STATISTICA E PROBABILITA nella Scuola Secondaria di secondo grado Mathesis Roma, 8 novembre 2016

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1 STATISTICA E PROBABILITA ella Scuola Secodaria di secodo grado Mathesis Roma, 8 ovembre 06 Ferdiado Casolaro () fcasolar@uisaio.it - ferdiado.casolaro@uia.it Apputi estratti dal corso di Statistica (periodo ) teuto alla Facoltà di Scieze MM.FF.NN. (laurea i Scieze Ambietali) dell'uiversità del Saio. I temi trattati i questi apputi soo reperibili el volume Atti Teri 0, sul sito ella sezioe RELAZIONI TRA FISICA E MATEMATICA. Programma: da distribuire el corso di 5 ai, come avviee per le geometrie e per l'algebra. Le medie: media aritmetica, media aritmetica poderata; media geometrica ; media armoica. Medie di posizioe: mediaa; moda. Idici di variabilità: scarto semplice, variaza, scarto quadratico medio. Elemeti di aalisi combiatoria. Pricipi fodametali del calcolo combiatorio. Fattoriale di u umero itero positivo, coefficiete biomiale, biomio di Newto. Disposizioi, permutazioi, combiazioi semplici e co ripetizioi. Itroduzioe alla Probabilità. Cei storici; la defiizioe classica; la defiizioe frequetista; la defiizioe soggettiva; la defiizioe assiomatica. Eveti icompatibili; eveti idipedeti. La probabilità codizioata; Pricipio di probabilità totale e teorema di Bayes. Isiemi ifiiti: umerabilità e cotiuità. Cei sulle serie umeriche ed approccio ituitivo all itegrale defiito; la serie geometrica elle applicazioi probabilistiche: u esempio sigificativo. Le variabili casuali. Defiizioe di variabile casuale; distribuzioe di probabilità. Variabili casuali discrete e cotiue: il valore medio, la variaza, la deviazioe stadard. Alcui esempi di distribuzioi. Distribuzioe biomiale. Distribuzioe ormale. Distribuzioe di Poisso.

2 La probabilità Calcolo delle probabilità: i vari aspetti della probabilità e le questioi riguardati gli isiemi discreti (fiiti e umerabili). Il teorema di Bayes e la sua applicazioe ei quesiti assegati agli esami di Stato. ) Defiizioe classica di probabilità. E il rapporto tra il umero f dei casi favorevoli ed il umero dei casi possibili: f p ( a) Tale defiizioe è valida solo se i casi soo equiprobabili. ) Defiizioe frequetista di probabilità. E ua defiizioe che asce dall esperieza, cioè dall osservazioe di ua ripetizioe di prove e dal umero di volte i cui si verifica l eveto richiesto. La probabilità frequetista è, duque, il rapporto tra la frequeza f co cui si è verificato l eveto richiesto i osservazioi precedeti ed il umero stesso. p ( a) quado il umero delle osservazioi è abbastaza grade. L espressioe abbastaza grade ha u sigificato relativo allo specifico eveto che si sta aalizzado. Guido Casteluovo defiisce la probabilità frequetista mediate la seguete affermazioe (legge empirica del caso): I ua serie di prove ripetute u gra umero di volte, elle stesse codizioi, ciascuo degli eveti possibili si maifesta co ua frequeza relativa (probabilità frequetista) che è presso a poco uguale alla sua probabilità, l approssimazioe cresce al crescere del umero delle prove. L affermazioe di Casteluovo esprime la cosiddetta legge dei gradi umeri: Co il crescere del umero delle prove, è sempre più probabile che la frequeza relativa di u eveto si avvicii alla sua probabilità. f 3) Defiizioe soggettiva di probabilità. Premettiamo il quesito assegato el liceo PNI ell ao scolastico 005/006.

3 Bruo de Fietti ( ), tra i più illustri matematici italiai del secolo scorso, del quale ricorre quest ao il ceteario della ascita, alla domada: che cos è la probabilità? era solito rispodere: la probabilità o esiste!. Quale sigificato puoi attribuire a tale risposta? E possibile collegarla a ua della diverse defiizioi di probabilità che soo state storicamete proposte? Il sigificato da attribuire alla frase la probabilità o esiste! si evice dal cocetto di probabilità soggettiva. La probabilità soggettiva p di u eveto E è la misura del grado di fiducia espresso dal umero reale p, tale che ua scommessa di quota p su E sia coerete, cioè tega coto delle codizioi reali. La probabilità soggettiva è utilizzata el caso i cui o abbia seso cosiderare ciò che è avveuto per ua successioe di eveti aaloghi o si deve assegare ua probabilità ache agli eveti i cui i casi possibili soo ifiiti. Dato u umero reale p (0 < p < ) ed ua somma di daaro Q, diciamo che si effettua ua scommessa di quota p su u eveto E se, versado la somma pq si riceve l importo Q solo se si verifica l eveto E. Il guadago dello scommettitore, el caso di vicita è: Q pq = Q( p) Da cui si evice che se fosse p >, la scommessa sarebbe sempre i perdita. 4) Defiizioe assiomatica di probabilità. E ua defiizioe che si basa su u assiomatica che preseta aalogie alla struttura della geometria euclidea ed alla costruzioe della teoria della misura. Precisamete, si fissao degli assiomi su cui viee costruita ua serie di operazioi che permettoo l aalisi della previsioe di eveti. Ad ogi eveto A dello spazio campioe ( p, tale che: A ) associamo u umero reale ) 0 A) cioè, la probabilità è ua fuzioe che ad ogi elemeto dello spazio campioe associa u umero reale compreso tra 0 e. ) Se S è l eveto certo, si ha S) =. 3

4 3) Se è l eveto impossibile, si ha: ) = 0. A A,...,, A 4) Se soo eveti che si escludoo a viceda (cioè A A, i j ), si ha: i j p ( i A ) i i A ) I ua σ-algebra (cioè per u isieme di ifiità umerabile), si ha: i i p ( Ai ) Ai ). La cocezioe assiomatica della probabilità permette di cocepire l isieme di tutti i possibili esiti che si possoo verificare come uo spazio (spazio di probabilità o spazio dei campioi). U esito (o u eveto) è detto puto campioe. i Eveti icompatibili. Due eveti si dicoo icompatibili se si escludoo a viceda. I tal caso, se E ed E soo due eveti icompatibili, risulta: E E Esempio: E,, E Estraedo ua carta da u mazzo apoletao, siao 3, i segueti eveti: E E : la carta sia ; E : la carta sia ua figura; E : la carta sia di spada. 3 4

5 E evidete che i due eveti E ed E soo icompatibili; soo ivece compatibili le coppie di eveti ( E, E 3 ) e ( E, E 3 ). Eveti idipedeti. Due eveti si dicoo idipedeti quado il verificarsi del primo o altera la probabilità del verificarsi dell altro. Esempio: U ura cotiee 00 pallie di quattro colori diversi: - 5 pallie biache; - 5 pallie ere; - 5 pallie rosse; - 5 pallie verdi. La probabilità che, estraedo ua pallia dall ura, essa sia rossa è uguale a 4. Se rimettiamo la pallia ell ura e ripetiamo ua secoda estrazioe, gli eveti: E : pallia rossa dalla prima estrazioe; E : pallia rossa dalla secoda estrazioe, soo idipedeti i quato si ha: E ) = E ) =. 4 Se ivece effettuiamo la secoda estrazioe seza rimettere la pallia ell ura, idicato co E l eveto che la pallia sia rossa, E o è idipedete da E, perché risulta: E ) = ; E ) = Eveto totale. Eveto composto. Dati due o più eveti (parziali): - si dice eveto totale (uioe degli eveti) di essi, l eveto che cosiste el verificarsi dell uo o dell altro dei vari eveti parziali. 5

6 - si dice eveto composto (itersezioe degli eveti) da essi, l eveto che cosiste el verificarsi di tutti gli eveti parziali. Pricipio della probabilità totale. Dati due eveti parziali, la probabilità del loro eveto totale è uguale alla somma delle probabilità dei due eveti parziali dimiuita della probabilità del loro eveto composto. Nel liguaggio degli isiemi si ha: p ( E E E ) E ) E ) E )) Nel caso che gli eveti siao icompatibili, risulta: E p E E ) E ) E ( E), per cui si ha: che è il pricipio della probabilità totale per eveti icompatibili. Pricipio della probabilità composta Se u eveto è composto di due o più eveti idipedeti, la sua probabilità è il prodotto delle probabilità dei vari eveti compoeti. Nel liguaggio degli isiemi si ha: E E) E) E) Esempio: Si estrae ua carta da u mazzo di 5; qual è la probabilità che sia ua figura o ua carta di cuori? Idicato co E l eveto che la carta sia ua figura, e co E l eveto che la carta sia di cuori, è evidete che i due eveti o soo icompatibili, perché ua carta può essere ua figura di cuori. Quidi risulta: p ( E E E ) E ) E ) E ) = Probabilità codizioata. La valutazioe della probabilità di u eveto dipede ache dallo stato di iformazioe di cui si è i possesso. I due esempi che seguoo rappresetao due situazioi diverse: 6

7 ) Calcolare la probabilità che il getto di due dadi dia 0 (eveto A). ) Calcolare la probabilità che il getto di due dadi dia 0, sapedo che u dado ha dato 6 (eveto A/B). Nel primo caso si deve cosiderare l itero uiverso U degli eveti elemetari derivati dal getto dei due dadi; el secodo si deve cosiderare solamete u suo sottoisieme, e precisamete quello i cui elemeti soo coppie di umeri di cui almeo uo sia u 6. Nel primo caso si ha: U {(,); (,); (,3); (,4); (,5); (,6); (,); (,); (,3); (,4); (,5); (,6); (3,); (3,); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,); (4,); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (5,); (5,); (5,3); (5,4); (5;5); (5,6); (6,); (6,); (6,3); (6,4); (6,5), (6,6)} cioè, lo spazio dei campioi è costituito da 36 elemeti. Nel secodo caso si deve cosiderare solamete u suo sottoisieme, precisamete quello i cui elemeti soo coppie di umeri di cui almeo uo sia 6: U 6 {(,6); (,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6); (6,); (6,); (6,3); (6,4); (6,5)}. Nel primo caso, il sottoisieme U 3 dei puti di U costituiti da coppie che dao per somma 0 è: U 3 {(4,6); (6,4); (5,5)} e, quidi, essedo gli eveti equiprobabili, ci basta applicare la defiizioe classica; la 3 probabilità A) è =. 36 Nel secodo caso, l isieme U 6 è costituito da elemeti, per cui il sottoisieme U dei puti di U 6 costituiti da coppie che dao per somma 0 è: 7

8 U {(4,6); (6,4)} per cui risulta che la probabilità B) è. Questo secodo esempio ci itroduce il cocetto di probabilità codizioata, cioè si chiede di: calcolare la probabilità che si verifichi l eveto A {il getto di due dadi dia 0}, a codizioe che sia dato l eveto B {u dado ha dato 6}, che è idividuato dai puti di U 6. I tal caso diciamo che si calcola la probabilità che si verifichi l eveto A codizioato a B che si esprime co p (A/B). Osserviamo che l isieme U {(4,6); (6,4)} è costituito dai puti comui sia ad A che a B, cioè ad A B la cui probabilità ello spazio campioe U, è data da: A B ) =, 36 metre l isieme U 6, costituito dai puti che hao ua coordiata uguale a 6, è costituito da elemeti, per cui la probabilità che si verifichi l eveto B è: Allora risulta: p (B) =. 36 p (A/B) = A B) B) = Tale relazioe si può cosiderare ache di tipo classico, perché la probabilità del verificarsi di ua qualsiasi coppia è, cioè gli eveti soo equiprobabili: 36 - i casi favorevoli soo su 36: {(4,6); (6,4)}; - i casi possibili (u dado abbia dato 6) soo su 36: {(,6); (,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6); (6,); (6,); (6,3); (6,4); (6,5)} 8

9 Geeralizzado quato detto, si hao duque le due relazioi: A B) p (A/B) = ; B) p ( A B) p ( A/ B) p ( B), che idividuao le leggi della probabilità codizioata. OSSERVAZIONE Nell esempio del lacio di due dadi, vogliamo determiare la probabilità, che dato 4 il valore del primo dado, laciado il secodo, - la somma sia 6: eveto A; - la somma sia 7: eveto B; Idicato co E l eveto che il primo dado dia 4, è evidete che A E = {(4,)} per cui la probabilità che A ed E si verifichio cotemporaeamete è 36. Osserviamo che i puti degli spazi campioi di A e di B soo rispettivamete: A {(,5); (,4); (3,3); (4,); (5,)} B (4,); (4,); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6)} 6 Dove, essedo E l eveto che il primo dado dia 4, la probabilità E) è. 36 Si ha allora: metre: A E) 36 p (A/E) = = 6 E) 6 ; p (A) p (E)= =, per cui gli eveti A ed E o soo idipedeti, essedo: 9

10 p ( A E) p (A) p (E) Ripetedo lo stesso ragioameto co l eveto B per calcolare la probabilità p (B/E) (cioè, la somma sia 7 dato 4 per il primo dado), si vede che : B E = {(4,3)}, cioè: p ( B E) 6 quidi: B E) 36 p (B/E) = = 6 E) 6, 36 come el caso precedete. Osserviamo, però, che lo spazio campioe di B è costituito da 6 puti, per cui risulta: 6 6 p (B) p (E)= = = B E), per cui i due eveti soo idipedeti. Teorema di Bayes. Nelle applicazioi (i particolare i ambito ambietale e geologico), due qualsiasi eveti H e H, si possoo immagiare come cause possibili per u eveto A osservato. Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità affiché si possa verificare l eveto H (l eveto H ) ua volta che si è osservato l eveto A già verificato. Co semplici passaggi algebrici, dalla relazioe di probabilità codizioata, si deduce la formula di Bayes: p ( H / A) H ) H) A/ H) A/ H ) H ) A/ H ) Tale relazioe va estesa ad u umero di eveti (cause per l eveto A) H H,...,, H : p ( H / A) H ) A/ H ) H) A/ H) H ) A/ H )... 0 H ) A/ H )

11 Esempio Il motaggio di u apparecchiatura è effettuato co compoeti di buoa qualità o co compoeti di qualità mediocre. Nel primo caso, la probabilità di fuzioameto corretto per ua durata di tempo T è di 0,95, metre el secodo caso è di 0,70. Il 40% delle apparecchiature cotiee compoeti di buoa qualità. Suppoedo che al collaudo u apparecchiatura fuzioi correttamete per la durata T, si calcoli la probabilità che essa sia costituita da compoeti di buoa qualità (si applichi il teorema di Bayes). Eveto A: l apparecchiatura fuzioa al collaudo per u tempo T. Eveto H : l apparecchiatura è motata co elemeti di buoa qualità. Eveto H : l apparecchiatura è motata co elemeti di mediocre qualità. La probabilità p ( H) = 0.40; La probabilità p ( H) = 0.60; La probabilità p ( A/ H) = 0.95; La probabilità p ( A/ H) = 0.70; Pertato, risulta: p ( H A/ H) H) / A) = A/ H). H) A/ H ) H ) =

12 Distribuzioe di probabilità Variabili casuali discrete e cotiue Si chiama variabile casuale ua fuzioe che associa ad ogi eveto elemetare E dello Spazio Campioario S uo ed u solo umero reale. Ua variabile casuale si dice discreta quado può assumere solo particolari valori i puti isolati di u itervallo. Ua variabile casuale si dice cotiua se i suoi valori possoo variare co cotiuità i u itervallo, che può essere limitato o illimitato. Dal puto di vista didattico-metodologico è opportuo itrodurre questi cocetti attraverso semplici esempi che possao permettere agli allievi u appredimeto di carattere laboratoriale. Problema. - Cosideriamo lo spazio degli eveti (spazio campioario) associato al lacio di tre moete. Qual è il umero totale delle volte i cui si preseta croce? Osserviamo che, laciado cotemporaeamete le tre moete, croce si può presetare:. zero volte (eveto E0) (tre volte testa).. ua volta (eveto E) (due volte testa). 3. due volte (eveto E) (ua volta testa). 4. tre volte (eveto E3) (zero volte testa). E opportuo far rappresetare agli allievi la seguete tabella, da cui si evice immediatamete la variabile idipedete che idichiamo co X: Puti dello spazio campioario Numero di volte che esce croce: CCC 3 CCT CTC CTT TCC TCT TTC TTT 0 Attribuedo ad ogi valore della variabile casuale X la corrispodete probabilità, si ottiee la distribuzioe di probabilità di X. Nel ostro caso lo spazio campioario S è costituito da otto elemeti: S {CCC, CCT, CTC, CTT, TCC, TCT, TTC, TTT}.

13 Poiché la variabile X può assumere: {ua sola volta il valore zero, tre volte il valore uo, tre volte il valore due, ua volta il valore tre}, l isieme {X0=0, X=, X=, X3=3} idividua il domiio D della ostra fuzioe ai cui valori soo associate, rispettivamete, le segueti probabilità: D {p 0 =/8, p =3/8, p =3/8, p 3 =/8}. La legge che associa ad ogi valore della variabile casuale X k - k = il corrispodete valore della probabilità p k è detta distribuzioe di probabilità della variabile casuale discreta X. No è superfluo far otare agli allievi che se chiedo la probabilità affiché si verifichi uo solo degli eveti dello spazio campioario S (precisamete, laciado i dadi uo alla volta, chiedo la probabilità affiché si verifichi CCC, oppure TTC, ecc.) ci troviamo ad operare el caso classico di eveti equiprobabili, per cui la probabilità di ogi eveto è /8. I questo caso la corrispodeza tra gli elemeti dello spazio campioario S e gli elemeti del domiio D della variabile casuale X è biettiva per cui, operativamete, il domiio D si può idetificare co lo spazio campioario S. Problema. - Determiare la distribuzioe di probabilità della variabile X che esprime il puteggio otteuto laciado due dadi: I valori di X ai quali corrispodoo le probabilità X) soo: X: X): /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36. Pertato, l isieme {/36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36} rappreseta la distribuzioe di probabilità della variabile casuale X. E opportuo far rappresetare agli allievi le coppie [X, X)] sul piao cartesiao perché uo degli aspetti più sigificativi dei problemi proposti è l osservazioe che, co i valori di X sulle ascisse e i valori di X) sulle ordiate, i puti ad ordiata massima si hao ella parte cetrale della rappresetazioe e i puti ad ordiata miima agli 3

14 estremi della rappresetazioe, come gli stessi allievi avrao modo di costatare egli ai successivi co la rappresetazioe della curva di Gauss. Idicato co x il umero reale che rappreseta il valore della variabile casuale X, la tera {S, D, x)} è detta Spazio di Probabilità. Pertato, uo spazio di probabilità è ua tera {S, D, x)}, dove S è u isieme qualuque (i geere pesato come l isieme dei risultati possibili di u esperimeto casuale), D è detta σ-algebra, ovvero u isieme (gli eveti) per i quali si può calcolare ua probabilità, e x) è ua misura di probabilità su S; precisamete: x) : S [0, ]. Distribuzioe di variabili casuali cotiue Se i valori di ua variabile casuale variao co cotiuità i u itervallo, essa si dice cotiua. I parametri esseziali ella rappresetazioe aalitica di ua variabile casuale cotiua soo:. La media aritmetica μ (che ella curva ormale, essedo simmetrica, coicide co la moda e la mediaa) corrispode all'asse di simmetria della curva e defiisce la posizioe, sull'asse delle ascisse, della curva. Cambiado la media della curva questa trasla lugo l'asse x.. La deviazioe stadard σ (o scarto quadratico medio) corrispode alla distaza tra la media e il puto di flesso della curva (dove la curva attraversa la sua tagete) e determia l'ampiezza della curva stessa. 3. La variaza σ forisce ua misura di quato i valori assuti dalla variabile si discostio dalla media, per cui la variaza è u idice di variabilità. Data ua distribuzioe di ua variabile su ua popolazioe di elemeti, la variaza è la media aritmetica del quadrato delle distaze dei valori dalla loro media x i i X x i i dove X è la media aritmetica di. X 4

15 I statistica viee molto spesso utilizzata la radice quadrata della variaza, cioè lo scarto quadratico medio (o deviazioe stadard o scarto tipo) X X. Co riferimeto a questa otazioe la variaza si trova quidi ache idicata come. I statistica si utilizzao solitamete due stimatori per la variaza su u campioe di cardialità : S xi x x x i i S i x x... x Dove x è la media campioaria. Il primo è detto variaza campioaria, metre il secodo è detto variaza campioaria corretta. Distribuzioe di Poisso Cosideriamo il caso delle cosiddette prove ripetute : ad esempio, si debba calcolare la probabilità p che u eveto si verifichi u umero k di volte su prove ripetute, co relativamete piccolo. I geerale, i questi casi la probabilità p assume valori abbastaza piccoli e si può determiare solo co u grade umero di prove. Si utilizzao allora delle formule approssimate di cui la più sigificativa è la distribuzioe di Poisso che è espressa dalla relazioe: p k k k! dove λ è il valore medio della variabile casuale biomiale x e k è il umero di volte i cui si verifica l eveto richiesto. Esempio. Ad u cetralio di ua ditta pervegoo mediamete 0 telefoate al miuto, la probabilità che i u miuto pervegao 6 telefoate è data da: p6 e % k! 70 e 5

16 Statistica. La curva di Gauss e semplici esempi di feomei aturali per l aalisi statistica. Partedo da u quesito assegato agli esami di Stato ell ao scolastico 006/007 (Corso sperimetale PNI) vogliamo esporre u percorso che riteiamo possa facilitare, già dal primo ao, l appredimeto del sigificato della curva di Gauss aalizzado semplici feomei aturali.. Quesito 4 - Si cosideri la fuzioe f x ( x) e Se e spieghi l importaza elle applicazioi della Matematica illustrado il sigificato di μ, σ, σ e come tali parametri ifluezio il grafico di f(x). Soluzioe E' u quesito di Statistica, che chiede di aalizzare la cosiddetta "curva degli errori" (fuzioe gaussiaa) che caratterizza l'adameto di tutti i feomei aturali. Il grafico i oggetto è il seguete: fig. La fuzioe gaussiaa è alla base delle aalisi statistiche i ogi disciplia e la sua coosceza permette lo studio sociologico di gra parte dei feomei attraverso la Statistica e il Calcolo delle Probabilità, disciplie esseziali per la formazioe delle uove geerazioi che, a causa della velocizzazioe degli eveti, vivoo ua realtà domiata dall icertezza. 6

17 Questo quesito è stato molto criticato dai doceti perché riteuto difficile ed estraeo alle idicazioi miisteriali. Per affrotarlo, l allievo deve cooscere alcui elemeti che o si possoo estrarre direttamete dalla formula. Prima di aalizzare i dettagli della relazioe aalitica proposta e specificare gli elemeti che essa cotiee (μ, σ, σ ), riteiamo opportuo, già el primo ao di corso (ma ache elle classi del primo ciclo) che l isegate propoga, attraverso grafici, l adameto di alcui feomei aturali che dimostrao come - ell aalisi di eveti gioralieri e aturali - la cocetrazioe maggiore è situata el periodo medio. Costruzioe di semplici grafici relativi a problemi aturali. Primo approccio alla compresioe della gaussiaa. ) Co u campioe di mille studeti, costruire u istogramma che preseta sull asse delle ascisse le segueti fasce di altezza (i cetimetri): < 50 - da 50 a 60 - da 60 a 70 - da 70 a 80 - da 80 a 90 - da 90 a 00 - > 00, e sull asse delle ordiate, il umero di studeti per ogi fascia. Si vede immediatamete che la fascia cetrale preseta i valori massimi, metre gli studeti di altezza iferiore a 50 cm e gli studeti di altezza superiore a 00 cetimetri presetao i valori più bassi (fig. 3.). 7 fig.. ) Costruire l istogramma che preseta sull asse delle ascisse i mesi dell ao e sulle ordiate la misura della fascia oraria compresa tra l alba e il tramoto.

18 Si hao i segueti dati: geaio e dicembre: giugo-luglio: I valori massimi soo cocetrati ei mesi cetrali, giugo-luglio, i valori miimi agli estremi rappresetati dai mesi di geaio e dicembre (fig. 3.). fig.. 3) Disegare u vulcao ed idicare sulla figura i puti i cui si sviluppa la massima eergia. E evidete che la figura del vulcao ha l adameto della curva di Gauss; è iteressate far otare agli allievi come i valori di massima eergia si hao ella parte cetrale i cui è cocetrata ua massa maggiore, coeretemete al pricipio di equivaleza massaeergia (fig. 3.3). fig..3 Come ultimo esempio, possiamo osservare il grafico ufficiale del cesimeto 00, relativo alla distribuzioe della popolazioe residete i Italia per sesso e classi di età (fig. 3.4). 8

19 fig..4 Cesimeto 00- tratto da Matematica per la scuola superiore, vol. A. Giambò, R. Giambò 9

20 . - Le fuzioi a campaa e la distribuzioe ormale. Per compredere la relazioe () f ( x) e bisoga che si chiarisca il sigificato dei parametri che preseta e l'adameto del grafico della fuzioe di fig.. che rietra elle cosiddette "fuzioi a campaa" per rappresetare le "distribuzioi ormali". Precisamete:. la media aritmetica μ;. lo scarto quadratico medio σ (o deviazioe stadard) [misura la dispersioe dei dati itoro al valore atteso]; 3. la variaza σ [forisce ua misura di quato i valori assuti dalla variabile, si discostio dalla media]; 4. la distribuzioe ormale. 5. Il grafico della fuzioe exp x x E se parliamo a studeti di ligue diverse?. Proporre iizialmete esempi del modo reale attraverso semplici grafici.. Successivamete i primi elemeti aalitici di Statistica descrittiva. 3. Di seguito rappresetare graficamete le fuzioi elemetari, i particolare exp x e l x mediate costruzioe tabulare. U discorso aalogo va fatto per il calcolo delle Probabilità, partedo già dal primo bieio co giochi di dadi, carte e classifiche dei campioati di calcio. Questi cocetti, (abbastaza semplici), devoo però essere legati al processo logico che è alla base della costruzioe del grafico della fuzioe, i particolare la fuzioe espoeziale, esseziale alla compresioe delle fuzioi a campaa e, quidi, la logaritmica. A tale scopo, riteiamo che già el primo bieio si debbao proporre agli allievi esercitazioi sulla costruzioe di semplici grafici relativi a problemi aturali, per evideziare come questi hao sempre l adameto della curva di Gauss che, i ambito statistico, fa parte di quei grafici che idividuao le cosiddette distribuzioi ormali. Che cos'è ua distribuzioe ormale? Le distribuzioi ormali soo ua famiglia di distribuzioi che hao le stesse caratteristiche e lo stesso adameto. Graficamete soo rappresetate da curve 0

21 simmetriche rispetto ad ua retta, co valori più cocetrati verso il cetro e meo elle estremità laterali, che hao u adameto di curve a campaa (ma o tutte le curve a campaa soo distribuzioi ormali). Ua distribuzioe ormale può essere espressa matematicamete i fuzioe di due parametri: la media (µ) e lo scarto tipo (o deviazioe stadard) (fig..) come caso z particolare della curva a campaa f ( z) e e del grafico della fuzioe otteuta da: f f ( z) k e x ( x) e z avedo posto: k z x fig.. I parametri esseziali soo: La media aritmetica μ (che ella curva ormale, essedo simmetrica, coicide co la moda e la mediaa) corrispode all'asse di simmetria della curva e defiisce la posizioe, sull'asse delle ascisse, della curva. Cambiado la media della curva questa trasla lugo l'asse x. La deviazioe stadard σ (o scarto quadratico medio) corrispode alla distaza tra la media e il puto di flesso della curva (dove la curva attraversa la sua tagete) e determia l'ampiezza della curva stessa. la variaza σ forisce ua misura di quato i valori assuti dalla variabile si discostio dalla media. I fig.. soo rappresetati grafici di distribuzioe ormale i cui si può otare come le curve ormali differiscao per il modo i cui i valori si distribuiscoo.

22 I fig..3 si può osservare come, al variare della media e della variaza, la curva subisca sia uo spostameto sull asse delle ascisse, sia u appiattimeto; se si fa variare solo la variaza e si tiee costate la media, la curva si appiattisce quado la variaza cresce e diveta più apputita quado la variaza cala, metre il cetro rimae lo stesso. fig.. fig..3 Per calcolare le probabilità che ua variabile casuale X assuma valori compresi all itero di itervalli della retta reale, si utilizza la distribuzioe ormale stadardizzata, la cui importaza sta el fatto che le probabilità corrispodeti alle superfici racchiuse dalla curva ormale soo state tabulate e vegoo riportate i apposite tabelle, per cui possoo essere determiate seza dover ricorrere al calcolo di itegrali. La distribuzioe ormale stadardizzata preseta le stesse caratteristiche della distribuzioe ormale o stadardizzata. Ciò che distigue le due distribuzioi è che la ormale stadardizzata ha Media = 0 e Deviazioe stadard =, per cui è rappresetata da ua sola curva (fig..4), metre la distribuzioe ormale geerale è costituita da ifiite curve.

23 fig..4 Equazioe della curva ormale L'ordiata di u puto sulla curva ormale che rappreseta la fuzioe di distribuzioe è defiita da: dove µ è la media e è lo scarto tipo, è u umero costate uguale a 3,459, ed e è la base dei logaritmi aturali ed è uguale a,788. La variabile casuale X può variare da + a -. La fuzioe y tede a 0 quado x si allotaa di più di tre scarti tipo dalla media, sia a siistra che a destra. Ua tale desità di probabilità preseta come parametri caratteristici la media μ, la variaza σ, o la devazioe stadard σ defiita come la radice quadrata della variaza 3

24 e che rappreseta la distaza, sull asse delle ascisse, tra la media μ e i flessi della curva stessa che si trovao a x = σ ± μ. Discutiamo ora il sigificato della media μ e della variaza σ al variare dell ua e fissata l altra. - Fissata la variaza σ, al variare della media μ, la forma della campaa o muta, ma trasla lugo l asse delle ascisse, come mostra la figura sottostate. Ifatti x = μ è asse di simmetria e i corrispodeza di x = μ la fuzioe assume valore massimo. - Fissata la media μ, al variare della variaza σ, la desità cambia forma. Ifatti, al decrescere della variaza σ (e quidi di σ), la campaa si restrige sempre di più e il massimo, raggiuto per x = μ, aumeta. Viceversa, al crescere della variaza σ (e quidi di σ), la campaa si allarga sempre di più, il suo massimo dimiuisce, fio a che la desità tede a coicidere co l asse delle ascisse se σ tede all ifiito. Ifatti, i questo caso, il valore massimo è ullo. Queste cosiderazioi mostrao che la media μ è u parametro posizioale, metre σ misura la dispersioe itoro a μ, Ifatti, al variare di μ, a parità di variaza σ, la desità subisce solo ua traslazioe, metre a parità di μ, al crescere di σ, i flessi x = σ ± μ si allotaao da μ e la desità di probabilità attribuisce maggiore probabilità ai valori più lotai dal valore cetrale. Ivece, al decrescere di σ, a parità di μ, i flessi si avviciao al valore cetrale ed aumeta la probabilità che la variabile aleatoria assuma valori attoro al valore cetrale. 4

25 3. Temi assegati agli esami di Stato Ao 007/008. Quesito Siao dati u coo equilatero e la sfera i esso iscritta. Si scelga a caso u puto all itero del coo. Si determii la probabilità che tale puto sia estero alla sfera. Soluzioe: 3 3 Il Volume del coo equilatero co raggio R è V = R r 3 Dalle relazioi: Area sfera ; r R tg R, si deduce il volume della sfera iscritta el coo equilatero che è dato da: V = 4 3 R 7 La probabilità che il puto P sia itero alla sfera è data dal rapporto tra i due volumi e vale 9 4. Allora, la probabilità richiesta (cioè, che il puto sia estero alla sfera, è: 4 5 p e

26 Ao 007/008. Quesito 9 - I ua classe composta da maschi e 8 femmie, viee scelto a caso u gruppo di 8 studeti. Qual è la probabilità che, i tale gruppo, vi siao esattamete 4 studetesse? Soluzioe 0 studeti maschi 8 femmie Gruppo di 8 studeti (4 maschi, 4 femmie) ) Quati puti ha il mio spazio campioe? Cioè quate combiazioi di 8 studeti posso avere? 0 8 0! 8!! N t C0,8 = 5970 ) Affiché el gruppo ci siao 4 studetesse, gli altri 4 devoo essere studeti, quidi, ello spazio campioe di maschi devo idividuare quati gruppi di 4 studeti posso otteere, cioè le combiazioi di elemeti a 4 a 4:! C,4 4 8! 4! 3) Aalogamete, el gruppo di 8 femmie devo idividuare quati gruppi di 4 studetesse posso otteere, cioè le combiazioi di 8 elemeti a 4 a 4: Poiché gli eveti: C 8 4 8,4 8! 4! 4! 6

27 A: uscita femmia; B: uscita maschi; soo idipedeti, la probabilità di avere, el gruppo di 8 studeti, 4 maschi e 4 femmie (cioè A B che rappreseta i casi favorevoli) è data dal prodotto A) B). Essedo A e B eveti equiprobabili, posso applicare la defiizioe classica di probabilità: 8! 8! - casi favorevoli: C,4 C8, ! 4! 4! 4! - casi possibili: C, ! 8!! Pertato, idicato co E l eveto <el gruppo di 8 ci soo 4 femmie>, la probabilità affiché tale eveto si verifichi è: E) = !! 4! 4! 8! 4! 55 = 0! 499!8! =

28 Ao 006/007 Quesito 8 - A Leoardo Eulero ( ), di cui quest ao ricorre il terzo della ascita, si deve il seguete problema: Tre getiluomii (Filomeo, Patrizia, Serafia) giocao isieme: ella prima partita il primo perde, a favore degli altri due tato dearo quato possiedoo. Nella secoda partita, il secodo perde la somma delle quatità che possiedoo il primo e il terzo giocatore (il primo e il terzo raddoppiao la somma che posseggoo). Da ultimo, ella terza partita, il primo e il secodo guadagao ciascuo dal terzo getiluomo tato dearo quato e avevao prima. A questo puto smettoo e trovao che ciascuo ha la stessa somma, cioè 4 luigi. Si domada co quato dearo ciascuo si sedette a giocare. Soldi Filomeo Patrizia Serafia - iiziali x y z - dopo x-y-z y z giocata - dopo (x-y-z) y-(x-y-z)-z = 4z giocata = -x+3y-z - dopo 3 4(x-y-z) (-x+3y-z) 4z-(x-y-z)-(-x+3y-z) = giocata = -x-y+7z Poichè la somma fiale è di 4 luigi per oguo dei giocatori, bisoga risolvere il seguete sistema : 4( x y z) 4 ( x 3y z) 4 x y 7z 4 x y z x 3y z x y 7z 6 4 le cui soluzioi soo: x = 39; y = ; z =. Ao 005/006 Corso di ordiameto e PNI 8

29 Quesito - Si arra che l ivetore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compesato co chicchi di grao: u chicco sulla prima casella, due sulla secoda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiado il umero dei chicchi fio alla 64-esima casella. Assumedo che 000 chicchi pesio circa 38 grammi, si calcoli il peso i toellate della quatità di grao pretesa dall ivetore. Soluzioe Idicato co N il umero dei chicchi di grao, si ha: N 3... che è ua serie geometrica di ragioe, la cui somma è: h 0 h q q , valore che rappreseta il umero di chicchi di grao. Poiché ogi chicco pesa g., il peso della quatità di grao pretesa è: P ( ) 0.038g ( ) t t Quesito 5 - Si dimostri che la somma dei coefficieti dello sviluppo (a+b) è uguale a per ogi N. Soluzioe Basta ricordare la formula del biomio di Newto: a b a k k 0 I cui, poedo a = b =, si ha: k k b, k0 k k k N Quesito 7 - Bruo de Fietti ( ), tra i più illustri matematici italiai del secolo scorso, del quale ricorre quest ao il ceteario della ascita, alla domada: che cos è la probabilità? era solito rispodere: la probabilità o 9

30 esiste!. Quale sigificato puoi attribuire a tale risposta? E possibile collegarla a ua delle diverse defiizioi di probabilità che soo state storicamete proposte? Soluzioe La probabilità soggettiva p di u eveto E è la misura del grado di fiducia espresso dal umero reale p, tale che ua scommessa di quota p su E sia coerete, cioè tega coto delle codizioi reali. La probabilità soggettiva è utilizzata el caso i cui o abbia seso cosiderare ciò che è avveuto per ua successioe di eveti aaloghi o si deve assegare ua probabilità ache agli eveti i cui i casi possibili soo ifiiti. Dato u umero reale p (0 < p < ) ed ua somma di daaro Q, diciamo che si effettua ua scommessa di quota p su u eveto E se, versado la somma pq si riceve l importo Q solo se si verifica l eveto E. Il guadago dello scommettitore, el caso di vicita è: Q pq = Q( p) Da cui si evice che se fosse p >, la scommessa sarebbe sempre i perdita. Quesito 8 U tiratore spara ripetutamete a u bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0.3 per ciascu tiro. Quati tiri deve fare per avere probabilità 0.99 di colpirlo almeo ua volta? Soluzioe La probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio è p = 0.3, metre la probabilità che o lo colpisca è p c = 0.7. Pertato, la probabilità che su tiri o colpisca mai il bersaglio, ma lo colpisca all +-esimo tiro è: p + = Tale valore deve essere maggiore o uguale a 0.99, per cui si ha: p + = cioè: l(0.7) l 0.0 l(0.7) l (0.0) da cui: l(0.0). 9 l(0.7) 30

31 cioè, il umero di tiri richiesti è: = 3. Ao 004/005. Quesito 9 Qual è la probabilità di otteere 0 laciado due dadi? Se i laci vegoo ripetuti qual è la probabilità di avere due 0 i sei laci? E qual è la probabilità di avere due 0 i almeo sei laci? Soluzioe Lo spazio campioe relativo al lacio di due dadi è costituito dai segueti puti: U {(,); (,); (,3); (,4); (,5); (,6); (,); (,); (,3); (,4); (,5); (,6); (3,); (3,); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,); (4,); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (5,); (5,); (5,3); (5,4); (5;5); (5,6); (6,); (6,); (6,3); (6,4); (6,5), (6,6)} cioè, da 36 elemeti, di cui i tre puti: (4,6); (5,5); (6,4) soo i casi favorevoli, cioè l eveto che idichiamo co A, che la somma dia 0.; pertato, essedo gli elemeti equiprobabili (ogi coppia ha probabilità uguale ad ), la probabilità affiché si 36 verifichi il ostro eveto A, può essere calcolata co il rapporto tra il umero dei casi favorevoli ed il umero dei casi possibili: 3. A) = 36 (Cacellare) Nel secodo caso si deve cosiderare solamete u suo sottoisieme, precisamete quello i cui elemeti soo coppie di umeri di cui almeo uo sia 6: U 6 {(,6); (,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6); (6,); (6,); (6,3); (6,4); (6,5)}. Nel primo caso, il sottoisieme U 3 dei puti di U costituiti da coppie che dao per somma 0 è: U 3 {(4,6); (6,4); (5,5)} 3

32 e, quidi, essedo gli eveti equiprobabili, ci basta applicare la defiizioe classica; la 3 probabilità è =. 36 Nel secodo caso, l isieme U 6 è costituito da elemeti, per cui il sottoisieme U dei puti di U 6 costituiti da coppie che dao per somma 0 è: per cui risulta che la probabilità è. U {(4,6); (6,4)} Ao 00/003. Quesito.: Tre scatole A, B e C cotegoo lampade prodotte da ua certa fabbrica di cui alcue difettose. A cotiee 000 lampade co il 5% di esse difettose, B e cotiee 500 co il 0% difettose e C e cotiee 000 co il 0% difettose. Si sceglie ua scatola a caso e si estrae a caso ua lampada. Qual è la probabilità che essa sia difettosa? Il quesito è abbastaza semplice e la sua risoluzioe è pressoché immediata. Cosiderati i tre eveti: E A =<< è estratta ua lampada difettosa dalla scatola A>>, E B =<< è estratta ua lampada difettosa dalla scatola B>>, E C =<< è estratta ua lampada difettosa dalla scatola C>>, l eveto E richiesto è l uioe logica dei tre eveti suddetti che soo icompatibili. Per il teorema della probabilità totale la probabilità dell eveto è P(E)=P(E A )+ P(E B )+ P(E C )) 5 P ( E A ) P ( E B ) P ( E C ) P ( E)

33 U meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il puto d icotro si trovi fra l equatore e il tropico del Cacro (latitudie λ = 3 7 ord)? Si determii la probabilità che, laciado 8 volte ua moeta o truccata, si ottega 4 volte testa. Bibliografia. [] F. Casolaro - Apputi di "Statistica e Calcolo delle Probabilità" teuto al corso di Scieze Ambietali dell'uiversità del Saio egll'ao accademico 006/007. [] F. Casolaro-L. Paladio: "Didactics of Statistics i Sociology". First Iteratioal Coferece o Recet Treds i Social Scieces: Qualitative Theories ad Quatitative Models (RTSS) - Iaşi (Romaia), 3-5 September, 0. Pagg [] A. Vetre - Decisioi utili - Editori Riuiti. [3] Aldo G.S. Vetre - Viviaa Vetre - La decisioe: comportameti e scelte razioali dell idividuo. Liguori Editore. [4] M. R. Spiegel - Statistica, coll. Schaum, ETAS libri [5] M. R. Spiegel - Probabilità e Statistica, coll. Schaum, ETAS libri [6] L. M. Ricciardi - S. Rialdi, Esercizi di calcolo delle probabilità, Liguori Editore. [7] A. Di Crescezo - L. M. Ricciardi, Elemeti di statistica. Liguori Editore. 33