Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale. II Prova in Itinere di Statistica per Ingegneria Energetica 5 luglio 2012

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1 Politecico di Milao - Scuola di Igegeria Idustriale II Prova i Itiere di Statistica per Igegeria Eergetica 5 luglio 2012 c I diritti d autore soo riservati. Ogi sfruttameto commerciale o autorizzato sarà perseguito. Cogome, Nome e Numero di matricola: Problema 1. Adrea ha sempre desiderato essere u campioe di pallacaestro e da poco gioca ella squadra della sua città. I realtà, più che giocare sta i pachia, dato l alto livello dei suoi compagi. Spesso capita addirittura che questi lo predao i giro, sosteedo che o realizzi eache la metà dei tiri liberi che prova. U gioro Adrea, per mettere fie a queste voci, effettua tiri liberi, realizzadoe 30, affermado poi: avete visto? I compagi di Adrea hao però seguito co profitto u corso di Statistica e sao che tale risultato potrebbe essere semplicemete frutto di tiri fortuati. Sao quidi che, dadogli ragioe, potrebbero cessare erroeamete di prederlo i giro e soo disposti a commettere tale errore solo co ua probabilità del 5%. (a) Adrea è quidi riscito a covicere i suoi compagi che avevao torto? Si rispoda eseguedo u opportuo test di ipotesi, esplicitado chiaramete: il parametro icogito, le ipotesi statistiche, la regioe critica per il livello di sigificatività richiesto, la coclusioe. (b) Qual è il umero miimo di tiri da realizzare, su effettuati, per mettere fie a queste voci. (c) Se i verità Adrea è i grado di realizzare il 70% dei tiri liberi che prova, co quale probabilità può mettere fie a queste voci co tiri a disposizioe. Risultati. (a) Siao p la proporzioe icogita di tiri liberi che Adrea è i grado di fare e p 0 = 0.5. Si deve eseguire u test per la verifica delle ipotesi H 0 : p < p 0 vs H 1 : p p 0, di livello α = La regioe critica è quidi ˆp p 0 > z α, p 0(1 p 0) purché il campioe sia sufficietemete umeroso, ovvero purché il umero atteso di successi e di isuccessi per p = p 0 sia almeo 5. Nel ostro caso i successi e gli isuccessi attesi per p = 0.5 soo 25 e la statistica test vale z 0 = ˆp p 0 p 0(1 p 0) = (1 0.5) = da cofrotare co il puto percetuale z α = 1.645: o vi è evideza statistica per rifiutare H 0, Adrea cotiuerà ad essere preso i giro. (b) Si deve cercare il miimo umero aturale k tale che k = ˆp > p p0 (1 p 0 ) k > 30.8 per cui il umero miimo è k = 31. (c) Si deve calcolare la poteza del test per p 1 = 0.7. Detto X il umero di tiri realizzati su, si ha X B(, 0.7) per cui, ( ) poteza = P (X > 30.8) = P (X > 30.5) 1 Φ Φ(1.39) =

2 Oppure, trascurado la correzioe di cotiuità, si trova: P p=p1 (Z 0 > z α ) = P p=p1 ( = P p=p1 ) p0 (1 p 0 ) ˆp > z α + p 0 ˆp p 1 > z α p 0 (1 p 0 ) co p 0 = 0.5, p 1 = 0.7, =, α = 0.05 da cui: 0.25 poteza = 1 φ p 1 (1 p 1 ) + p 0 p 1 p 0 (1 p 0 ) = 1 φ z α p 1 (1 p 1 ) + p 0 p = 1 φ( ) = 1 φ( ) = φ(1.2914) = , 2

3 Problema 2. Il Dott. Piccolii, famoso aturalista, si sta recetemete occupado delle relazioi zazare e pipistrelli. Per questo studio, avrebbe bisogo i particolare di cooscere il rapporto tra il umero di pipistrelli e il umero di zazare i uo specifico quartiere di Roma alla mezzaotte tra il 23 e il 24 giugo Purtroppo, il umero di pipistrelli p e il umero di zazare z soo icogiti ed è quidi ecessario stimarli per otteere il rapporto r = z p. Perciò il Dott. Piccolii decide di iviare giovai ricercatori a misurare la preseza di zazare e giovai ricercatori (diversi dai precedeti) a misurare il umero di pipistrelli i quel quartiere e a quell ora. Ciascu ricercatore è dotato di uo strumeto (coperto da segreto) che permette di otteere ua misura del umero di rappresetati di ua specie ella zoa cosiderata. Suppoiamo che che le misure P 1,..., P del umero di pipistrelli siao idipedeti, co errore sistematico ullo e variaza σp 2 e che le misure Z 1,..., Z del umero di zazare siao idipedeti, co errore sistematico ullo e variaza σz 2. (a) Proporre stimatori putuali per p, z e r. (b) Verificare se tali stimatori soo, almeo approssimativamete, o distorti. (c) Calcolare l errore quadratico medio, almeo approssimato, di questi stimatori. Le misure raccolte dai ricercatori foriscoo come medie campioarie rispettivamete p = 10 e z = 1000 e come variaze campioarie s 2 P = 1.10 e s2 Z = (d) Forire delle stime putuali per p, z e r. (e) Stimare l errore quadratico medio degli stimatori utilizzati. Risultati. (a) p = P, ẑ = Z, r = Z P. (b) Dato che l errore sistematico è ipotizzato ullo, E[ p] = E[P ] = p e E[ẑ] = E[Z ] = z. La media dello stimatore r, approssimata co il metodo delta, è : E[ r] E[Z] E[P ] = z p = r. (c) MSE( p) = Var( p) = σ2 P e MSE(ẑ) = Var(ẑ) = σ2 Z. Se h(x, y) = x y, MSE( r) Var( r) ( h x )2 x=z,y=p Var(Z ) + ( h y )2 x=z,y=p Var(P ) = 1 p 2 σ 2 Z + z2 p 4 σ 2 P. (d) p = p = 10, ẑ = z = 1000, r = z p = 100. (e) MSE( p) s2 P = 0.1, MSE(ẑ) s2 Z = 12, MSE( r) 1ˆp 2 s 2 Z + ẑ2 ˆp 4 s 2 P =

4 Problema 3. La IceStats SpA è ua ota catea di gelaterie milaesi, molto famose per la particolarità dei gusti serviti. Il dott. Fresco, proprietario della IceStats, è da sempre iteressato a valutare il rapporto che itercorre tra la quatità di gelato veduto, e alcue gradezze sigificative. Per questo, fa raccogliere i dati relativi alla vedita di gelati, temperatura estera e umidità relativa dell aria elle due stagioi estive 2010 e 20 (da maggio a settembre, periodo di apertura della IceStats). I particolare, per oguo dei 296 giori di apertura, ha a disposizioe il valore di totale di gelato veduto elle sue gelaterie G (i Kg.), la temperatura media gioraliera T (i C) e l umidità relativa dell aria U (percetuale) a Milao, e vuole valutare la dipedeza di G dalle altre due variabili. Medie campioarie e variaze campioarie dei dati raccolti soo: g = , s 2 g = , t = , s 2 t = , u = , s 2 u = I Figg. 1 e 2 vegoo proposti gli output di R del modello di regressioe, il grafico dei residui e i p-value del test di Shapiro-Wilk per i residui per ciascuo dei segueti modelli: co ɛ i N(0, σ 2 ), per i = 1,..., 296. Modello 1: G i = β 0 + β 1 T i + β 2 U i + ɛ i Modello 2: G i = β 0 + β 1 T i + ɛ i (a) Si commeti la botà dei modelli proposti e si scelga di cosegueza il migliore per descrivere il problema i esame. (b) Si scriva l equazioe di regressioe stimata per il modello prescelto. (c) La stazioe meteorologica di Milao Liate stima che per domai la temperatura media a Milao sarà di 22 gradi e l umidità relativa del 85%. Forire ua previsioe itervallare al 90% della quatità di gelato che sarà veduta, i totale, ella giorata di domai. Al mometo dell apertura di 15 ai fa, il dott. Fresco aveva già fatto u aalisi simile, otteedo la seguete stima per il coefficiete relativo alla temperatura: ˆβold 1 = 9. (d) È possibile affermare che il coefficiete di dipedeza lieare sia cambiato rispetto a quello di 15 ai fa? Effettuare u opportuo test al 5%. Soluzioe: (a) Il Modello 1 ha u R2 adjusted molto elevato, i residui o presetao particolari tred. Cosiderado il p-value del test di Shapiro-Wilks, l ipotesi della ormalità dei residui o è rifiutata a tutti i livelli usuali. Pertato è possibile cosiderare i test di sigificatività proposti ell output di R. Il modello è globalmete sigificativo (p-value: < 2.2e 16), ma il coefficiete β 2 risulta o sigificativamete diverso da 0 (p-value: ). Per questo motivo sarebbe opportuo elimiare il predittore U dal modello. Il Modello 2, otteuto proprio elimiado U, preseta le stesse buoe caratteristiche del Modello 1, ma i questo caso tutti i predittori risultao sigificativi. Ioltre R2 adjusted è leggermete aumetato. É u modello più semplice del Modello 1, avedo u regressore i meo, ma ha le stesse performaces, se o leggermete superiori. Per questi motivi è opportuo scegliere il Modello 2. (b) L equazioe stimata per il modello 2 è la seguete: Ĝ = T (c) La previsioe putuale per la quatità di gelato veduta è Ĝ0 = Ĝ T =22 = = Kg. L itervallo di previsioe cercato è: Ĝ 0 ± t 0.025, 2ˆσ (t0 t)2 S tt, co S tt = s 2 t ( 1), da cui l itervallo cercato: [ , ]. (d) Il test di ipotesi è il seguete: H0 : β 1 = 9 vs. H1 : β 1 9. Quidi, eseguedo u t-test sul coefficiete β 1 si ottiee: T 0 = ( ˆβ 1 9)/se( ˆβ 1 ) = , t 0.025, 2 = 1.960, quidi al 5% c è evideza per rifiutare H0. 4

5 Figura 1: Output dell aalisi per il modello 1 Figura 2: Output dell aalisi per il modello 2 5