Confronto di due misure Campioni indipendenti

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1 Statistica7 /11/015 Cofroto di due misure Campioi idipedeti o meglio.. rispodere al quesito Due serie di misure soo state estratte dalla stessa popolazioe (popolazioe comue o idetica) o soo state estratte da due popolazioi diverse? Cioè se u trattameto effettuato su metà degli aimali iduce ua differeza fra le medie dei due gruppi. 1

2 L aalisi statistica o ha il potere di scoprire fatti uovi, é di forire coclusioi assolute (è solo uo strumeto come può esserlo ua bilacia). Lo scopo della statistica è quello di sottoporre le ipotesi scaturite dalla esperieza del professioista/ricercatore a dei test obbiettivi idipedeti dalla soggettività dello stesso. Caratteristica di tutti i test statistici è quella di forire sempre ua risposta i termii probabilistici: probabilità e mai di certezze. Tutti i test statistici cosistoo el mettere alla prova ipotesi che certe caratteristiche delle popolazioi siao uguali: testare cioè la ipotesi ulla per egare la possibiltà.

3 Tutti i test statistici cosetoo quidi di idividuare l esisteza (probabilistica) di differeze ma o di idividuare l esisteza (probabilistica) di idetità. Nel campo scietifico o è possibile dimostrare che due cose soo uguali. La media risulta statisticamete differete da quella di. = per p < 0,05 (oppure per p < 5%) oppure La media o risulta differire statisticamete da quella di (ache se i valori soo esattamete uguali può sempre essere u caso ). 3

4 La media o risulta statisticamete differete da quella di. La media e quella di soo probabilisticamete uguali La umerosità dei campioi esamiati era isufficiete per qualsiasi coclusioe scietificamete valida. 4

5 Tutto el campo della biologia applicata deve essere pesato per dimostrare ciò che determia differeze (=effetti). Perché o possiamo dimostrare uguagliaze. due farmaci hao lo stesso effetto! Frase comue ma: 5

6 Cofroto di medie e/o cofroto di variaze Ua popolazioe è caratterizzata da 3 parametri a). o g.l. (ella popolazioe geerica pari a ifiito) b) la media c) la deviazioe stadard (o altro idice di dispersioe, es. variaza ecc.). Due popolazioi possoo differire per le medie, per le variaza o per etrambe. Nella maggior parte dei casi il professioista/ biologo/ veteriario è iteressato ad appurare l esisteza di differeza fra le medie delle popolazioi. 6

7 Cofroto fra variaze Il cofroto delle variaze è utilizzato: Per lo studio della variabilità geetica di specie e di gruppo per valutare la precisioe di uo strumeto di misura oppure la precisioe di ua tecica o acora el cotrollo idustriale dei difetti di fabbricazioe ecc. ecc. 7

8 Cofroto fra medie Il test L aalisi della variaza Iiziamo aalizzado Il test 8

9 Il test Le differeze fra le medie, x, di campioi estratti da ua popolazioe e la media vera della popolazioe, μ, rapportate a: La deviazioe stadard vera, σ, della popolazioe L errore stadard stimato sm della vera deviazioe stadard (σ) della popolazioe Si distribuiscoo itoro allo Ø secodo la distribuzioe: Normale di t z ( x ) t ( x ) sm 9

10 Cosideriamo popolazioi e caratterizzate da due medie vere μ a e μ b Calcoliamo la differeza fra le medie che idichiamo co δ Cosideriamo campioi delle popolazioi e ; avremo delle medie x a e x b Calcoliamo la differeza fra le medie dei due campioi che idichiamo co d alogamete a quato fatto per la distribuzioe ormale stadardizzata possiamo utilizzare come uità di misura la σ e quidi defiire: diff. fra medie campioi meo diff. fra medie popolazioe deviazioe stadard vera (oppure stimata) ( d ) d ( d ) dsd 10

11 Le differeze fra le differeze delle medie dei campioi e la differeza fra le medie vere delle popolazioi di origie rapportata a: La deviazioe stadard La deviazioe stadard vera, della differeza σ d stimata della differeza ds d Si distribuiscoo itoro allo Ø secodo la distribuzioe Perfettamete aaloga alla precedete sulle sole differeze Normale di t z ( d ) d t ( d ) ds d 11

12 ds d deviazioe stadard delle differeze? I due campioi e possoo essere defiiti da u umero di idividui a e b Le medie dei campioi possiedoo u media x ed ua deviazioe stadard della media dalla media di popolazioe che è d.s. = σ/ d.s. d.s. d.s. * d.s. a * a a d.s. b * b b Valide solo se si estraggoo campioi dalla popolazioe! 1

13 diff.fra medie campioi - diff.fra medie popolazioe deviazioe stadard stimata ( d ) ds d Distribuzioe di t le popolazioi e uguali cioè μ a = μ b quidi δ = Ø Distribuzioe di t d ds d ( d ds d Ø) 13

14 d d È facile da calcolare, è solo la differeza fra le medie dei due campioi! ds d dsd U campioe estratto da si distribuisce itoro alla media co ua deviazioe stadard pari a: d.s. U campioe estratto da si distribuisce itoro alla media co ua deviazioe stadard pari a: d.s. La deviazioe stadard della differeza si distribuirà (o secodo la media di tutte e due) secodo la somma di tutte e due e cioè: ds d d.s. d.s. 14

15 Perché la somma e o la media (cioè la somma diviso )? Perché si tratta di differeze! ifatti: se estraiamo dei campioi da e le differeze d fra le medie trovate x a e x b si distribuiscoo simmetricamete itoro alla vera differeza δ. La variabilità attoro a questo valore sarà il risultato della variabilità di x a itoro a μ a e di x b itoro a μ b, ma che cosa accade? quado gli scarti soo dello stesso sego tutti e due positivi o tutti e due egativi la differeza tede ad essere più piccola di quella idividuale ma quado gli scarti soo di sego opposto la differeza sarà più grade e pari alla somma delle due differeze; la dispersioe totale (e quidi la relativa deviazioe stadard) sarà quidi pari alla somma delle due differeze! 15

16 dsd σ = σ * * = ds d La deviazioe stadard della popolazioe all ipotesi Ø è uica ma oi dispoiamo di due stime: ua a partire dal campioe ua a partire dal campioe 16

17 Soo due stime idipedeti della stessa deviazioe stadard. Due stime soo meglio di ua quidi possiamo combiarle (fare cioè u pool o stima combiata) Stima di σ ricavata dal campioe + Stima di σ ricavata dal campioe Perché? No devo dividere per per gli stessi motivi di prima ma solo fare la somma delle dispersioi; Le deviazioe stadard e le variaze o possiedoo però le proprietà additive (o le posso usare direttamete); le somme dei quadrati degli scarti ed i gradi di libertà possiedoo le proprietà additive (devo usare loro!). 17

18 La stima combiata quidi facedo: della variaza della popolazioe si otterrà La somma delle somme dei quadrati degli scarti diviso la somma dei gradi di libertà cioè i formule: ( x ( x) 1) ( x x) ( 1) ds d = * 18

19 19 ds d * = * = * * ) ( ) ( x x x x 1) ( 1) ( ) ( ) ( x x x x ds d d Distribuzioe di t

20 Distribuzioe di t = d ds d = d (x ( x x) ( x x) * * x ) = Formula fiale per il calcolo del valore di t i due campioi da cofrotare co i valori di t attesi riportati ella tabella redatta da Studet.

21 Formula fiale per il calcolo del valore di t i due campioi da cofrotare co i valori di t attesi riportati ella tabella redatta da Studet. Valore di t calcolato dalle due serie di misure Differeza fra le medie delle due serie di misure Diviso la radice quadrata di: somma dei quadrati degli scarti della prima serie più la somma dei quadrati degli scarti della secoda serie, il totale otteuto per il umero totale delle osservazioi e diviso per 1 il prodotto del umero totale meo due per il prodotto del umero dei dati della prima serie per la secoda serie. MDS o DMS Differeza fra le media corrispodete alla probabilità di x% dove x% è il valore di probabilità scelto a priori (es. p= 0,05 o p= 0,01) Miima Differeza Sigificativa 1

22 MDS ( x x ) t * ( x x) ( x x) * * Differeza miima fra le medie per essere sigificativa Valore di t per la radice quadrata di: somma dei quadrati degli scarti della prima serie più la somma dei quadrati degli scarti della secoda serie, il totale otteuto per il umero totale delle osservazioi e diviso il prodotto del umero totale meo due per il prodotto del umero dei dati della prima serie per la secoda serie.

23 Somma dei quadrati degli scarti Somma dei quadrati di ciascua osservazioe meo la somma dei valori di ciascua osservazioe elevata al quadrato e divisa per il umero delle osservazioi. 3

24 Il peso dei maschi è statisticamete differete da quello delle femmie? M = F per p < 0,05 (oppure o) PESO LL NSCIT DEI OVINI matricola PESO SESSO 1 40 F 40 M 3 47 F 4 50 M 5 40 F 6 50 F 7 38 F 8 38 F 9 47 M 10 4 F 4

25 F M = 7 3 media = 4, , SS= 18,86 5,67 d.s. = 4, , Poi lo cofroto co i valori tabellari per sapere se il valore di t trovato è compreso o meo ella oscillazioe casuale d (x x ) ( x x) ( x x) * * 5

26 quadrati scarti quadrati scarti F M F M F M F M ,143-5,667 4,59 3, ,857 4,333 3,59 18, ,143 1,333 4,59 1, ,857 61, ,143 17, ,143 17, ,143 0,00 = 7 3 somma= SS= 18,857 5,667 Somma^= DIVISO DIVISO tc= 143,14 656,33 6 media = 4,149-45,6667 = -3,538 VR=SS= 1,476 6,333 SS= 18, ,667 = 181,54 RDICEQUDRT VR=SS= 1,476 6,333 d.s. = 4,634 5,13 d.s. = 4,634 5,1316 e.s. = 1,7516,967 SS(-)= 3,538 + = , * = 10,8050 * = = 8 = g.l. 0,05954 = 10 DIVISO 1 PER 8 probabilità 3,538 0,3150 ds d= 10,8050 ds d = 3,871 t calcolato = 1,07 3,871 31,50% 6 VLORI TULTI T(0,05)=,306 T(0,01)= 3,355

27 probabilità % di u valore più elevato di t trascurado il sego. due code 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,05 0,0 0,01 0,00 0,001 ua coda 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 0,05 0,01 0,005 0,001 0,0005 g.l. 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 1,710 31,80 63, , ,60 0,816 1,061 1,386 1,886,90 4,303 6,965 9,95,37 31, ,765 0,978 1,50 1,638,353 3,18 4,541 5,841 10,15 1,94 4 0,741 0,941 1,190 1,533,13,776 3,747 4,604 7,173 8, ,77 0,90 1,156 1,476,015,571 3,365 4,03 5,893 6, ,718 0,906 1,134 1,440 1,943,447 3,143 3,707 5,08 5, ,711 0,896 1,119 1,415 1,895,365,998 3,499 4,785 5, ,706 0,889 1,108 1,397 1,860,306,896 3,355 4,501 5, ,703 0,883 1,100 1,383 1,833,6,81 3,50 4,97 4, ,700 0,879 1,093 1,37 1,81,8,764 3,169 4,144 4, ,697 0,876 1,088 1,363 1,796,01,718 3,106 4,05 4, ,695 0,873 1,083 1,356 1,78,179,681 3,055 3,930 4, ,694 0,870 1,079 1,350 1,771,160,650 3,01 3,85 4,1 14 0,69 0,868 1,076 1,345 1,761,145,64,977 3,787 4, ,691 0,866 1,074 1,341 1,753,131,60,947 3,733 4, ,690 0,865 1,071 1,337 1,746,10,583,91 3,686 4, ,689 0,863 1,069 1,333 1,740,110,567,898 3,646 3, ,688 0,86 1,067 1,330 1,734,101,55,878 3,610 3,9 19 0,688 0,861 1,066 1,38 1,79,093,539,861 3,579 3, ,687 0,860 1,064 1,35 1,75,086,58,845 3,55 3, ,686 0,859 1,063 1,33 1,71,080,518,831 3,57 3,819 0,686 0,858 1,061 1,31 1,717,074,508,819 3,505 3,79 3 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714,069,500,807 3,485 3, ,685 0,857 1,059 1,318 1,711,064,49,797 3,467 3, ,684 0,856 1,058 1,316 1,708,060,485,787 3,450 3,75 6 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706,056,479,779 3,435 3, ,684 0,855 1,057 1,314 1,703,05,473,771 3,41 3, ,683 0,855 1,056 1,313 1,701,048,467,763 3,408 3, ,683 0,854 1,055 1,311 1,699,045,46,756 3,396 3, ,683 0,854 1,055 1,310 1,697,04,457,750 3,385 3, ,681 0,851 1,050 1,303 1,684,01,43,704 3,307 3, ,679 0,848 1,045 1,96 1,671,000,390,660 3,3 3, ,678 0,846 1,043 1,9 1,664 1,990,374,639 3,195 3, ,677 0,845 1,04 1,90 1,660 1,984,364,66 3,174 3, ,675 0,84 1,037 1,8 1,646 1,96,330,581 3,098 3,300 ifiito 0,674 0,84 1,036 1,8 1,645 1,960,36,576 3,090 3,91 7 Tavola realizzata co la fuzioe ivt del foglio di calcolo

28 F M = 7 3 media = 4, , SS= 18,86 5,67 d.s. = 4, , e.s. = 1, , d (-)= 3, = * = + - = = g.l. Valore trovato valore tabulato < 1,07014,306 Il peso dei maschi o è statisticamete differete da quello delle femmie ds d = 10, ds d = 3, t calcolato = 1, t 0,05 =,306 t 0,01 = 3,355 P = 0, F M = 7 3 media = 4,1 s 45,7 s d.s. = 4,63 5,13 ota: lettere diverse idicao differeze sigificative per p<0,05 Co questa variabilità e questa umerosità dei pesi quale avrebbe dovuto essere stata la differeza fra i pesi per 8 essere cosiderata sigificativa?

29 + - = 8 = g.l. t 0,05 = t 0,01 =,306 3,355 t * ( x x) ( x x) * * MDS 0,05 = 7,58 MDS 0,01 = 11,08 9

30 La media di risulta statisticamete differete da quella di? = per p < 0,05 (oppure o)? PESI DI PESI DI = 6 5 media = 47, ,6 SS= 1.09,33 945,0 Poi cofrotalo co i valori tabellari per sapere se è compreso o meo ella oscillazioe casuale d (x x ) ( x x) ( x x) * * 30

31 = 6 5 media = 47, ,6 SS= 1.09,33 945,0 d.s. = 14, ,37053 d (-)=, = * = + - = = g.l. 3,3 ds = d 80, t calcolato =, Valore trovato valore tabulato >,4861,6 La media di differisce i modo sigificativo da quella di. t(9g.l.) 0,05 = t(9g.l.) 0,01 = P = 0,0348,6 3,5 = area esatta sotto la curva di t 47,3 è diverso da 69,8 per p< 0,05 poiché Valore trovato valore tabulato,4861 < 3,5 La differeza o è altamete sigificativa ma solo sigificativa. 31

32 Il valore di t trovato =,48 è più grade del valore di t per l'area del 95% (t =,6) quidi si trova meo del 5% delle volte. È sigificativo! Il valore di t trovato =,48 o è più grade del valore di t per l'area del 99% (t = 3,5) quidi si trova o meo del 1% delle volte o è quidi altamete sigificativo ma solo sigificativo!

33 Calcolo l e.s. per vedere quati decimali riportare e.s. di = 5, e.s. di 6, La prima cifra sigificativa è l uità quidi la media deve avere u decimale e la d.s. u decimale i più della media PESI DI PESI DI = 6 5 media = 47,3 a 69,6 b d.s. = 14,35 15,37 Nota: media co lettere diverse idicao ua differeza statisticamete sigificativa(cioè p=probabilità < 0,05) 33

34 Per covezioe è opportuo per meglio distiguere le due probabilità scelte arbitrariamete dal cosesso scietifico Differeza sigificativa Probabilità uguale o iferiore al 5% (o iferiore a 0,05) bbreviato p<0,05 si usao lettere miuscole per le medie e.g.: a,b,c,... si usa u asterisco per idicare la differeza Differeza altamete sigificativa Probabilità uguale o iferiore al 1% (o probabilità iferiore a 0,01) bbreviato p<0,01 si usao lettere maiuscole per le medie e.g.:,,c,... si usa due asterischi per idicare la differeza

35 Quale è la MDS per p = 0,01 e per p = 0,05 fra le due serie e? PESI DI PESI DI = 6 5 media = 47, ,6 SS= 1.09,33 945,0 d.s. = 14, , = 9 = g.l. t 0,05 =,6 t 0,01 = 3,5 t * ( x x) ( x x) * * 35

36 MDS 0,05 = MDS 0,01 = 0, ,14949 Devo calcolare gli e.s. Per decidere il umero di decimali! PESI DI PESI DI e.s. = 5, , pesi di = 6 5 media = 47,3 a 69,6 b d.s. = 14,35 15,4 ota: lettere diverse idicao differeze sigificative per p<0,05 36

37 Massima efficieza quado umero idividui uguale i ciascu gruppo 37