VERIFICA DI IPOTESI SULLA DIFFERENZA TRA DUE MEDIE. Psicometria 1 - Lezione 12 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott.

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1 VERIFICA DI IPOTESI SULLA DIFFERENZA TRA DUE MEDIE Psicometria - Lezioe Lucidi presetati a lezioe AA 000/00 dott. Corrado Caudek

2 Il caso più comue di disego sperimetale è quello i cui i soggetti vegoo assegati i maiera casuale a due gruppi. U gruppo viee sottoposto al trattameto sperimetale metre l'altro gruppo fuge da cotrollo.

3 I queste circostaze, il problema diveta quello di stabilire se il trattameto sperimetale ha avuto u effetto, ovvero se c'è ua differeza statisticamete sigificativa tra le medie dei due gruppi. Per risolvere questo problema è ecessario cooscere la distribuzioe campioaria della differeza tra le medie di due campioi. 3

4 La distribuzioe campioaria della media di u campioe casuale estratto da ua popolazioe ormale co media µ e variaza σ : la media si distribuisce ormalmete co media µ e variaza σ. Le medie del gruppo sperimetale e di cotrollo ( Y e Y ) possoo essere cosiderate come due variabili aleatorie ormalmete distribuite aveti medie uguali a µ e µ, e variaze uguali a σ e σ (dove, soo le dimesioi dei due campioi). 4

5 I base alle proprietà del valore atteso della differeza di due variabili aleatorie, il valore atteso della differeza tra le medie dei due campioi è uguale a ( ) ( ) ( ) Y = E Y E Y = µ µ E Y 5

6 Se le due medie soo idipedeti, la variaza di Y - Y diveta uguale a V ( ) Y Y = σ + σ 6

7 7 Se è possibile assumere che le popolazioi di proveieza hao variaze uguali, σ = σ = σ, la variaza della differeza tra le medie di due campioi diveta ( ) Y Y V σ + σ = + = σ

8 L'errore stadard della differeza tra le medie di due campioi sarà σ = σ + Y Y 8

9 9 Se σ è coosciuto, quidi, le ipotesi sulla differeza tra le medie di due campioi possoo essere sottoposte a verifica usado la statistica ) ( ) ( Y Y z + = σ µ µ co z ~N(0, ).

10 Se la variaza della popolazioe o è coosciuta, deve essere stimata usado le variaze dei campioi. Date le variaze di due campioi, ua stima priva di errore sistematico della deviazioe stadard della popolazioe da cui i campioi soo tratti è data da σˆ = ( ) s + ( ) + s 0

11 Quado σ o è oto, duque, le ipotesi sulla differeza tra due medie vegoo sottoposte a verifica usado la statistica ˆ ) ( ) ( Y Y t + = σ µ µ distribuita come t co ( ) + gradi di libertà.

12 Esempio.. Due metodi di isegameto (A e B) vegoo cofrotati esamiado i puteggi otteuti alla fie del corso dai soggetti assegati i maiera casuale al gruppo A oppure al gruppo B (maggiore il puteggio, migliori le prestazioi). Alla luce dei dati che soo stati otteuti, è possibile cocludere che i due metodi di isegameto producoo risultati sigificativamete diversi? Sia α = 0,05. Metodo A = 9 Y = 77 s = Metodo B = Y = 89 s = 9

13 3 0 : 0 = µ µ H 0 : µ µ H a ( ) ( ) = 0 ) ( s s Y Y t co ( ) 9 = + = ν gradi di libertà.

14 Il test è a due code e la regioe critica è defiita da t < t α =.093. Il valore osservato della statistica test t = (77 89) 0 ( ) 9 + ( ) =.644 cade all'itero della regioe di rifiuto e quidi l'ipotesi ulla può essere rigettata. E duque possibile cocludere che, alla fie del corso, i soggetti dei due gruppi ottegoo puteggi sigificativamete diversi. 4

15 IMPORTANZA DELLE ASSUNZIONI PER IL TEST t DI STUDENT 5

16 Le procedure di verifica delle ipotesi sulla media di u campioe soo basate sull'assuzioe che la statistica ( ) s vega calcolata utilizzado le iformazioi Y µ forite da u campioe estratto da ua popolazioe ormale. 6

17 Se la gradezza del campioe o è estremamete piccola, però, ache violazioi piuttosto marcate dell assuzioe della ormalità della popolazioe hao effetti trascurabili el caso di test bidirezioali. Gli effetti soo ivece più marcati el caso di test moodirezioali. 7

18 Le procedure di verifica di ipotesi sulle differeze fra medie si dimostrao ach esse relativamete isesibili alle violazioi dell'assuzioe di ormalità. Il test sulla differeza fra due medie si dimostra relativamete robusto ache alle violazioi dell'assuzioe di omogeeità delle variaze (σ = σ ) quado e soo uguali (o quasi uguali). 8

19 Se ivece le popolazioi da cui soo estratti i campioi o hao variaze uguali, e se la gradezza dei campioi è molto diversa, allora diveta ecessario itrodurre ua correzioe el calcolo dei gradi di libertà: ν = ( ) σˆ + σˆ ( ) ( ) ( ) σˆ + σˆ ( ) + + 9

20 VERIFICA DI IPOTESI SULLA DIFFERENZA TRA LE MEDIE DI CAMPIONI DIPENDENTI 0

21 La verifica di ipotesi sulle differeze tra le medie è basata sull'assuzioe che i campioi siao idipedeti. Talora, però, è ecessario cofrotare le medie di campioi dipedeti, come el caso dei cosiddetti campioi appaiati (ovvero quei campioi composti, ad esempio, da mariti e mogli), oppure el caso dei puteggi foriti dagli stessi soggetti prima e dopo la sommiistrazioe di u trattameto.

22 I queste circostaze, la differeza tra le medie dei campioi cotiua a forire ua stima priva di errore sistematico della differeza tra le medie delle due popolazioi: E( Y = µ µ Y )

23 Nel caso di campioi dipedeti, però, la variaza della distribuzioe campioaria della differeza delle medie o sarà quella idicata dalla formula cosiderata i precedeza ma assumerà ivece il valore: V ( ) Y Y = σ + σ σ Y Y YY 3

24 Nel caso di campioi dipedeti, quidi, se la covariaza tra Y e Y o è coosciuta, l'errore stadard della differeza tra le medie o può essere calcolato e la procedura di ifereza statistica descritta i precedeza o può essere applicata. 4

25 Questa difficoltà, però, può essere superata cosiderado i dati come se proveissero da u uico campioe di differeze (D i ) di puteggi, aziché da due campioi dipedeti. 5

26 Ua volta ricodificati i dati i questo modo, l'ipotesi di asseza di differeza tra i due gruppi è equivalete all'ipotesi ulla 0 : E( D) = 0 verifica calcolado la statistica H e può essere sottoposta a t = D E( D) i s D distribuita come t co ( ) gradi di libertà (dove è il umero di coppie di osservazioi). 6

27 Esempio. Suppoiamo di verificare l'efficacia di u programma dietetico. Il peso di 0 idividui viee misurato prima e dopo il completameto della dieta. Possiamo cocludere che la dieta è efficace sulla base dei dati riportati ella tabella? Sia α = 0,0. 7

28 Soggetti Prima Dopo D A B C D 84 8 E F G H I L Medie 85, 83,4,7 8

29 L'ipotesi ulla è H 0 :D = 0 e l ipotesi sostativa è H a :D > 0 ( co D uguale alla differeza tra il peso prima e dopo la dieta). Il test è duque ad ua coda. Co α = 0,0 e ν = ( ) = 9 gradi di libertà, la regioe critica è t >, dove =, 8 t α t α. La variabile D ha media,7 e deviazioe stadard uguale a,

30 Il valore della statistica test diveta t = D s D µ =,7, =,8488 e o cade all'itero della regioe di rifiuto ( t 9 <,8). I dati della tabella, quidi, o offroo evideze sufficieti per cocludere che il programma dietetico è efficace. 30

31 Cofroti tra più di due campioi 3

32 Molto spesso lo sperimetatore si trova ella situazioe di volere cofrotare le medie di più di due campioi. Suppoiamo che ci siao 3 gruppi. Lo sperimetatore potrebbe decidere di eseguire 3 test t per cofrotare tra loro le medie di tutti i gruppi. Questo approccio, però, sarebbe del tutto iadeguato. 3

33 Suppoiamo che il primo e il secodo gruppo vegao cofrotati co u test t scegliedo α =.05. I queste circostaze lo sperimetatore è cosapevole che, el 5% dei casi, l'ipotesi ulla verrà rifiutata quado è effettivamete vera. Usado lo stesso livello di sigificatività, lo sperimetatore potrebbe cofrotare il secodo e il terzo gruppo e il primo e il terzo gruppo. 33

34 Il problema di questo approccio è che, qualora veissero eseguiti tutti e tre questi test la probabilità di commettere u errore del I tipo o sarebbe più uguale a.05. Quale è la probabilità di commettere u errore del I tipo quado vegoo eseguiti tutti e tre i test descritti i precedeza? 34

35 Cosideriamo l'evetualità di commettere u errore del I tipo come u processo beroulliao co probabilità di u "successo" uguale a.05. Duque, p 3 ( ) ( ) 0( ) 3 essu errore = =

36 Di cosegueza, la probabilità di commettere almeo u errore del I tipo sarà uguale a: p ( uo o più errori) =.86 =. 4 Se eseguiamo 3 test t, quidi, la probabilità di commettere almeo u errore del I tipo è quasi 3 volte superiore alla probabilità di commettere u errore del I tipo quado viee eseguito u sigolo test t. 36

37 I geerale, se u umero J di test idipedeti viee eseguito usado per ciascuo il livello di sigificatività α =.05, allora la probabilità di commettere almeo u errore del I tipo è: p( uo o più errori di tipo I) = ( α) J 37

38 Suppoiamo, per esempio, di avere 8 gruppi e di esamiare le differeze tra tutte le coppie di questi gruppi. Quate coppie possibili possiamo esamiare? r =! r!( r)! = 8!!(8 )! = 8 La probabilità di commettere almeo u errore del primo tipo sarà duque: p ( uo o più errori di tipo I) = (.05) 8 =

39 Co 8 gruppi, quidi, la probabilità di compiere almeo u errore del primo tipo è.76. Nel caso di 0 gruppi, questa probabilità è quasi uguale a. Le cosiderazioi precedeti soo valide se i test soo idipedeti. Se questa codizioe o è soddisfatta, la probabilità di commettere u errore del I tipo è acora maggiore. Questa è la ragioe per cui l'uso del test t per cofroti multipli tra medie o è adeguato. 39

40 Correzioe di Boferroi 40

41 Boferroi ha dimostrato che la probabilità di commettere almeo u errore del primo tipo o può assumere u valore maggiore del prodotto tra il livello di sigificatività α e il umero C dei cofroti che vegoo eseguiti: ( α ) C Cα (se Cα >, la probabilità viee ovviamete fissata a ). 4

42 Per o iflazioare la probabilità di errore del primo tipo (poedo, ad esempio, α = 0,05), i base alla correzioe di Boferroi è duque sufficiete usare per ciascu cofroto u livello di sigificatività pari a α = 0,05 C. 4

43 ESERCIZI E Uo studio si occupa della percezioe della figura paretale i bambii proveieti da famiglie ormali e i bambii istituzioalizzati. I bambii veivao posti ad ua certa distaza dallo schermo di u computer e sul moitor veivao presetate figure diverse. Le figure avevao tutte la stessa gradezza, ache se i bambii o lo sapevao. Ai bambii veiva chiesto di forire u stima umerica della gradezza delle figure. Lo sperimetatore ipotizza che gli orfai foriscoo stime della gradezza paretale maggiori di quelle forite dai bambii proveieti da famiglie ormali. I dati dei due gruppi soo: Orfai: media =.8, s =.7, = 5 Cotrollo: media =.6, s =.9, = 50 Sia α =.05. Che cosa si può cocludere? 43

44 E Due campioi casuali di soggetti vegoo cofrotati per studiare gli effetti del ritmo di presetazioe di u lista di item sulla rievocazioe. Ua lista di 50 parole viee presetata a ciascu gruppo e i soggetti vegoo istruiti a rievocare quati più item possibili. Nella codizioe sperimetale gli items vegoo presetati co u ritmo di.5 al secodo metre, ella codizioe di cotrollo la presetazioe è di item al secodo. I soggetti asssegati i maiera casuale al gruppo sperimetale e di cotrollo ammotao a 6 per il gruppo sperimetale e a 8 per quello di cotrollo. I risultati per i due gruppi soo: =6, media =3, s =, =8, media =7, s =0.5 Lo sperimetatore può assumere che le due popolazioi di puteggi soo ormali co uguale variaza. Sia α =.0. Che cosa si può cocludere? 44

45 E3 Sia il gruppo il gruppo di cotrollo e il gruppo il gruppo sperimetale. Sulle base dei dati riportati di seguito è possibile cocludere che il gruppo sperimetale differisce sigificativamete da quello di cotrollo? Sia α =.05. Quale assuzioe è ecessario formulare per applicare le opportue procedure di ifereza statistica? Y = 65.5 s = 5.55 = 0 Y = 69 s = 7.78 = 0 45

46 E4 Uo sperimetatore studia la possibilità che la dieta deomiata "Q" abbia effetti diversi egli uomii e elle doe. Lo sperimetatore ipotizza che, elle prime due settimaa di dieta, le doe perdao più peso degli uomii. Per teere sotto cotrollo variabili estraee, lo sperimetatore selezioa u campioe casuale di 5 coppie (mariti e mogli). Ciascua di queste coppie viee sottoposto alla dieta Q. Sia α =.05. Che cosa è possibile cocludere dai dati raccolti? 46

47 Mariti Mogli Perdita di peso (i pouds)