PROBABILITÀ SCHEDA N. 6 LE VARIABILI ALEATORIE DI BERNOULLI E BINOMIALE

Transcript

1 Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) PROBABILITÀ SCHEDA N. 6 LE VARIABILI ALEATORIE DI BERNOULLI E BINOMIALE I molte situazioi si è iteressati a verificare se ua determiata caratteristica si preseta oppure o (l efficacia di u vaccio, il maifestarsi di ua malattia, la difettosità di u pezzo, ). Ciò corrispode ad u esperimeto co solo due possibili esiti (detto ache dicotomico), che può essere modellato co ua variabile aleatoria Y che assume valore (successo) co probabilità p e valore 0 (isuccesso) co probabilità -p, co 0<p<. co probabilità p Y = 0 co probabilità p Ua variabile aleatoria di questo tipo è chiamata di Beroulli di parametro p. Il valore atteso e la variaza di Y soo E(Y) = 0 x (-p) + x p = p Var(Y)= E(Y 2 ) (E(Y)) 2 = (0 2 x (-p) + 2 x p) - p 2 = p (-p) È modellabile co ua variabile aleatoria di Beroulli, ad esempio, il lacio di ua moeta, o ecessariamete equilibrata (p è la probabilità che esca ad esempio T). Ora cosideriamo la ripetizioe di esperimeti idipedeti ciascuo dei quali è modellabile co ua variabile aleatoria di Beroulli co probabilità di successo p. Per avere il umero di successi i questi esperimeti basta sommare i valori delle variabili aleatorie di Beroulli, cosideriamo quidi la variabile aleatoria X = Y i co Y i v.a. idipedeti di Beroulli di parametro p i = I possibili valori assuti da X soo 0,,...,. Vogliamo cooscere le probabilità co cui tali valori soo assuti, cioè vogliamo costruire la desità di probabilità di X. ESEMPIO. Riprediamo l esempio della moeta; i sigoli laci soo idipedeti fra di loro. Siamo iteressati al umero di uscite di testa i 0 laci; quidi = 0. Qual è la probabilità di otteere 6 uscite di testa? Cosideriamo prima ua prefissata sequeza di teste e croci; ad esempio, qual è la probabilità di otteere la sequeza T T C T T C C T T C Essedo i laci idipedeti, la probabilità cercata è data da p p (-p) p p (-p) (-p) p p (-p) = p 6 (-p) 4. Si capisce subito che la probabilità di avere 6 teste (e quidi 4 croci) ache i posizioi diverse risulta la stessa. Allora la probabilità di avere ua determiata sequeza di k teste e -k croci i laci sarà p k (-p) -k. Se ora volessimo calcolare la probabilità di tutte le possibili sequeze di 0 laci i cui ci siao 6 teste dobbiamo stabilire quate soo le sequeze che presetao 6 teste e 4 croci. Il problema è equivalete a cotare tutti i modi i cui è possibile scegliere di mettere le 6 teste ei 0 laci. 0! Seza etrare ei dettagli del calcolo diciamo che questo umero è che si idica co 6!(0 6)! 0 e si chiama coefficiete biomiale. 6 Allora la probabilità di otteere 6 teste laciado la moeta 0 volte sarà: ( ) 6 p p.

2 I geerale, il coefficiete biomiale vale: U modo più veloce per calcolarlo è:! =. k!( k)! ( ) ( k+ = ) k! Parliamo di esperimeto biomiale quado cosideriamo u esperimeto casuale i cui. iteressa esclusivamete il successo (codificato co ) o l isuccesso (codificato co 0) 2. il successo ha probabilità p 3. si effettuao prove idipedeti. Se X è la variabile che idica il umero di successi i prove di u esperimeto biomiale, avremo che la probabilità che X assuma il valore k è: k k P( X = k) = p ( p) per k=0,,2,,. La variabile casuale X così defiita è detta variabile casuale biomiale di parametri (umero di prove) e p (probabilità di successo i ua prova) e si idica co X B(, p ) Di seguito riportiamo alcui grafici delle fuzioi di desità per = 20 e valori diversi di p.. Figura Si può osservare che il grafico è simmetrico quado p=0.5; il grafico è più cocetrato a siistra quado p assume valori bassi (<0.5); i grafici co p=0.2 e 0.8 soo simmetrici l u l altro rispetto alla retta verticale passate per /2; ogi grafico ha solo u massimo che è vicio al valore atteso della variabile aleatoria.

3 La variabile aleatoria di Beroulli che rappreseta l esito di ua sola prova è quidi ua biomiale di parametri e p. Come abbiamo già detto, siccome X rappreseta la somma dei successi i prove, X può essere iterpretata come somma di variabili aleatorie biomiali B(,p) idipedeti: X = Y i co Y i v.a. idipedeti di Beroulli di parametro p i = Utilizzado le proprietà del valore atteso e della variaza della somma di variabili aleatorie idipedeti, abbiamo: E ( X ) = E Yi = E ( Yi ) = p = p i = i = i = Var ( X ) = Var Yi = Var ( Yi ) = p ( p) = p ( p ) i= i = i= Ricordiamo che il valore atteso della somma è sempre uguale alla somma dei valori attesi, metre la variaza della somma è uguale alla somma delle variaze solo se le variabili soo idipedeti. Più i geerale si può dimostrare che la somma di due biomiali idipedeti X e X 2 co desità B(,p) e B( 2,p) rispettivamete è acora ua desità biomiale B( + 2,p). ESEMPIO 2. Il rapporto dei sessi ella specie umaa alla ascita è di 05 femmie su 00 maschi. Qual è la probabilità che i 6 ascite sigole almeo la metà dei eoati siao di sesso femmiile? Dai dati si desume che la probabilità della ascita di ua femmia è p=05/. Se idichiamo co X il umero di eoati di sesso femmiile elle 6 ascite prese i esame, la variabile aleatoria X avrà ua desità biomiale B(6, 05/). Vogliamo calcolare P( X 3) = P( X = 3) + P( X = 4) + P( X = 5) + P( X = 6) = - P( X = 0)- P( X = )- P( X = 2) = 0 = 2.68 Come varierebbe la probabilità se si cosiderassero 60 ascite sigole? Sarebbe uguale alla precedete? (Rispodi ituitivamete seza fare i calcoli. Vedremo la risposta i ua scheda successiva) ESEMPIO 3. L'icubatrice di u allevameto di polli deve mateere ua temperatura che permetta la schiusa delle uova; per far ciò devoo fuzioare cotemporaeamete almeo 5 e o più di 9 apposite resisteze. Ciascua resisteza ha ua probabilità di essere fuzioate per tutto il periodo ecessario alla schiusa pari a 0.85; le resisteze fuzioao l'ua idipedetemete dall'altra. Suppoiamo ioltre che o itervegao altri fattori che icidao sul fuzioameto dell'icubatrice. Si vuole stabilire qual è il umero miimo di resisteze che occorre attivare per avere ua probabilità maggiore del 95% che almeo 5 resisteze restio sempre fuzioati. X Idichiamo co ua variabile aletoria biomiale di parametri (co = 5, 6, 7, 8, 9) e p=0.85 che rappreseta il umero di resisteze fuzioati co attivate. Bisoga trovare il più piccolo per cui P ( X 5) > Osserviamo azitutto che P ( X 5) = P ( X 4) ; quidi bisoga trovare il più piccolo per cui P X P X 4 < 0.05 ( 4 ) > 0.95 ovvero ( ) Risolviamo il problema calcolado la fuzioe di distribuzioe cumulata di variare di, co u opportuo software statistico, i questo caso Miitab. X el valore 4, al

4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 F ( 4) X Possiamo quidi cocludere che bisoga attivare almeo 8 resisteze. ESERCIZI ESERCIZIO. Ua caratteristica A è presete el 0% della popolazioe e el 5% della popolazioe 2. Co u esperimeto di tipo biomiale (co ripetizioe) si estraggoo 30 idividui di cui 0 dalla popolazioe e 20 dalla popolazioe 2. a) Qual è la probabilità che u idividuo fra i 30 estratti abbia la caratteristica A? b) Qual è la probabilità che tre o più abbiao la caratteristica A? c) Qual è il umero medio di idividui co la caratteristica A? d) Qual è la variaza del umero di idividui co la caratteristica A? ESERCIZIO 2. A ua lotteria i biglietti i vedita soo 500, metà dei quali assicurao ua vicita di ua bottiglia di vio; l'altra metà o assicura essu premio. Pippo acquista 0 biglietti a 6 euro l'uo, cotado di vedere a Topolio a 20 euro l'ua le bottiglie evetualmete vite. Valutare la probabilità che Pippo ci rimetta almeo 20 euro. ESERCIZIO 3. È stata svolta u'idagie per verificare l'utilizzo di u atiparassitario A, o permesso, ella coltivazioe di arace. I geerale è oto che se viee utilizzato A mediamete marcisce il 5% della produzioe di arace; se viee usato l'atiparassitario B, permesso, marcisce il 0%. È oto che il 20% degli agricoltori utilizzao A ed i restati utilizzao B. Si esamiao 00 arace e si trovao 4 frutti marci. a) Qual è mediamete la percetuale delle arace che marcisce, essedo stato usato uo dei due atiparassitari? b) Qual è la probabilità che marciscao 4 arace su 00 se è stato usato l'atiparassitario A? c) Qual è la probabilità che marciscao 4 arace su 00 se è stato usato l'atiparassitario B? d) Qual è la probabilità totale che marciscao 4 arace su 00, essedo stato usato uo dei due atiparassitari? e) Qual è la probabilità che sia stato utilizzato l'atiparassitario A, avedo trovato 4 arace marce su 00 esamiate? ESERCIZIO 4. Il batterio Cloristridium botulium, resposabile della malattia mortale detta botulismo, è presete, se o si usa u opportuo trattameto, circa ell'% di u prodotto alimetare iscatolato. Il trattameto, se effettuato, garatisce la totale asseza del batterio. U ricercatore igora se su ua partita di cibo iscatolato sia stato effettuato il trattameto. Decide di assumere come equiprobabili i fatti che il trattameto sia stato effettuato oppure o. Mediate u'aalisi i grado di rilevare seza errori la preseza o meo del batterio i ciascua scatola, esamia 00 scatole ed i essua trova il batterio. a) Quato vale la probabilità del risultato sperimetale riscotrato ell'ipotesi che il trattameto o sia stato effettuato? b) Preso atto del risultato sperimetale riscotrato, quato vale la probabilità che il trattameto sia stato effettuato? c) Si ritiee che, alla luce del risultato del puto precedete e della gravità della malattia, si sia perveuti a ua situazioe di sufficiete garazia dell'asseza del batterio? I caso cotrario che cosa si ritiee opportuo fare.

5 Esperieze E. Esercizi co il calcolatore sulle fuzioi di probabilità e di distribuzioe cumulata esatte A Disegare diversi grafici relativi alla desità B(0,p) facedo variare p. Cosa si osserva per p=0.5? (commetare) Cosa si può dire cofrotado i grafici di B(0,0.2) e B(0,0.8)? (commetare) B Si sa che il 70% di ua certa varietà di bulbi di fiori fiorirà. Se si piatao 0 bulbi. ) Qual è la probabilità che: a) esattamete 3 fiorirao b) al più 6 fiorirao c) almeo 2 fiorirao. (risolvere l esercizio usado la fuzioe di distribuzioe cumulata) 2) Quato deve valere k, affiché la probabilità che fioriscao almeo k fiori piatado 00 bulbi sia maggiore dell'80%? C I u paese, il 35% degli elettori è a favore del cadidato A. I u seggio votao 200 persoe. Calcolare la probabilità che i quel seggio voti A o più del 70% degli elettori. Qual è il umero di voti a favore di A più probabile? D Data X ua variabile aleatoria co desità biomiale B(20,0.5). a) Determiare k tale che P(X>k) b) Utilizzado la simmetria del grafico della desità di X, per quali h, P( X-0 X > k) 0.25 Sarebbe altrettato "facile" rispodere ai puti precedeti se X ~ B(20,0.3)? E Data ua variabile aleatoria X co distribuzioe B(20,0.2). determiare media e mediaa di X; 2. come si può scegliere p, i modo che Y ~ B(20,p) abbia media maggiore a quella di X? 3. come si può scegliere p, i modo che Z ~ B(20,p) abbia mediaa maggiore a quella di X? 4. come si possoo scegliere e p, i modo che W ~ B(,p) abbia stessa media di X ma mediaa maggiore a quella di X? (Cofrotare i grafici delle rispettive desità trovate) F Sia X ~ B(0,0.3) e Y=X+4. Dire, se è possibile, i che relazioe stao fra loro: a) le medie e le mediae di X e Y; b) i grafici delle fuzioi cumulate di X e Y; c) i grafici delle desità di X e Y; d) le variaze di X e Y. E2. Esperieza. Simulazioe di ua variabile aleatoria biomiale come somma di variabili aleatorie di Beroulli ) Simulare u esperimeto biomiale, ad esempio il lacio di ua moeta regolare 0 volte (successo: TESTA codificato co, isuccesso: CROCE codificato co 0) Calcolare la somma dei successi (ovvero la somma dei risultati otteuti) 2) Ripetere l esperimeto per N=00 volte e determiare la distribuzioe dei successi i 0 laci otteuta sulle 00 ripetizioi la media dei successi lo scarto quadratico medio dei successi 3) Cofrotare i risultati sperimetali otteuti precedetemete co quelli teorici.