campioe è esattamete uguale all altezza media di tutti gli studeti dell Uiversità? Domada. È possibile stabilire quato è attedibile questa stima putuale? 33

9 Cosiderazioe La procedura seguita è corretta: il campioameto è casuale; lo stimatore o è distorto. Tuttavia, a causa delle fluttuazioi casuali, è impossibile pretedere che la media campioaria sia esattamete uguale al valore vero ella popolazioe. L errore commesso, dovuto a fluttuazioi casuali, o è elimiabile. Come risolvere il problema? È possibile stimare la media della popolazioe o i modo putuale, ma co ua stima itervallare. STIMA INTERVALLARE.? < µ <? OD Limite iferiore Limite superiore Si costruisce u itervallo etro cui si può supporre sia coteuto il valore vero (fisso) della media della popolazioe. 34

10 COSTRUZIONE DI UNA STIMA INTERVALLARE Obiettivo Calcolare ua stima per itervallo della media di popolazioe µ di ua variabile X co distribuzioe ormale. Ricordiamo le caratteristiche della distribuzioe di campioameto della media: σ x ~ N µ x =µ ES= La media della distribuzioe di campioameto (e quidi la media della popolazioe) hao u valore igoto; essedo igota la media è impossibile posizioare la distribuzioe di campioameto sull asse x; si coosce, però, la media del campioe (stima putuale) e pertato è possibile posizioare arbitrariamete la distribuzioe sull asse x sulla base di tale media; attoro alla media campioaria costruiamo l itervallo compreso tra la media e ± errori stadard( si suppoe ota la variaza della popolazioe). L 1 x L 35

11 C 1 C C 7 C 8 C 9 C 10 Estraiamo dalla popolazioe d iteresse altri campioi di ugual dimesioe e costruiamo co il criterio precedete u itervallo attoro alla media di ciascuo. Avremo tati itervalli dalla forma media ± errori stadard, tutti di ugual ampiezza, e ciascuo cetrato attoro alla propria media. OD Domada Dove si collocao questi itervalli rispetto alla vera media della popolazioe? CAMPIONAMENTO RIPETUTO µ C 3 C 4 C 5 C 6 36

12 Cosideriamo l itervallo µ ± σ x costruito attoro alla vera media µ della popolazioe: qualuque sia il valore di µ, l itervallo cosiderato coterrà il 95% dei possibili valori di x I altre parole, il 95% degli itervalli della stessa forma, costruiti attoro ad ogi possibile valore di x, dovrebbe avere il cetro all itero dell itervallo µ ± σ x. I cocetti espressi soo illustrati el grafico seguete: OD 0.95 σx σx x x 4 µ Le medie dei campioi 1, 3, 4 cadoo all itero dell itervallo µ ± σ x e quidi gli itervalli itoro ad essi cotegoo la media della popolazioe. Le medie dei campioi e 5 cadoo all estero dell itervallo µ ± σ x e quidi gli itervalli itoro ad essi o cotegoo la media della popolazioe. x 1 x 3 x 5 x 37

13 Esempio (Daiel pag ) Suppoiamo che u ricercatore, iteressato a stimare il livello medio di u dato ezima i ua certa popolazioe umaa, preda u campioe di 10 idividui, determii il livello dell ezima i ogi idividuo e calcoli il valore medio el campioe x = mg/ml. Suppoiamo, ioltre, che la variabile di iteresse sia approssimativamete distribuita come ua ormale co ua variaza di 45. Vogliamo stimare µ. OD Soluzioe U itervallo di cofideza al 95% circa per µ è dato da : x ± σx = = ± 45 = 10 = ± (.113) = ; 6.4 Estremo iferiore Estremo superiore L 1 = L =

14 ELEMENTI DELLE STIME PER INTERVALLI Nella formula: x ± σx compaioo i segueti elemeti: x è il cetro dell itervallo (è la stima putuale di µ); è u valore otteuto dalla distribuzioe ormale stadardizzata (valore di z) che idica etro quati errori stadard si trova il 95% di tutti i possibili valori della media campioaria. I questo caso z =. z è detto coefficiete di attedibilità. x σ è l errore stadard o deviazioe stadard della distribuzioe di campioameto della media. 39

15 FORMULA GENERALE PER IL CALCOLO DI UN INTERVALLO DI CONFIDENZA U itervallo di cofideza, i geerale, è espresso da: stimatore ± coeff. di attedibilità X errore stadard margie d errore o precisioe Se il campioameto è fatto da ua distribuzioe ormale co variaza ota la formula è la seguete: x ± z1-α/ σ σ σ L 1 = x - z1-α/ L = x + z1-α/ Ν.Β. α rappreseta l errore, equamete ripartito elle due code, che si è disposti ad accettare. 40

16 INTERPRETAZIONE DEGLI INTERVALLI DI CONFIDENZA OD I geerale è possibile dare le segueti iterpretazioi di u itervallo di cofideza. INTERPRETAZIONE PROBABILISTICA Estraedo tutti i possibili campioi da ua popolazioe distribuita ormalmete co variaza ota, il (1- α)100 per ceto degli itervalli della forma x ± z1-α/ σ x coterrà a lugo adare la media della popolazioe µ. INTERPRETAZIONE PRATICA Quado il campioameto è effettuato da ua popolazioe distribuita ormalmete co variaza ota, abbiamo u grado di fiducia del (1- α)100 per ceto che il sigolo itervallo x ± z1-α/ σ x cotega la media della popolazioe µ. N.B. 1 α area itera all itervallo α area estera all itervallo 41

17 IL LIVELLO DI CONFIDENZA 1- α La quatità (1-α), che corrispode alla frequeza degli itervalli che cotegoo µ, è detta livello di cofideza o grado di fiducia; l itervallo x ± z (1-α/) σ x è detto itervallo di cofideza. Se (1-α)=0.95, l itervallo di cofideza è chiamato itervallo di cofideza al 95%. IL COEFFICIENTE DI ATTENDIBILITÀ z Il coefficiete di attedibilità z varia i fuzioe di α, cioè della frequeza degli itervalli che o cotegoo µ. I tabella soo riportati i livelli di cofideza più usati e i corrispodeti valori di z 1-α/. Livello di cofideza (1-α)*100% 1-α/ z 1-α/ 90% % % N.B.: si ricorda che i valori di z soo tabulati. 4

18 CAMPIONAMENTO DA POPOLAZIONI NON NORMALI E DIMENSIONE CAMPIONARIA 30 OD Quado la variabile o ha ua distribuzioe ormale, è possibile calcolare l itervallo di cofideza utilizzado la tecica esamiata, purché il campioe sia sufficietemete grade (Teorema del Limite Cetrale). Per campioi sufficietemete gradi ( 30) la distribuzioe delle medie campioarie è approssimativamete ormale, idipedetemete dalla forma della distribuzioe della popolazioe da cui il campioe è stato estratto. Se la variaza della popolazioe o è ota e 30, ella formula per il calcolo dell itervallo di cofideza è possibile usare la variaza campioaria s al posto della variaza della popolazioe σ. Essedo grade, s può essere cosiderata ua buoa approssimazioe di σ 43

19 Esercizio (Daiel pag ) U gruppo di ricerca è iteressato a studiare la putualità dei pazieti el mateere gli apputameti. È stato studiato u flusso di pazieti presso gli studi di medici geerici ed è stato trovato che u campioe di 35 pazieti era i ritardo agli apputameti di 17. miuti i media. Ua ricerca precedete aveva evideziato che la deviazioe stadard era di 8 miuti; ioltre era stato ipotizzato che la distribuzioe della popolazioe o fosse ormale. Qual è l itervallo di cofideza al 90% per µ, l ammotare vero di ritardo per gli apputameti? Soluzioe 30 σ ota T.L.C: distribuzioe di x è ormale P(L 1 <µ<l ) = 90% α = 10% = 0.10 Z (1-α/) = z 0.95 = L1; L x z α = ± (1 ) σ L 1 ;L = 17.± = 17.±. = 15.0;

20 CAMPIONAMENTO DA POPOLAZIONE CON VARIANZA σ INCOGNITA OD Spesso ella realtà la variaza della popolazioe è icogita. 1 caso: 30 campioi gradi Si utilizza s, deviazioe stadard del campioe, al posto di σ e el calcolo degli itervalli di cofideza si può ricorrere alla distribuzioe z (come egli esempi precedeti). Essedo grade, s può essere cosiderata ua buoa approssimazioe di σ e si può utilizzare la teoria della distribuzioe ormale per la costruzioe degli itervalli di cofideza. È possibile utilizzare ache la distribuzioe t. caso: <30 campioi piccoli Nel calcolo degli itervalli di cofideza si deve ricorrere alla distribuzioe di Studet o distribuzioe t. 45

21 DISTRIBUZIONE t di STUDENT È ecessario ricorrere alla distribuzioe t se σ è INCOGNITA e <30 La relazioe utilizzata per la costruzioe di itervalli di cofideza co l uso della distribuzioe t o cambia: stimatore ± coeff. di attedibilità X errore stadard margie d errore o precisioe Cambia solo la tabella da cui si legge il coefficiete di attedibilità, che si riferisce alla distribuzioe t e o più alla distribuzioe ormale stadardizzata. L 1 ; L = x ± t1-α/;(-1)gdl s 46

22 INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA DIFFERENZA TRA DUE MEDIE Si vuole stimare la differeza tra le medie di due popolazioi µ 1 µ. a. LE VARIANZE DELLE POPOLAZIONI SONO NOTE L 1 ; L = ( x 1 x ) ± z 1-α/ σ σ 47

23 b. LE VARIANZE DELLE POPOLAZIONI NON SONO NOTE Se le variaze delle popolazioi o soo ote e le dimesioi campioarie soo 30 si può ricorrere alla distribuzioe z (utilizzado s al posto di σ) o alla distribuzioe t; se le variaze delle popolazioi o soo ote e le dimesioi campioarie soo < 30 si deve ricorrere alla distribuzioe t. OD L 1 ; L = ( x 1 x )±t 1-α/ ; (1+-)gdl s p 1 s p + Formula valida el caso si possa assumere l uguagliaza delle variaze delle due popolazioi. Le variaze campioarie soo impiegate per stimare la variaza comue come media poderata (rispetto ai rispettivi gradi di libertà) delle due variaze campioarie. s pod = ( 1) s + ( 1) s 48

24 INTERVALLO DI CONFIDENZA PER UNA PROPORZIONE OD Domada Qual è la proporzioe di idividui i ua certa popolazioe che ha ua data malattia? Per stimare la proporzioe i ua popolazioe (p) si procede el seguete modo: L1; L = pˆ ± z1 α / pˆ (1 pˆ ) pˆ = proporzioe campioaria p = proporzioe ella popolazioe INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA DIFFERENZA TRA DUE PROPORZIONI L1; L ˆ ˆ = ( p1 p) ± z1 α / pˆ 1 (1 1 pˆ 1 ) + pˆ (1 pˆ ) 49