Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13

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1 Statistica Matematica: Cocetti Fodametali Nell esperieza quotidiaa e ella pratica della professioe dell igegere occorre: predere decisioi e ciò ormalmete richiede la dispoibilità di specifiche iformazioi e la capacità di ua iterpretazioe corretta Le iformazioi e le decisioi prese devoo essere adeguatamete spiegate e documetate. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava

2 Statistica Matematica: Cocetti Fodametali Le iformazioi ecessarie a predere le decisioi soo origiate i forma grezza (dati osservati o rilevati o grezzi). Le iformazioi devoo essere elaborate, presetate, ed aalizzate co gli opportui metodi statistici, secodo lo schema: Dati grezzi Metodi statistici Iformazioi Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava

3 Statistica Matematica: Cocetti Fodametali Il termie Statistica risale al XV XVI secolo dove veiva usato per idicare le cose otevoli di uo Stato: popolazioe, attività ecoomiche, risorse del territorio,..., compediate i documeti aveti per scopo pricipale l imposizioe fiscale. Il termie deriva dalle parole: Stato (etità territoriale ed ammiistrativa) status (parola latio medievale) codizioe Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 3

4 Statistica Matematica: Cocetti Fodametali La statistica è ua scieza applicata che sviluppa i metodi che permettoo di trasformare i dati osservati i iformazioi utili per predere le decisioi relative. Le idagii statistiche o riguardao eveti o idividui sigoli: i dati rilevati oggetto delle elaborazioi devoo riferirsi a feomei collettivi. I dati devoo essere osservati i codizioi omogeee ed essere ripetibili. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 4

5 Statistica Matematica: Cocetti Fodametali Il requisito di omogeeità dei dati idica la ecessità di riferirsi a situazioi elle quali o sussistao elemeti di variabilità diversi da quelli oggetto dell aalisi che si itede fare. L isieme delle uità statistiche è detto popolazioe. o Popolazioe fiita: es. i bambii o Popolazioe ifiita: es. ua successioe idefiita di laci di u dado. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 5

6 Statistica Matematica: Cocetti Fodametali La statistica è ua disciplia di tipo e di valore applicativo che collega Cocetti teorici della Teoria della Probabilità Realtà Si passa dallo Spazio Campioe S allo spazio geerato da prove ripetute pesate come ripetizioi di u medesimo esperimeto ( osservazioi del medesimo feomeo). S Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 6

7 Statistica Matematica: Cocetti Fodametali Lo scopo è di stabilire delle ifereze sulla legge probabilistica che govera il feomeo, cioè dedurre, dalle osservazioi, le proprietà di tale legge. La statistica può essere suddivisa i: Statistica Descrittiva Statistica Matematica Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 7

8 Statistica Descrittiva Si dispoe di ua coosceza completa delle popolazioe, o soo quidi richieste deduzioi di valori icogiti; occorre solo orgaizzare opportuamete i dati per mettere i risalto gli aspetti e le proprietà di iteresse (esempio ei cesimeti). Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 8

9 Esempio di Statistica descrittiva 5k 0k Maschi Femmie 5k 0k 5k < Idipedete Età (ai) dall età (da IEE Salary Survey) - Paga aua degli igegeri (U.K), per classi di età e per maschi e femmie. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 9

10 Statistica Matematica Si occupa delle variabili aleatorie geerate, ormalmete, da uo schema di prove ripetute. Soo quidi costituiti degli eveti che presetao ua probabilità prossima a zero oppure all uità. Ciò permette di cosiderare le ifereze come quasi certezze. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 0

11 Ifereza Statistica Verifica delle Ipotesi Statistiche - permette, sulla base dei dati sperimetati raccolti, di scegliere tra due o più ipotesi riguardati il feomeo che è all'origie dei dati) Teoria della Stima - permette di determiare i valori più plausibili dei parametri del modello probabilistico ipotizzato. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava

12 Il Campioe Aleatorio L isieme di dati su cui viee applicato il procedimeto statistico costituisce il campioe delle osservazioi. Esempio: verifica di u dado regolare Si lacia il dado u certo umero di volte (le prove ripetute di cui cosiste l esperimeto, es. 5) otteedo i segueti risultati X i, co i =,,...,5 {, 3, 4,, 4,, 6, 4, 4, 3, 6, 4,, 4, 4 } Il campioe è costituito da umeri iteri (di cardialità fiita: i primi sei umeri iteri). Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava

13 Il Campioe Aleatorio Esempio: durata di ua lampadia (vita) 0 lampadie idetiche foriscoo le 0 durate segueti (misurate i ore), che costituiscoo il ostro campioe: { 500.5, 378., , 540.9, 73, } 438.3, 499.9, 580.3, 3860., Le durate delle lampadie soo espresse da umeri reali positivi qualsiasi. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 3

14 Ipotesi fodametali: Il Campioe Aleatorio Idetità del feomeo elle varie osservazioi Idipedeza delle osservazioi Poiché ogi osservazioe è la realizzazioe di ua v.a., il campioe casuale è u isieme di variabili aleatorie che hao, per l ipotesi di idetità, uguale distribuzioe di probabilità e che soo, per l ipotesi di idipedeza, statisticamete idipedeti tra loro. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 4

15 Il Campioe Aleatorio I termii più formali il campioe aleatorio (radom sample) di dimesioe, estratto da ua popolazioe, è u isieme di variabili aleatorie X, X,..., X che hao la stessa desità (o massa) di probabilità f X x e soo tra loro statisticamete idipedeti ( ) (vv.aa i.i.d. - idipedeti ed ideticamete distribuite). La dimesioe del campioe è chiamata "taglia" o "umerosità". Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 5

16 Il Campioe Aleatorio Idicado co S lo spazio i cui è defiita la geerica variabile X i, il campioe aleatorio X, X,..., X è defiito sullo spazio prodotto cartesiao: S = S S... S ( volte) formato da ripetizioi idipedeti dell esperimeto che da luogo ad S. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 6

17 x Il Campioe Aleatorio x Spazio campioe (dimesioe ) per il lacio di due dadi Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 7

18 Il Campioameto L operazioe di estrazioe del campioe da ua popolazioe si chiama campioameto, o ache campioameto statistico. Le Statistiche Campioarie Il primo tipo di aalisi che si effettua sul campioe è costituito dal calcolo di alcue gradezze sitetiche rappresetative del campioe stesso: I Percetili La Media di Campioe Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 8

19 I Percetili Il valore u-percetile (percetile di ordie u ) di ua v.a. X è quel valore x u di X tale che X ( ) F x = u Esempio: Data ua v.a. X uiforme i (0, 5) F X ( ). ( x) 095. X u x = 5 per 0 x 5 x = = x = = F x Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 9

20 I Percetili Esempio: Cosiderado ua v.a. Gaussiaa stadard, dalla coosceza dei suoi percetili (tabulati) si possoo ricavare quelli di ua qualsiasi v.a. Gaussiaa. Se l u-percetile di ua v.a. Gaussiaa stadard è z u, l upercetile di ua v.a. Gaussiaa N ( η, σ ) è x u = η + σ z u Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 0

21 Il Percetile Empirico Il cocetto di percetile può essere applicato se si cosidera u campioe di osservazioi ivece di ua v.a.. I questo caso è possibile valutare solo i percetili di ordie K essedo la dimesioe del campioe e K. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava

22 Se idichiamo co Il Percetile Empirico { x } i =,..., i il campioe ordiato delle osservazioi è: ( ) x x i i + i il percetile empirico di ordie K è proprio da x K. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava

23 Dato il campioe aleatorio La Media di Campioe { X, X,..., X } la media di campioe (o media campioaria) è: X = X i i = Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 3

24 Il Mometo Campioario I maiera aaloga possiamo defiire il geerico mometo campioario di ordie k come: Osservazioe: X k Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 4 = i = la media campioaria e i mometi campioari, come fuzioi di v.a. (le ach essi variabili aleatorie. X k i X i o le loro poteze), soo

25 Media e mometi campioari Dispoedo del campioe osservato, si ha: { x, x,..., x } X = x i X k = x k i i = i = Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 5

26 Esempio: Media e mometi campioari {4.5, 3.0, 7., 8.9} i valori della media di campioe e del terzo mometo campioario soo: X = ( ) = X 3 = ( ) = Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 6

27 Media e mometi campioari Se cosideriamo l isieme di tutti i possibili campioi che è possibile otteere da ua popolazioe, i mometi campioari soo variabili aleatorie caratterizzate mediate le loro distribuzioi di probabilità (dette distribuzioi campioarie) o mediate i loro mometi. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 7

28 I mometi della media campioaria [ ] [ ] E X = E X = E X i Var X [ ] Var[ X ] Var X = i = Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 8

29 Verifica: I mometi della media campioaria { } E X { } { } E X E X η = = =η { } { } X Var X E X =σ = η = { ( ) ( ) } = E X η X η Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 9

30 I mometi della media campioaria Sviluppado il quadrato si hao doppi prodotti il cui valore atteso è ullo, essedo le variabili X i idipedeti (e quidi scorrelate). Idicado co σ la variaza di ogi X i, si ha: σ σ = σ = X Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 30

31 I mometi della media campioaria Al crescere di, la variabile aleatoria X ha ua desità sempre più "cocetrata" itoro alla media (di popolazioe) η, el seso che il suo valore atteso è eguale a η e la variaza decresce al crescere di. La disuguagliaza di Chebycev implica che la probabilità che X sia compresa i u itervallo del σ tipo η k ; η+ k σ è o iferiore a k : Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 3

32 I mometi della media campioaria σ P X η< k k Per, si può predere k "abbastaza grade" che, co elevata probabilità (ad esempio, co probabilità pari al 99 % se k = 0), X differisce dalla media di popolazioe per ua quatità (pari a k σ ) che tede a zero secodo l iverso della radice quadrata della dimesioe del campioe. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 3

33 I mometi della media campioaria Metre il calcolo dei primi due mometi è agevole, la distribuzioe di probabilità di X è ivece di difficile derivazioe i molti casi. Nel caso di campioe umeroso si ricorre all approssimazioe forita dal Teorema del Limite Cetrale: la media di campioe X segue approssimativamete la legge Normale. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 33

34 Idicado co z u il percetile u-esimo di ua v.a. Z Gaussiaa N( 0, ) e co δ ua costate legata ad u da u δ =, si ha: { } P z < Z z = δ δ δ Suppoedo la media campioe Gaussiaa: N η =η, σ = X X σ Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 34

35 e Z è Normale N( 0, ), si può scrivere: σ X =η ± X Z σ =η± X Z Si può fissare u itervallo che comprede X co probabilità "elevata" (se si sceglie δ piccolo): σ σ η < η+ = δ P z X z δ δ Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 35

36 f Z z ( ) area δ = area = δ z δ / z δ / 0 z Percetili della gaussiaa stadard Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 36

37 f X area area = area = z δ / σ / δ / z σ / Desità della media campioaria e percetile. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 37

38 Tabella dei Percetili - Gaussiaa Stadard zu x u = exp dx π Probabilità u z u Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 38

39 Osservazioe: Se il campioameto (di dimesioe ) è estratto da ua popolazioe Gaussiaa N ( η, σ ) la media di campioe ha esattamete distribuzioe Gaussiaa co valore atteso η e variaza σ. Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 39

40 La Variaza di Campioe σ ˆ = X X i = ( ) La variaza campioaria è ua variabile aleatoria. i Se idichiamo co η e σ il valore atteso e la variaza comue a tutte le X i, il valore atteso di ˆσ (le X i soo i.i.d. e E X i = σ +η ) si può calcolare come segue: Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 40

41 La variaza di campioe: calcolo del valore atteso ( ) E ˆ E Xi X σ = = i= { ( ) } E X i E X E XiX = + = i= X i = η +σ + E X jxk E X j = i= j= k= j= =η +σ + E X X E X X = =η +σ j k i j j= k= i= j= i= j= E XiX j = Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 4

42 =η +σ [ ] E X i E Xi E X j + = i= i= j= j i { ( =η +σ ) ( ) } η +σ + η η = =η +σ = = σ E σ ˆ = σ Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 4

43 La variaza di campioe corretta ( ) = = σ ˆ i i= S X X Il valore atteso della variaza campioaria corretta è ˆ E S = E σ = = E σ ˆ = = σ =σ Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 43

44 Campioameto da popolazioe Gaussiaa X e S soo variabili aleatorie statisticamete idipedeti, cioè la loro distribuzioe cogiuta è pari al prodotto delle distribuzioi margiali. La distribuzioe della gradezza ( ) S σ, legata alla variaza campioaria corretta da u semplice fattore di proporzioalità, è di tipo χ ( ). (Chi Quadro co gradi di libertà) Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 44

45 Campioameto da popolazioe Gaussiaa Dalla defiizioe la v.a. S risulta pari: S = = i σ σ i= ( ) ( X X) ( ) X X i X X i σ i= i= = = σ A causa del vicolo: ( ) i X X = 0 la sua distribuzioe Chi Quadro co gradi di libertà. i= Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 45

46 Campioameto da popolazioe Gaussiaa Il rapporto tra la media campioaria dimiuita del proprio valore atteso e la radice quadrata della variaza campioaria divisa per la umerosità del campioe è ua variabile aleatoria di Studet co ( ) gradi di libertà: ( ) T = X S/ η Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 46

47 Campioameto da popolazioe Gaussiaa X η Z =, W = σ / soo idipedeti, co ( ) Z distribuita N ( 0, ), χ ( ) ( ) ( ) ( ) Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 47 S σ X η Z / X η = σ W/ S = S / σ è distribuito come ua Studet co ( ) gradi di libertà.

48 Teoria dei Feomei Aleatori Variabile di Studet: AA 0/3 Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 48

49 Statistiche campioarie Sia la media campioaria che la variaza campioaria (ormale o corretta) costituiscoo degli esempi di statistiche. Co il termie statistica si itede ua qualsiasi gradezza otteuta mediate operazioi sul campioe (ua statistica è ua fuzioe del campioe che o dipede da parametri icogiti). Doceti: Gaspare Galati Gabriele Pava 49