Matematica e Statistica: Modulo di Statistica - Prof. Federico Di Palma - Appello del 12 Febbraio

Transcript

1 Matematica e Statistica: Modulo di Statistica - Prof. Federico Di Palma - Appello del 1 Febbraio Esercizio 1) I ua ricerca si è iteressati a verificare le dimesioi i micrometri di u graulocita eutrofilo. A tale scopo si soo misurati N=000 campioi otteedo la distribuzioe (a classi) il cui istogramma è riportato a lato. Il cadidato a) Determii la tipologia del carattere. b) Forisca ua rappresetazioe tabellare dei dati (mettedo i risalto le frequeze assolute). c) Se possibile, calcoli la mediaa. d) Se possibile, calcoli la variaza Raggio (micrometri) Esercizio ) U ricercatore vuole verificare se esista u legame fra le ore di soo ed il livello di glicemia al risveglio i u soggetto diabetico. Per far ciò ha sottoposto lo stesso soggetto ad u protocollo sperimetale che prevede il moitoraggio di otti di soo otteedo i segueti dati Notte I II III IV V VI Ore di Soo Glicemia alle 7:30 [mg/dl] Il cadidato, a) Idichi e forisca ua rappresetazioe grafica adeguata alla serie otteuta. b) Se possibile, idichi e calcoli u opportuo idice di variabilità c) Ipotizzado u legame di tipo lieare, 1. Calcoli l'opportua regressioe. Il legame ipotizzato è attedibile? Motivare umericamete la risposta. 3. Ipotizzi quale sarebbe il valore di glicemia se il soggetto dormisse 4 ore. Esercizio 3) Il cadidato, utilizzado i dati dell'esercizio, stimi putualmete e per itervallo il valore atteso della glicemia al risveglio evideziado le ipotesi ecessarie. Il cadidato proceda al calcolo ache se queste risultassero o verificate. Esercizio 4) Si cosiderio i segueti eveti cosiderati idipedeti: E 1 : si abbia x < 0 dove x è distribuita come ua ormale avete E[X] = e Var[X]=4 E : y = 1 dove y è distribuita come ua biomiale co = e p = 0.5. a) Il cadiato calcoli le segueti Probabilità: P(E 1 ); P(E ); P(E 1 U E ); P(E 1 E ). b) Il cadidato idichi se gli eveti E 1 ed E possoo riteersi icompatibili.

2 - Appello del 1 Febbraio Svolgimeto Esercizio 1) a) Determiare la tipologia del carattere. Il carattere è di tipo quatitativo (i quato espresso da umeri) cotiuo (i quato cocettualmete ua lughezza come u raggio può assumere qualsiasi valore) b) Forisca ua rappresetazioe tabellare dei dati (mettedo i risalto le frequeze assolute). Per risovere questo puto, risulta opportuo esplicitare la relazioefra le gradezze riporatate ell'istogramma e le frequeze assolute. I u istogramma le ordiate riportao la desità di frequeza (d i) delle classi metre le ascisse gli estremi delle classi che compogoo la distribuzioe.. Ricordado che d i è defiita come il rapporto fra le frequeze relative (f i) e l'ampiezza della classe cui soo riferite (sup i - if i); e che le frequeze relative so il rapporto fra le frequeze assolute ( i) ed il totale delle osservazioi (N), si ha: d i = i N sup i if i da cui si ottiee che i =N d i sup i if i Pertato i dati richiesti possoo essere ricavati applicado la formula testè ricavata. I risultati soo stati raccolti ella tabella ad etrata semplice (Tabella 1) riportata i calce. c) Se possibile, calcoli la mediaa. La mediaa è il valore che bipartisce le osservazioi ordiate, ovvero, quel valore che bipartisce l'area sottesa dell'istogramma. Cosiderado le frequeze cumulate i Tabella 1, si osserva come la mediaa cada ella quarta classe (i* = 4) cotete i valori fra 40% e 70% delle misurazioi ordiate. Per calcolare la mediaa si deve trovare la parte del rettagolo relativo alla quarta classe che sotteda solo il 10% (50 % - F i*-1) delle misurazioi. Poichè l'atezza del rettagolo è ota ( d i* = 0.3) possiamo facilmete ricavare la base (0.1 / 0.3 = 1/3). Quidi la mediaa si avrà sommado questo valore all'estremo iferiore della classe (if i* = 4.5) ricavado il valore di Lo stesso risultato poteva essere otteuto applicado la seguete formula che riassume il procedimeto appea descritto Me = if i* + (0.5 - F i*-1) / d i*= ( )/0.3 = /0.3 = 4.83 d) Se possibile, si calcoli la variaza. Il carattere i esame (quatitativo cotiuo) ammette tutti gli idici di variabilità visti el corso (rage, variaza e distaza iterquartile e sqm) ache se otteuto co sola rappresetazioi per classi di osservazioi. I questo caso gli idici soo ricavabili abbiado ad ogi classe il valore cetrale della classe ( ). La variaza delle osservazioi è stata calcolata utilizzado i dati ricavati i Tabella 1 ella seguete formula x = i=1 M f i x = i=1 M M f i i=1 f i = = =1. i if i sup i i f i F i * f i c i * f i Totali Tabella 1) aalisi dati Esercizio 1 Esercizio ) a) Idicare e forire ua rappresetazioe grafica adeguata. Per serie bivariate cotiue o discrete cui le frequeze o siao particolarmete alte si usa rappresetare la serie mediate diagrammi a dispersioe. Questi diagrammi soo diagrammi cartesiai i cui le modalità dei caratteri vegoo poste sui due assi ed ogi osservazioe viee rappresetata da u puto. Il grafico otteuto dai dati ella cosega viee riportato i Figura 1 (serie "Dati Reali"). b) Se possibile, idichi e calcoli u opportuo idice di variabilità Per serie bivariate cotiue o discrete l'idice di variabilità migliore è dato dalla matrice variaza/covariaza. Questa matrice si compoe di 3 distiti valori: le variaze dei distiti caratteri e la covariaza della serie bivariata. Si seguito riportiamo i calcoli relativi alle variaze dei i sigoli caratteri:

3 X: Ore di soo x = 1 N i=1 Y: Glicemia al mattio x= 1 N i=1 x i = =.5 x i x = y = 1 N i=1 = = 5.5 y= 1 y N i=1 i = =75.5 y i y = = Sfruttado i coti ripostati i Tabella si ottiee la seguete covariaza: xy = 1 N i=1 x i x y i y = = 19.5 Pertato la matrice variaza/covariaza risulta essere =[ 19.5 ] x i y i x i x y i y (y i y)(x i x) Osservazioi Totali Tabella ) Dati relativi Esercizio c 1) Ipotizzado u legame di tipo lieare, si calcoli l'opportua regressioe La retta di regressioe ha equazioe y= xy x x y xy x y= 19.5 x 5.5 x y=3.54 x 5.45 c ) Ipotizzado u legame di tipo lieare, si verifichi il legame ipotizzato è attedibile? Motivare umericamete la risposta U buo idicatore della botà del modello di regressioe 84 è dato dall'idice di correlazioe di Pearso R = xy x =0.1 R=0.78 y Poiche l'idice risulta superiore a 0.7 si può asserire che il legame è possibile. Ovviamete il dato deve essere cofermato dalla visualizzazioe del modello. Ifatti il coefficiete di Pearso può ache dare risultati fuorviati. A lato si riportao le presevisioi effettuate dal modello lieare che descrivoo l'adameto dei dati co buoa precisioe. Glicemia mattutia Ore di soo Dati Reali Modello Figura 1) Rappresetazioe dei dati dell Es

4 c 3) Ipotizzi quale sarebbe il valore di glicemia se il soggetto dormisse 4 ore. La risposta a questo quesito si ottiee applicado la retta el puto x = 4; si ottiee quidi ua glicemia prevista di mg/dl. Si ricorda che il valore risulta poco attedibile poiché il modello viee applicato i ascisse (4) molto lotae da quelle usate per stimarlo (5-8). Esercizio 3) Le teciche di stima viste el corso prevedoo che: la popolazioe sia descrivibile mediate ua variabile casuale, che il campioe abbia ua umerosità tale da far covergere lo stimatore e che le prove siao idipedeti ed ideticamete distribuite (i.i.d.). Nel caso i esame descrivere l'esperimeto mediate la seguete variabile casuale X: glicemia al risveglio i u soggetto dibatico. la gradezza da stimare risulta E[X] il cui stimatore è la media campioaria la quale coverge i legge per campioi avete umerosità superiore a 30 (ipotesi o cofermata). L'ipotesi di prove i.i.d. è molto debole i quato le prove essedo estratte dallo stesso soggetto sarao fortemete correllate. Questa cosiderazioe rissume il fatto che difficilmete aalizzado u solo soggetto è possibile trarre coclusioi su tutta la popolazioe. La stima putuale si ottiee semplicemete dall'applicazioe dello stimatore, pertato ricordao quato calcolato ell'esercizio precedete E[ X]= x= 1 x i=1 i =75.5 Per effettuare ua stima per itervallo si deve come prima cosa fissare u livello di cofideza, el ostro caso 95% (α=0.05). Defiita la tipologia di stima (stima per itervallo al 95%), si ha che essa è data dalla seguete E[ X] [ x z Var[X ] ; x z Var[ X ] ] Dove il valore della ormale si ricava dalle tavole: z =1.9 La variaza della popolazioe o è ota pertato essa viee stimata utilizzado la variaza campioaria. Ricordado i calcoli effettuati i precedeza si ha che: Ifie si ottiee la stima richiesta: Var[ X]=s = 1 = = =.7 E[ X] [ ; ] =[ ; ]=[71.7 ;79.3] Esercizio 4) a) Il cadiato calcoli le segueti Probabilità: P(E 1 ); P(E ); P(E 1 U E ) P(E 1 E ). L'eveto E 1 è dato dalla probabilità di estrarre u umero egativo da ua ormale co valore atteso due e variaza quattro. Per defiire tale probabilità ci si deve riportare alla ormale stadardizzatata, stadardizzado il valore x = 0 z 0 = x 0 E[ X] Var[X] =0 4 = 1 Ricordado che le tavole assegate riportao gli itegrali della ormale fra 0 ed u umero positivo si ha che P E 1 =P X 0 =P z 1 =0.5 P 0 z 1 = = L'eveto E è dato dalla probabilità di avere u esito uitario egativo i ua prova di Biomiale co = e p =0.5. La prova biomiale è data dalla somma di prove di Beroulli i.i.d. dove la geerica prova b i può avere esito pari a 1 o 0.

5 y= i=1 b i =b 1 b Nel caso i esame l'uico modo di ottere y = 1 è co le che si verifichi uo dei due casi E ' : b 1 =0 b =1 E ' ' : b 1 =1 b =0 che fra loro soo icompatbili. Pertato P E =P E ' E ' ' =P E ' P E ' ' Essedo gli eveti legati alle varibili b idipedeti la probabilità dell'eveto itersezioe è data dal prodotto delle probabilità, pertato risulta facile calcolare la probabilità richiesta: P E =P E ' E ' ' =P E ' P E ' ' =P b 1 =0 P b =1 P b 1 =1 P b =0 = =0.5 La stessa coclusioe poteva essere raggiuta più agevolmete ricordado che da distribuzioe di probabilità di ua biomiale è data dalla seguete: P y=k =! k! k! p k 1 p k Da cui k p k 1 p k = P E =P y=1 = = =0.5 Essedo gli eveti idipedeti la probabilità dell'eveto itersezioe è data dal prodotto delle probabilità P E 1 E =P E 1 P E = =0.35 Le restati probabilità possoo essere ricavate utilizzado la defiizioe assiomatica P E 1 E =P E 1 P E P E 1 E = =0.85 P E 1 E =P E 1 E P E = =0.5=P E 1 b) Il cadiato idichi se i due eveti E 1 ed E soo icompatibili. Due eveti soo icompatibili se o possoo verificarsi cotemporaeamete e cosegue che la probabilità dell'eveto itersezioe è ulla. Nel caso i esame questa probabilità è o ulla, quidi è possibile affermare che gli eveti o soo icompatibili.